Конфигурационное пространство во второй краевой задаче из неклассической теории пластин Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 501.1

КОНФИГУРАЦИОННОЕ ПРОСТРАНСТВО ВО ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ИЗ НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИН

В. Ф. Кириченко1, М. П. Мисник2, П. А. Самаркин3

1 Доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры математики и моделирования, Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю. А., [email protected]

2 Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической экономики, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]

3 Аспирант кафедры математики и моделирования, Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю. А., [email protected]

В статье рассматривается краевая задача второго рода, для уравнений равновесия «в смешанной форме», определяющая неклассическую математическую модель для шарнирно закрепленной изотропной и однородной пластины в рамках обобщенных гипотез Тимошенко с учетом начальных неправильностей. Для указанной задачи впервые доказывается существование обобщенного решения и слабая компактность множества приближенных решений, получаемого с помощью метода Бубнова-Галеркина по схеме В. З. Власова. На базе функциональных пространств, в которых рассматривается существование обобщенного решения и исследуется сходимость метода Бубнова-Галеркина, определяется конфигурационное пространство соответствующее поставленной краевой задаче.

Ключевые слова: нелинейные системы уравнений с частными производными, неклассическая теория оболочек.

ВВЕДЕНИЕ

Как известно [1-5], наиболее полному описанию состояний дискретных и распределенных механических систем соответствует описание состояний в рамках фазовых и конфигурационных пространств. При этом явный вид указанных пространств зависит от свойств математических моделей, используемых при исследовании реальных механических систем с помощью вычислительных экспериментов. В частности, если математическая модель распределенной механической системы формализуется некоторой краевой задачей, например, для уравнений равновесия упругой пластины, то соответствующее данной модели конфигурационное пространство определяется такими функциональными пространствами, по отношению к которым, во-первых, доказывается существование решения указанной краевой задачи и, во-вторых, доказывается сходимость численного метода, используемого при проведении вычислительных экспериментов над изучаемой моделью пластины.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

В данной статье объектом исследования является следующая краевая задача второго рода для уравнений равновесия «в смешанной форме», определяющая неклассическую математическую модель для шарнирно закрепленной изотропной и однородной пластины в рамках обобщенных гипотез Тимошенко (модель Пелеха-Шереметьева) с учетом начальных неправильностей:

^-А^гг - Адат^ + с А ЛХ3 = 0, 1 = 12. (1)

'-Н/2 \ дХг дХз-г

",/2 -вддщ--Бдёк, -Лхз--=«(Х1-Х2); (2)

1 . о„ 1

-л/2 VI дх2 дхз-гдх

Жд2¥ = -2¿(изо, изо) - ¿(изо); (3)

мзо!дн = о,

д2 изо

дх1

д 2изо

дО дх2

д2 ¥

= 0 ¥ и = о

до дх1

д 2¥

д О дх2

= 0; (4)

дО

! /Мп ди11(0, х2) ди11(а, х2)

ип (х1, 0) = ип (хьЬ)=0, -дх1-=-дх1-=0' (5)

(П \ I \ П ди21 (х1' 0) ди21 (х1 ,Ь) п , , ап (РЛ

и21(0,х2) = и21 (а,х2) = 0' ---=---= 0' (хьх2) £ дО. (6)

дх2 дх2

В задаче (1)-(6) и всюду далее приняты такие условные обозначения:

А2 = А(А(-)), А(-) =

д2(■) , д2(-) 3x1

+

3x2

А = хз -

3Н2 '

в = & с

= 1 -

4х| Н2 ;

Ь(/1 /2) = 3/32/2 + 3211324 - 2- з2/1 з2¡2

1 з2 ^

(12 =

3x1 3x2 3x1 3x2 3х13х2 3х13х2 '

3 2изо

+

Е

Н3х13х2 2(1 + V)

А

3и11 3и21 3x2

1 32Е

Угг = т

Н3х1-г

+

Е

1 - V2

А

3игт 3из-1

+ V-

3хг

3хз-

3х1

- в

- в

3х13х2

3-г

32изо 3 2 изо

+ V

3х2

3х1з—г

Е

Угз =

с

2(1 + V)

