УДК 517.948
ББК 22.1
© Г.А. Шишкин
Бурятский государственный университет, Улан-Удэ E-mail: kafedra pm@bsu.ru
Исследование и решение начальных задач для линейных интегродифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием опережающего типа
В статье рассматривается возможность преобразования начальных задач для линейных интегродифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием опережающего типа к разрешающим интегральным уравнениям с обыкновенным аргументом и их решение.
Ключевые слова: интегродифференциальные, уравнения Вольтерра, опережающий тип,
функция гибкой структуры.
© G.A. Shishkin
Buryat State University, Ulan-Ude E-mail: kafedra pm@bsu.ru
Investigation and solution of the initial problems for Volterra linear integral-differential equations with functional delay of forestalling type
The article deals with the possibility of transforming the initial problems for Volterra linear integral-differential equations with functional delay of forestalling type to the integral equations with the usual argument and their solution.
Key words: integral-differential, Volterra equations, forestalling type, function of supple structure.
Введение
Ранее в работе [3] был исследован вопрос о возможности преобразования с помощью одной модификации функции гибкой структуры начальных и краевых задач для интегродифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом различных типов к разрешающим интегральным уравнениям смешанного типа Вольтерра-Фредгольма с обыкновенным аргументом. В работе показано, что такое преобразование возможно для всех линейных интегродифференциальных уравнений Фредгольма запаздывающего типа, и получены условия, накладываемые на некоторые коэффициенты внешнего и внутреннего дифференциальных операторов для уравнений нейтрального и опережающего типов.
В работах [4]-[5] было показано, что начальная задача для всех линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа и определенных видов нейтрального типа с помощью функции гибкой структуры преобразуется к разрешающему интегральному уравнению Вольтерра с обыкновенным аргументом.
Постановка задачи и ее решение
Рассмотрим возможность такого преобразования для уравнений опережающего типа с одним отклонением при старшей производной во внешнем дифференциальном операторе
l п-1
у(п)(и(х)) +
]=0 г'=0
f (x) y(i) (uj (x)) + Я/ Kj (x, n)y(i) Ц. (n))dn
f (x),
(1)
где ы0(х) = х, и ■ (х) < X Уj = 1,1 , функции (х), ы] (х) и / (х) - непрерывны, ядра
К(х,п) - регулярны в квадрате а < х,П < Ь .
Выпишем начальные условия
у(i) (Uj (x)) = ф (Uj (x)), i = 0, n — 1, x є EXn, (2)
где EX = U Ej , Ej - множество точек, для которых соответствующие Uj (X) й X 0
при х ^ х0 У/ - 1,/ , -[а,х].
Предполагая, что решение задачи (1) - (2) существует и единственно, решение на отрезке х є [х0, Ь] будем искать, применив для преобразований одну из модификаций
функции гибкой структуры [1] - [ 2].
у(i '(Uj (x)) = D-
Е y<s—,l( X.)
dlAs (uj (x) — X0)
(s—1)/~ \ sV ' 0
s=1
0 dxi
+
f d A n (U і (x) — 1 ) / ч ,
+ j ----------j------------M(t)dt
x0
n
+ YiUj (x)jU(Uj (x)), (3i)
где i — 0, n, Yn — 1, Y = 0 = 0, n — 1, D=D( r1, r2,.........., rn) - определитель
Вандермонда, составленный из неопределенных параметров r1, r2,...., rn.
Параметры определяются в ходе решения задачи исходя из оптимальности ее решения, определитель As (x — t), s — 1, n получается из определителя D заменой s-й строки строкой
exp r (X — t), exp r2 (x — t),..., exp rn (x — t) и fl(x) - новая неизвестная функция.
Так как любую непрерывную n раз дифференцируемую функцию можно представить в виде функции с гибкой структурой [1], [2], то преобразования, выполненные с её помощью, приведут к разрешающему интегральному уравнению, эквивалентному первоначально поставленной задаче Коши. За счет оптимального выбора параметров функции гибкой структуры можно получать решения в замкнутой форме, а если это не удается, то ускорять процесс приближенного решения и влиять на объем вычислений.
Параметры в определителе D могут быть и равными, в этом случае пределы выражений
^—1 д1A s (Uj (x) — t)
D имеют вполне определенные значения, вычисляемые по правилу
dx
Лопиталя.
