Решение краевых задач дифференциальных уравнений запаздывающего типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.948

©Г. А. Шишкин

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА

Используя новую модификацию функции гибкой структуры, в статье исследуется возможность решения краевых задачи для дифференциальных уравнений запаздывающего типа.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, разрешающие уравнения, функция гибкой структуры, запаздывающий тип уравнений.

О (i. A. Shishkin

THE DECISION OF BOUNDARY VALUE PROBLEMS DIFFERENTIAL EQUATIONS OF LATE TYPE

Using new updating of fonction of flexible structure, in article possibilities of the decision of boundary value problems for the linear differential equations of late type is investigated.

Keywords: the differential equations, resolving the equations, fonction of the flexible structure, late type of the equations.

Введение

В монографии [2] рассматривались начальные задачи для линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом запаздывающего, нейтрального и опережающего типов. Проведены исследования возможностей преобразования начальных задач с помощью функции гибкой структуры к интегральным уравнениям с обыкновенным аргументом. Доказано, что задачи Коши для всех дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом запаздывающего типа с помощью функции гибкой структуры преобразуется к разрешающим интегральным уравнениям с обыкновенным аргументом, решение которых существует и притом единственное при выполнении условий ограниченности функций входящих в уравнения. Рассмотрены возможности решения в замкнутом виде и варианты приближённого решения, если точное решение найти затруднительно.

В данной работе исследуем вопрос о возможности аналогичных преобразований линейной краевой задачи для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом запаздывающего типа.

Постановка краевой задачи для дифференциальных уравнений запаздывающего типа

Выпишем общий вид уравнений запаздывающего типа

]=0 ¿=0

где и{)(х) = х, и}.(х) < х, и;(х)^х, у = 1,/,/Дх), /(х) и иДх) непрерывны, ядра К:, (х, 1]) регулярны в квадрате а < х, ?] < Ь. с начальными функциями

/0("/*)) = /°(*о)РДи,(*))> / = 0,« -1, хе^, (2)

г

где ЕХа = , Е] - множество точек, для которых соответствующие

3=о

и;(х)<х при х>х0у/' = 1,/, а Е^ = [а, х0], функции </>, (х) заданы и

<Р;(*о) = 1' V/= 0,и-1.

Рассмотрим уравнение (1) с линейными билокальными краевыми условиями

+ = а<х0 <х1 <6 . (3)

1=0

Преобразование краевой задачи к уравнению с обыкновенным аргументом

Предполагая, что решение задачи (1), (2), (3) существует и единственно, решение на отрезке хе[х0,б] будем искать, применив для преобразований новую модификацию функции гибкой структуры, полученную для решения краевых задач в работе [3]

^=1 сус г=о ®

,54 1- дкА (х - Л гх) 5й А (м . (х) - 0

Ад 1 Ад

дхлк дхп

уУЦхЫиЛх)), (4)

где 7 = 0,«, уп=\ у,=0 V/ = 0,п -1. 7 = 0,/, хе^б].

/) = /)(/, .а.....гп)определитель Вандермонда, составленный из неопределенных параметров /,. г,......,гя. Параметры определяются в ходе решения

задачи исходя из оптимальности ее решения, определитель АДх= 1 ,п получается из определителя /) заменой 5-ой строки стро-

кой ехр/, (х - схр г2(х -1)..... ехр гп (х - /) и ¡и(х) - новая неизвестная функция.

При этом начальные функции примут вид

у®Мх)) = ф|(и_|(х)) |7т- в-1XX 1 дАп^Г°мт] т

г=0 ®

7 = 0,п-\, 7 = 0,/, хеЕ^ .

Подставим формулы функции гибкой структуры и ее производных (4*), полученные для краевой задачи в работе [3] в уравнение (1). Затем, перенесём все известные получившиеся при этом выражения в правую часть равенства и под знаками интегралов для известных выражений введя обозначения получим разрешающее интегральное уравнение смешанного типа Вольтерра-Фредгольма с обыкновенным аргументом

Ху и] (х)

¡О/х,0м(№ + Л | Н](х, 0М0 Л] = Р(х), (5)

.7=0

где для ядер (х, , Нj (х, и функции /'(х) получены определённые формулы.

