О гиперповерхностях с циклически рекуррентной второй фундаментальной формой в евклидовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75 ББК 22.151

О ГИПЕРПОВЕРХНОСТЯХ С ЦИКЛИЧЕСКИ РЕКУРРЕНТНОЙ ВТОРОЙ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ФОРМОЙ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

И. И. Бодренко

В работе доказано, что всякая невырожденная ?г-мерная (п > 2) гиперповерхность второго порядка в (п + 1)-мерном евклидовом пространстве имеет циклически рекуррентную вторую фундаментальную форму.

Ключевые слова: вторая фундаментальная форма, связность Ван дер Вардена — Бортолотти.

Введение

Пусть En+l — (/?.+ 1)-мерное (п > 2) евклидово пространство с декартовыми прямоугольными координатами (;ri, ;г2,..., ;rra+i), <,> — скалярное произведение в Еп+1. Пусть Fn — /?,-мерная поверхность в En+l, заданная в окрестности каждой своей точки уравнениями

З-'а = ф(а) (щ ,..., ип), (м 1, . . . , ип) е D, а =1,11+1,

где D — некоторая область параметрического пространства (щ,... ,ип), ф(а) £ C3(D). Векторное параметрическое уравнение Fn С En+l имеет вид

г{иХ, ... , Un) = {0(1) (til, . . . , Un),. . . , 0(„)('Ui, . . . , ип),ф{п+1)(и1, ... , Un)}.

Обозначим

2 dr{ui,..., un) &2r{ui,..., un)

O y ■ ^^ _-_— y* ■ ■ — ___—

г дщ ' v дщди^

s

S Пусть gij, bij, Г^-, V¿ — соответственно коэффициенты первой и второй квадратич-

| ных форм гиперповерхности Fn С Еп+1, символы Кристоффеля и операция ковариантно-

а го дифференцирования, вычисленные относительно тензора gij. Уравнения Петерсона —

¿ Кодацци для гиперповерхности Fn С En+l имеют вид Vkhj = Vibkj. Индексы i,j, к,...

© принимают значения от 1 до п.

Вторая квадратичная форма гиперповерхности Еп в евклидовом пространстве Еп+1 называется циклически рекуррентной, если на Рп существует 1-форма р такая, что выполняются соотношения:

Vfc&г:?• = цфц + рФзк + Р]Ъы-, (1)

где Цг — коэффициенты 1-формы р.

В настоящей работе доказывается следующая теорема.

Теорема 1. Всякая невырожденная п-мерная (п > 2) гиперповерхность второго порядка в (п+1)-мерном евклидовом пространстве Еп+1 имеет циклически рекуррентную вторую фундаментальную форму.

1. Основные леммы

Пусть гиперповерхность Еп в евклидовом пространстве Еп+1 с декартовыми прямоугольными координатами (#1, Х2, ■ ■ ■, ^«+1) задана уравнением

• • • ,^+1) = 0, (2)

где Ф € С3. Обозначим

Л д2Ф{хъх2,...,хп+1) --—

Ф« =-~-, Ф«/з =-~—~-, а,р = 1,п+ 1,

дха дхадх,з

§гас1Ф = {ФьФ2,...,Ф„+1}, Имеет место следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть гиперповерхность Рп в евклидовом пространстве Еп+1 задана уравнением (2) (§гас1Ф ф 0). Пусть в некоторой точке ь... 1) = Р0 £ Р™ выполняется условие Фга+1(хь..., хп+1) ф 0. Тогда в некоторой окрестности точки Р0 можно ввести локальные координаты щ = х\,... ,ип = хп, такие, что Р™ в этой окрестности можно задать параметрическими уравнениями х\ = щ,...,хп = ип, = /(«1,.. •, ип), где Х\ и 1, ... ,хп ип, Хп+1 = /(йь • • •, йп); коэффициенты д^ и Ьу первой и второй квадратичных форм Р'\ соответственно, вычисляются по формулам

