Сходимость метода частиц для базисных функций из пространства сплайнов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 10, № 4, 2005

СХОДИМОСТЬ МЕТОДА ЧАСТИЦ ДЛЯ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ ИЗ ПРОСТРАНСТВА

СПЛАЙНОВ*

Е. В. ОВЧИННИКОВА Красноярский государственный технический университет, Россия

e-mail: [email protected]

Further results on the convergence of the particles method for an incompressible fluid are obtained. The theorem of convergence for the case of eigenfunctions from space of splines is proved.

Введение

В [1] была доказана сходимость метода частиц для несжимаемой жидкости в случае внутренней краевой задачи для уравнений Навье — Стокса и базисных функций из пространства L4(H)ПH(П). Однако в реальных расчетах в качестве базисных функций используются B-сплайны [2]. Использование B-сплайнов обусловлено тем, что они имеют компактный носитель, что значительно сокращает количество производимых арифметических операций. Кроме того, использование в качестве базисных функций B-сплайнов дает возможность проводить расчеты в областях с криволинейными и подвижными границами. Удачный выбор базисных функций часто позволяет получать хорошие результаты даже при очень грубом (с точки зрения традиционных конечно-разностных и конечно-элементных схем) пространственном разрешении.

В настоящей статье доказана теорема о сходимости метода частиц для несжимаемой жидкости в случае базисных функций из пространства сплайнов.

1. Постановка задачи

Рассмотрим, как ив [1], следующую начально-краевую задачу для системы уравнений Навье — Стокса:

ut + uk uXk — v Au = 0, divu = 0, (1)

u|s = 0, u|t=o = a(x), (2)

в области Qt = П x (0, T). Здесь П — ограниченная область с кусочно-гладкой границей S. Относительно a(x) предположим

div a = 0, a|s = 0. (3)

* Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования РФ (грант КЦФЕ для аспирантов № А03-2.8-872).

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2005.

Мы будем иметь дело с обобщенным решением Ладыженской [3] задачи (1), (2).

Скалярное произведение и норму в ¿2(П) будем обозначать ( , ) и || || соответственно. Под нормой производной будем понимать

1/2

||иж||2 = / |иж|2¿х,

Численная схема та же, что и в [1]

, а1Н(хга+*)

V

п+1(хп+1) л/п(хп)

(Х ) - v (Х ) ^н^п+Ь

+ и(^П+1(ХП+1), а£(хп+Ч))=0

(4)

где I = 1,..., т, а частицы движутся в силу уравнения

хп+1(Ск ) = хп(Ск) + т vn(xn(efc)).

Отличие состоит в том, что функции {агН}™1 не ортонормированы в Ь2 (П), кроме того, с уменьшением Н меняется весь набор функций. Строятся они следующим образом. Возьмем ^^-пространство В-сплайнов, построенных на прямоугольной сетке с линейным размером ячейки Н, носители которых целиком лежат в области П. Очевидно, что Шн — конечномерное пространство. Пусть = 8рап{ф1Н, ф2Н, ...,фпН}. Введем функции

а

гН

го^фгН).

(5)

Легко видеть, что ^у а = 0 и а ^ = 0. Поскольку после применения операции ротора система функций {агН} может оказаться линейно зависимой, выберем максимальное

м

лн „2Н

линейно независимое подмножество {агн}т=1 и обозначим Ун = Брап{а, а:

а }.

2

2. Априорные оценки

Как и в случае ортонормированных базисных функций, в случае базисных функций из пространства сплайнов численная схема (4) будет безусловно устойчива. А именно выполняются неравенства

[V(хк)]]2 < [[V0]]2; (6)

к-1

^[[^(х^1) - ^(хг)]]2 < [[V0]]2; (7)

г=0

Ет[[^(х*1 )]]2 < ^[[V0]]2. (8)

г=0

Эти оценки следуют непосредственно из (4) и не зависят от вида базисных функций.

Для доказательства теоремы о сходимости метода частиц нам понадобятся следующие вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Для любой функции v(x) € Ун и Уг,] = 1,..., 3, справедливы неравенства:

1) М < Ы^^Ц;

2) К|< Ы2Н-5/2||v||;

3) Кх.|< Мэ^-7/2||^||,

где М1,М2,М3 — константы, зависящие от степени сплайн-функций.

