Научная статья на тему 'О сходимости метода частиц для несжимаемой жидкости'

О сходимости метода частиц для несжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
69
23
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Овчинникова Е. В., Франк А. М.

Доказан первый результат о сходимости метода частиц для несжимаемой жидкости в случае внутренней краевой задачи для уравнений Навье Стокса. Результат справедлив как в двух, так и трехмерном случае при условии существования решения исходной дифференциальной задачи.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On convergence for the particles method for incompressible fluid

The first result on convergence for the particles method for incompressible fluid for the case of inner initial-boundary value problem for Navier Stokes equations has been proven. The result is valid both in 2D and 3D, provided that the differential problem has a solution.

Текст научной работы на тему «О сходимости метода частиц для несжимаемой жидкости»

Вычислительные технологии

Том 9, № 1, 2004

О СХОДИМОСТИ МЕТОДА ЧАСТИЦ ДЛЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ*

Е. В. овчинникова Красноярский государственный технический университет, Россия

А. М. Франк

Институт вычислительного моделирования СО РАН,

Красноярск, Россия e-mail: [email protected]

The first result on convergence for the particles method for incompressible fluid for the case of inner initial-boundary value problem for Navier — Stokes equations has been proven. The result is valid both in 2D and 3D, provided that the differential problem has a solution.

Введение

Метод частиц для несжимаемой жидкости как новый консервативный свободно-лагранжев метод был предложен около 10 лет назад [1]. Подробное его описание можно найти в [2]. Метод представляет собой некоторый специальный вариант метода Галеркина, в котором конвективный перенос осуществляется с помощью материальных частиц. Такой подход имеет ряд очевидных принципиальных достоинств. В частности, материальная производная вычисляется в лагранжевых переменных, поэтому основная схема метода (без внешних и поверхностных сил) полностью консервативна и безусловно устойчива. С другой стороны, массовые, внутренние и поверхностные силы вычисляются в естественных, т.е. эйлеровых, координатах. Использование частиц позволяет легко отслеживать границы раздела, причем произвольное изменение связности течения и границ не доставляет никаких дополнительных алгоритмических сложностей. Использование B-сплайнов в качестве базисных функций в методе Галеркина дает возможность проводить расчеты в областях с криволинейными и подвижными границами. Удачный выбор базисных функций часто позволяет получать хорошие результаты даже при очень грубом (с точки зрения традиционных конечно-разностных и конечно-элементных схем) пространственном разрешении. Примеры решенных двумерных и трехмерных задач для невязкой жидкости можно найти в [2]. Недавно метод был обобщен на случай вязких течений с поверхностным натяжением [3].

* Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования РФ, грант КЦФЕ для аспирантов А03-2.8-872.

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2004.

Несмотря на определенные успехи в развитии метода и его применении к решению гидродинамических задач, вопрос о его сходимости оставался открытым. В настоящей статье доказана первая из таких теорем.

1. Постановка задачи

Рассмотрим следующую начально-краевую задачу для системы уравнений Навье — Сток-са:

щ + пкиХк - VДи = 0, ^у и = 0; (1)

и|5 = 0, и|4=° = а(х) (2)

в области Qт = П х (0, Т). Здесь П — ограниченная область с кусочно-гладкой границей Б. Относительно а(х) предположим

а1у а = 0, а|5 = 0. (3)

Мы будем иметь дело с обобщенным решением [4] задачи (1), (2). Обобщенное решение

3

задачи (1),(2) — это вектор-функция и(х, £), для которой интегралы / ^п4(х,£)йх рав-

П г=1

номерно ограничены при £ £ [0, Т], производные иХк, и4 существуют и квадратично суммируемы на Qт, а также выполнены условия

и = 0, и|5 = 0, и|4=о = а(х) (4)

и тождество

J (-uФt + VихФх - п^иФхк) (1х(И ^У иФ|4=т¿х - ! аФ|4=°йх = 0

п п

(5)

при любой Ф £ (Qт) П 3^т). Здесь пространство 3(П) = {и £ Ь2(П)| и = 0, и|5 = 0}. Скалярное произведение и норму в ¿2(П) будем обозначать ( , ) и || || соответственно. Под нормой производной будем понимать

\ 1/2

||их||2 = I |их|2^х, |их|= (пц.

Схема метода частиц с обсуждением особенностей численной реализации подробно изложена в [2, 3]. Здесь мы приведем лишь основные уравнения для случая простейшей дискретизации первого порядка по времени. В качестве базисных функций возьмем в гильбертовом пространстве Ж22(П) П Н(П) фундаментальную систему функций {ак (х)}, ортонормированную в Ь2(П). Пусть Ут — пространство, представляющее собой линейную оболочку функций {ак(х)}т1. В начальный момент времени £ = 0 аппроксимируем объем П конечной системой материальных частиц ик с координатами = ) и массами тк = ), к = 1,... , N. Зададим начальное распределение скорости у°(х) из Ут, аппроксимирующее поле а(х). Обозначим через т шаг по времени, а через й — максимальный линейный размер частиц. Положим по определению ((а(хп), Ъ(хп))) =

N

тка(х"(ек)) • Ъ(х"(£к)), [[а(хп)]]2 = ((а(х"),а(х"))). Тогда на каждом временном шаге

к=1

новое поле скоростей из Ут находится из системы уравнений

уп+1(хп+1) _ ^(х")

а(х"+1))) + V (К+Чх^1), а1х.(х"+1))) =0,

(6)

где I = 1,..., т, а частицы движутся в силу уравнения

х"+1(£к ) = х"(£к) + т ^(хп(£к)). 2. Априорные оценки

Сначала оценим норму поля скорости

т

уп(хп) = ^ Л"аг(х").

