CC BY
22
Вычислительные технологии
Том 9, № 1, 2004
О СХОДИМОСТИ МЕТОДА ЧАСТИЦ ДЛЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ*
Е. В. овчинникова Красноярский государственный технический университет, Россия
А. М. Франк
Институт вычислительного моделирования СО РАН,
Красноярск, Россия e-mail: frank@icm.krasn.ru
The first result on convergence for the particles method for incompressible fluid for the case of inner initial-boundary value problem for Navier — Stokes equations has been proven. The result is valid both in 2D and 3D, provided that the differential problem has a solution.
Введение
Метод частиц для несжимаемой жидкости как новый консервативный свободно-лагранжев метод был предложен около 10 лет назад [1]. Подробное его описание можно найти в [2]. Метод представляет собой некоторый специальный вариант метода Галеркина, в котором конвективный перенос осуществляется с помощью материальных частиц. Такой подход имеет ряд очевидных принципиальных достоинств. В частности, материальная производная вычисляется в лагранжевых переменных, поэтому основная схема метода (без внешних и поверхностных сил) полностью консервативна и безусловно устойчива. С другой стороны, массовые, внутренние и поверхностные силы вычисляются в естественных, т.е. эйлеровых, координатах. Использование частиц позволяет легко отслеживать границы раздела, причем произвольное изменение связности течения и границ не доставляет никаких дополнительных алгоритмических сложностей. Использование B-сплайнов в качестве базисных функций в методе Галеркина дает возможность проводить расчеты в областях с криволинейными и подвижными границами. Удачный выбор базисных функций часто позволяет получать хорошие результаты даже при очень грубом (с точки зрения традиционных конечно-разностных и конечно-элементных схем) пространственном разрешении. Примеры решенных двумерных и трехмерных задач для невязкой жидкости можно найти в [2]. Недавно метод был обобщен на случай вязких течений с поверхностным натяжением [3].
* Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования РФ, грант КЦФЕ для аспирантов А03-2.8-872.
© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2004.
Несмотря на определенные успехи в развитии метода и его применении к решению гидродинамических задач, вопрос о его сходимости оставался открытым. В настоящей статье доказана первая из таких теорем.
1. Постановка задачи
Рассмотрим следующую начально-краевую задачу для системы уравнений Навье — Сток-са:
щ + пкиХк - VДи = 0, ^у и = 0; (1)
и|5 = 0, и|4=° = а(х) (2)
в области Qт = П х (0, Т). Здесь П — ограниченная область с кусочно-гладкой границей Б. Относительно а(х) предположим
а1у а = 0, а|5 = 0. (3)
Мы будем иметь дело с обобщенным решением [4] задачи (1), (2). Обобщенное решение
3
задачи (1),(2) — это вектор-функция и(х, £), для которой интегралы / ^п4(х,£)йх рав-
П г=1
номерно ограничены при £ £ [0, Т], производные иХк, и4 существуют и квадратично суммируемы на Qт, а также выполнены условия
и = 0, и|5 = 0, и|4=о = а(х) (4)
и тождество
J (-uФt + VихФх - п^иФхк) (1х(И ^У иФ|4=т¿х - ! аФ|4=°йх = 0
п п
(5)
при любой Ф £ (Qт) П 3^т). Здесь пространство 3(П) = {и £ Ь2(П)| и = 0, и|5 = 0}. Скалярное произведение и норму в ¿2(П) будем обозначать ( , ) и || || соответственно. Под нормой производной будем понимать
\ 1/2
||их||2 = I |их|2^х, |их|= (пц.
Схема метода частиц с обсуждением особенностей численной реализации подробно изложена в [2, 3]. Здесь мы приведем лишь основные уравнения для случая простейшей дискретизации первого порядка по времени. В качестве базисных функций возьмем в гильбертовом пространстве Ж22(П) П Н(П) фундаментальную систему функций {ак (х)}, ортонормированную в Ь2(П). Пусть Ут — пространство, представляющее собой линейную оболочку функций {ак(х)}т1. В начальный момент времени £ = 0 аппроксимируем объем П конечной системой материальных частиц ик с координатами = ) и массами тк = ), к = 1,... , N. Зададим начальное распределение скорости у°(х) из Ут, аппроксимирующее поле а(х). Обозначим через т шаг по времени, а через й — максимальный линейный размер частиц. Положим по определению ((а(хп), Ъ(хп))) =
N
тка(х"(ек)) • Ъ(х"(£к)), [[а(хп)]]2 = ((а(х"),а(х"))). Тогда на каждом временном шаге
к=1
новое поле скоростей из Ут находится из системы уравнений
уп+1(хп+1) _ ^(х")
а(х"+1))) + V (К+Чх^1), а1х.(х"+1))) =0,
(6)
где I = 1,..., т, а частицы движутся в силу уравнения
х"+1(£к ) = х"(£к) + т ^(хп(£к)). 2. Априорные оценки
Сначала оценим норму поля скорости
т
уп(хп) = ^ Л"аг(х").
