Решение краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом в замкнутом виде Текст научной статьи по специальности «Математика»

Г.А. Шишкин. Решение краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом в замкнутом виде

УДК 517.948 © Г.А. Шишкин

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ В ЗАМКНУТОМ ВИДЕ

Используя функцию гибкой структуры, в статье исследуются возможности решения краевых задач для линейных интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом в замкнутом виде.

Ключевые слова: уравнения Фредгольма, интегро-дифференциальные уравнения, замкнутые решения, разрешающие уравнения, функция гибкой структуры.

G.A. Shishkin

SOLUTION OF BOUNDARY PROBLEMS FOR INTEGRO-DIFFERENTIAL FREDGOLM EQUATIONS WITH LATE ARGUMENT IN THE CLOSED KIND

In the article the possibilities of solution of boundary problems for linear integerdifferential Fredgolm equations with late argument in the closed kind are researched by means of the use a function offlexible structure.

Keywords: Fredgolm equations, integer-differential equations, closed decisions, resolving equations, function of flexible structure.

Введение

В работах [4-7] рассматривались краевые задачи для линейных интег-ро-дифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом запаздывающего, нейтрального и опережающего типов. Определение типов в этих работах осуществлялось в соответствии с классификацией, приведенной в работе [1].

Общий вид таких уравнений можно записать в виде

ЕЕ

=f(x), а)

ь

^ (х) у(1) и (х)) +К (х, ,) у({) и

j=0 1=0 _ а _

где и0(х) = х, и(х)<х V/ =1,1, функции ^(х), и/(х), и /(х) - непрерывны, ядра К/ (х,,) - регулярны в квадрате а < х,,< Ь , с линейными краевыми условиями для уравнений вида (1)

Ек/0(хо) +&У°(*1)] = 7„ *= а<хо<Ь, (2)

1=0

с начальными функциями

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012

У°(и/ (Х)) = У^^Щ (и, (Х)) X^Ex0, г = 0п-1, (3)

где и0 (х) = х, и, (х) < х ; функции и, (х), fij (х) е f (х) - непрерывны, ядра

1

К у (х) - регулярны в квадрате а < х,^< Ь, Ех = ^ Е] , Е] - множество

j=о 0 0

значений и, (х) < х при х > х0, Уу = 1,1, Е0 = [а, х0], функции <рД х) - зада-

ны и <рД х0) = 1, У г = 0, п -1.

Используя одну из модификаций функции гибкой структуры [2; 3], было показано, что задача (1)-(3) для уравнений запаздывающего типа всегда сводится к разрешающему интегральному уравнению смешанного вида Вольтерра-Фредгольма с обыкновенным аргументом. Для уравнений нейтрального и опережающего типов получены условия, при которых такое преобразование возможно. Далее в работе [6] показано, что все разрешающие уравнения рассмотренных краевых задач приводятся к одному виду смешанных интегральных уравнений Вольтерра-Фредгольма

уф) + Х

,=0

=F(z), (4)

V,(х) и, (Ъ)

| + 1 | Gj(г,,

_ ^ ^

где г = х для уравнений запаздывающего типа и г = и1 (х) для уравнений нейтрального и опережающего типов.

Так как в разрешающее уравнение (4) вошли п параметров г, г = 1, п, то можно попытаться за счет их выбора оптимизировать дальнейшее решение задачи и, во-первых, попытаться найти решение в замкнутом виде, а если это затруднительно, то перейти к ее приближенному решению.

Постановка задачи и ее решение

Исследование возможностей решения начальных задач в замкнутом виде проведем, опираясь на результаты работ [4-6] .

Решение в замкнутом виде получим, если в уравнении (4) параметры

Г, г = 1, п, можно определить так, что F(г) = 0 . Тогда решение однородного уравнения (4) будет ¡и( г) = 0 (в силу единственности решения при выполнении условий ограниченности функций |ф ■ (г, t)| < Q1 ■, Уу = 0,1 в заданном квадрате и1 (х0) < г < и1 (Ъ)), и решение первоначально поставленной задачи найдется по формуле (9) работы [4] при значении г = 0

п-1 ю

у (г) = D1 ^А, (г - х ., (5)

¿=1 г =0 Ю

Г.А. Шишкин. Решение краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом в замкнутом виде

где определители D, А^ (г - х0), вычисляются по формулам для функции гибкой структуры (4) в работе [4], ю по формуле (6) этой же работы, а Ю - алгебраические дополнения к его элементам.

Другой возможный вариант решения в замкнутом виде получим, если параметры г, г = 1, п, таковы, что Ф, (г, ^ = 0,О, (г, t) = 0 У/ = 0,1. Тогда решение уравнения (4) будет ¡и(г) = F(г) и, соответственно, по формуле для функции гибкой структуры (9) работы [4], определятся решения краевых задач

у(г) = {¿^(г-\Ух -& ■

I ¿=1 г=0 с к=0

) F^)dt] +1 Ап (г -1)F(t^ } + F(г). (6)

х0 1 х0 Если за счет выбора параметров выполнить условия F(г) = 0 или

О, (г, t) = 0 и О, (г, t) = 0 У, = 0,1 не удается, то можно попытаться при

О, (г, t) Ф 0 сделать О, (г, t) = 0 . В этом случае разрешающее уравнение

будет интегральным уравнением Фредгольма, и к нему применимы все известные методы решения в замкнутом виде интегральных уравнений Фредгольма (например, метод для вырожденных ядер).