г=1

Умножим уравнения (6) на ЛЩ+1 и просуммируем I от 1 до т:

^п+1(хп+1) _ ^(х"),уга+1(хга+1^) + ит ((уп+1(хп+1),Уп+1(хга+1^ = 0. Используя тождество 2((а _ Ъ, а)) = [[а]]2 _ [[Ъ]]2 + [[а _ Ъ]]2, получим

[[уп+1(хп+1 )]]2 _ [^"(х")]]2 + [^"+1(х"+1) _ уга(хга)]]2 + 2ит[К+1(х"+1)]]2 = 0. Просуммировав по п от 0 до к _ 1, получим тождество

к1

к1

[[ук(хк)]]2 + ^ [[^(х*1) _ ^(х*)]]2 + 2*т£ [[^(х*1)]]2 = [[■

2- "V0]]2

(7)

г=0

г=0

из которого, в частности, следует безусловная устойчивость схемы. Для доказательства сходимости нам понадобится оценка на якобиан |дх"/д£| преобразования лагранжевых переменных в эйлеровы, поскольку при дискретизации по времени он перестает быть равным 1. Обозначим З"+1 якобиан преобразования |дх"+1 /дх"|, З" — якобиан преобразования |дх"/д£|. Очевидно

З

дх" д хп дх"— 1 д х1

де д х"—1 дх"—2 де

Справедливо следующее утверждение: Лемма 1. Если

т 1-£<

1

Т£ <

1

Т <

1

4Т' ' " 32^2(т)[И]2' 12^(т)[И] й < (24 • е6Т^(т)'

а

где

3 т

р2(т) = V У^шах(а! )2(х), М = тах |аг(

4 ' ^ ^ хепу ^ 0<1<т 1

^=1 г=1 х€ п

а ^(П) — объем области П, то:

1) х" = хп(£) — взаимно-однозначное преобразование П на П, обратное преобразование £ = £(х") принадлежит классу С1;

2) |хп| < е6Т^(т) [[V0]] ;

3) М|2 < 2(1 + т2-£)т/тИх")]]2;

4)

5)

< 2(1 + Т" ) 7 ||У(х"

д V"

— < 2^(т) [[V0]];

-1| < Т

2-£

Доказательство. (по индукции). Для п = 0 утверждения леммы очевидны, кроме п. 3 и 5. Приведенное ниже их доказательство по индукции верно (безусловно) и для п = 0. Пусть теперь п. 1-5 верны для п < к — 1, докажем их справедливость для п = к.

Для п. 1 достаточно показать, что х? = х?(х?-1) есть взаимно-однозначное отображение П на П. Сначала докажем "от противного", что х? = х?(х?-1) — это взаимнооднозначное отображение П на свою область значений П?.

Пусть Т < -;—чгг т1 и х?-1 = х?-1, а

* " 12^ (m)[[v0]] 1 ^ 2 '

х1-1 + т vfc-1(x^1) = х?-1 + ^^(х?-1),

|х?-1 — х2-1| = т^(х?-1) — vfc-1(xk-1)| <

< 6^(т)[И]т|х?-1 — х?-1| < 1 |х?-1 — х?-1| < |х?-1 — х?-1|.

Противоречие. Теперь покажем, что П С П. Пусть х?-1 € П. Обозначим расстояние от х?-1 до дП - 8. Поскольку vfc-1|дП = 0, то vfc-1(xkг-1) < 6^(т)[^0]]8. Тогда расстояние,

пройденное этой частицей за время т, меньше либо равно 6^(т)[^0]]т8 < ^8, следовательно, х1 € П для любого х?, что и требовалось доказать.

Далее, поскольку vfc-1|дП = 0, преобразование х? = х?(х?-1) переводит границу области П в себя, т.е. дП € П?. Осталось показать, что Ух € П \ дП уравнение

х = х + Т Vfc-1(x) (8)

разрешимо в П. Преобразуем уравнение (8) к виду

У = — ^-1(у + х) = <р(у). (9)

Обозначим 8 расстояние от х до дП. Нетрудно видеть, что при т < -:— ^(у)

12^ (m)[[v0]]

отображает шар В(0, 8) в себя и является сжимающим отображением. Следовательно, по теореме о неподвижной точке уравнение (9) имеет единственную неподвижную точку в В(0,8). А следовательно, уравнение (8) имеет корень в П. Таким образом, П С П?. А значит, П? = П. Так как якобиан 1 всюду отличен от 0, по теореме об обратном отображении х?-1 = х?-1^?) принадлежит классу С1 в окрестности каждой точки из П.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Для п. 2 оценим |хк |. Тогда

хк = хк—1 + Т vk—1(хк—1).

|хк| < |хк—1| + 3Тптах |^—1| • |х?к—1| < |х*—4(1 + 6^(m)[[v0]]т) <

Для п. 3 докажем, что

< (1 + 6^(т)[И]т)к < е6Т№

!М|2 < 2(1 + т2—£)Т/т[[v(xk)]]2.