г=1
Умножим уравнения (6) на ЛЩ+1 и просуммируем I от 1 до т:
^п+1(хп+1) _ ^(х"),уга+1(хга+1^) + ит ((уп+1(хп+1),Уп+1(хга+1^ = 0. Используя тождество 2((а _ Ъ, а)) = [[а]]2 _ [[Ъ]]2 + [[а _ Ъ]]2, получим
[[уп+1(хп+1 )]]2 _ [^"(х")]]2 + [^"+1(х"+1) _ уга(хга)]]2 + 2ит[К+1(х"+1)]]2 = 0. Просуммировав по п от 0 до к _ 1, получим тождество
к1
к1
[[ук(хк)]]2 + ^ [[^(х*1) _ ^(х*)]]2 + 2*т£ [[^(х*1)]]2 = [[■
2- "V0]]2
(7)
г=0
г=0
из которого, в частности, следует безусловная устойчивость схемы. Для доказательства сходимости нам понадобится оценка на якобиан |дх"/д£| преобразования лагранжевых переменных в эйлеровы, поскольку при дискретизации по времени он перестает быть равным 1. Обозначим З"+1 якобиан преобразования |дх"+1 /дх"|, З" — якобиан преобразования |дх"/д£|. Очевидно
З
дх" д хп дх"— 1 д х1
де д х"—1 дх"—2 де
Справедливо следующее утверждение: Лемма 1. Если
т 1-£<
1
Т£ <
1
Т <
1
4Т' ' " 32^2(т)[И]2' 12^(т)[И] й < (24 • е6Т^(т)'
а
где
3 т
р2(т) = V У^шах(а! )2(х), М = тах |аг(
4 ' ^ ^ хепу ^ 0<1<т 1
^=1 г=1 х€ п
а ^(П) — объем области П, то:
1) х" = хп(£) — взаимно-однозначное преобразование П на П, обратное преобразование £ = £(х") принадлежит классу С1;
2) |хп| < е6Т^(т) [[V0]] ;
3) М|2 < 2(1 + т2-£)т/тИх")]]2;
4)
5)
< 2(1 + Т" ) 7 ||У(х"
д V"
— < 2^(т) [[V0]];
-1| < Т
2-£
Доказательство. (по индукции). Для п = 0 утверждения леммы очевидны, кроме п. 3 и 5. Приведенное ниже их доказательство по индукции верно (безусловно) и для п = 0. Пусть теперь п. 1-5 верны для п < к — 1, докажем их справедливость для п = к.
Для п. 1 достаточно показать, что х? = х?(х?-1) есть взаимно-однозначное отображение П на П. Сначала докажем "от противного", что х? = х?(х?-1) — это взаимнооднозначное отображение П на свою область значений П?.
Пусть Т < -;—чгг т1 и х?-1 = х?-1, а
* " 12^ (m)[[v0]] 1 ^ 2 '
х1-1 + т vfc-1(x^1) = х?-1 + ^^(х?-1),
|х?-1 — х2-1| = т^(х?-1) — vfc-1(xk-1)| <
< 6^(т)[И]т|х?-1 — х?-1| < 1 |х?-1 — х?-1| < |х?-1 — х?-1|.
Противоречие. Теперь покажем, что П С П. Пусть х?-1 € П. Обозначим расстояние от х?-1 до дП - 8. Поскольку vfc-1|дП = 0, то vfc-1(xkг-1) < 6^(т)[^0]]8. Тогда расстояние,
пройденное этой частицей за время т, меньше либо равно 6^(т)[^0]]т8 < ^8, следовательно, х1 € П для любого х?, что и требовалось доказать.
Далее, поскольку vfc-1|дП = 0, преобразование х? = х?(х?-1) переводит границу области П в себя, т.е. дП € П?. Осталось показать, что Ух € П \ дП уравнение
х = х + Т Vfc-1(x) (8)
разрешимо в П. Преобразуем уравнение (8) к виду
У = — ^-1(у + х) = <р(у). (9)
Обозначим 8 расстояние от х до дП. Нетрудно видеть, что при т < -:— ^(у)
12^ (m)[[v0]]
отображает шар В(0, 8) в себя и является сжимающим отображением. Следовательно, по теореме о неподвижной точке уравнение (9) имеет единственную неподвижную точку в В(0,8). А следовательно, уравнение (8) имеет корень в П. Таким образом, П С П?. А значит, П? = П. Так как якобиан 1 всюду отличен от 0, по теореме об обратном отображении х?-1 = х?-1^?) принадлежит классу С1 в окрестности каждой точки из П.
Для п. 2 оценим |хк |. Тогда
хк = хк—1 + Т vk—1(хк—1).
|хк| < |хк—1| + 3Тптах |^—1| • |х?к—1| < |х*—4(1 + 6^(m)[[v0]]т) <
Для п. 3 докажем, что
< (1 + 6^(т)[И]т)к < е6Т№
!М|2 < 2(1 + т2—£)Т/т[[v(xk)]]2.