Наименьший из корней уравнений Uj (x) — x0 на отрезке x Е [x0, b] обозначим через Cj, если таковых нет, то принимаем c j — b. Разобьем интегралы на сумму в соответствии с определившимися начальными множествами Ej и, учитывая начальные условия (2), подставим функцию гибкой структуры и ее производные (30)-(3n) в уравнение (1), выделяя при этом известные и неизвестные выражения под знаком интеграла.
Во вновь полученном равенстве в двойных интегралах
x “'П д'An(u,(П) —t)
J к,'(x,n)dn J ------M(t)dt
с xA /
n
поменяем порядок интегрирования в соответствии с областью интегрирования
с, <п<х, и.(п) - г, Хо <г <и.(п)
и заменим их равными им интегралами
с Х д1А (и. (п) - г)
| /и(г)йг\ К. (х,п)—п-^і---П
х0
дп
В интегралах
х /
| Кп] (х,п)и.п (п)м(и. (ПЫП
произведем замену переменных, положив г = ыj (П). Тогда П = и^ (*) (где ы-1(г) -
обратная функция для функции ыj (п) ), & = Ыj (П)&П , новые пределы интегрирования *1 = Ы] (Cj ) = х0, *2 = Ы} (х) , и заменим их равными интегралами
Ыj ( х)
I Кп] (х, и -1 (г))Ыjп-1 (ы -1 (г))^(г)&г.
х0
Затем, суммируя интегралы с одинаковыми пределами интегрирования от неизвестной функции ц(г) и вводя обозначения для известных выражений, получим разрешающее интегральное уравнение типа Вольтерра
и'п (х)^(щ (х)) + II |
]-0 і-0
I, (х) В
1 діАп (и. (х) - г)
дх
+
чп-1 д' (и](п) - г )л
Л\ К] (х,п)в ---------д_--------^п +
+ЯК, (х, и ■1 (г))и/,п 1 (и]1 (г)) ц(г)Аг - Г(х).
Далее, поделив последнее равенство на ы'" (х) Ф 0, введя новую переменную г = ыг (х)
(х = ы-1( г)) и обозначения для известных выражений, получим для задачи (1)-(2) разрешающее уравнение типа Вольтерра с обыкновенным аргументом
I vj(г}
м(г) + I I Н (г, г)м(г)&г = Ф (г), (4)
где
Н, (г г) -
аЦ (и1 *(г) сІи-\і)
п
I
і-0
І, (и-1(г))В-
1 д1 Ап (и, (и/( г)) - г)
(дщ (г))
“Г гг) і і д' (и, (п) - г)
+Я | К, (и-1(г),п)В-1 С// Ап +
дп
+ЯК] (и/-1( г), и -\г ))и'п-1(и -\г))
-1(и - ■■
с
х
0
-п
г
Ф( г) =
йы1 (ы/(г) йы-1(г)
I п
/ (ыГ1( г)) - ЕЕ
3=0 г=0
О' Е у‘ !-1)( Х>) X
.5=1
X
й1 А я (ы. (ы/1( г)) - Хо)
3
Ы[ 1(г)
+Л | Кц(ы-1( г ш
(йы/( г ))г йг А в (и. (ц)- Хо)
йц +
+
3
л\ Кц (ы-1 (г), п)ф (ыц (ц))йц
Вывод. Задача Коши с начальными условиями (2) для интегродифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом опережающего типа (1) с помощью одной модификации функции гибкой структуры (30)-(3п) преобразуется к разрешающему интегральному уравнению типа Вольтерра (4) с обыкновенным аргументом. Единственное решение, которое существует при выполнении условий: функции Ф (г), Нц (г, t) в
разрешающем уравнении (4) ограничены в заданном квадрате ыг (Х0) < г < ыг (Ь) , |Ф (г)| < Р , Нз (г, t) < Qз < Q , 0, = шах Q3 . Доказательство можно провести, применив метод последовательных приближений и метод от противного [4].
Примеры
Приведем примеры решения начальных задач для интегродифференциальных уравнений Вольтерра опережающего типа.
Пример 1. Найдем приближенное решение задачи Коши для уравнения опережающего типа
з
4 { У (п)йц = 1 - Х - у,
2 ?
у (х) = 1 + х, у (х) = 2х, х 0 = 0,
' Х ^ , Х2 / Х ^ Х
У
Г Х } Х2 Г Х ^ Х
— = 1 +—, у' — =
ч 2 у 4 ч 2 У 2
на отрезке х е
0,1
2
с точностью а = 0,0001.