(10)

Поскольку v принадлежит конечномерному пространству Ут, имеет место неравенство

акт|М|< [[v(xk)]] < вkm||v||,

где

N

а

кт

Ет^ Лга^(хк&))

£\?=1\ ,=1 \^=1

1=1

1/2

1/2

т£

М^ХП \г=1

5>а*(хк(е)) йе _ е

/ т \ 2 N / т \ 2

где Ек = Д Е Лга^(хк(е)) йе _ Е т, £ Лга*(хк&)) .

П \г=1 / ,=1 \г=1 /

Т/т

По предположению индукции Зк < (1 + т2—£) , тогда

т „ / т \ 2 „ / т

ЕЛ.2 = / Е^(х) йх = / ]>>а*(хк(е)) З0кйе <

г=1

,г=1

л=1

< (1 + Т2-Г / (Е^х"(е))) йе

. г=1

и, следовательно,

ЕЛ2

$>а<(х*(е))) йе > г=1

л=1

(1 + Т2—£)

Оценим сверху Ек:

|Ек |

N

Е

,=1

]>>а*(хк(е)) _ £ Лга*(хк&))

. г=1

. г=1

йе

N „ т

(11)

ЛгЛг[а*(хк(е)) (а1 (хк(е)) _ аг(хк&))) + а1 (хк&)) (а*(хк(е)) _ а*(хк&)))№

,=11 ^>1=1

<

т

2

1

2

т

2

2

т

т

м

< max |аг(х)| шax |а!| ■ й У^ |ЛДг| ■ 2 У 1 ■ йх <

0< Кт. 0< г<т. ?

, = 1

а (х) шах а,;

0<1<т 0<г<т

х£П г,1=1

т

< 6я(П)т шах |аг(х)| шах |а! ,(х)| ■ Л2 <

_ 0<г<т ' 4 /10<г<т Х 4 П ¿-^ г~

х£П хЕП 1=1

т

<

6 . е6^(т)[[у0]]тй^(П)М^(т) ^ Л2

г=1

Положив

й<

24 ■ е6Т^(т)[П]т^,(П)М^(т):

получим

ЕЛ?

? I ^ г=1

Е | <

<

ЕЛ.2

г=1

Теперь оценим снизу а

а=

Е А? = 1

¿=1

4 -2(1 + т2-£)т/Т'

^Л^х?(£)) й£ — Е

1/2

>

г=1

(

> т£

т

Е А|=1

¿=1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ЕЛ.2

г=1

ЕЛ2

г=1

\

1/2

(1 + т 2-£ )т/т 2(1 + Т 2-£)т/Т 1

^(1 + Т 2-£)т/2Т'

Отсюда непосредственно следует (10). Для п. 4

д v2

дж,

Ел?

г=0

тт 2

г=0 г=0

Поскольку Т1 £ < то и

т

Для п. 5

дж,

<£ (Л?)2£ «)2 <|И|2^2(т) <

2-£АТ/т ГГ, ,0112

( т) 1 + Т

< 4^2(m)[[v0]]2.

< 2^2(т) (1 + т2-£)Т/т (х?)]]2 < 2^2(т) (1 + т2-£)Т/т [[■ дv2 2

1п 2

v

дх?+1

д х?

ду? ду? 1 + т^ т- 1

дж1 дж2

ду? джз

Т

Т

д^2 дж1 ду?

джт

1 + т

ду? дж2

ду? ду? дж2 дж3

1 + т

ду? джз

(12)

(13)

т

1

2

т

т

2

2

т

1 + Р1 (дЖг) т2 + ^ (дХт) т3 < 1 + (24^2(т)[И]2т£ + 48Е3(т)[^0]]3т1+£) т2"£

Вместе с тем > 1 — (24Е2(т)Н]]2т£ + 48Е3(m)[[v0]]3т1+£) т2-£. Положив

Т£ < ———,гг и Т <

32Е2(т)[И]2 6Е (m)[[v0]]

получим

(24Е2(т)[И]2т£ + 48Е3(т)[И]3т1+£) < 1, и тем самым | ЦП+1 — 1| < т2-£. □

Следствие 1. В условиях леммы 1 — 1| < 2Тт1-£. Доказательство. Докажем, что < 1 + 2Тт1-£.

< (1 + Т2-£)Т = (1 + Т2-£)Тт 1-£ < еТт 1-£ < 1 + 2Тт1-£.