(10)
Поскольку v принадлежит конечномерному пространству Ут, имеет место неравенство
акт|М|< [[v(xk)]] < вkm||v||,
где
N
а
кт
Ет^ Лга^(хк&))
£\?=1\ ,=1 \^=1
1=1
1/2
1/2
т£
М^ХП \г=1
5>а*(хк(е)) йе _ е
/ т \ 2 N / т \ 2
где Ек = Д Е Лга^(хк(е)) йе _ Е т, £ Лга*(хк&)) .
П \г=1 / ,=1 \г=1 /
Т/т
По предположению индукции Зк < (1 + т2—£) , тогда
т „ / т \ 2 „ / т
ЕЛ.2 = / Е^(х) йх = / ]>>а*(хк(е)) З0кйе <
г=1
,г=1
л=1
< (1 + Т2-Г / (Е^х"(е))) йе
. г=1
и, следовательно,
ЕЛ2
$>а<(х*(е))) йе > г=1
л=1
(1 + Т2—£)
Оценим сверху Ек:
|Ек |
N
Е
,=1
]>>а*(хк(е)) _ £ Лга*(хк&))
. г=1
. г=1
йе
N „ т
(11)
ЛгЛг[а*(хк(е)) (а1 (хк(е)) _ аг(хк&))) + а1 (хк&)) (а*(хк(е)) _ а*(хк&)))№
,=11 ^>1=1
<
т
2
1
2
т
2
2
т
т
м
< max |аг(х)| шax |а!| ■ й У^ |ЛДг| ■ 2 У 1 ■ йх <
0< Кт. 0< г<т. ?
, = 1
а (х) шах а,;
0<1<т 0<г<т
х£П г,1=1
т
< 6я(П)т шах |аг(х)| шах |а! ,(х)| ■ Л2 <
_ 0<г<т ' 4 /10<г<т Х 4 П ¿-^ г~
х£П хЕП 1=1
т
<
6 . е6^(т)[[у0]]тй^(П)М^(т) ^ Л2
г=1
Положив
й<
24 ■ е6Т^(т)[П]т^,(П)М^(т):
получим
ЕЛ?
? I ^ г=1
Е | <
<
ЕЛ.2
г=1
Теперь оценим снизу а
а=
Е А? = 1
¿=1
4 -2(1 + т2-£)т/Т'
^Л^х?(£)) й£ — Е
1/2
>
г=1
(
> т£
т
Е А|=1
¿=1
ЕЛ.2
г=1
ЕЛ2
г=1
\
1/2
(1 + т 2-£ )т/т 2(1 + Т 2-£)т/Т 1
^(1 + Т 2-£)т/2Т'
Отсюда непосредственно следует (10). Для п. 4
д v2
дж,
Ел?
г=0
тт 2
г=0 г=0
Поскольку Т1 £ < то и
т
Для п. 5
дж,
<£ (Л?)2£ «)2 <|И|2^2(т) <
2-£АТ/т ГГ, ,0112
( т) 1 + Т
< 4^2(m)[[v0]]2.
< 2^2(т) (1 + т2-£)Т/т (х?)]]2 < 2^2(т) (1 + т2-£)Т/т [[■ дv2 2
1п 2
v
дх?+1
д х?
ду? ду? 1 + т^ т- 1
дж1 дж2
ду? джз
Т
Т
д^2 дж1 ду?
джт
1 + т
ду? дж2
ду? ду? дж2 дж3
1 + т
ду? джз
(12)
(13)
т
1
2
т
т
2
2
т
1 + Р1 (дЖг) т2 + ^ (дХт) т3 < 1 + (24^2(т)[И]2т£ + 48Е3(т)[^0]]3т1+£) т2"£
Вместе с тем > 1 — (24Е2(т)Н]]2т£ + 48Е3(m)[[v0]]3т1+£) т2-£. Положив
Т£ < ———,гг и Т <
32Е2(т)[И]2 6Е (m)[[v0]]
получим
(24Е2(т)[И]2т£ + 48Е3(т)[И]3т1+£) < 1, и тем самым | ЦП+1 — 1| < т2-£. □
Следствие 1. В условиях леммы 1 — 1| < 2Тт1-£. Доказательство. Докажем, что < 1 + 2Тт1-£.
< (1 + Т2-£)Т = (1 + Т2-£)Тт 1-£ < еТт 1-£ < 1 + 2Тт1-£.
Аналогично доказывается, что > 1 — 2Тт1-£. □
При доказательстве сходимости численной схемы нам понадобится ряд неравенств, связывающих различные нормы функций из пространства Ут. Введем скалярное произведение в лагранжевых координатах ( , :
(а(хп), Ь(х»))с = / а(х"(£))Ь(хп(£))й£.
п
Соответственно, ||а||^ = (а, а)^.
Лемма 2. Если выполнены условия леммы 1, то и Vv € в П справедливы
неравенства:
1) К |< Е(m)||v||;
2) |vx¿xJ.|< Е1(т)|М|;
3) |v| ^VmM|М|;
4) ||v|| < 2Их»)]];
5)^|^(хга)||? < ||v|| < ^(хп)||?,
где Е(т), Е^т), М те же, что и в лемме 1.