Доказательство. Поскольку пространство УЬ конечномерное, в нем все нормы эквивалентны, следовательно, выполняются неравенства:

1) М < Л|М|,

2) К| < А2||у||,

3) | < Аз ||V ||.

Проведем оценку констант А1, А2, А3. Пусть Шь — пространство В-сплайнов степени п:

фгЬ = Вгп (X! )ВП (Х2 )ВП (хз). Базисные функции получаются взятием операции ротор от функций фгЬ

агЬ = го1фгЬ. (9)

Функция V есть произвольная линейная комбинация функций агЬ:

т т / т

^ сгагь = ^ сгго^фгН = го1 К] сгфгЬ ,____г,

г=! г=! \г=1

где (р £ Шь,. Очевидно, что в каждой ячейке нашей сетки г^ есть функция степени, не превосходящей п относительно хг. На рис. 1-3 представлены случаи, когда полиномы соответствующих степеней имеют максимальную производную при одном и том же максимальном значении функции.

Аналогичные оценки имеют место и для полиномов более высоких степеней. Следовательно (Vv £ УЬ), справедливы неравенства

А

\vjxi |< 1 Мс, = 1, 2, 3, (10)

где А зависит от степени В-сплайнов. Считая | V | = у/ у2 + г2 + г2, получим

3 г3 .Л, . , ЗА.

|v|xi = £ Лvixi < £ К | < Т|v|c, * = 1 2 3. (11)

¿=1 | | ¿=1

Рис. 1. Максимум производной линейной функции не может превышать — |V|.

Рис. 2. Максимум производной полинома второй степени достигается на функции у =

Ч - ^ (IГ

8 I

вен он —М-

на концах интервала и ра-

Рис. 3. Максимум производной полинома третьей степени достигается на функции у =

* Чт)3 -

18

ла и равен он — | V |.

на концах интерва-

Тогда очевидно

|ёгаам|< ^|v|c. (12)

Пусть достигает максимума в точке х*, т.е. |v(x*)| = , тогда |v| отлична от 0 по

|с>

з^;,причем м-мс 1 —

крайней мере в шаре В ( х*, ——— ) , причем > [ 1---—|х — х*| ) . Тогда

2п п Н/3А^/3 .2

|М|2 > I м2вх >мс// / [1 - 3Ат3Ч 81П^ = 5.3257ГЛН3А3

0 0 0

В X

' 3А\/3

/15А/з

Следовательно, А1 = 9Ау —3-Н-3/2. Далее, из (10) вытекает, что

К|< ^Мс < 3ТА^5АП3 Н 5/21|v||.

/бА^З

Получим А2 = 37А2у- Н-5/2. Оценка константы А3 проводится аналогично, А3 =

__V 3п

37А3\/-— Н-7/2. Лемма

доказана. □

1 Н5 Н5/2

Лемма 2 Еспи т 1-^ — т£ < _-_ и т < _-_ о в < Н4.р-6тм2н-5/2[[V0]]

Лемма2. ^ т < 4т,т < 33Ы|[И]2 и т< 13Ы2[[V0]], 0 в < Н 6 Х

(34^(П)Ы1Ы2)-1, где Ы1,Ы2

— те же, что в лемме 1, а ^(П) — объем области П, то: 1) хп = хп(£) — взаимно-однозначное преобразование П на П, обратное преобразование £ = £(хп) принадлежит классу С1;

2) |Хп| < е6ТМ2Ь-5/2 [[V0]] .

3)

4)

5)

| ^ ||"

д vn

дх,-

< 2(1 + т2-£)т/т[[v(xn)]]2;

< 2M2h-5/2[[v0]]; 2-£

/П+1 - 1| < т

Доказательство. Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы 1 из [1]. Однако необходимо передоказать следующее неравенство для случая неортогональных базисных функций:

|М!2 < 2(1 + т2-£)т/тИх*)]]2. (13)

Поскольку v принадлежит конечномерному пространству УЬ, имеет место неравенство

акЬ|М|< Их*)]] < вкЬИ|,

где

N

1/2

1/2

=

ш= ^ ш, ^(хк &))

^=1

I v2(xfc (еМ - Я

11V || = 1 \ '

чП

Я = |^(хк))||| - Их*)]]2.