Ф^Ф

= + (3)

/г+1

(ФгФ»г+1Ф;/,»г+1 Ф»Ф;/Ф»г+1,»г+1 Ф/г+^ 3 Ф»г+1 Фг,»г+1) ,

13 = Фга+1|Фга+1||?гас1Ф| ' (4'

где |§гас1Ф| = gradФ,gradФ > = ^Щ + Щ Н-----Ь

Доказательство. Согласно теореме о неявной функции в окрестности точки Р0 поверхность Р™ С Еп+1 можно задать уравнением ;гга+1 = /(#1,..., хп), где • • •, хпч /(#1, • • • ,хп)) = 0. Тогда векторное параметрическое уравнение Е'г в окрестности точки Ро можно записать в виде

Г (а?! , ■ ■ ■ , Хп ) ) • • • ) ) У (^1) • • • ) } •

Мы имеем ([1], п. 14.3, (14.57), (14.58))

fjíj =< П, г,- >= Sij + fifj, bij =< Tij, N >

fi

v

1 • /г.....Я

где N — единичный вектор нормали к Еп в Еп+1.

Для неявно заданной функции хп+\ = /(^1,... ,хп) имеем

Ф

(5)

fi = ~

Ф

' Jij ~

п+1

Фп+1

i •./?....../;

|ф

/г+11

Подставив эти выражения в формулы (5), получим утверждение леммы. Лемма 2. Имеет место равенство

det

+ Щ

4 ' а2

+ £Г=1 %

(6)

(пхп) ^

Доказательство. Доказательство формулы (6) проведем методом математической индукции. При п = 2 утверждение леммы верно:

ь?

1 + ^г ^

а" а"

1 +

i2 + 6? + Ьо

Предположив, что формула (6) верна для п = к — I, докажем ее для п = к. Для этого разложим определитель матрицы

А

bibj

4 ' а2

(кхк)

по элементам последней строки. Мы имеем:

det А

Ь'2

1 + I det

(Г

kbj

4 ' а2

((fc-i)x(fc-D) i=1

к-1 , , 2L, п'2

(7)

где — алгебраическое дополнение элемента аы (1 < г < к — 1) матрицы А. Найдем дополнительный минор М^ элемента аы, где г = 1,..., к — 1. Мы имеем

Мкг

1 + % п -

bibo

rfi

t>2t>l 1 I 22.

„2 1 I „2

а2 а2

Ъфг а2 Ъф2 а2

bi+ibi bi+ite

а? а?

bk-ibi Ьк- 1*>2

b-ibi-

1 +

bibk-1

bibk-

bibk

rfi

ЬзЬк

n 2

-1P¿+1

'i+lOj-l 1 I "¿+1 o 1 o

// - // -

fe—1°¿+1

hlOfc-1 P¿+IP // - //-

... 1 +

"fc-l Ofc-lO

Заметим, что последний столбец определителя М^ для 1 < г < к — 1 пропорционален столбцу

( h \

Ъ'2

V h-1 )

и применим свойство линейности определителя к первому столбцу. Получим

Мкг =

bibo

п. 2

о 1 + 3

о о о

bj+ibn

п. 2

bibj+1 rfi

b2b,

+1

1 I г — 1 0¿-l0¿+l 1 \ о о

// - //-

•г + 1

'i + lOj-l 1 I "г + 1 „2 1 "Г „2

fc-l°¿-l Qfc-1°¿+1

blbk-1

ЬзЬк-

bibk

п 2

-lOfc-1 "i-lC

Ьг+lfcfe —1 bj + íbk

■у I "fc-1 "k-lt

n 2

a" a"

bib\

•i-lbi

bibo

n 2

1 + 3

л.2 л.2

t-ibi

£>ib¿-i Í>ib¿+1

b-ibi

1 I г — 1 0¿-l0¿ + l

j- T .Л .Л

?¿+lP¿-l 1 I "г+1 o 1 \ o

// - // -

k-l°i-l 0k-l°i + l // - /: -

blbk-1

bibk-

bibk

rfi

ЬзЬк

-iQfc-1 o¿-io

fr¿+ifrfc-i bi+íbk

y i "fc-l Ofc-lC

a" a"