О = (0,а) х (0,Ь), О С Л2,

и»1 +

3изо

Б С Яз,

(х1, х2) е О, хз е

3хг

О = О и 3О,

Н Н 2' 2

% = 1, 2;

(7)

(8) (9)

НН

Б = О х--, -

2' 2

Н > 0, а> 0, Ь> 0;

Б = О х [-Н/2, Н/2] — замкнутая односвязная область в евклидовом пространстве Яз, занимаемая пластиной в недеформированном состоянии; О — измеримая односвязная область в евклидовом пространстве Я2 с границей 3О; область Б параметризована декартовой системой координат Ох1х2хз таким образом, что область О принадлежит координатной плоскости Ох1х2 и определяет серединную поверхность пластины; Н — постоянная толщина пластины; функция ш0 = ш0(х1 ,х2) определяет начальную неправильность пластины; функция изо (х1 ,х2) определяет дополнительный прогиб пластины в процессе ее деформирования, а функция (изо(х1 ,х2)+ ш0(х1 ,х2)) определяет полный прогиб; F = F(х1?х2) — искомая функция усилий; изо(х1,х2), иг1 (х1 ,х2), % = 1,2, — искомые функции, определяющие коэффициенты в аппроксимации по переменной "хз" (согласно модели Пелеха-Шереметьева) вектора перемещений для точек пластины; д = д(х1 ,х2) — интенсивность поперечной нагрузки; Е, V - упругие постоянные, Е > 0, 0 < V < 2.

Замечание. Краевая задача (1)-(6) является стационарным вариантом задач, исследованных в работах [6, 7].

Обозначения основных функциональных пространств, норм и скалярных произведений соответствуют данным в монографии [8], в частности, Ь2(О) — лебегово пространство функций, интегрируемых с квадратом по измеримой области О, | ■ |с — норма в Ь2(О), а (■, -)с - скалярное произведение в Ь2(О). Кроме того, используются следующие функциональные пространства [9,10]:

Н2'0(О) — подпространство пространства Н2(О), являющееся замыканием в норме Н2(О) функций из С2(О), равных нулю вблизи границы 3О;

Нг' (О) (% = 1, 2) — подпространство пространства И 1(О), плотным множеством в котором является множество всех функций из С 1(О), равных нулю вблизи границы 3Ог = 3О1 и 3О2, где

301 = {(хьх2) е Я2 |(х1 ,х2)|х1=а,х2 е [0,Ь]} , 3О2 = {(х1 ,х2) е Я2 |(х1,х2)|Ж1 =0,х2 е [0,Ь]} ,

302 = {(х1,х2) е Я2 |(х1, х2)|Х2=ь ,х1 е [0,а]} , 3О2 = {(х1 ,х2) е Я2 |(х1, х2)|Х2=0 ,х1 е [0,а]} .

Далее, в теореме доказывается существование обобщенного решения для задачи (1) — (6), дается обоснование сходимости метода Бубнова-Галеркина (Б.-Г.) при получении приближенного решения для этой задачи и определяется явный вид соответствующего конфигурационного пространства.

При доказательстве указанной теоремы потребуются утверждения из следующей леммы.

Лемма. Отображение

(и, V, т) ^ (Ь(и^),т)п (10)

является трилинейным, непрерывным и не зависит от порядка следования аргументов, при этом имеет место равенство

Ь(и, v)wdx1dx2 =

32

1п 3x13x2

3v 3т + 3v 3т 3х1 3х2 3х2 3х1

dx1 dx2 -

п

Г (д2 и дь дт д2и дь дт \ ,

- п--^^ТТо- о--Лх2 ■

'П \ дх2 дх2 дх2 дх2 дх1 дх1 )

(11)

Доказательство данной леммы проводится по схеме доказательства леммы 2.2.2 из работы [11, с. 85-86] с точностью до используемых пространств, в частности, на предварительном этапе равенство (11) легко доказывается для любых функций (и,ь,т) е С^(О) х (С2'0(О))2, где С2'0(О) — подпространство пространства С2(О), состоящее из функций С2(О, равных нулю вблизи границы д О.

