Краевая задача одного вида интегродифференциальных уравнений Вольтерра нейтрального типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Функциональный анализ и дифференциальные

уравнения

УДК 517.948

© Г. А. Шишкин

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ОДНОГО ВИДА ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА

В статье, используя новую модификацию функции гибкой структуры, исследуем возможность решения краевых задач одного вида интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с запаздывающим аргументом нейтрального типа.

Ключевые слова: краевая задача, интегродифференциальные уравнения, функция гибкой структуры, нейтральный тип уравнений.

© G. A. Shishkin

BOUNDARY VALUE PROBLEM OF ONE KIND FOR VOLTERRA INTEGRAL AND DIFFERENTIAL EQUATIONS

OF NEUTRAL TYPE

In the article a possibility of solution the boundary value problems of one kind for Volterra integral and differential equations with late argument of neutral type is studied with the use a new updating function of flexible structure.

Keywords: boundary value problem, integral and differential equations, function of flexible structure, neutral type of equations.

Введение

В работе [2] проведено исследование возможностей преобразования начальных задач интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра к разрешающему интегральному уравнению с обыкновенным аргументом. С помощью функции гибкой структуры доказано, что задача Коши для рассмотренных типов уравнений преобразуется к интегральному уравнению типа Вольтерра с обыкновенным аргументом, решение которого существует и притом единственное при выполнении условий ограниченности функций, входящих в уравнение. Рассмотрены возможности решения в замкнутом виде и вариант приближенного решения, если точное решение найти затруднительно.

Постановка краевой задачи и ее решение

Рассмотрим уравнение нейтрального типа следующего вида

у (п)( х)+1

3=0

П-1 л П

Е / (Х)У(0(«3. (X)) +я|£ К. (х,Л)у( \и} (Л))СЛ

= / (X),

_ (1)

где и0(х) = х, из(х) < х, и.(х) # х V/ = 1,1, /.(х), /(х) и и.(х)- непрерывны, ядра К. (х,^) - регулярны в квадрате а < х,ц< Ь. Пусть дано уравнение (1), начальные функции

у(0(и,(х)) = у(')(хо)^(')(и.(х)), / = , хе ЕХо, (2)

I

где Ех = I \Е1 , Ех - начальное множество и линейные билокальные

х0 Ч_/ хз хо

3=0

краевые условия

п—1

ХКУ0^) + АчУ)(х^] = УХ, т=0,п -1, а < хо < х < Ь . (3)

,=о

Предполагая, что решение задачи (1), (2), (3) существует и единственно, будем искать ее решение на отрезке х е[ х0, Ь] с помощью новой

модификации функции гибкой структуры, полученной для решения краевых задач в работе [3] (случаи 2 и 3)

у( х) = В .¡¿^М^£ ^

я=1 сх г=о (Я

, 1 дкА (х - П У о Д (и .(х) -1)

М ¿х г]+ I п(4)

к=0 х иХ1 х °Х

-"-о ло

Обозначим через е.. наименьшие из корней и. (х) = х0 на отрезке х е[х0,Ь], если же таковых нет, то полагаем соответствующие с. = Ь.

Далее разобьем интегралы в уравнении (1) на суммы от известных и неизвестных частей в выражениях от запаздываний в соответствии с начальными функциями (2).

Подставив выражения функции гибкой структуры (4) и ее производных у(п)(х) и у)(и. (х)) в исходное уравнение (1) и проделав необходимые преобразования, получим разрешающее интегральное уравнение Вольтерра-Фредгольма с обыкновенным аргументом

I х и. (х)

¡и(х)+ Ё | О. (х, г)р{г)Сг + А | И} (х, г)ц(г) сИ] = ^(х). (5)

. 0 х х

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2014

Пример. Найти решение краевой задачи уравнения нейтрального типа:

х 2

у'(х) + 2{(X= 1 + ^, у(х) = у(0)X, у(Х) = у(0)X, 3у(0) + у(1) = 1. * 2 2 2 2 4

Решение. В данной краевой задаче х0 = 0, х1 = 1, и0(х) = х,

и1(х) = —, с0 = 0, с1 = 0, Е^ =[0]. Далее можно воспользоваться формулой (4), выведенной для общего случая, но проще повторить на примере ее вывод. Выпишем функцию гибкой структуры для начальных задач, формулу (4) работы [3] и ее значение для у(х1)

х 1

у(х) = у(0)егх +1ег(, у(1) = у(0)ег +{ег^т. 0 0 Подставив полученное выражение для у(х1) при х1 = 1 в краевые условия задачи, найдем:

у(0) = -1т --^т } е(1- .

^ 4- Р ^ 4- Р ■>

3 + ег 3 + ег 0

Затем, подставив это выражение для у(0) в функцию гибкой структуры и с целью сокращения объема выкладок положив г = 0 для функции гибкой структуры и ее производных, получим выражения в соответствии с условиями краевой задачи:

х

111 х х 111 2

у(х) = - - -¡м(№ + и уф = - - -¡м(0Ж + ]м(0&,

4 4 0 0 2 4 4 0 0 у( х)="(х)- уф=

Подставив полученные выражения функции гибкой структуры и ее производных для данной краевой задачи в исходное уравнение, получим

х2

г t х

разрешающее интегральное уравнение ^(х) +1 (х-1= 1 н--, ре-

2 2

0

шение которого /и(х) = 1.

Используя это решение, найдем решение краевой задачи у(х) = х. Нетрудно проверить, что условия краевой задачи выполняются.

Заключение

В журнальной литературе имеются труды, которые затрагивают многие вопросы решения интегродифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом, но мало работ, которые бы поднимали и

решали проблему преобразования начальных и краевых задач для таких уравнений к разрешающим уравнениям с обыкновенным аргументом.

В статье исследованы возможности построения модели с обыкновенным аргументом для краевой задачи одного вида интегродифференциальных уравнений Вольтерра нейтрального типа. Для всех уравнений запаздывающего типа с помощью функции гибкой структуры этот вопрос решен положительно. Для уравнений нейтрального и опережающего типов такое преобразование возможно только для некоторых классов уравнений. Полученные аналитические выражения модели начальной задачи дают возможность оптимизировать нахождение ее точного или приближённого решений за счет оптимального выбора параметров функции гибкой структуры и разработать программу решения поставленных задач на ЭВМ. Этому и будут посвящены дальнейшие исследования и разработки программ.

Литература

1. Куликов Н. К. Решение и исследование обыкновенных дифференциальных уравнений на основе функций с гибкой структурой // Тематический сб. МТИПП. - М.,1974. - С.47-57.

2. Шишкин Г. А. Линейные интегро-дифференциальные уравнения Вольтерра с функциональным запаздыванием. - Улан-Удэ: Изд-во Бурят. гос. ун-та, 2009. - 64 с.

3. Шишкин Г. А. Функция гибкой структуры и ее модификация при решении краевых задач для уравнений с функциональным запаздыванием // Вестник Бурятского госуниверситета. - 2013. - Вып. 9. - С. 144-147.

Шишкин Геннадий. Александрович, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики Бурятского государственного университета, тел.8(3012)217-733.

Shishkin Gennady Aleksandrovich, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor, applied mathematics department, Buryat State University.