Краевые задачи интегродифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Новиков Евгений Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник ИВМ СО РАН, заведующий кафедрой СФУ, тел. (391)2494724, е-mail [email protected].

Рыбков Михаил Викторович, ассистент кафедры СФУ, тел. (905)0860115, E-mail: [email protected]

Novikov Evgeny Alexandrovich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, senior researcher, Institute of Computational Modeling SB RAS, head of the department, Siberian Federal University. Rybkov Mikhail Viktorovich, teaching assistant, Siberian Federal University.

УДК 517.948

© Г.А. Шишкин

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА

ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА

Используя новую модификацию функции гибкой структуры, в статье исследуется возможность решения краевых задач для линейных уравнений запаздывающего типа.

Ключевые слова: краевая задача, интегродифференциальные уравнения Вольтерра, разрешающее уравнение, функция гибкой структуры, запаздывающий тип уравнений.

G.A. Shishkin

THE BOUNDARY VALUE PROBLEMS OF VOLTERRA INTEGER-DIFFERENTIAL EQUATIONS OF RETARDING TYPE

In the article a possibility of solution the boundary value problems for linear equations of retarding type is studied using new updating of flexible structure function.

Keywords: boundary value problem, the Volterra integer-differential equations, resolving equation, function of flexible structure, retarding type of equations.

Введение

В работе [2] доказано, что задача Коши для всех интегродифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом запаздывающего типа с помощью функции гибкой структуры [1] преобразуется к разрешающему интегральному уравнению типа Вольтерра с обыкновенным аргументом, решение которого существует и притом единственное при выполнении условий ограниченности функций, входящих в уравнение. В данной работе исследуем вопрос о возможности аналогичных преобразований линейной краевой задачи для интегродифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом запаздывающего типа.

Постановка задачи и ее решение

Выпишем общий вид уравнений запаздывающего типа

' n4 f(x)y(')(u](x)) + a}k7(x,r)yil)(u](r))dr + h\Kn0(x,r)y(n\r)dr = f(x), (1)

У0«+ЕЕ

У=0 i=0

где и0 (х) = X, и; (х) < X У; = 1,1 и и; (х) х, функции (х), и■ (х) и / ( X ) - непрерывны, ядра К у ( х, ц ) - регулярны в квадрате а < х, Ц < Ь , с начальными функциями

У()(и] (х)) = у(г)(хоУг)(и; (х)), I = 0^, х е ЕХо, (2)

I

где Ех = ^Е]х , Е^ - множество точек, для которых соответствующие и ■ (х) < х при х > х0

0 ;=0 0 0

У = 1,1, а Е.°0 = [а, х0 ] и с линейными билокальными краевыми условиями

XКу0'^) + Рггy(i)(xj)] = ГТ, х=0,n-1, a < x0 < x, < b . (3)

Предполагая, что решение задачи (1), (2), (3) существует и единственно, будем искать ее решение на отрезке X е [х0, Ь] , применив для преобразований одну из модификаций функции гибкой структуры

у ■<«, (x)) = о-'Ё/-»«,) * а- ^ - ^ + +(х)^(и(х)), (4)

5 1 х0 где г = 0, п, О = О(г1, г2, ..., гп) - определитель Вандермонда, составленный из неопределенных параметров г, г2, ..., гп, которые определяются в ходе решения задачи исходя из оптимальности ее решения, определители А5 (х — ^), 5 = 1, п получаются из определителя D заменой s-ой строки строкой ехр г1(х — 0,ехр г2(х — ¿),...,ехр гп (X — I), и( х) - новая неизвестная функция и

уп = 1, уг = о Vi = 0, п — 1.

Обозначим через с. наименьшие из корней и.(х) = х0 на отрезке X е [хо,Ь], если же таковых нет, то полагаем соответствующие с. = Ь. Далее разобьем интегралы в уравнении (1) на суммы от известных и неизвестных частей в выражениях от запаздываний, в соответствии с (2), считая при этом />; (X)) = у^1\х())^(и] (X)).

Используя начальные функции (2), краевые условия (3) и функцию гибкой структуры и ее производные (4) определим у(г)(х0) через новую неизвестную функцию и(х), при этом могут возникнуть

три возможных ситуации: 1. х0 < х1 < с. V/ = 0,1; 2. х0 < с. < х1 V. = 0,1; 3. х1 таково, что

3. = 0,1, что для некоторых выполняется х0 < х1 < с. и для других х0 < с. < х1.

Первый случай наиболее простой он напрямую сводится к решению задачи Коши. Во втором и третьем случаях, применив функцию гибкой структуры и ее производные (4), выразим значения

у(г) (х1) г = 0, п — 1 через новую неизвестную функцию ц(х) и начальные значения искомой функции и ее производных у(г )(х0) / = 0, п — 1

п X Я' А (х — t) _

У("(Х1) = О [^у(5—1)(х0)А«(х — х0) + \С А"(X1 Г и(/*], 1=0,п — 1.

5=1 х Ях

х0

( )/

■п Яг

Подставив полученные выражения у )(х1) в краевые условия (3)

п(х дх

^{а1гу (г)( х0) + ЯО у(5—1)( х0)А5)(х — х0) "V1 )и($ )* ]} = уг,т = 0, п — 1,

г=0 5=1

перегруппировав слагаемые, придем к системе алгебраических уравнений относительно у(г )(х0)

иоо^.м.о^-----п1 V я Ги(.)*, ' = 0,п — 1. (5)

2[а1г + ЯО^«(х — х0)]у(г)(х0) == уг — О1 2Я| пд,1 и(>-*, г = 0,п — 1.