Доказательство. Первые три неравенства очевидны. Четвертое — непосредственное следствие леммы 1. Пятое — доказывается так:
И|2 = / Ц>(хп)|2й£ < (1 + 2Тт 1-£)Нхга)|Ц < 2||v(xn)|||,
l|v||2 = / Ц>(хп)|2й£ > (1 — 2Тт1-£) ■ Нхга)|Ц > 1 |^(хга)|Ц.
□
3. Сходимость численной схемы.
Теорема 1. Пусть и(х,£) есть обобщенное решение задачи (1), (2) и функции а*(х) образуют базис в Н(П) и в Ь4(П), ортонормированный в Ь2(П). Если функции а* € С2(П) и нормы ||и«|| и ||иХ|| равномерно ограничены и, кроме того, функция и(х, £) такова, что ее ряд Фурье сходится в Н(П) равномерно по £ € [0,Т], то последовательность приближенных решений V сходится к и при т ^ 0, т ^ то, ^ ^ 0 и следующих ограничениях:
1
тГ(т) ^ 0, ттМ2Г\(т) ^ 0, тГ4(т) <
1024[И]4;
где
(т) + Г2(т)) • е6Т^(т)[^ ^ 0, ¿■е-<"'НК11.тд№(т) < ,
3 т
Г ^НЕЕ^ а* )2(х),
М = тах 1а1 (х)|,
0<1<т хбП
т3
?(т) = Е Е )2(
г=1
а ^(П) — объем области П.
Доказательство. Легко видеть, что при выполнении условий теоремы выполнены также условия леммы 1 с е = 1/2.
Обозначим и(т)(х,£) отрезок ряда Фурье функции и(х,£) по системе {а*(х)}т=1:
тт
(т)
и(т)(х,£) = ^(и(х,£), аг)аг = ^ сг(£)а\ Для и(т) справедливы равенства
= 2^с
г=1 г=1
ди(т)
' I V * ' Х& У ' V Хг ' х
м - Цт)и(т), аМ + V (иМ аХ^ = 1т1, (14)
где
1т = -V К - иХт), аХ^ + (и*и - и*т)и(т), <
Для дальнейших преобразований необходимо, чтобы в (14) скалярные произведения были теми же, что и в численной схеме, а именно дискретными. Перепишем уравнение (14) в следующем виде:
((^Т(хга+1,£га+1), а1 (х-1))) - ([4т)и(т)]Г+1), <) +
+v ((иХт) (хп+1,£п+1), аХг (хп+1))) = тт + ст+от, (15)
где /Щ = /ш (*п+1),
/~т
д и(ш) д*
(х«+1,^п+1), а! (хп+1) ) —
д и(ш)
(х,*п+1), аг(х) ) +
д*
(и(шш)(хп+1,*п+1), <(хп+1))? — V (иХШ)(х,*п+1), а^(х))
а
ди(ш) \\ /д и(ш)
п = ' ' ди (хп+1,*п+1), аг(хп+1) ) ) — (хп+1,Г+1), а!(хп+1) ) +
ш!
д*
д*
«
(иХШ) (хп+1,Г+1), < (хп+1))) — V (иХШ)(хп+1,*п+1), < (хп+1))£ .
Обозначим wn(x) = vn(x) — и(ш)(х,*п). Вычтем из (6) уравнение (15), результат умножим на Л"+1 — Сг(*п+1) и просуммируем по I от 1 до т. В итоге получим
wn+1 (хп+1) — wn(xn)
wn+1(xn+1
(хп+1))) + V (К+Чх^1),wn+1(,
.п+1
_ сп — Пп + Гп ш — ш — ш ш
(16)
где
ГШ = ((и(ш)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1 ))) — ([икш)и(ш)](*п+1), wn+1)
и(ш)(хп+1,*п+1) — и(ш)(хп,*п)
Т
^п+1(хп+1)
/Щ получится, если в /Щ вместо а! взять wn+1. То же с СЩ и фЩ.
Используя тождество 2((а — Ь, а)) = [[а]]2 — [[Ь]]2 + [[а — Ь]]2, получим
Т — [КГ + [^ — ^ ]Г + 2vт [[wn+1]]2 — 2т/п — 2тСЩ — 2тдщ + 2ТГ
гп т"
(17)
?
Теперь мы покажем, что все члены в правой части последнего уравнения стремятся к нулю быстрее, чем т. Член мал, поскольку при достаточно больших т мала разница между функцией и отрезком ее ряда Фурье. Остаток СЩ мал, поскольку якобиан преобразования |дхп+1/д£| мало отличается от 1. Значение мало вследствие малости а г" мал, так как мала разность между точным и приближенным значениями материальной производной. Приведем соответствующие оценки.