Пример 1. Найдём решение краевой задачи

|/(*) + *У(|) = 1 + у, У(х) = У(0)|, ЗЯ0) + Я1)=1.

Решение. В данной краевой задаче х0 =0, х1 = 1, и0 (х) = х,

и1(х) = —, с0 = 0, с] = 0 и = [О] • Выпишем функцию гибкой структуры по формулам (4) учитывая условия краевой задачи

ГХ ГХ 1 X

3 + е 3 + е ' I

ГХ ГХ

2 3+е 3+е • •

С целью сокращения объёма выкладок положим г = 0, тогда выражения функции гибкой структуры упростятся

X

11^ X 11^ ^

у(х) = ---\ц(1)с11+\ц(1)с11 и у(^)=---[ц(1)с11+\ц(1)с11.

4 40 О ^ 4 4 0 о

Вычислив у'(х) = ¡и(х) и подставив полученные выражения для данной краевой задачи в исходное уравнение получим разрешающее уравнение

х/

х хх2 ¡и(х)--|/./(7)б//+х| jLl(/)c// = 1 — +—.

4 0 о 4 2

Решение этого интегрального уравнения будет ¡и(х) = 1. Подставив это значение ¡и(х) в функцию гибкой структуры краевой задачи найдём её решение у = х. Нетрудно проверить, что все условия краевой задачи выполняются.

Заключение

В журнальной литературе имеются работы которые затрагивают некоторые вопросы решения дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, но мало работ которые бы поднимали и решали проблему преобразования начальных и краевых задач для таких уравнений к разрешающим уравнениям с обыкновенным аргументом.

В данной статье исследованы возможности построения модели с обыкновенным аргументом для краевых задач дифференциальных уравнений запаздывающего типа и для них этот вопрос решён положительно. Для уравнений нейтрального и опережающего типов скорее всего такое преобразование возможно только для некоторых видов уравнений. Полученные аналитические выражения модели начальной задачи дают возможность оптимизировать нахождение её точного или приближённого решений за счёт оптимального выбора параметров функции гибкой структуры.

Литература

1. Куликов Н.К. Решение и исследование обыкновенных дифференциальных уравнений на основе функций с гибкой структурой/ Н.К.Куликов // Тематический сб. МТИПП. - М.Д974.-С.47-57.

2. Шишкин Г.А. Исследование и решение начальных задач для линейных дифференциальных уравнений с функциональным запаздыванием / Г.А. Шишкин. - Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2011. - 67 с.

3. Шишкин Г.А. Функция гибкой структуры и её модификация при решении краевых задач для уравнений с функциональным запаздыванием/ Г.А. Шишкин // Вестник БГУ, выпуск 9. -Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2013.-С. 144-147.

References

1. Kulikov N.K. Reshenie i issledovanie obyknovennyh differencial'nyh uravnenij na osnove funkcij s gibkoj strukturoj / N.K.Kulikov // Tematicheskij sb. MTIPP. - M.,1974.- P.47-57.

2. Shishkin G.A. Issledovanie i reshenie nachal'nyh zadach dlja linejnyh dif-ferencial'nyh uravnenij s funkcional'nym zapazdyvaniem / G.A. Shishkin. -Ulan-Ude: Izd-vo BGU, 2011. - 67 p.

3. Shishkin G.A. Funkcija gibkoj struktury i ejo modifikacija pri reshenii kraevyh zadach dlja uravnenij s funkcional'nym zapazdyvaniem / G.A. Shishkin // Vestnik BGU, vypusk 9. - Ulan-Ude: Izd-vo BGU, 2013. - P. 144-147.

Шишкин Геннадий Александрович, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики Бурятского государственного университета.

Shishkin Gennady Aleksandrovich, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor, applied mathematics department, Buryat State University.