Второе слагаемое в последнем равенстве равно нулю как определитель с двумя пропорциональными столбцами. Разложив первое слагаемое по элементам первого столбца,

находим

М,

кг

1 + 4

Ь^Ьк-

ь2

1 + ^

г-10г + 1

ЬзЬк

-1°к-1 "г-10

?г + 1Рг-1 1 I "г+1 „2 1 „2

■г —10г —1 + 1

1 +

«Яс—1С

Тем же способом, применяя свойство линейности к первому столбцу, продолжаем разложение определителя М^ на сумму двух определителей, один из которых будет равен нулю как определитель с двумя пропорциональными столбцами. В результате таких последовательных разложений определителя М^ приходим к равенству

Мкг =

'г + 1

1 + 2*1 // -

к-1°г+1

1 + %1

п.*

Последовательно применяя свойство линейности определителя к первому, второму, . (к — г — 1)-му столбцам определителя //,... находим

Мы

0

1

О

а.-

О о

О ... 1 о

Следовательно, Аы = (—1 )к+гМкг = — Щр-. В силу индуктивного предположения имеем

с1е!

& 1

4 ' а2

((к—1)х(к—1))

Отсюда, используя (7), находим

^ а4 а2

Таким образом, формула (6) доказана для п = к, и, следовательно, утверждение леммы верно для любого п.

Лемма 3. В условиях леммы 1 определитель матрицы \\gijW коэффициентов первой квадратичной формы гиперповерхности Рп с Еп+1 вычисляется по формуле

йе! \\д

гз I

|§гас1Ф|'

4г+1

(8)

Доказательство. Применяя формулу (6) для вычисления определителя

det \ \gij\l = det

ёц +

получим утверждение леммы.

Лемма 4. В условиях леммы 1 матрица Цд^Ц = Н^Н-1 имеет вид

9

,гз

Ьг] -

94

/г+1

(9)

где д = АеЩд^Ц.

Доказательство. Проверим, что дцд^к = Используя формулы (3) и (8), находим:

9 а 9

ф2

/г+1 / 1

- + Г '__

/г+1

94

/г+1

5

к

94

<1'..<1'/, <1'/,<1'.. ф.Ф/. >:;, ф]

/г+1

ф2 „к2

5.

/г+1 ^Ф/г+1

к , Ф.Ф/. ( .,1.2

дК+1

94

/г+1

3 = 1

Лемма 5. В условиях леммы 1 символы Кристоффеля вычисляются по формуле

V

тлк _ {4г+1^Ч ~ Ф/г+1Ф^Фг,/г+1 ~ Ф/г+^гФ

Ф«+11?гас1Ф|2

Доказательство. В условиях леммы 1 имеем д^ = + Тогда

ддц _ + /гЛ)

дхп

дхп

Отсюда находим

2 Г,

дхг ').г> дхт

2/т/у,

Г

Ф

г,

/г+1

(ФгФ,Ф

/г+1,/г+1 ~Ь Ф/г+1Фу Ф»Ф/г+1 Ф;/',/г+1 Ф;/'Ф/г+1Фг,/г+1

(10)

Используя формулу (9), имеем

1к _ „fcm

• km $fc$m

р/г _ fcm"p _ I Хктп _

L ij — У 1 ij,m — \ 0 I x %0-m'

- п+1

Г;

Используя формулу (8), находим

ф. >:;;,, Ф2

^Ьлф _ "*" К ¿—im= 1 т _ ф^ | Y _ 'т=1 т

Ä

п+1

уп ,Ф2

Z—im= 1 г

Ä

п+1

Фа, 9 '