Оценка /П приведена в [4]:
|/П| < V||wn+1|| ■ ||и(Г+1) — и(ш)(Г+1)||я + |К+1||х
/3 2 \1/2
^£ У — и(ш)«ш)) < V||wn+1|| ■ ||и(*п+1) — и(ш)(*п+1)||я+
+ |К+1||( 6
3 Г 1/2
£ / и^х
_^=0 У
3 г ^ (
г=0 £
и,- — и
(тК4
1/2
+
+6
г=0 ^
(и5т))4^х
1/2
У^ / (и - И(т))4¿х
У=0 П
1/2
1/2
<
< С1 II • 1|и(£га+1) - и(т)(£га+1)||я.
Используя неравенство Юнга при е
V
16 С1
получим
|2т/т| < ^ |К+1||2 + т^1||и(£п+1) - и(т)(£п+1)||Н <
16С2
1 т I — 16 11 ^Х
VT
16 С12
< -г[К+1]]2 + т—1ИО - и(т)(Г+1)||Н.
V
Оценка Ст:
2т|ст| < 2т
(и(т)(хп+1,Г+1),- ^и(т)(х,£га+1),wn+1(x))
+
+2vт
Первое слагаемое
(иХтт)(хп+1,£п+1), wn+1(xn+1^ . - (иХтт)(х,£п+1), wn+1(x))
2т
(и(т)(хп+1 ,Г+1), wn+1(xn+1)) - (и(т)(х,Г+1), wn+1(x))
2т
^и(т)(хп+1,£п+1), (1 - ^^^(х^1)) ^
<
< 4Тт3/21|и(т) (хга+1, £га+1) ||^ • |^п+1(хп+1)||? < < 16Тт3/21|и(т) 1) || • [К+1(хга+1)]] <
< 4[К+¥ + С2Т2т2||и(т)(£п+1 )||2.
Второе слагаемое
2vт
(иХтт)(хп+1,£п+1), wn+1(xn+1)). - (иХтт)(х,£п+1), wn+1(x))
В итоге
2vт
(иХт^1,^1), (1 - ^^(х^1)) < 4vTт3/2||uХm)(xn+1,Г+1)||í • |К+1(хга+1 )||? < < ^Тт3/2||иХт)(Г+1)|| • [К+1 (хга+1)]] <
<
< X[К+1]]2 + CзvT2т2||иХт)(£п+1)||2.
Х 2
2т |ст|< 4[^п+1]]2 + ^ [К+1]]2 +
+С2Т 2т 2||и(т) (£га+1) ||2 + CзvT 2 т 2||иХт)(£п+1)||2.
Оценка д
п: ш:
2т|дш| < 2т
+2vт
и(ш)(хп+1,Г+1), wn+1(xn+1))) — (и(ш)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1)
+
((иХш)(хп+1,Г+1), wn+1(xn+1))) — (иХ?ш)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1))
Для а, Ь £ УЩ оценим разность:
(а(хп), Ь(хп))г — ((а(хп), Ь(хп)))
N
£ / [ап(хп(£))Ьп(хп(£)) — ап(хп(£к))Ьп(хп(£к))] ¿£
к=1
N
Е
к=1
ап(хп(£)) [Ьп(хп(£)) — Ьп(хп(£к))] + Ьп(хп(£к)) [ап(хп(£)) — ап(хп(£к))] ¿£
<
<
3шах |ЬЖг | ■ |х"М / |а(хп(£))|^£ + 3шах |аЖг | ■ |Ь(хп(£к)Ж <
г,У ' / г, У &
к=1
< 3шах |ЬЖг| ■ |хП|^л/^^||а(хп)||? + 3шах |аЖг| ■ ^М^/ЙШ^х")]]. (19)
г,У г,а
Из (19) следует оценка первого слагаемого в выражении для ф
п ш
2т
и(ш)(хп+1 ,^п+1), wn+1(xn+1))) — (и(ш)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1)
< 6тшах ■ |хП+1|^^^(П)||и(ш)(хп+1)||?+
+6тплах |и(Щ) | ■ ¡хП+^^МК+Чх^1)]] <
< 12^2т^(т) ■ е6Т^(ш)íív0]]^v/^(^У[[wn+1]] ■ ||и(ш)|| + +6т^(т)||и(ш)|| ■ е6Т^ш)[[^^Л/МП)[К+1 (хп+1)]] < < 4[К+1]]2 + 288т^2(т) ■ е12№(ш)[[^2М^) ■ ||и(ш)||2+
<
^[^Ч]2 + 36т^2(т) ■ е12Т^(ш)[^° ||и(ш)||2.
Второе слагаемое
2vт
((иХ?ш)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1))) — (иХ?ш)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1))
<
< 18vтшах ^| ■ |хП+1|^Л/^(^)||иХш)(хп+1)||?+
+ 18*г шах |и(Ш). | ■ [хП+^х/МЩНП+^х"")]] < < ^т^М^^Н ■ е6Т^(ш)[["0]1^Л/^(^)||иХш)(хп+1)||?+
е
п
е
е
+ ^тГ\(т)||и(т)|| • е6Т^(т)[[^л/МЩК+1(хп)]] <
< ]]2 + C5V2тF12(m) • е12Т^(т)^0"^(П) • ||иХт)||2
+
+^[К+1]]2 + C6VтF12(m) • е12Т^(т)[[^2МП)||и(т)||2.