Аналогично доказывается, что > 1 — 2Тт1-£. □

При доказательстве сходимости численной схемы нам понадобится ряд неравенств, связывающих различные нормы функций из пространства Ут. Введем скалярное произведение в лагранжевых координатах ( , :

(а(хп), Ь(х»))с = / а(х"(£))Ь(хп(£))й£.

п

Соответственно, ||а||^ = (а, а)^.

Лемма 2. Если выполнены условия леммы 1, то и Vv € в П справедливы

неравенства:

1) К |< Е(m)||v||;

2) |vx¿xJ.|< Е1(т)|М|;

3) |v| ^VmM|М|;

4) ||v|| < 2Их»)]];

5)^|^(хга)||? < ||v|| < ^(хп)||?,

где Е(т), Е^т), М те же, что и в лемме 1.

Доказательство. Первые три неравенства очевидны. Четвертое — непосредственное следствие леммы 1. Пятое — доказывается так:

И|2 = / Ц>(хп)|2й£ < (1 + 2Тт 1-£)Нхга)|Ц < 2||v(xn)|||,

l|v||2 = / Ц>(хп)|2й£ > (1 — 2Тт1-£) ■ Нхга)|Ц > 1 |^(хга)|Ц.

3. Сходимость численной схемы.

Теорема 1. Пусть и(х,£) есть обобщенное решение задачи (1), (2) и функции а*(х) образуют базис в Н(П) и в Ь4(П), ортонормированный в Ь2(П). Если функции а* € С2(П) и нормы ||и«|| и ||иХ|| равномерно ограничены и, кроме того, функция и(х, £) такова, что ее ряд Фурье сходится в Н(П) равномерно по £ € [0,Т], то последовательность приближенных решений V сходится к и при т ^ 0, т ^ то, ^ ^ 0 и следующих ограничениях:

1

тГ(т) ^ 0, ттМ2Г\(т) ^ 0, тГ4(т) <

1024[И]4;

где

(т) + Г2(т)) • е6Т^(т)[^ ^ 0, ¿■е-<"'НК11.тд№(т) < ,

3 т

Г ^НЕЕ^ а* )2(х),

М = тах 1а1 (х)|,

0<1<т хбП

т3

?(т) = Е Е )2(

г=1

а ^(П) — объем области П.

Доказательство. Легко видеть, что при выполнении условий теоремы выполнены также условия леммы 1 с е = 1/2.

Обозначим и(т)(х,£) отрезок ряда Фурье функции и(х,£) по системе {а*(х)}т=1:

тт

(т)

и(т)(х,£) = ^(и(х,£), аг)аг = ^ сг(£)а\ Для и(т) справедливы равенства

= 2^с

г=1 г=1

ди(т)

' I V * ' Х& У ' V Хг ' х

м - Цт)и(т), аМ + V (иМ аХ^ = 1т1, (14)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где

1т = -V К - иХт), аХ^ + (и*и - и*т)и(т), <

Для дальнейших преобразований необходимо, чтобы в (14) скалярные произведения были теми же, что и в численной схеме, а именно дискретными. Перепишем уравнение (14) в следующем виде:

((^Т(хга+1,£га+1), а1 (х-1))) - ([4т)и(т)]Г+1), <) +

+v ((иХт) (хп+1,£п+1), аХг (хп+1))) = тт + ст+от, (15)

где /Щ = /ш (*п+1),

/~т

д и(ш) д*

(х«+1,^п+1), а! (хп+1) ) —

д и(ш)

(х,*п+1), аг(х) ) +

д*

(и(шш)(хп+1,*п+1), <(хп+1))? — V (иХШ)(х,*п+1), а^(х))

а

ди(ш) \\ /д и(ш)

п = ' ' ди (хп+1,*п+1), аг(хп+1) ) ) — (хп+1,Г+1), а!(хп+1) ) +

ш!

д*

д*

«

(иХШ) (хп+1,Г+1), < (хп+1))) — V (иХШ)(хп+1,*п+1), < (хп+1))£ .

Обозначим wn(x) = vn(x) — и(ш)(х,*п). Вычтем из (6) уравнение (15), результат умножим на Л"+1 — Сг(*п+1) и просуммируем по I от 1 до т. В итоге получим

wn+1 (хп+1) — wn(xn)

wn+1(xn+1

(хп+1))) + V (К+Чх^1),wn+1(,

.п+1

_ сп — Пп + Гп ш — ш — ш ш

(16)

где

ГШ = ((и(ш)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1 ))) — ([икш)и(ш)](*п+1), wn+1)

и(ш)(хп+1,*п+1) — и(ш)(хп,*п)

Т

^п+1(хп+1)

/Щ получится, если в /Щ вместо а! взять wn+1. То же с СЩ и фЩ.

Используя тождество 2((а — Ь, а)) = [[а]]2 — [[Ь]]2 + [[а — Ь]]2, получим

Т — [КГ + [^ — ^ ]Г + 2vт [[wn+1]]2 — 2т/п — 2тСЩ — 2тдщ + 2ТГ

гп т"

(17)

?