Следовательно,

Г

Фд

v

яК+1

Отсюда, учитывая (8), получим (10) Лемма 6. Имеет место равенство

det0 = det

+ - <t>i<t>„+1<t>j,„+1 - ФзФп+1Ф^п+1)

Фп $12 • Ф1,п+1 Ф

$21 Ф22 • Ф2,п+1 Ф

Фп+1,1 Фп+1,2 • Ф»г+1,»г+1 Ф

Ф1 Ф2 • Фп+1 0

п+1

Y^ Ф«Ф/зЯ0/3,

о,/3=1

(И)

где На/з — алгебраическое дополнение элемента Ф0/з гессиана Н = ||Фа/з|| функции

Доказательство. Разложим определитель матрицы ф = \ \фаь\ \ по элементам последней строки. Мы имеем:

п+1

det0 = ^Ф„Ф

п+2,а i

а=1

где Фга+2,о — алгебраическое дополнение элемента фп+2>а матрицы ф. Найдем дополнительный минор элемента фп+2,а-

Отсюда,

Таким образом,

Фп . . Ф1,„_1 Ф1.0Г+1 • • • Ф1,п+1 Ф1

$21 • • Ф2,«-1 Ф2,«+1 • • • Ф2,п+1 ф2

Фп+1,1 • Ф»г+1,о-1 Ф»г+1,о+1 • • • Ф»г+1,»г+1 Фп+1

п+1 п+1

= ^(-1)га+1+/3Ф/з(-1 )~{a+ß)Hßa

/3=1 /3=1

п+1 п+1

Ф»г+2,о = Ф/3 #/3« = - £ Ф/3 #/3«

/3=1

/3=1

п+1 п+1 п+1 п+1

detФ = Y Ф«Фп+2,а = Y Ф«(~ Л Ф/зЯ/За) = - ^ Ф„Ф/зЯ0/3.

а=1 а= 1 /3=1 о,/3=1

Лемма доказана.

Рассмотрим на гиперповерхности Еп С Еп+1, заданной уравнением (2), функцию К, определенную равенством

К = -

Фи $12 • Ф1,га+1 Ф1

$21 Ф22 • Ф2,п+1 ф2

Фп+1,1 Фп+1,2 • Ф»г+1,»г+1 Фп + 1

Ф1 Ф2 • Фп+1 0

|§гас1Ф|'г+2

(12)

В силу (11) имеем

К

(13)

2. Центральные невырожденные гиперповерхности второго порядка

Пусть Е'г — центральная невырожденная гиперповерхность второго порядка в Еп+1. Тогда в Еп+1 существует декартова прямоугольная система координат (^1,^2,..., ^+1), в которой уравнение гиперповерхности имеет вид

А^ + \2х.2 Н-----Ь -1 = 0, где Л„ ф 0, а = 1, п + 1.

То есть Е'г в Еп+1 можно задать уравнением вида (2), где функция Ф определена равенством

Ф(^ь^2, • • • ,ж„+1) = Л1Ж1 + Л2^2 Н-----Ь Л„+1^+1 - 1. (14)

Введем обозначения

п п

а = а(хь ... ,хп) = ^ А^г2, т = г(^ь .. .,хп) = ^ АДА* - Хп+1)х*. (15)

г=1 г=1

Лемма 7. Пусть в условиях леммы 1 функция Ф определена равенством (14) и Фга+1 > 0 в точке Р0. Тогда символы Кристоффеля ... ,хп), вычисленные относительно

метрического тензора д^(х 1,...,хп), и коэффициенты Ь^(х1,..., хп) второй квадратичной формы гиперповерхности С Еп+1 соответственно находятся по формулам:

к _ АДд.(1 + ХгХ2 — (т)хк к _ А..А?А/,..г. ХуХк . . / ч

1и= (а-1)(т + Ага+1) ' ч = "(а-1)(г + Ага+1)'

Аг(1 + ХгХ- ~ а) А;А? .