Возвращаясь к От, получим
2т |от|< 3т [^+1]]2 + ^ [^п+1]]2 +
+С4тГ2(т) • е1г№(т)[[^^(П) • ||и(т)||2 + +C5V2тF12(m) • е12Т№(т)^2^(П) • ||иХт)||2 + +C6VтF12(т) • е12Т^(т)^2МП)||и(т)||2.
(20)
Оценка г
п :
т:
и(т)(хп+1,£п+1), wn+1(xn+1
- ([и(т)и(т)КГ+1), wn+1)
и(т)(хп+1,£п+1) - и(т)(хп,£п)
т
^п+1(хп+1)
где
и(т)(хп+1 /«+1) _ и(т)(хп /П) , N
^^-^ и (х ) = и( (хп+1,*п+1) + vп(хп)иХ?т)(хп+1,£п+1
рт = П0,пт + vn(xn)n!'nm + vn(xn)vn(xn)n2:Гm;
п т,
3 ( ) 3 |п0'пт|2 = £ (п0,пт)2 < £ т ах (иСт)(х,
г=1 .сп
г=1
ЙТ < Е т1ах+1 (х,£)) ;
г=1 хбП
Таким образом,
|П2ПТ <£ тах № (х,*))
г=1 .сп
хСП
2т|тт|< 2т2 |(«, wn+1) )| +
+2т
(^П(хп)иХтт)(хп+1 ,*п+1), wn+1(xn+1))) + ([и(т)и(т)](*п+1), wnfc+1) «^Х?)(хп+1,*п+1), wn+1)) - ^пиХт)(хп+1,Г+1), wn+1)
<
2т
+
+2т +2т +2т
((vn - vn+l)uХmm )(хп+1,*п+1), wn+l)
vn+1uХm), wn+1) ? - ^п+1иХт), wn+1
+ +
vn+1u(m), wn+1
к Хк 1
) + ([4т)и(т)](*п+1), wn+l)
+
п
т
т
а
2
3
3
2
+2т2 К (рЩ, wn+1)) | .
Первое слагаемое
2т
((^п(хп)иХ?ш)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1))) — (^п(хп)иХ?ш)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1)) < 6тптах ^П+Ч ■ |хП+1|Л |<и(ш)К+
<
+6т
пах (|vn| ■ ищ» ^|хп+1|+ппах (|v^ | ■ |ихщ■ ^
¿л/МЛ)^1^1)]] <
< 6т^(m)||wn+1|| ■ е6Т^(ш)[["°]ЦК||е ■ ||иХш)||е+ тМЛ(т) + ^2(т)) ||vn|| ■ ||и(ш)|| ■ е6Т^^^^МЩ^1^1)]] <
< Т[[wn+1]]2 + С7Т^2(т)^2 ■ е12Т^(ш)^0]][[vn]]2 ■ ||и£ш)||2+
+ 4[^п+1]]2 + С8т (^М*\(т) + ^2(т))2 ■ е12Т^(ш)[[^2^)[И]2 ■ ||и(ш)||2 Второе слагаемое
^"(хп) — ^п+1(хп+1 ))иХщ)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1))
<
< 2т шах |wn+1| ■ / (^п+1 — ^п)иХщ)
п
,п+1|| 11 п+1 п
<
< 2т^М||wn+1|| ■ — v
Третье слагаемое
||е ■ ||иХш)||е < Т[[wn+1]]2 + с9т[[vn+1 — vn]]2 ■ ||и(ш)||2
2т
(^п+1(хп+1 )иХщ)(хп+1 ,*п+1), wn+1(xn+1)) е — (^п+1иХ?ш)(*п+1), wn+1)
2т
([^П+1иХШШ)](хп+1,*п+1), (^ — ^^(х^1))
<
< 4Тт3/2 щах |wn+1 (х)^ К+ЧЩ^х^Г^М <
П
< 4Тт3/2^М||wn+1|| ■ Н+^х^1)^ ■ ||и£ш)(хп+1,*п+1)||е <
41
Четвертое слагаемое 2т
= 2т
< т[[wn+1]]2 + СютМ2^2^1]]2 ■ ||иХш)(*п+1)||2.