Теорема. Пусть выполняются такие условия:

д е Ь2(О), шо е С2,0(О),

тах

п

д 2Ш0 д2Ш0 д 2ш0

дх1дх2 д х 2 дх 2

^ Л,

(12)

где Л> 0 — достаточно малая вещественная постоянная. Тогда:

1) существует хотя бы одно решение \иц, из0,Р\ задачи (1) — (6), при этом

г = 1, 2,

Р, и30 е н2,0(О), иг1 е Яз1-0г(О),

(13)

и, кроме того, имеют место следующие интегральные тождества, определяющие согласно условиям (13) обобщенное решение задачи (1) — (6):

АацЗ^1 + Лег12 дг1 + Сагзцц) Лх1 Лх2 Лхз = 0, г = 1, 2,

дхг

'дхз-г

(14)

при любых пг1 = пг1 (х1,х2) е Н3—г (О);

К/2

//(/Й! -

д П30 д П30 , ^ _ дПз0 \ \ л

-¿Т - В(Г12——---+ Согз—— \ Лхз -

дх2 дхгдхз-г дхг )

п —Н/2

-Ь(из0, Р)пз0 - Ь(ш0, Р)пз0) Лх1 Лх2 =11 дпз0 Лх1 Лх2,

(15)

при любых пз0 = пз0(х1,х2) е Н2,0(О);

(сРр в^щ д2Р д2щ д2Р д2щ \ Лх Лх

ЕН\ дх\ дх\ дх1 дх2 дх1дх2 дх2 дх"2 I 1 2

-^L(Uзо,из0)п4 - L(uзо,Ш0)щ) Лх1 Лх2,

(16)

при любых = П4(х 1, х2) е Н2,0(О);

(в тождествах (14)—(15) символы а12, агг, агз, г = 1, 2, обозначают функции вида (7)-(9), в которых вместо фукнций из0,Р,иг1 подставлены из0,Р,иг1 соответственно);

2) приближенное решение задачи (1)-(6) может быть найдено с помощью метода Б.-Г. (по схеме В. З. Власова [12, с. 243]), при этом все множество приближенных решений слабо компактно в пространствах, соответствующих условиям (13), и его предельные точки определяют обобщенное решение задачи (1)-(6);

3) конфигурационное пространство Т распределенной механической системы, определяемой математической моделью в виде краевой задачи (1)-(6) с обобщенным решением из условий (13), является бесконечномерным функциональным пространством следующего вида:

при этом

Т = (Н2>0(О)) х Щ'0(О) х Щ'0(П), из0, Р, ип,и121\ е Т.

(17)

Доказательство. 1. Построение приближенного решения с помощью метода Б.-Г. по схеме В. З. Власова. Пусть {хгк} — базис в г(О), г = 1,2, {хзк} и {х4к} — базисные системы в Н2>о(О). Определим приближенное решение {изо,¥3,иП1} для задачи (1)-(6) в таком виде:

<-30

^Сэк Хэк, Fn — X4k,

41

J^^ikXik, i — 1, 2,

(18)

k=1

k=1

k=1

где постоянные Сзк,С4копределяются из следующей системы нелинейных алгебраических уравнений:

n dXimi \ f Л n

i / D

3 —i / d

+ ,Ximi )D — 0, mi — ;

E{-(b* ,

i=1

i d — /B^n d ХЭтз

dx2 / D V 12' dxidx3—^ D

+ ,

dX3r

i / D

- (L(u30, Fn), Х3тз - (L(^0, Fn), Хэтз — (g, Х3тз , m3 — 1, n3;

(19)

(20)

Eh

(AFn, АХ4Ш4— - (L(un0,un0),X4m4- 2 (L(un0), X4m4, m4 — 1, n4, (21)

(в (19)-(21) функции

^, ' i — 1, 2, ^n2, имеют вид функций (7)-(9), в которых вместо фукнций u30,F, ui1 подставлены иП0,Fn,un1 соответственно).