г=0 г=0 х

х0

Обозначив главный определитель системы (5) через ю

С = det [а1Т + х1)], 1,т = 0, п — 1, (6)

а алгебраические дополнения к элементам главного определителя через по формулам Крамера найдем

п—1 С п—1 х1 Як А (х — i) _

У(1)(х0)= 2 С [^-О-1 2 Я | и($*] ,1=0,п — 1. (7)

т=0 С к=0 х дх

х0

0

В соответствии с (7) функции гибкой структуры (4) для краевой задачи примут вид

у)(х>=-ГГ §^* --I^^Г^+т^Г^-(*)•

где / = 0,п, ; = 0,1, qn = 1, qi = 0 У/ = 0,п-1, х е [су,Ь]. (8)

Разбиваем интегралы в уравнении (1) на сумму в соответствии с определившимися начальными множествами Е3 и подставляем функцию гибкой структуры и ее производные (8), полученные для

краевой задачи, в уравнение (1), выделяя при этом известные и неизвестные выражения под знаком интеграла. Затем, проведя преобразования выражений под знаками интегралов, содержащих неизвестную функцию /и (х), заменив переменную ц на t и сменив порядок интегрирования в двойных интегралах, получим разрешающее интегральное уравнение смешанного типа Вольтерра-Фредгольма с обыкновенным аргументом

x

uj( x)

и(х) + | G] (х, г/)ёг+X | Нз (х, г/)ёг = F(х), (9)

х0 х0 где для ядер Оу (х, г), Н; (х, г)и свободной функции F(х) получены формулы.

Пример. Найдем решение следующей краевой задачи:

У'(х) + ху(2)-)у№ч = 1, У(х) = 2 У(2) = 4 х0 = 0, 3у(0) + у(1) = 1.

2 0 2 2 4

х

Решение. В данной краевой задаче и0(х) = х, и1(х) = —, с0 = 0, с1 = 0, Ех = [0]. Так как начальное множество состоит из одной точки, совпадающей со значением нижнего предела интегрирования, то начальные функции на значения интеграла влиять не будут. Выпишем функцию гибкой структуры по формулам (3) и ее значение для у( х1), учитывая условия краевой задачи

х 1

У(х) = у(0)егх +) ег(х-г)и(г)йг, у(1) = у(0)ег +) ег(1-г/(г)йг, 00 и, подставив полученное выражение для у (х1) в краевые условия задачи, найдем

1 1 1

У (0) = — ) е(1-г )/(г )ёг.

3 + е 3 + е 0

Затем, подставив полученное выражение для у(0) в функцию гибкой структуры, найдем ее выражение в соответствии с условиями краевой задачи:

гх гх х

гх гх 1 х 221 2 ,х .

У(х)= --^т)ег(1-У№+)е^/т и уф = -Ц-)ег(1-г)/(г)^г+)¿ ^ /)Л .

3+е 3+е 0 0 2 3+е 3+е 0 0

С целью сокращения объема выкладок положим г = 0, тогда выражения функции гибкой структуры упростятся:

x

l 1 г _ , X ^ il

1 2

у(х)=---) и№+) и№ и у(-)=---) и(г)а+) ит-3 3 0 0 2330 0

Подставив эти выражения функции гибкой структуры в уравнение краевой задачи после необходимых преобразований получим разрешающее интегральное уравнение:

2

/u(x)+J /u(t)dt - J (x - t)ß(t)dt = 1,

x

решение которого будет ¡и(x) = 1. Подставив это значение ¡и(x) в функцию гибкой структуры для краевой задачи найдем ее решение y = x. Нетрудно проверить, что все условия краевой задачи выполняются.

Заключение

В журнальной литературе имеются работы, которые затрагивают многие вопросы решения ин-тегродифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом, но мало работ, которые бы поднимали и решали проблему преобразования начальных и краевых задач для таких уравнений к разрешающим уравнениям с обыкновенным аргументом.

В данной статье исследованы возможности построения модели с обыкновенным аргументом для краевой задачи интегродифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа. Для всех уравнений запаздывающего типа с помощью функции гибкой структуры этот вопрос решен положительно. Для уравнений нейтрального и опережающего типов скорее всего такое преобразование возможно только для некоторых видов уравнений. Полученные аналитические выражения модели начальной задачи дают возможность оптимизировать нахождение ее точного или приближенного решений за счет оптимального выбора параметров функции гибкой структуры и разработать программу решения поставленных задач на ЭВМ. Этому и будут посвящены дальнейшие исследования и разработки программ.

Литература

1. Куликов Н.К. Решение и исследование обыкновенных дифференциальных уравнений на основе функций с гибкой структурой // Тематический сб. МТИПП. М., 1974. С.47-57.

2. Шишкин Г.А. Линейные интегродифференциальные уравнения Вольтерра с функциональным запаздыванием. Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2009. 64 с.

3. Шишкин Г.А. Функция гибкой структуры и ее модификация при решении краевых задач для уравнений с функциональным запаздыванием // Вестник Бурятского государственного университета. Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2013. - Вып. 9. С. 144-147.

Шишкин Геннадий Александрович, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики Бурятского государственного университета, e-mail: [email protected]

Shishkin Gennady Alexandrovich, candidate of physical and mathematical sciences, professor, applied mathematics department, Buryat State University.