Оц =----, =--:, г ф ]. (17)

(а - 1) л/т + Ага+1 (а - 1) л/т + Ага+1

Доказательство. Мы имеем Ф* = Фга+1 = 2\п+1Хп+1, Фц = 2А», Ф^ = 0 при

г ф ;), Фга+1,га+1 = 2Ага+ь Фг,„+1 = 0, |§гас1Ф|2 = 4(т + Хп+1). Подставив полученные выражения в формулы (10) и (4) и используя обозначения (15), приходим соответственно к формулам (16) и (17). Если Ф„+1 < 0, то выражения для Ь^ {г,] = 1, /г) меняют знак.

Лемма 8. В условиях леммы 7 ковариантные производные Уф^ коэффициентов Ь^ второй квадратичной формы гиперповерхности Рп с Еп+1 вычисляются по формулам:

у , = ЗАг2(А^ - Л„+1>а?»(1 + Хх2 - а)

(1 -а)(^г + Лга+1)3 ' 1 )

у , \j\jXj (2Xi(Xi - Хп+1)х2 + (Л, - Л„+х)(1 + Х{х2 - а))

V,/,, = . ;Д. + Л, + Хк - ЗАга+1), / / , / к / /. (20)

(! - сг)(\/г + Аг+1)3

Доказательство. В силу (16), (17) для фиксированных где г ф ] ф к ф г,

р ф;), имеем

Af(l + XiX2 — Сг)2Хг , _ Х2Х2к{1 + Хгх2 - а)хгх2к

-L ; ; 'Л'

гг°И 77о/ / , л —ч о ? 1 гг°гк

V

((7-1 ■ Ara+i)3

L + A iX2 — cr)xi Xj

1 f A„+i)3 '

е». to I + A?./-j (7 ^XiXjXfc

{а - 1)2(у т ■ _ А. XjX/..l': .1' ¡.I').

1 ii°гк -

{а - 1)2(у т

pj , __I "3^ „ _ XiXjXmXpXiXjXkXp

1 гфл ~ 777 / , Л ' 1 ik pj ~

(а - 1)2(у/т + Ara+i)3 № " (а - 1)2(у/т + Ага+1)3

Отсюда, суммируя по m и учитывая, что Y/l=i = т + <тЛ,г+ь находим

X2Xi( 1 + XiX2 - а)(Ai(l - а) + г + aAra+i)

L гг игпг

(а - 1)2(^

_ X2XjX2Xj(Xi(l - а) + г + cAra+i) . , .

_ X:XjXkX:XjX,AXji 1 - а) + г + <rAra+l)

ITA. = ".....— - ^ ^ ' у ■ , / j / /, / ,

(<7 — IJ (V T

Используя (17), получим

A2^i(l + A^2 - a)

, 1V2, , |Л ,3 (2(r + A„+i) + (er - l)(Ai - A„+i)), 1er - !)■(vr + Аг+l)

о , —2XiXjXj Aj(l + XiX2 — er) / ,——-\

dibii = 7-IN / , Л " ( 1W 1 \ V-? (- vr + A„+i) =

(a-l) Vr +Ara+i (<J - l)2(r + A„+i) V /

-IXiXjXj ХгХ3Хз(1 + А,*2 - <т) (2(r + + (flr _ 1)(Ä_ _ =

(er - 1)у/т + Ara+i (er - 1)2( y/t + A„+i)3 XXjXji-Iia - 1 )(r + A„+i) + (1 + Агж2 - er)(2(r + A„+i) + (а - 1)(Л,- - A„+i)))

(<j - 1)2( v/r

Л;Л?'Г? (2(г + Л!;. , )Л,./-т + (а - 1)(Л, - Лга+1)(1 + - а)) , г ф ;],

з

дкЬц = ---Л (V - 1) у/г + Ага+1) =

(а - 1) (т + Л,г+1) V I

\i\j\kXiXjXk (2(г + Лга+1) + _ _ Лга+1)) ^ . / } 7 /г 7

Подставив полученные выражения в формулы У/А-,- = дф^ — — приходим

к равенствам (18) —(20).