Так как Л* < (1 + т2-£)Т/т

|м|2 = ^ v2(х)их = ^ v2(х(е))^ < (1 + т2-^т/^ ^(хк(е))с

П П П

следовательно

Оценим сверху Я

Лхк (ем >

|М|2

(1 + т2-£)

-£\Т/т '

|Я |

N

Е / ^2(хк(е)) - v2(xfc&и ие ,=1

(14)

N

Е

,=1

v(xfc (е)) ^ (е)) - v(xfc (е,))) + v(xfc & )) ^ (е)) - v(xfc &))

ие

<

N

< тах ^(х)| тах | ■ И ■ 2 ^^ / 1 ■ Их < Х€П ,=1 /

Положив

< 6^(П) тах |v(x)| тах |vx. (х)| ■ Х|И <

хеп ,, хеп 3 ?

< 6 ■ е6™^2[[v0]]d^(П)MlM2h-4||v||2.

и <_

- 24 ■ е6™^-6''2^0^^^^-4 ;

получим

I Rfcl ^ И ^

4 - 2(1 + t2-£)t/

k IM I2 IM I2

I , 2L.VT/T • (16)

Теперь оценим снизу акт:

1/2

^ = ^п= V(х*(£))в£ - Д*| > \п

II 112 II 112 \ 1/2

> 1п£ ' I|V||2 I|V||2 7

v

mV (1 + т 2-e)T/r 2(1 + t2-£)T/t 1

^(1 + Т 2-^)Т/2т'

Отсюда непосредственно следует (13). □

Следствие 1. Если выполнены условия леммы 2, то Уп:

1) № - 1| < 3Тт1-£;

2) ||V|| < 3[Мхп)]];

3) Г13Ихп)||? <|М|<^Ихп)||?.

Доказательство. Доказательство первого пункта аналогично доказательству следствия 1 из [1]. Пункты 2 и 3 доказываются аналогично пунктам 4 и 5 леммы 2 из [1]. □

3. Сходимость численной схемы

Переходим к доказательству сходимости численных решений метода частиц к обобщенному решению задачи (1), (2).

Теорема 1. Пусть и(х, £) есть обобщенное решение задачи (1), (2) и функции {акН(х)}т=1 — линейно-независимы. Если нормы ||ий||, ||иХ|| и ||и4||н(п) ограничены У £ € [0,Т], то последовательность приближенных решений V сходится к и при т —> 0, т —> то, в —> 0 и следующих ограничениях:

10

тН-13/2 - 0, т < * 0114, ¿Н-5 ■ е6ТН-Б/2[^0]] ^ 0. " 1034Ы24[[v0]]4'

Доказательство. Легко видеть, что при выполнении условий теоремы выполнены также условия леммы 2 с е = 1/3.

Обозначим через ин(х,£) наилучшее приближение в Ь2(П) функции и(х, £) по системе функций {агН }Г=1:

т

с (£)агН(

г=1

uh(x,t) = V Cih(t)aih(x).

Поскольку uh(x,t) — это наилучшее приближение в Ь2(П) функции u(x, t),

Ф = ^(u - uh, u - uh) —> min, 2V ' ; '

дФ

-(и - иы,а1Ы) = 0 V* £ [0,Т];

дс

•гы

(иы, а1Ы) = (и, а1Ы) V* £ [0,Т]. Отсюда следует, что вектор-функция сь = (с1ь, с2ы,..., сты) = А-1 ■ ^и, где

(17)

(18)

А

( (а1Ы, а1Ы) (а1Ы, а2Ы) (а2Ы, а1Ы) (а2Ы, а2Ы)

. (а1Ы, атЫ) ^ . (а2Ы, атЫ)

V (атЫ, а1Ы) (атЫ, а2Ы) ... (атЫ, атЫ)

а ^и = ((и, а1Ы), (и, а2Ы), ..., (и, атЫ)).

Матрица А невырождена, так как функции {агЫ}™1 линейно независимы. А функция ^и дифференцируема по следовательно, и функции сгы(*) дифференцируемы по Из (18) дифференцированием получим

д иы

а

1Ы

Г^, аш) V1, V* £ [0,Т].

