Краевые задачи для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.948

© Г.А. Шишкин

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА С ФУНКЦИОНАЛЬНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

В статье на основе использования функции гибкой структуры исследуется возможность решения краевой задачи для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с функциональными запаздываниями.

Ключевые слова: интегро-дифференциальные уравнения Вольтерра, разрешающие уравнения, функция гибкой структуры, функциональные запаздывания.

О G.A. Shishkin

BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR VOLTERRA INTEGER-DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH FUNCTIONAL

DELAY

In the article a possibility of solution of boundary value problem for Volter-ra integer-differential equations with functional delays is researched on the basis of the use flexible structure fonction.

Keywords: Volterra integer-differential equations, resolving equations, fonction of flexible structure, functional delays.

Введение

В работах [4] и [5] проведено исследование возможностей преобразования начальных задач для линейных интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма и Вольтерра с запаздывающим аргументом с помощью функции гибкой структуры к интегральным уравнениям с обыкновенным аргументом. Доказано, что задача Коши для всех интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма и Вольтерра с отклоняющимся аргументом запаздывающего типа с помощью функции гибкой структуры преобразуется к разрешающему интегральному уравнению с обыкновенным аргументом, решение которых существует (и притом единственное) при выполнении условий ограниченности функций, входящих в уравнение. Рассмотрены возможности решения в замкнутом виде и вариант приближенного решения, если точное решение найти затруднительно. Определение типов в этой работе, как и в следующих, осуществлялось в соответствии с классификацией, приведенной в работе [1].

В данной работе исследуем вопрос о возможности аналогичных преобразований линейной краевой задачи для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом.

Постановка краевой задачи

Выпишем общий вид линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом

X X [^у + я/ С«у (77»^] = У С^), (1)

3=0 >=0 а

где и0(х) = х, и.(х)<х, и .(х) Ф х, у = 1,1, ДДх), /(х) и и .(х)- непрерывны, ядра К^(х,т]) - регулярны в квадрате а < х, г/<Ь с начальными функциями

у('\и](х)) = у('\х0)(р('\и](х)), / = 0^1, 16^, (2)

г

где ЕХа = , - множество точек, для которых соответствующие

.7=0

и^(х)<х при х>х0 Уу' = 1,/, а Е° = [а,х0], функции <рДх) - заданы и

<р№о) = \ V/ = 0,и-1.

Рассмотрим уравнение (1) с линейными билокальными краевыми условиями

+ = = а < х0 < х1 < 6 . (3)

Решение краевой задачи

Предполагая, что решение задачи (1), (2), (3) существует и единственно, решение на отрезке хе[х0,б] будем искать, применив для преобразований модификацию функции гибкой структуры, полученную в работе [4] для решения краевых задач

Л1У X— [у. -

лг=1 ОХ г=0 ®

к=о ^ <Щ

(и (х)-Л _

+ | --МОЛ} + г,и?(хМиу(х)). 7 = 0,/, (4*)

■Ч)

где 7 = 0,«, уп= 1, = 0 V/ = 0,п -1. 7 = 0,/, хе[с,6].

При этом начальные функции примут вид

y®(uj(x)) = Ф1(и,(х)) [У- D"1 XX J дА£Г°м№] s (2*}

Т=0 (О к-° ъ

7 = 0,п-1, 7 = 0,/, хеЕ^ .

Полученные выше формулы начальных функций и функции гибкой структуры с ее производными для краевой задачи в случаях 2 и 3 помечены теми же номерами, что и в работе [4], но со звездочкой.

Подставив выражения функции гибкой структуры и ее производных (4*) в уравнение (1), учитывая при этом форму начальных функций (2*), перенесем все известные выражения, получившиеся при этом, в правую часть равенства и проведем преобразования выражений под знаками интегралов, содержащих неизвестную функцию ¡и(х), суммировав интегралы, имеющие одинаковые пределы интегрирования. В общем случае получим для краевой задачи (1), (2), (3) разрешающее интегральное уравнение смешанного типа Вольтерра-Фредгольма с запаздывающим аргументом

/ ч ui w

+Jt)n(t)dt + X j HJ(x,t)^t)dt}=F{x), (6)

J 0

где ядра G. (х, t), Н. (х, /) и функция F(x) вычисляются по формулам

Gj (х, 0 = G] (х, 0 + G" (х, 0 + G*" (х, 0, н} (х, 0 = Я/ (х, 0 + н" (х, 0 + Я/** (х, 0, " "if А (иАх)-х0)

1=0 s=l "А

г=0 Ы к=0 ^ «^l

cl п п-\ fry п-\ Pjk д /

J у ' ' а ,=о г-=о ® ¿=о СХ] '

9 г-А

G, = ' •

,=1 dt]

•2- 2А —У—

z=0 ® ¿=0 CXj

H;(x,t)=KnJ(x,ur\t)) u';(ur\t)(ur\t))'.

" J'A (m .(X)-O

i=o OX

Н~(х,0= | IX (*,??) 'с/п.

Лу=° дг!

:=о 1=о

/¡АХ)В ¿и-Ъ-¿и —Г г

гг—1 (УХ ,—п О)

I и-1 ф

г=о ®

г " д'АЛи Ал) - 0 ^ со

I ^ дт]' ^ со

Заключение

В периодической литературе имеются работы, которые затрагивают некоторые вопросы решения интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом, но мало работ, которые бы решали проблему преобразования начальных и краевых задач для таких уравнений к разрешающим уравнениям с обыкновенным аргументом.

В данной статье с помощью функции гибкой структуры построено разрешающее уравнение первоначально поставленной краевой задачи. Затем, рассматривая различные типы разрешающих интегральных уравнений, предполагается решить вопрос о возможности преобразования краевых задач к разрешающим уравнениям с обыкновенным аргументом. В дальнейшем планируется рассмотреть возможности оптимизации нахождения ее точного или приближенного решений за счет оптимального выбора параметров функции гибкой структуры и разработать программу решения поставленных задач на ЭВМ. Этому будут посвящены дальнейшие исследования и разработки программ.

Литература

1. Громова П.С. Некоторые вопросы качественной теории интегро-дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. - М., 1967. - Т.5. - С.61-76.

2. Куликов Н.К. Инженерный метод решения и исследования обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Высшая школа, 1964. -207 с.

3. Куликов Н.К. Решение и исследование обыкновенных дифференциальных уравнений на основе функций с гибкой структурой // Тематический сб. МТИПП. - М., 1974. - С. 47-57.

4. Шишкин Г.А. Линейные интегро-дифференциальные уравнения Фредгольма с запаздывающим аргументом. - Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2006.-51 с.

5. Шишкин Г.А. Линейные интегро-дифференциальные уравнения Вольтерра с функциональным запаздыванием. - Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2009. - 64 с.

Шишкин Геннадий Александрович, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики Бурятского государственного университета. Тел.(3012)217733.

Shishkin Gennady Alexandrovich, candidate of physical and mathematical sciences, professor, applied mathematics department, Buryat State University.