Разрешимость системы (20) следует из леммы «острого угла» [8, лемма 4.3, с. 66-67]. Действительно, введем в рассмотрение вектор

С — (С11, n1 С21, • • • , С2П2 7 Сз1, • • • , С3пз 7 С41, • • • , С4П4 ) G R , l — n1 + n2 + n3 + n4,

и оператор Р : Rl ^ Rl, определяемый по правилу

V С G Rl, P(С) — П, П — (nii, • • •, nini, П21, • • •, П2п2, Пз1, • • •, Пзпз, П41, • • •, П4п4) G Rl,

где

V mi — 1, ni, nimi — ACT1,

dXimi

iD 2

+ A<2,

dXimi

dx3—

3—i D

+ (CaI3,Ximi)d , i — 1, 2, (22)

V m3 — 1, n3,

дХ3тз

П3тз — E { ^' i=1

- (b^2, д2х3тз

d2Х3тз ^

dx2 yD V" ~12' dxidx3—г/ D

+

+ CK3,

iD 2

- (L(un0, Fn), Х3тз )n - (L(W0, Fn), Х3тз )n - (g, Х3тз )n ,

V m4 — 1,m4, П4т4 — Eh (AFn' AX4m4 + (L(u10, u30X4m4 + 2 (¿«0, ^n), X4m4

(23)

(24)

Определим скалярное произведение (п,С)дг векторов п из пространства Л1 следующим образом:

31 П2 Пз П4

V £ Л', (%1) + Е П2т2 6т2 + Е Пзтз Сз т3 + ^ ^ п4т4 ^4ш4 ; (25)

То1 = 1 т2 = 1 тз = 1 т4 = 1

при этом

Тогда

ICIr — (С, С )R712

(26)

i=1

A

duni 2

dxi

- B-

30

dx2

D

+ ^12,

A

i1

-B

d

30

dx3—i dx dx3—i

+

D

^ ^Г3 ,C

2

„ dun0 Ui1 +

D

- (L(U10, Fn), un0)fi - (L(^n, Fn), U10)n +

+Eh (AFn, AFn)n + (L(u10, u10), Fn)n + 2 (L(u10, Ы Fn)n - (g, <0)n •

(27)

2

n

n

n

В силу равенства (11)

- (¿(<0, Рп), иПо)п - (¿к, Рп), иПо)п + (¿«о, иПо), Рп)п + 2 (Х(иПс), Рп)п = , изо), Рп)п .

Равенство (27) принимает вид 2 (

л. = Е

Е

¿=1

1 - V2

А

+

Е

2(1 + V)

А

+

Е

2(1 + V)

С

<1 +

4зо

дХ2

дЩ , диз-г 1

—— + V-

джг джз-г

- в

- в

д2

зо

дж2

+ V

д2

зо

А

-в

д2

зо

ди11 + ди21

дж1

ип + дизо

+ дЖ;

д2

зо

дж1дж2

- В

джз-;

д2

зо

дж;джз-;

дж2 +

в

2

+ — |АРп|2 + (¿(^о, изо), Рп)п - (д, изо)п.

+

(28)

Имеют место следующие оценки:

1) (£,изо^ Ып ■ Кок2(П) ^ С^о|н2(п),

(29)

где С1 > 0 — постоянная, определяемая условием (12) для функции д = д(ж15ж2); 2) с учетом равенства (11) и неравенства Коши [9, с. 33] получаем:

№о ,изо ),Р П)п =

д 2 ^о дж1дж2

дизо др^ дизо дРп

дж1 дж2 дж2 дж1

¿ж1 ¿ж2 -

д2^о дизо дРп д2^о дизо дРп

+

зо

дж? дж2 дж2 дж2 дж1 дж1

¿ж1 ¿ж2 ^ тах

д 2^о д 2^о д 2 ^о

дж1дж2 дж2 дж2

д«зо дР п + д«зо дР п + д«зо дР п + дизо дРп

дж1 дж2 дж2 дж1 дж2 дж2 дж1 дж1

¿ж1 ¿ж2 ^

3)

¿=1

Е

2(1 + V)

Е П

2(1 + V)

^ 2^ (|«зо|Н2(П) + |Рп 1Н2;

А

ди11 + ди21

дж2

дж1

+

д2

ди11 ди21 дж2 дж1

/г/2

-в

//2

7

-//2

д2

зо

дж1дж2

А^ - в

д2

зо

джз-; дж; джз-;

А2 ¿жз - 2

ди11 ди21 дж2

дж1

д2

зо

дж1дж2

п

//2

1 -//2

зо

дж1дж2

\

J В 2 ¿жз -//2 /

¿ж1 ¿ж2 =

Ейз

504(1 + V)