V п+1иХ?Ш), wn+1
) + ([и(ш)и(ш)](*п+1), wn+1) (^и(ш), wn+1) — ([и(ш)и(ш)](*п+1),wn+1)
2т | (шП+1и(ш)(*п+1), wnfc+1) | < 2т||wn+1||
^п+1и(ШМ ¿х
г, к=0
1/2
<
е
е
е
е
< 2т|K+1|H|wn+1|k(n) ■ ||u(m)(Г+1|к(п) < < 16 ■ 3-3/2т ■ ||u(m)(ira+1||L4(Q) ■ ||w£+1|| ■ ||wn+1||3/4 ■ ||wn+1||1/4 <
< 64 ■ 3-3/2т ■ ||u(m)(tn+1||L4(n) ■ [[w^1]] + ^[[wn+1]]
Выбрав
33/8 • v3/4
8||u(m)(tn+1||L/44(0)
получим
12т (<+1u(m)(r+1),wnfc+1)| < -т[[wn+1]]2 + Ct||u(m)(in+1||4L4(Q)[[wn+1]] ■ [[wn+1 ]] <
< VT [[wn+1]]2 + -T [[wn+1]]2 + C2||u(m)(tn+1||444(Q)T [[wn+1]]2.
VT
'x JJ LLW x JJ ^^ IIй' Ч1- 1144(0)
Пятое слагаемое
|2T2((pm, wn+1))| < 2t2|((n°'ram, wn+1))| + +2T2|((vnnk'nm, wn+1))| + 2t 2|(vnv™n2;nm, wn+1)? |;
2t2|((n°'nm, wn+1))| < 6t3[[n°'nm]]2 + T[[wn+1]]2 <
6
< 6т3^)Е max (u^x,*)) + 6[[wn+1]]2, t€[in,in+11\ " /6 i=1 xen
2t2|((vnnk,nm,wn+1))|< 2T2
\
E max+. (4:k м) ■ [[vn]] ■ [[wn+1]] <
k>i=1 xen
< 6т3 £ max (u^ (x,t))2[[vn]]2 + 6[[wn+1 ]]2, te[tn,tn+1^ k / 6
k>i=1 xen
2т2|((«ПГ,wn+1))| <
< 6t2 max |vn|
x€0
n 12 |
3 2 _
E Klmx+,l «Xk <
i,j,fc=1 xen
< 6[[wn+1]]2 + 36т3т2М4 £ max («С™Xk (x, t)) [[vn]]4.
6 te[tn,tn+1^ XjXk /
i,j,fc=1 xen
xe n
Таким образом,
3 2
|2t2((p:,wn+1))| < 2[[wn+1]]2 + 6т3^) J] max («tW)) +
i=1 xen
3 2 3 2 +6т3V max (u(:) (x,t))[[vn]]2 + 36т3m2M4V max (x,t)) [[vn]]4.
^ te[t",t"+i| V H)ky V LL JJ te[t",t"+i| V lxixky V LL JJ
k>i=1 xen i,j,k=1 xen
3
3
Подставив полученные оценки в (17) и просуммировав по п от 0 до I — 1, получим г- / 5 \ г- 13
М]2 + £ [[wn+1 — wn]]2 < - + С2 тах ^(¿^(п) £ т[[wn+1 ]]2 + £ Я*, (21)
п=0 ^ [ ' п=0 ^=1
где
1-1 1 6С 2
= ^ Т^||и(*п+1) — и(ш)(*п+1)||Н,
п=0
I-1
я2 = С2Т 2Т ||и(ш)(*
2Т2 ||и(ш)(*п+1)||2
п=0
г-1
?3 = С^Т2Т2 V ||иХш)(*п+1)||2
Я3 = CзvT2Т^ ||иХш) (*
п=0
г-1
Д4 = С4^2(т) ■ е12№(ш)[[^]т||и(ш)(*п+1)||2
п=0
г-1
Я5 = С5V2^2(т) ■ е12№(ш)[[^2М^) £Т||иХш)(*п+1)||2
п=0
г-1
Д6 = С6^2(т) ■ е12№(ш)[[^2^) £т||и(ш)(*п+1)||2,
п=0
г-1
Яг7 = Сг^2(т) ■ е12№(ш)[[^2 £ Т[К]]2 ■ ||иХш)(Г+^И2
п=0
г-1
Я8 = С^^М^(т) + ^2(т))2 ■ е12Т^(ш)[[^2^) £ Т[^п]]2 ■ ||и(ш)(*п+1)||2
п=0
г-1
= свт£ [[vn+1 — vn]]2 ■||иХш)(*п+1)||2,
п=0
г-1
Я!0 = СютМ2Т2Т2 [[vn+1]]2 ■ ||и£ш)(*п+1)||2
п=0
3 2
Я1п = 6Тт2МП) £ пах (и<Щ) (х,*)) ,
г=1 хЕП
3 ( ) 2 г-1
^ = 6Т2£ ^ц (и'Ш'к М)) £ Т[К']]2,
к,г=1 хЕп п=0
3 ( ) 2 г-1
Я13 = 36т2т2М4 V пах Ги(ш) (х,*)) V т[И]4.