Теперь мы покажем, что все члены в правой части последнего уравнения стремятся к нулю быстрее, чем т. Член мал, поскольку при достаточно больших т мала разница между функцией и отрезком ее ряда Фурье. Остаток СЩ мал, поскольку якобиан преобразования |дхп+1/д£| мало отличается от 1. Значение мало вследствие малости а г" мал, так как мала разность между точным и приближенным значениями материальной производной. Приведем соответствующие оценки.

Оценка /П приведена в [4]:

|/П| < V||wn+1|| ■ ||и(Г+1) — и(ш)(Г+1)||я + |К+1||х

/3 2 \1/2

^£ У — и(ш)«ш)) < V||wn+1|| ■ ||и(*п+1) — и(ш)(*п+1)||я+

+ |К+1||( 6

3 Г 1/2

£ / и^х

_^=0 У

3 г ^ (

г=0 £

и,- — и

(тК4

1/2

+

+6

г=0 ^

(и5т))4^х

1/2

У^ / (и - И(т))4¿х

У=0 П

1/2

1/2

<

< С1 II • 1|и(£га+1) - и(т)(£га+1)||я.

Используя неравенство Юнга при е

V

16 С1

получим

|2т/т| < ^ |К+1||2 + т^1||и(£п+1) - и(т)(£п+1)||Н <

16С2

1 т I — 16 11 ^Х

VT

16 С12

< -г[К+1]]2 + т—1ИО - и(т)(Г+1)||Н.

V

Оценка Ст:

2т|ст| < 2т

(и(т)(хп+1,Г+1),- ^и(т)(х,£га+1),wn+1(x))

+

+2vт

Первое слагаемое

(иХтт)(хп+1,£п+1), wn+1(xn+1^ . - (иХтт)(х,£п+1), wn+1(x))

(и(т)(хп+1 ,Г+1), wn+1(xn+1)) - (и(т)(х,Г+1), wn+1(x))

^и(т)(хп+1,£п+1), (1 - ^^^(х^1)) ^

<

< 4Тт3/21|и(т) (хга+1, £га+1) ||^ • |^п+1(хп+1)||? < < 16Тт3/21|и(т) 1) || • [К+1(хга+1)]] <

< 4[К+¥ + С2Т2т2||и(т)(£п+1 )||2.

Второе слагаемое

2vт

(иХтт)(хп+1,£п+1), wn+1(xn+1)). - (иХтт)(х,£п+1), wn+1(x))

В итоге

2vт

(иХт^1,^1), (1 - ^^(х^1)) < 4vTт3/2||uХm)(xn+1,Г+1)||í • |К+1(хга+1 )||? < < ^Тт3/2||иХт)(Г+1)|| • [К+1 (хга+1)]] <

<

< X[К+1]]2 + CзvT2т2||иХт)(£п+1)||2.

Х 2

2т |ст|< 4[^п+1]]2 + ^ [К+1]]2 +

+С2Т 2т 2||и(т) (£га+1) ||2 + CзvT 2 т 2||иХт)(£п+1)||2.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Оценка д

п: ш:

2т|дш| < 2т

+2vт

и(ш)(хп+1,Г+1), wn+1(xn+1))) — (и(ш)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1)

+

((иХш)(хп+1,Г+1), wn+1(xn+1))) — (иХ?ш)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1))

Для а, Ь £ УЩ оценим разность:

(а(хп), Ь(хп))г — ((а(хп), Ь(хп)))

N

£ / [ап(хп(£))Ьп(хп(£)) — ап(хп(£к))Ьп(хп(£к))] ¿£

к=1

N

Е

к=1

ап(хп(£)) [Ьп(хп(£)) — Ьп(хп(£к))] + Ьп(хп(£к)) [ап(хп(£)) — ап(хп(£к))] ¿£

<

<

3шах |ЬЖг | ■ |х"М / |а(хп(£))|^£ + 3шах |аЖг | ■ |Ь(хп(£к)Ж <

г,У ' / г, У &

к=1

< 3шах |ЬЖг| ■ |хП|^л/^^||а(хп)||? + 3шах |аЖг| ■ ^М^/ЙШ^х")]]. (19)

г,У г,а

Из (19) следует оценка первого слагаемого в выражении для ф

п ш

и(ш)(хп+1 ,^п+1), wn+1(xn+1))) — (и(ш)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1)

< 6тшах ■ |хП+1|^^^(П)||и(ш)(хп+1)||?+

+6тплах |и(Щ) | ■ ¡хП+^^МК+Чх^1)]] <

< 12^2т^(т) ■ е6Т^(ш)íív0]]^v/^(^У[[wn+1]] ■ ||и(ш)|| + +6т^(т)||и(ш)|| ■ е6Т^ш)[[^^Л/МП)[К+1 (хп+1)]] < < 4[К+1]]2 + 288т^2(т) ■ е12№(ш)[[^2М^) ■ ||и(ш)||2+

<

^[^Ч]2 + 36т^2(т) ■ е12Т^(ш)[^° ||и(ш)||2.