68 У

ди11 ди21 дж2

дж1

32

У

ди™1 дж2

+

ди

21

дж1

д2

зо

дж1дж2

+

д2

изо

дж1дж2

¿ж1^ж2 ^

(30)

АВ ¿жз+

>

ЕЛл

504(1 + V)

'68 5

16е\

"5" У

ди11 ди21 дж2 дж1

+11 - а

д2

зо

дж1дж2

(31)

при получении последнего неравенства в (31) используется неравнство Коши с 'V [9, с. 33], е > 0; 4) подобно оценке (31) получается следующая оценка:

Е

¿=1

Е

1 - V2

А

+ V з ; 1

>

дж.

Ейз

джз_, 2

>

1

-в

Е

д2

зо

дж2

+ V

д2

зо

С^-г

¿=1

+ V

А

ди

¿1

дж,

-в

д2

зо

2

504(1 + V) ¿=1

/68 - 16е - Т"

д<1

дж*

дж2

+

А

>

диП

¿1

1 -

5е

джг

д2

- -В

д2

зо

дж2

зо

дж2

>

(32)

п

п

п

О

п

п

2

О

X

X

п

п

2

п

2

2

п

2

2

п

2

2

2

2

п

2

п

п

п

п

п

О

2

п

п

О

2

2

п

п

п

5) выбирая в (31) и (32) е £ (16/5,17/4), получаем:

(68 - 16е) > 0, (5е - 16) > 0. Из (28)-(33) следует неравенство ЕЛ3 '

(33)

(Р£,£)

к1

>

+ 1 -

16

68

V )\1 5

д2 и3Ъ дх! 2 + П д2 и30 дх2

+

+

д«2!

дх2

+

д 2

30

дх!дх2 2

ди™! ди2! дх2

2

дх!

+

+ Ж|ДЕ п|П -

2(1 + V)

С

„ п , ди30

+ дх,

(34)

^|иП501Н2(П) + |рП|Н2(П)) - С! |и30 1Н2(П) + Е

где и3! £ Н3!:°(О), £ Н2'0(О), Е3 £ Н2'0(О).

На основании неравенства Корна [10, с. 283-285] и неравенств Фридрихса для функций из пространств Н3— (О), г = 1, 2, Н2'0(О) [10, с. 344-345], преобразуем неравенство (34) к следующему виду:

+

С3

(Р£,£)

ЕЛ3

С2ЕЛ3 /68 16М / 2 к1 ^ 504(1 + V) VУ (|И!!|

Н1 (П)

+ |и31|

Н1 (П)

+

, X ,1 - —1 - 2^

504(1 + V) V 5е )

|ип01

Н 2(П)

+

С42

Ж

- 2^

|р3 |Н2(П) - С1 |и30|Н2(П) ,

(35)

где С2, С3, С4 £ Я — некоторые положительные постоянные, а постоянная d удовлетворяет условиям

С3

ЕЛ3

504(1 + V)

и, следовательно,

16 С42

1 -5е -2d>0 ж

ЕЛ3

(Р£,£)к ^ 0, если |и30|Н2(П) ^ ^ С3

'504(1 + V)

- 2d > 0,

1 - ё) - *

-!

(36)

Так как в конечномерном пространстве все нормы эквивалентны, то последнее неравенство из (36) будет выполняться, если |£|кг = р, где р — достаточно большое число.

Итак, согласно лемме «острого угла», система уравнений (19)-(21) имеет по крайней мере одно решение £, |£|кг ^ р, такое, что Р(£) = 0, и, в силу (28), (35), найденное решение а тем самым и функции и30, Еп, ип!, г = 1, 2, удовлетворяют неравенству:

С2ЕЛ3 /68 _ 16е\ , 504(1 + VД5 5 ) (|И!!|

32

Н1(П)

+ |и311

п 12 | +

Н1 (П)

+

С3

ЕЛ3

1 - - 2d

|и301

Н2(П)

+

2С4

Ж

- 2d

'504(1 + V)

2. Предельный переход. Из (37) следует, что

множества {мП0} , {Еп} ограничены в Н2'0(О), множества {МП} , г = 1, 2, ограничены в Н^,(О).