Если же за счет выбора параметров удается сделать О, (г, ^ = 0 при

О, (г, t) Ф 0 У, = 0,1, тогда получим разрешающее интегральное уравнение

типа Вольтерра, для которого также в некоторых случаях известны возможные варианты решения в замкнутом виде.

Следует также заметить, что для некоторых частных видов разрешающих уравнений какие-то из выше перечисленных условий могут выполняться автоматически.

Пример. Рассмотрим краевую задачу

'хч 1

У"(х) + 2у'(х) - у' -\-\ у'Шц = 0, V 2 ) 0

у(0) + у'(1) = 0, 2у'(0) - у'(1) = 1.

Решение. Так как начальное множество состоит из одной точки, то краевая задача в этом случае ставится также, как и для уравнений с обык-

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012

новенным аргументом, без задания начальных функций, следовательно

Е0 = Е0° и Е = [0].

Воспользовавшись формулами функций гибкой структуры (9) работы [4] при п=2, х0=0 и положив Г1=0 для искомой функции и ее производных, найдем

ггх 1 1 х

у(х) = у(0)+у'(0) —+ - [Ге^-0 -1_М(№,

у у * I— —I

'2 г2 0

х

у'(х) = у'(0)еГ2х еГ2( х-' 0

х

у"(х) = у'(0)г2еГ2х + г21 еГ2( х-' + /и(х).

0

Откуда получим

РГ2 - 1 1 1г 1

у(1) = у(0) + у'(0)-+ - ГГеГ2(1-?) -1] М)Ж,

у у J \— _1

'2 '2 0

у'(1) = у'(0)еГ2 е^-' Ж 0

Подставив полученные выражения для у(1), у'(1) в краевые условия, определим

1 +1 е^ {л(()сИ ег2 + 2| е*0-) /и(Г) у '(0) = ° г-, у(0) = 1 - 2 у '(0) =

2 - еГ2 2 - еГ2

Затем полученные выражения для у(0), у'(0) подставим в формулы для искомой функции и ее производных, а последние - в заданные уравнения, тогда придем к разрешающему уравнению

х

_ 2 о 1

м(х) + (Г + 2)еГ2х е2 Гег2(1-'М^Ж + (2 + г2) Ге^УЖ

2 - еГ2

2 ^21 х- I еГ2 - 1 - Г2еГ2х - 2ге'2х + Г е 2 2

Ге ^2 >ц№ = е 2е^ ^ +^ = F(х). 0 г2(2 - еГ2)

х

х

Г.А. Шишкин. Решение краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом в замкнутом виде

Теперь за счет выбора параметра г2 минимизируем функцию F (х), минимум которой достигается при г2=0, т. к.

х

1 ег2 _ 1 _ г2е1х _ 2г еГ2Х + г в1^ lim F (х) = Нт-Нт 2 2 2

Г2 Г2 ^0 2 _ еГ2 Г2 г2

ег2 _ 1 Г Г2x^

■ " Г2еГ2Х + 2еГ2х _ е 2

= Нт--Нт

г2 ^0 г г2 ^0

V

= 1 _ 2 +1 = 0.

Следовательно, при г2=0 разрешающее уравнение однородное, и его решение /и( х) = 0, тогда решение поставленной краевой задачи будет

е1 е1Х _ 1

у( х) =---1--= lim

2 _ ег2 г2(2 _ ег2) Г2 ^

( ег2х _ 1 _ г2ег2 л

V Г2(2_еГ2) ,

= х _ 1.

Нетрудно проверить, что функция у( х) = х _ 1 удовлетворяет всем условиям поставленной краевой задачи.

Литература

1. Громова П.С. Некоторые вопросы качественной теории интегро-дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М., 1967. Т.5. С.61-76.

2. Куликов Н.К. Инженерный метод решения и исследования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа,1964. 207с.

3. Куликов Н.К. Решение и исследование обыкновенных дифференциальных уравнений на основе функций с гибкой структурой // Тематический сб. МТИПП. М.,1974. С. 47-57.

4. Шишкин Г.А. Об одном методе преобразования краевой задачи для интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с отклоняющимся аргументом запаздывающего типа // Сб. статей. Вып.4. Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2003. С. 112-115.

5. Шишкин Г.А. Преобразование краевой задачи для интегро-дифференциаль-ного уравнения Фредгольма с запаздывающим аргументом нейтрального типа к уравнениям без отклонений аргумента // Вестник БГУ. Сер. 13 Математика и информатика. Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2004. Вып. 1. С. 42-47.

6. Шишкин Г.А. Исследование возможностей преобразования краевой задачи для интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом опережающего типа к уравнениям с обыкновенным аргументом // Вестник БГУ. Сер. 13 Математика и информатика. Улан-Удэ, 2005. Вып. 2. С. 98-101.

7. Шишкин Г.А. Исследование краевых задач для линейных интегро-диф-ференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом // Материалы всероссийской конференции Математика, ее приложения и математическое образование. Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2005. С. 269-275.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012

Шишкин Геннадий Александрович, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики ИМИ БГУ, e-mail: gnshishkin@mail.ru

Shishkin Gennady Alexandrovich, candidate of physical and mathematical sciences, professor of applied mathematics department, Institute of Mathematics and Information, Buryat State University.