Второе слагаемое

2vт

((иХ?ш)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1))) — (иХ?ш)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1))

<

< 18vтшах ^| ■ |хП+1|^Л/^(^)||иХш)(хп+1)||?+

+ 18*г шах |и(Ш). | ■ [хП+^х/МЩНП+^х"")]] < < ^т^М^^Н ■ е6Т^(ш)[["0]1^Л/^(^)||иХш)(хп+1)||?+

е

п

е

е

+ ^тГ\(т)||и(т)|| • е6Т^(т)[[^л/МЩК+1(хп)]] <

< ]]2 + C5V2тF12(m) • е12Т^(т)^0"^(П) • ||иХт)||2

+

+^[К+1]]2 + C6VтF12(m) • е12Т^(т)[[^2МП)||и(т)||2.

Возвращаясь к От, получим

2т |от|< 3т [^+1]]2 + ^ [^п+1]]2 +

+С4тГ2(т) • е1г№(т)[[^^(П) • ||и(т)||2 + +C5V2тF12(m) • е12Т№(т)^2^(П) • ||иХт)||2 + +C6VтF12(т) • е12Т^(т)^2МП)||и(т)||2.

(20)

Оценка г

п :

т:

и(т)(хп+1,£п+1), wn+1(xn+1

- ([и(т)и(т)КГ+1), wn+1)

и(т)(хп+1,£п+1) - и(т)(хп,£п)

т

^п+1(хп+1)

где

и(т)(хп+1 /«+1) _ и(т)(хп /П) , N

^^-^ и (х ) = и( (хп+1,*п+1) + vп(хп)иХ?т)(хп+1,£п+1

рт = П0,пт + vn(xn)n!'nm + vn(xn)vn(xn)n2:Гm;

п т,

3 ( ) 3 |п0'пт|2 = £ (п0,пт)2 < £ т ах (иСт)(х,

г=1 .сп

г=1

ЙТ < Е т1ах+1 (х,£)) ;

г=1 хбП

Таким образом,

|П2ПТ <£ тах № (х,*))

г=1 .сп

хСП

2т|тт|< 2т2 |(«, wn+1) )| +

+2т

(^П(хп)иХтт)(хп+1 ,*п+1), wn+1(xn+1))) + ([и(т)и(т)](*п+1), wnfc+1) «^Х?)(хп+1,*п+1), wn+1)) - ^пиХт)(хп+1,Г+1), wn+1)

<

+

+2т +2т +2т

((vn - vn+l)uХmm )(хп+1,*п+1), wn+l)

vn+1uХm), wn+1) ? - ^п+1иХт), wn+1

+ +

vn+1u(m), wn+1

к Хк 1

) + ([4т)и(т)](*п+1), wn+l)

+

п

т

т

а

2

3

3

2

+2т2 К (рЩ, wn+1)) | .

Первое слагаемое

((^п(хп)иХ?ш)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1))) — (^п(хп)иХ?ш)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1)) < 6тптах ^П+Ч ■ |хП+1|Л |<и(ш)К+

<

+6т

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

пах (|vn| ■ ищ» ^|хп+1|+ппах (|v^ | ■ |ихщ■ ^

¿л/МЛ)^1^1)]] <

< 6т^(m)||wn+1|| ■ е6Т^(ш)[["°]ЦК||е ■ ||иХш)||е+ тМЛ(т) + ^2(т)) ||vn|| ■ ||и(ш)|| ■ е6Т^^^^МЩ^1^1)]] <

< Т[[wn+1]]2 + С7Т^2(т)^2 ■ е12Т^(ш)^0]][[vn]]2 ■ ||и£ш)||2+

+ 4[^п+1]]2 + С8т (^М*\(т) + ^2(т))2 ■ е12Т^(ш)[[^2^)[И]2 ■ ||и(ш)||2 Второе слагаемое

^"(хп) — ^п+1(хп+1 ))иХщ)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1))

<

< 2т шах |wn+1| ■ / (^п+1 — ^п)иХщ)

п

,п+1|| 11 п+1 п

<

< 2т^М||wn+1|| ■ — v

Третье слагаемое

||е ■ ||иХш)||е < Т[[wn+1]]2 + с9т[[vn+1 — vn]]2 ■ ||и(ш)||2

(^п+1(хп+1 )иХщ)(хп+1 ,*п+1), wn+1(xn+1)) е — (^п+1иХ?ш)(*п+1), wn+1)

([^П+1иХШШ)](хп+1,*п+1), (^ — ^^(х^1))

<

< 4Тт3/2 щах |wn+1 (х)^ К+ЧЩ^х^Г^М <

П

< 4Тт3/2^М||wn+1|| ■ Н+^х^1)^ ■ ||и£ш)(хп+1,*п+1)||е <

41

Четвертое слагаемое 2т

= 2т

< т[[wn+1]]2 + СютМ2^2^1]]2 ■ ||иХш)(*п+1)||2.