|Е31Н2(П) ^ С! |и30|Н2(П) • (37)

(38)

В силу слабой компактности множеств из условий (38) найдутся элементы м30 £ Н2'0(О), Е £ Н2'0(О), £ Н^^,(О) и подпоследовательности {мП0}, {Еп}, {мП} (оставляем для них прежнее обозначение) такие, что

и30 ^ и30 слабо в Н2,0(О), и30 ^ и30 сильно в X2(О), Е3 ^ Е слабо в Н2'0(О), (39)

Е3 ^ Е сильно в X2(О), и3! ^ слабо в Н^ДО), г = 1, 2.

2

П

П

П

п

П

2

2

2

На основании условий (39) доказывается, подобно доказательству теоремы 4.3 [8, с. 67-68], истинность интегральных тождеств (14)-(16).

3. Явный вид конфигурационного пространства. Так как обобщенное решение задачи (1)-(6) принадлежит тем функциональным пространствам из условий (13), по отношению к которым установлена слабая компактность множества приближенных решений, то при проведении вычислительных экспериментов с помощью метода Б.-Г. конфигурационное пространство Т для рассмотренной математической модели пластины определяется в виде (17).

Теорема доказана. □

Замечание. Для обобщенного решения задачи (1)-(6) можно установить большую гладкость по сравнению с той, которая гарантируется условиями из (13), однако, если сходимость численного метода, используемого при проведении вычислительных экспериментов, обоснована только по отношению к пространствам из условий (13), то при анализе результатов проведенных экспериментов в качестве конфигурационного пространства вновь следует рассматривать пространство в виде (17).

Библиографический список

1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М. : Наука, 1979. 432 с.

2. Вильке В. Г. Теоретическая механика. СПб. : Лань, 2003. 304 с.

3. Вильке В. Г. Аналитические и качественные методы механики систем с бесконечным числом степеней свободы. М. : Изд-во МГУ, 1986. 192 с.

4. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебания. М. : Наука, 1981. 568 с.

5. Шестаков А. А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М. : Наука, 1990. 320 с.

6. Кириченко В. Ф., Самаркин П. А. Качественный анализ эволюционных уравнений в неклассической теории пологих оболочек с начальными неправильностями //

Вестн. Сарат. гос. техн. ун-та. 2011. № 3 (57), вып. 1. С. 33-40.

7. Кириченко В. Ф., Самаркин П. А. Использование норм из фазового пространства при исследовании динамической устойчивости пологих оболочек // Вестн. Сарат. гос. техн. ун-та. 2011. № 4 (60), вып. 2. С. 7076.

8. Лионс Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М. : Мир, 1972. 587 с.

9. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М. : Наука, 1973. 408 с.

10. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М. : Мир, 1985. 590 с.

11. Сьярле Ф., Рабье П. Уравнения Кармана. М. : Мир, 1983. 172 с.

12. Ворович И. И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М. : Наука, 1989. 376 с.

Configuration Space in Second Boundary Value Problem of Non-classical Plate Theory

V. F. Kirichenko1, M. P. Misnik2, P. A. Samarkin1

1 Saratov State Technical University, Russia, 410054, Saratov, Politechnicheskaya st., 77, [email protected], [email protected]

2Saratov State University, Russia, 410012, Saratov, Astrahanskayast., 83, [email protected]

The article contains investigation of second boundary value problem for equilibrium equation «in mixed formulation» describing non-classical mathematical model for hinged isotropic and uniform plate under generalized Timoshenko hypothesis taking into account initial irregularities. For this problem for the first time were proved the existance of generalized solution and weak compactness of the set of approximate solutions obtained with Bubnov-Galerkin method using V. Z. Vlasov scheme. Basing on functional spaces used to study existance of generalized solution and to investigate convergence of Bubnov-Galerkin method, there was defined configuration space corresponding to the boundary value problem.

Key words: nonlinear partial differential equations, non-classical shell theory.

References

1. Arnold V. I. Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer-Verlag, 1989.

2. Vilke V. G. Theoretical Mechanics. Saint Petersburg, Lan', 2003 (in Russian).

3. Vilke V. G. [Analytical and qualitative methods in the

mechanics of systems with an infinite number of degrees of freedom]. Moscow, Izd-vo Moscow Univ. Press, 1986 (in Russian).