Тогда для иы справедливы равенства

д иы

,агЧ - (иЬиЬ, aXhJ + V (и£, aX/i

ы,

(19)

(20)

где

/ы = -V (и^ - и£, aX/^) + (и*и - иыиы, aXЫ) .

Для дальнейших преобразований необходимо, чтобы в (20) скалярные произведения были теми же, что и в численной схеме, а именно дискретными. Перепишем уравнение (20) в следующем виде:

^(хп+1,*п+1), а1ы(хп+1^) - ([иЫиы](Г+1), aXыfc) + +V ((и* (хп+1,Г+1), aX/i (хпН

+ + Ч

ы>

(21)

где /» = /ы(*п+1);

Сп Ы1

£(Хп+1,*п+1), а1ы(Хп+1^ - ^(Х,*п+1), а1Ы(х) ) +

+v (иы4 (хп+1,*п+1), а2; (хп+1^ £ - V (и* (х,*п+1), а2; м) ;

а

(хп+1,*п+1), а1Ы(хп+1)^ - (£(Хп+1,*п+1), а1Ы(Хп+1^ +

^ (хп+1,*п+1), а^Ы^ (хп+1

а(х

(Хп+1,*п+1), а^:(х^1)) . .

Обозначим wn(x) = vn(x) - иы(х, *п). Вычтем из (4) уравнение (21), результат умножим на Лп+1 - с^ы (*п+1) и просуммируем по I от 1 до т. В итоге получим

w

п+1 (хп+1) - wn(xn) п+1

w

(Хп+1М + V (^^(х"*1), wn+1(xn+1)))

тп лп глп I п

-/Ы - ^Ы - Чы + ГЫ,

п

г

где

п = ((иН(хп+1 ,£п+1), wn+1(xn+1))) - ([иНиН](£п+1\,тО -

ин(хп+1, £п+1) - иН(хп, £п) wn+1(xn+1)

, w (х )

т

Щ получится, если в Щ вместо а1Н взять wn+1. То же с Сп и

Используя тождество 3((а - Ь, а)) = [[а]]2 - [[Ь]]2 + [[а - Ь]]2, запишем

[К+1]]2 - [[wn]]2 + [К+1 - wn]]2 + 3^т[К+1]]2 =

-3т/п - 3тСп - 3т0п + 3тгп. (23)

Теперь мы покажем, что все члены в правой части последнего уравнения стремятся к нулю быстрее, чем т. Член /^ мал, поскольку при достаточно малых Н мала разница между функцией и ее наилучшим приближением в Ь2(П). Остаток СП мал, поскольку якобиан

д хп+1

мало отличается от 1. Значение 0п мало вследствие малости в, а

преобразования

д£

г п мал, так как мала разность между точным и приближенным значениями материальной производной. Оценка этих членов проводится так же, как в теореме 1 из [1]. Подставив

полученные оценки в (22) и просуммировав по п от 0 до I - 1, получим

'-1 (5 \ '-1 13

М]2 + £ [К+1 - wn]]2 < 5 + С2 шах ||ин(£)|Ц4(п^ т[К+1]]2 + ^ Д, (24)

п=0 ^ е[ ' ] ' п=0 7=1

где

1-1 1 6С 2 = ^ т^||и(£п+1) - иН(£п+1)||Н,

п=0

1-1

112 = С2Т2т||иН(£п+1)||2,

п=0

1-1

д3 = С3^Т2т2£ ||иН(£п+1)||2,

Х V

п=0

1-1

Д4 = С4Н-5 ■ е12ТН-Б/2[К]]в2^(П^ т^(Г

п=0

1-1

Д5 = С5V2Н-7 ■ е12ТН-Б/2[[^]]в2МП) X] т||ин(£

п=0

1-1

дб = Сб^Н-7 ■ е12ТН-б/2[[^]]в2МП) X] т||ин(£п

п=0

1-1

Д7 = С7Н-5 ■ е12ТН-Б/2[И]в2 т[[vn]]2 ■ ||иХ(£п+1)||2

п=0

11

= С8Н-10 ■ е12ТН-Б/2[К]]в2^(П^ т[[vn]]2 ■ ||иН(£п+1)||2,

п=0

R = [[vn+1 - vn ]]2 .||uh (tn+1)