V п+1иХ?Ш), wn+1

) + ([и(ш)и(ш)](*п+1), wn+1) (^и(ш), wn+1) — ([и(ш)и(ш)](*п+1),wn+1)

2т | (шП+1и(ш)(*п+1), wnfc+1) | < 2т||wn+1||

^п+1и(ШМ ¿х

г, к=0

1/2

<

е

е

е

е

< 2т|K+1|H|wn+1|k(n) ■ ||u(m)(Г+1|к(п) < < 16 ■ 3-3/2т ■ ||u(m)(ira+1||L4(Q) ■ ||w£+1|| ■ ||wn+1||3/4 ■ ||wn+1||1/4 <

< 64 ■ 3-3/2т ■ ||u(m)(tn+1||L4(n) ■ [[w^1]] + ^[[wn+1]]

Выбрав

33/8 • v3/4

8||u(m)(tn+1||L/44(0)

получим

12т (<+1u(m)(r+1),wnfc+1)| < -т[[wn+1]]2 + Ct||u(m)(in+1||4L4(Q)[[wn+1]] ■ [[wn+1 ]] <

< VT [[wn+1]]2 + -T [[wn+1]]2 + C2||u(m)(tn+1||444(Q)T [[wn+1]]2.

VT

'x JJ LLW x JJ ^^ IIй' Ч1- 1144(0)

Пятое слагаемое

|2T2((pm, wn+1))| < 2t2|((n°'ram, wn+1))| + +2T2|((vnnk'nm, wn+1))| + 2t 2|(vnv™n2;nm, wn+1)? |;

2t2|((n°'nm, wn+1))| < 6t3[[n°'nm]]2 + T[[wn+1]]2 <

6

< 6т3^)Е max (u^x,*)) + 6[[wn+1]]2, t€[in,in+11\ " /6 i=1 xen

2t2|((vnnk,nm,wn+1))|< 2T2

\

E max+. (4:k м) ■ [[vn]] ■ [[wn+1]] <

k>i=1 xen

< 6т3 £ max (u^ (x,t))2[[vn]]2 + 6[[wn+1 ]]2, te[tn,tn+1^ k / 6

k>i=1 xen

2т2|((«ПГ,wn+1))| <

< 6t2 max |vn|

x€0

n 12 |

3 2 _

E Klmx+,l «Xk <

i,j,fc=1 xen

< 6[[wn+1]]2 + 36т3т2М4 £ max («С™Xk (x, t)) [[vn]]4.

6 te[tn,tn+1^ XjXk /

i,j,fc=1 xen

xe n

Таким образом,

3 2

|2t2((p:,wn+1))| < 2[[wn+1]]2 + 6т3^) J] max («tW)) +

i=1 xen

3 2 3 2 +6т3V max (u(:) (x,t))[[vn]]2 + 36т3m2M4V max (x,t)) [[vn]]4.

^ te[t",t"+i| V H)ky V LL JJ te[t",t"+i| V lxixky V LL JJ

k>i=1 xen i,j,k=1 xen

3

3

Подставив полученные оценки в (17) и просуммировав по п от 0 до I — 1, получим г- / 5 \ г- 13

М]2 + £ [[wn+1 — wn]]2 < - + С2 тах ^(¿^(п) £ т[[wn+1 ]]2 + £ Я*, (21)

п=0 ^ [ ' п=0 ^=1

где

1-1 1 6С 2

= ^ Т^||и(*п+1) — и(ш)(*п+1)||Н,

п=0

I-1

я2 = С2Т 2Т ||и(ш)(*

2Т2 ||и(ш)(*п+1)||2

п=0

г-1

?3 = С^Т2Т2 V ||иХш)(*п+1)||2

Я3 = CзvT2Т^ ||иХш) (*

п=0

г-1

Д4 = С4^2(т) ■ е12№(ш)[[^]т||и(ш)(*п+1)||2

п=0

г-1

Я5 = С5V2^2(т) ■ е12№(ш)[[^2М^) £Т||иХш)(*п+1)||2

п=0

г-1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Д6 = С6^2(т) ■ е12№(ш)[[^2^) £т||и(ш)(*п+1)||2,

п=0

г-1

Яг7 = Сг^2(т) ■ е12№(ш)[[^2 £ Т[К]]2 ■ ||иХш)(Г+^И2

п=0

г-1

Я8 = С^^М^(т) + ^2(т))2 ■ е12Т^(ш)[[^2^) £ Т[^п]]2 ■ ||и(ш)(*п+1)||2

п=0

г-1

= свт£ [[vn+1 — vn]]2 ■||иХш)(*п+1)||2,

п=0

г-1

Я!0 = СютМ2Т2Т2 [[vn+1]]2 ■ ||и£ш)(*п+1)||2

п=0

3 2

Я1п = 6Тт2МП) £ пах (и<Щ) (х,*)) ,

г=1 хЕП

3 ( ) 2 г-1

^ = 6Т2£ ^ц (и'Ш'к М)) £ Т[К']]2,

к,г=1 хЕп п=0

3 ( ) 2 г-1

Я13 = 36т2т2М4 V пах Ги(ш) (х,*)) V т[И]4.