Лемма 9. Пусть в условиях леммы 1 функция Ф определена равенством (14). Тогда в некоторой окрестности точки Р0 Е Рп функция К = К(х\,... ,хп), определенная на гиперповерхности Еп с Еп+1 равенством (12), вычисляется по формуле

А1А2... Ага+1

К= Г'2~ (21)

Доказательство. Мы имеем

/г+1 /г+1 /г+1

»г+1 ^^ Аах2а — 2'г+2А1А2 • • • А,г+ь

о,/3=1 а=1 а=1

|?гас1ФР+2 = (2 ^г + А,г+1)

/г+2

где функция т = т(х\,... ,хп) определена равенством (15). Подставив полученные соотношения в равенство (13), получим (21).

3. Нецентральные невырожденные гиперповерхности второго порядка

Пусть — нецентральная невырожденная гиперповерхность второго порядка в Еп+1. Тогда в Еп+1 существует декартова прямоугольная система координат (^1,^2, • • • ,^«+1), в которой уравнение гиперповерхности имеет вид

А^2 + \2х22 Н-----Ь А„^,2 - '2хп+1 = 0, где А* ф 0, г = 1, п.

То есть в Еп+1 можно задать уравнением вида (2), где функция Ф определена равенством

Ф(^ь х2, ■ ■ ■, ^»г+1) = А^2 + Х2х22 Н-----Ь Хпх2 - '2хп+\. (22)

Введем обозначение

/г

V = р(хх , . . . , Хп) = Е \2;Гг2- (23)

г=1

Лемма 10. Пусть в условиях леммы 1 функция Ф определена равенством (22). Тогда символы Кристоффеля ... ,хп), вычисленные относительно метрического тензора ..., хп), коэффициенты ..., хп) второй квадратичной формы гиперповерхности Р™ с Еп+1, ковариантные производные V... , хп), функция К(х1,..., хп), определенная на гиперповерхности Р™ С Еп+1 равенством (12), соответственно находятся по формулам:

Г| = 0, / / ,. (24)

Ьгг = Ьу = 0, г ф(25) •фу + 1

-ЗХ*х- -XíX2x■

= V = -1ф], ЧкЪц = 0, %ф)фкф%, (26)

Л1Л2... А,,

(Т^ттг

К = , '-—''V (27)

Доказательство. Мы имеем Ф* = Ф,г+1 = —2, Фы = 2Л*, Ф^ = 0 при г ф ],

Ф»г+1,»г+1 = 0, Фг,/г+1 = 0, |§гас1Ф|2 = 4(// + 1). Подставив полученные выражения в формулы (10) и (4) и используя обозначение (23), приходим соответственно к формулам (24) и (25).

Используя (24), (25), имеем

дфи = -—==гг, дуЬи = -—дкЬу = 0, г ф } ф к ф г,

Отсюда получим равенства (26).

Для доказательства равенства (27) вычисляем

«+1 , _. ,г+2

Е ф»Ф,зНа13 = Ф 2п+1Нп+1,п+1 = Т+2Л1Л2 • • • Л„, |§гас1ФР+2 = ,

о,/3=1

где функция // определена равенством (23). Отсюда, учитывая (13), приходим к (27).

4. Доказательство теоремы 1

1. Пусть Р™ — центральная невырожденная гиперповерхность второго порядка в Еп+1, точка Ро ^ Рп■ Тогда в Еп+1 существует декартова прямоугольная система координат (#1,... ,^„,^„+1), в которой Р™ задается уравнением

А^2 + Х2х22 Н-----Ь Л,г+1^,2+1 -1 = 0, где Л„ ф 0, а = 1, п + 1.