4. Andronov A. A., Vitt A. A., Khaikin S. E. Theory of Oscillators. Dover Publ., Inc., 1987.

5. Shestakov A. A. Obobshchennyy pryamoy metod Lyapunova dlya sistem s raspredelennymi parametrami. Moscow, Nauka, 2007. (in Russian).

6. Kirichenko V. F., Samarkin P. A. Kachestvennyy analys evolucionnih uravneniy v neklassicheskoy teorii obolochek c nachalnymy nepravilnostyami [Qualitative analysis of the evolution equations in nonclassical theory of shallow shells with initial irregularities]. Vestnik Saratov. gos. tekhn. univ., 2011, no. 3 (57). iss. 1, pp. 33-40 (in Russian).

7. Kirichenko V. F., Samarkin P. A. Ispolzovanie norm iz fazovogo prostranstva pri issledovanii dinamicheskoy ustoychivosti pologih obolochek [Application of the phase space norms in the analysis of dynamic buckling of shallow shells]. Vestnik Saratov. gos. tekhn. univ., 2011, no. 4 (60), iss. 2, pp. 70-76 (in Russian).

8. Lions J. L. Quelques méthodes de résolution des

problèmes aux limites non linéaires [Some methods for solving nonlinear boundary value problems, in French]. Paris, Dunod, 1969.

9. Ladyzhenskaya O. A. The Boundary Value Problems of Mathematical Physics. Applied Mathematical Sciences, 1985.

10. Rektoris K. Variacionnye metody v matematicheskoj fizike i tehnike [Variational Methods in Mathematical Physics and Engineering]. Moscow, Mir, 1985 (in Russian).

11. Ciarlet P. G., Rabier P. Les Equations de von Karman [Von Karman equations]. Springer, 1980 (in French).

12. Vorovich I. I. Matematicheskie problemy nelineynoy teorii pologih obolochek [Mathematical problems of nonlinear theory of Shallow Shells]. Moscow, Nauka, 1989 (in Russian).

УДК 531.38, 681.5

ДУАЛЬНЫЕ МАТРИЧНЫЕ И БИКВАТЕРНИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ ЗАДАЧ КИНЕМАТИКИ РОБОТОВ-МАНИПУЛЯТОРОВ НА ПРИМЕРЕ СТЭНФОРДСКОГО МАНИПУЛЯТОРА. I

Е. И. Ломовцева1, Ю. Н. Челноков2

1 Аспирант кафедры математического и компьютерного моделирования, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]

2Доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического и компьютерного моделирования, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]

На примере стэнфордского манипулятора рассматривается методология решения прямой задачи кинематики роботов-манипуляторов с использованием винтовых методов механики (матриц дуальных направляющих косинусов, бикватернионов Клиффорда), выводятся кинематические уравнения движения манипулятора, необходимые для решения обратной задачи кинематики манипулятора с использованием бикватернионной теории кинематического управления.

Ключевые слова: робот-манипулятор, прямая задача кинематики, матрица дуальных направляющих косинусов, бикватер-нион, кватернион, кинематические уравнения.

1. КИНЕМАТИЧЕСКАЯ СХЕМА И СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Стэнфордский манипулятор [1] представляет собой манипулятор с шестью степенями свободы: пятью вращательными и одной поступательной. В качестве обобщенных координат выступают углы ^ (г = 1, 2,4, 5,6) поворота г-го звена относительно (г - 1)-го и величина d3 — линейное поступательное перемещение 3 звена относительно 2. Схема манипулятора и вводимые системы координат приведены на рис. 1. На нем Х0У0— система координат, связанная с основанием манипулятора, X,У,Zi — система координат, связанная с г-м звеном манипулятора, ось направлена вдоль оси г-го сочленения; ось х перпендикулярна оси и направлена от нее; ось у, дополняет оси х, ^ до правой декартовой системы координат.

Относительное положение звеньев стэнфордского манипулятора может быть описано с помощью трех соответствующих каждому звену конструктивных геометрических параметров а,, di, приведенных в таблице.