13 ^ ге [4",4"+1 ] V ^ / ^
г,^,к=1 хЕП п=0
Следуя [4], обозначим через Рт оператор проектирования, ставящий в соответствие любой функции <^(х) отрезок ряда Фурье по системе ак (х) , а именно
т
= ^ (р, а*)а\
¿=1
Легко видеть, что Рт являются ограниченными операторами в пространствах Н(П) и ¿4(П). С другой стороны, они сходятся к единичному оператору на любом из элементов этих пространств. Поэтому в силу теоремы Банаха — Штейнгауза их нормы в обоих пространствах будут ограничены в совокупности: ||Рт||н(п) < С11 и ||Рт||ь4(п) < с12. Это дает для и(т)(х,£) оценки
||и(т)(х,£)||Я(п) = ||Рти||н(п) < Сп||и(х,*)||Н(п); (22)
||и(т)(х,^)||Ь4(п) < С12||и(М)||Ь4(п). (23)
3
Так как для обобщенного решения и(х, £) норма в Н и интегралы [ ^ и4(х,£)^х рав-
п ¿=1
номерно ограничены при £ £ [0, Т], из (22), (23) следует, что равномерно ограничены
3
||и(т)(х,£)||Н(п) и интегралы /Е и(т)(х,£)
п ¿=1 1
Теперь, отбросив второе и третье слагаемое левой части (21) и учитывая, что [^0]] = 0, получим неравенство, из которого известным образом (разностный аналог леммы Грону-олла) выводится оценка
12
М2 < С1з£ Я (24)
.7 = 1
4
¿х.
с постоянной С13, зависящей лишь от Т. Остается показать, что ^ Я. ^ 0 при т ^ 0,
13 . =1
^ 0 и т ^ то.
Поскольку по условию теоремы при т ^ то и(т)(х, £) сходятся к и(х, £) в норме Н(П)
равномерно по £ £ [0,Т],
1-1
Я = ^ т||и(Г+1) - и(т)(£г+1)||Н ^ 0, при т ^ то.
¿=0
Норма
и(т)(хг+1, £г+1) < ||и4(Г+1)||2, а ||и4|| ограничена константой, не зависящей от следовательно, Я2 ^ 0 при т ^ 0.
Согласно (22), ||и£т)(£га+1)||2 < С2||иж(£га+1)||2. Норма ||их|| равномерно ограничена, следовательно, Я3 ^ 0, при т ^ 0. Далее
Я4 ^ 0 при Г2(т) ■ е12Т^(т)[[-0]]^2 ^ 0, Я5 ^ 0 при Г2(т) ■ е12Т^(т)[[-0]]^2 ^ 0, Я6 ^ 0 при Г2(т) ■ е12Т^(т)[[-0]]^2 ^ 0.
Поскольку [[vn]] < [[v0]], а ||uXm)(tra+1 )||, как уже было отмечено ранее, равномерно ограничена, Л7 ^ 0 при F2 (m) ■ e12TF(m)[[v°]]d2 ^ 0. Аналогично
R ^ 0 при (V™MFi(m) + F2(m))2 ■ e12TF(m)[[v°]]d2 ^ 0. i-i
Как следует из (7), £ [[vn+1 - vn]]2 < [[v0]]2. А значит, R ^ 0 при т ^ 0.
n=0
Далее
R10 ^ 0 при ттМ2 ^ 0, R11 ^ 0 при т2mM2 ^ 0,
поскольку
max fu,(m)(x,i^ < mM2 max Hu^H2 < mM2 max ||uJ|2;
ie[0,T] V ш У '7 " ie[0,T]M 11 - ie[0,T] 11 11 '
хбП
R12 ^ 0 при т2 F2 (m) ^ 0, так как
max (V(m) (x,t))2 < F2(m) max ||u(m) ||2 < F2(m) max ||ut||2. te[0,T] V itxfc / " ie[0,T^M 1 11 _ V ie[0,T] 11 m
xÊfi
Аналогично R13 ^ 0 при т2m2M4F2(m) ^ 0.
Из вышеизложенного следует, что при выполнении условий теоремы все будут стремиться к нулю. Тем самым мы получим равномерное по t стремление к нулю нормы [[wn+1]], в силу леммы 2 стремление к нулю нормы ||wn+1||. Теорема доказана. □
В заключение отметим, что сформулированные в теореме ограничения на шаг т представляются излишне жесткими. Практика численных расчетов показывает, что из соображений точности шаг т должен быть порядка 1/m. Пока такой результат получить не удается в силу отсутствия равномерной оценки на производные решений. Тем не менее мы надеемся в дальнейшем существенно ослабить достаточные условия сходимости, а также обобщить этот результат на случай неортогональных базисных функций, которые используются в реальных расчетах.
Список литературы
[1] Франк А.М., Огородников Е.И. Метод частиц для несжимаемой жидкости // Докл. РАН. 1992. Т. 326, № 6. С. 958-962.
[2] Франк А.М. Дискретные модели несжимаемой жидкости. М.: Физматлит, 2001.
[3] FRANK A.M. 3D numerical simulation of regular structure formation in a locally heated falling film // Europ. J. Mech. B/Fluids. 2003. Vol. 22. P. 445-471.
[4] Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1961.
Поступила в редакцию 30 октября 2003 г., в переработанном виде —15 декабря 2003 г.