n=0

1-1

Ri0 = C10T2h-3T2 J] [Г]]2 - ||uh(tn+

n=0 3

R11 = 6TrV(n)E (x,t))

i=1

te[0,T ] xen

3 2 1-1

R12 = 6t^ (M)) £т[[vn]]2,

fc>i=1 xeh n=0

3 2 1-1

Обозначим через Р^, оператор проектирования, ставящий в соответствие любой функции <^(х) ее наилучшее приближение в Р2(П) по системе |ак^(х}}т=1 , а именно

m i=1

Легко видеть, что Ph являются ограниченными операторами в пространствах H(П) и Р4(П). С другой стороны, они сходятся к единичному оператору на любом из элементов этих пространств. Поэтому в силу теоремы Банаха — Штейнгауза их нормы в обоих пространствах будут ограничены в совокупности: ||Ph||я(п) < C11 и ||Ph|U4(n) < C12. Это дает для uh(x, t) оценки

||uh(x,t)||H(n) = ||Phu||h(П) < C11 ||u(x,t)||H(П); (25)

||uh(x,t)||¿4(П) < C12||u(x,t)||L4(n). (26)

Вместе с тем из (19) легко видеть, что uj1 = Phut, следовательно,

||uh(x,t)||H(П) = ||Phut||H(П) < C11 ||ut(x,t)||H(n)- (27)

3 4

Так как для обобщенного решения u(x, t) ограничены интегралы f У] [uh(x,t)] dx

п '=1

Vt £ [0,T], ограничены и нормы ||uh(x,t)||ь4(п) Vt £ [0,T], а значит, ограничен и max ||uh(t)||L4(n). Теперь, отбросив второе и третье слагаемые левой части (24) и учитывая, что [[w0]] = 0, получим неравенство, из которого известным образом (разностный аналог леммы Гронуолла) выводится оценка

12

[[w1]]2 < C13E Rj (28)

j=1

с постоянной C13, зависящей лишь от T. Остается показать, что Rj ^ 0 при т ^ 0,

13

R j=1

1

d ^ 0 и h ^ 0. Подробно остановимся на доказательстве того, что R1 ^ 0 при т ^ 0,

2

к — 0, для остальных слагаемых оценки с точностью до констант совпадают с оценками теоремы 1 из [1].

16С 2 1-1

Введем функцию Фи(£) = ||и(£) - ии(£)||Н. Тогда Д = -^^ тФи(Г+1). Посколь-

и п=0

ку оператор Р^ сходится к единичному на любом элементе пространства Н(П), функция Фи(£) — 0 Ук, У£ € [0,Т]. Легко видеть, что если Фи(£) сходится к нулю равномерно по £ на [0,Т], то Д — 0. Покажем равномерную сходимость.

Поскольку по условию теоремы ||и4||я и ||и||я ограничены У£ € [0,Т], из (25), (27) следует, что и ||и^||я, и ||и^||я ограничены У к, У £ € [0,Т]. А значит, равномерно ограничена

и производная — Ф (£):

^^ < М Ук, У£ € [0,Т].

dtф(г)

Предположим,что Ф(£) сходится к нулю неравномерно. Тогда Зе > 0 3{hi}°=1 Уг 3t,

*

d / е е \

(t*) > е. Поскольку производные — Ф^(t) ограничены, Уг yt G (i* - t* + 2м),

е t е2

Ф^ (t)

> —. Следовательно, J Ф^ (t)dt > —— Уг. Пришли к противоречию, так как по тео-2 о

T

реме

Лебега / Ф^)^ —► 0 при h —► 0. Таким образом, Ф^^) сходится к нулю равномерно о

по t на [0 ' T].

Теорема доказана. □

Список литературы

[1] Овчинникова Е.В., Франк А.М. О сходимости метода частиц для несжимаемой жидкости // Вычисл. технологии. 2004. Т. 9, № 1. С. 58-74.

[2] Франк А.М. Дискретные модели несжимаемой жидкости. М.: Физматлит, 2001.

[3] Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1961.

[4] Frank A.M. 3D numerical simulation of regular structure formation in a locally heated falling film // Europ. J. Mech.-B/Fluids. 2003. N 22. P. 445-471.

[5] Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980.

Поступила в редакцию 8 июля 2004 г.