13 ^ ге [4",4"+1 ] V ^ / ^

г,^,к=1 хЕП п=0

Следуя [4], обозначим через Рт оператор проектирования, ставящий в соответствие любой функции <^(х) отрезок ряда Фурье по системе ак (х) , а именно

т

= ^ (р, а*)а\

¿=1

Легко видеть, что Рт являются ограниченными операторами в пространствах Н(П) и ¿4(П). С другой стороны, они сходятся к единичному оператору на любом из элементов этих пространств. Поэтому в силу теоремы Банаха — Штейнгауза их нормы в обоих пространствах будут ограничены в совокупности: ||Рт||н(п) < С11 и ||Рт||ь4(п) < с12. Это дает для и(т)(х,£) оценки

||и(т)(х,£)||Я(п) = ||Рти||н(п) < Сп||и(х,*)||Н(п); (22)

||и(т)(х,^)||Ь4(п) < С12||и(М)||Ь4(п). (23)

3

Так как для обобщенного решения и(х, £) норма в Н и интегралы [ ^ и4(х,£)^х рав-

п ¿=1

номерно ограничены при £ £ [0, Т], из (22), (23) следует, что равномерно ограничены

3

||и(т)(х,£)||Н(п) и интегралы /Е и(т)(х,£)

п ¿=1 1

Теперь, отбросив второе и третье слагаемое левой части (21) и учитывая, что [^0]] = 0, получим неравенство, из которого известным образом (разностный аналог леммы Грону-олла) выводится оценка

12

М2 < С1з£ Я (24)

.7 = 1

4

¿х.

с постоянной С13, зависящей лишь от Т. Остается показать, что ^ Я. ^ 0 при т ^ 0,

13 . =1

^ 0 и т ^ то.

Поскольку по условию теоремы при т ^ то и(т)(х, £) сходятся к и(х, £) в норме Н(П)

равномерно по £ £ [0,Т],

1-1

Я = ^ т||и(Г+1) - и(т)(£г+1)||Н ^ 0, при т ^ то.

¿=0

Норма

и(т)(хг+1, £г+1) < ||и4(Г+1)||2, а ||и4|| ограничена константой, не зависящей от следовательно, Я2 ^ 0 при т ^ 0.

Согласно (22), ||и£т)(£га+1)||2 < С2||иж(£га+1)||2. Норма ||их|| равномерно ограничена, следовательно, Я3 ^ 0, при т ^ 0. Далее

Я4 ^ 0 при Г2(т) ■ е12Т^(т)[[-0]]^2 ^ 0, Я5 ^ 0 при Г2(т) ■ е12Т^(т)[[-0]]^2 ^ 0, Я6 ^ 0 при Г2(т) ■ е12Т^(т)[[-0]]^2 ^ 0.

Поскольку [[vn]] < [[v0]], а ||uXm)(tra+1 )||, как уже было отмечено ранее, равномерно ограничена, Л7 ^ 0 при F2 (m) ■ e12TF(m)[[v°]]d2 ^ 0. Аналогично

R ^ 0 при (V™MFi(m) + F2(m))2 ■ e12TF(m)[[v°]]d2 ^ 0. i-i

Как следует из (7), £ [[vn+1 - vn]]2 < [[v0]]2. А значит, R ^ 0 при т ^ 0.

n=0

Далее

R10 ^ 0 при ттМ2 ^ 0, R11 ^ 0 при т2mM2 ^ 0,

поскольку

max fu,(m)(x,i^ < mM2 max Hu^H2 < mM2 max ||uJ|2;

ie[0,T] V ш У '7 " ie[0,T]M 11 - ie[0,T] 11 11 '

хбП

R12 ^ 0 при т2 F2 (m) ^ 0, так как

max (V(m) (x,t))2 < F2(m) max ||u(m) ||2 < F2(m) max ||ut||2. te[0,T] V itxfc / " ie[0,T^M 1 11 _ V ie[0,T] 11 m

xÊfi

Аналогично R13 ^ 0 при т2m2M4F2(m) ^ 0.

Из вышеизложенного следует, что при выполнении условий теоремы все будут стремиться к нулю. Тем самым мы получим равномерное по t стремление к нулю нормы [[wn+1]], в силу леммы 2 стремление к нулю нормы ||wn+1||. Теорема доказана. □

В заключение отметим, что сформулированные в теореме ограничения на шаг т представляются излишне жесткими. Практика численных расчетов показывает, что из соображений точности шаг т должен быть порядка 1/m. Пока такой результат получить не удается в силу отсутствия равномерной оценки на производные решений. Тем не менее мы надеемся в дальнейшем существенно ослабить достаточные условия сходимости, а также обобщить этот результат на случай неортогональных базисных функций, которые используются в реальных расчетах.

Список литературы

[1] Франк А.М., Огородников Е.И. Метод частиц для несжимаемой жидкости // Докл. РАН. 1992. Т. 326, № 6. С. 958-962.

[2] Франк А.М. Дискретные модели несжимаемой жидкости. М.: Физматлит, 2001.

[3] FRANK A.M. 3D numerical simulation of regular structure formation in a locally heated falling film // Europ. J. Mech. B/Fluids. 2003. Vol. 22. P. 445-471.

[4] Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1961.

Поступила в редакцию 30 октября 2003 г., в переработанном виде —15 декабря 2003 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.