Не ограничивая общности, можем считать, что хга+1 / 0 в точке Ро = Р(х1,... ,хга+1). Тогда в силу леммы 1 в некоторой окрестности точки Ро на Р™ можно ввести локальные

координаты и,1 = XI,...,ип = хп, в которых функция К(х\,..., хп) вычисляется по формуле (21). Из (21) находим

дт 1п\К\ = -(п + 2)Лт(Лт ~ , т = ~г. (28)

т + Ага+1

Из (17) и (28) имеем

Ьцдг 1п \К\ _ ХЦ\г - Ага-ц)ач(1 + АгХ'1 - а) п + 2 (1-а)(^г + Ага+1)3

Ьцдз 1п \К\ + 2Ьудг 1п \К\ _ \j\jj\j - Лга+1)ж,(1 + Хх1 - а) п + 2 (1-а)(^г + Ага+1)3

2XjXj.rj.rjjX: - Ага+1) (1 -а)(^г + Ага+1)3' Ъцдк 1п \К\+ б^тД 1п \К\ + Ъыд3 1п \К\ _ А;А?А/,.г,..г?.г/Л А/, - Хп+1)

п + 2 (1 — сг)(л/Т + А/г+1)3

А .А/А/../•.•./•/./•/.! А,- — Ага+1) А .А/А/../•;./•/./•/,! А/ — А,^)

(1 - (т)(у/т + Хп+1у (1 - а)(у/т + Хп+1у Отсюда, учитывая равенства (18)—(20), получим соотношения:

= —^-(ЗЬгД1п|А|), п + 2

> < / .) / /

УгЬ,г = У,-6Й = (Ъггд31п | А | + 2Ъгздг 1п \К\), г ф ],

7Ъ | —

У*^- = —1п |А'| + &,тД 1п | А'| + Ъыд3 1п\К\), г ф ] фкф г.

ТЬ | —

Таким образом, на А" выполняются соотношения (1), где коэффициенты 1-формы /л определены равенством

рг = ^—дгЫ\К\, (29)

п + 2

и функция К вычисляется по формуле (21).

2. Пусть теперь А™ — нецентральная невырожденная гиперповерхность второго порядка в Еп+1. Тогда в некоторой декартовой прямоугольной системе координат (#1,... уравнение А™ имеет вид

А^ + Х2х22 Н-----Ь Хпх2г - 2хп+1 = 0, где А» ф 0, г = 1 ,п.

Векторное параметрическое уравнение А" можно записать в виде

г = , • • •, хп, ^ (Л1Ж1 + А2^2 Н-----Ь Хпх2г) |.

Для функции К(х\,... , хп) из равенства (27) находим

дтЫ\К\ = -(п + 2)^-, т = ~г. (30)

Из (25) и (30) получим

budiln\K\ Xfxi

п + 2 (v^TT)3' budj In\K\ + 2bijdi In\K\ _ AiXjxj

n + 2 {V^TT)3

bijdk In\K\ + bjkdi In\K\ + bkidj In\K\

i Ф J,

0, / / .у / /,' / /. п + 2

Отсюда, в силу (26), получим соотношения (1), где коэффициенты 1-формы /л определены равенством (29), функция К(х\,... ,хп) на Еп вычисляется по формуле (27). Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бакельман, И. Я. Введение в дифференциальную геометрию «в целом» / И. Я. Ба-кельман, А. Л. Вернер, Б. Е. Кантор. — М. : Наука, 1973. — 440 с.

ON HYPERSURFACES WITH CYCLIC RECURRENT THE SECOND FUNDAMENTAL FORM IN EUCLIDEAN SPACE

I.I. Bodrenko

In this article, author proved the following statement: any nondegenerate ??,-dimensional (n > 2) hypersurface of the second order in (/?, + l)-dimensional Euclidean space has cyclic recurrent the second fundamental form.

Key words: second fundamental form, connection of van der Waerden — Bortolotti.