Решение. Выпишем данные задачи ы0 (х) = Х, f21 (х) = 4,
Х 1 / 1
г = — = ы1(х), х = 2г = ы-1(г), 0< г< —, ы"(х) = —
2 4 2
Я = -1, К00( х,ц) = 1, /( х) =1 - Х -
Х
-п
п
<
с
а
Х
Для данной задачи начальное множество состоит из одной точки Е = Е0 ^ Е0 = [0].
Ядра и свободную функцию разрешающего уравнения можно найти по формулам в разрешающем уравнении (4), но так как порядок уравнения небольшой и коэффициентов мало, то выгоднее получить разрешающее уравнение непосредственной подстановкой функции гибкой структуры ( 30 )-( 32 ) в данное уравнение
) + 4^ О'
.5=1
У 15-1)(0)-
й2А(2) 2 э 2А 2 - г)
йх
і
х
'2
Эх2
- ц.(г )йг
х 2 п
- | О 1 Ё У (5 1)(0)А 5 (п) + | А 2 (п г )^(г )йг
0
х
йп = 1 — х-----------.
' 6
0 *=1
Для сокращения объема выкладок положим г2 = г1 = г и, подставив значения выражений
гл-1 д гА5 (ы3 (х) - 0 —— __ ^ ^
11ШО -----------т—:---------------, I = 0,2, 3 = 0,1, 5 = 1,2, приведенные в монографии [3],
Эхг
найдем
2 (х — )
/л(—) + 4| е 2 — (2 + г(— г))^(г)йг — ^ ^(г)йг^ (п — г)е—(п г)йп =
2'
0
4
2
г3 —
= 1 — х-----------+ е2 г2
6
1 х
1 + г— 2
+
х
| (1 — —п)е—пйп.
х
Наиболее простое разрешающее уравнение будет при г = 0 и, положив г = — , получим
1 2 г
М( г) — т | (2 г — г )2 м(г )йг = 1 2 •
3 .
= 4 г
Возьмём М0( г) =1 —- и вычислим два последовательных приближения к решению
3
разрешающего уравнения
32г6 / л і 368 9
М(г) = 1 ——, /и2(г) =1 —г
45
2835 '
По формулам, приведенным в работе [4], предварительно вычислив при 0 < г < 4 ,
х0 = 0,1 = 1, к = 2
Е = тах
0 < г < 14
1
3
_ |2г — г2 1
= 1, У = та^----------------= —
0<г ,г <1 2 8 ,
посчитаем погрешности вторых приближений разрешающего уравнения а^ и
начальной задачи ау
2
0
2 "1
х
х
х
0
т
0
V 8 у
• 23
/ 1 л3 ч4у
(2 +1)!
І2І
8___4
, 4
0,00005
ау <а„ тах
У2 М 0<х<1
| О А 2( х — г )йг
х — г
а„ тах '
М2 1 О
0<х<— 2
2
0,000006.
Найдем теперь приближенное значение решения поставленной задачи по формуле (30 ) , положив ц( Х) «^( Х)
у (х) « О
—1
2 х £ у5—1(0)а5 (х) + | А2 (х — г)мг(г)йг
= 1 +
х
184
2 155925
х
11
5=1 0
Как видим, требуемая точность достигнута ау~ 0,000006 << а = 0,0001.
„2
х
Зная точное решение поставленной задачи у (х) 1 + 2 , нетрудно посчитать и
точное значение погрешности
8 = тах
0£ х £1
184 х
11
155925
184 Х-1-» 0,0000005 155925 2 .
Оно значительно меньше требуемой точности по условию задачи. Пример 2. Найти решение задачи Коши
Х
Х ^
2"
4 У\) — I У(п)йп = — х,
у( х) = х2 +1, у'( х) = 2 х, Ґ
. у
л Л /
= —+ 1, у
4
х
2
х
=—, х0 = 0. 2 0
2 4 2
Решение. В данном примере интегродифференциальный оператор и начальные условия те же, что и в примере 1 ( Ех0 = [0], у(0) = 1 у (0) = 0) . Поэтому, воспользовавшись выкладками примера 1, можем сразу записать разрешающее интегральное уравнение
х 1
х 1 і*
М(—) — I (х—г)2 м(г)йг=—х+х=0. 2 2
В силу единственности решение однородного разрешающего уравнения будет Ц.(г) = 0 , где г = 2.
Решение поставленной задачи при Г2 = г1 = 0 найдем по формуле (30)
у (х) = О
—1
2 х
£ у5—1 (0)А^ (х) +1А2 (х — г)м(г)йг
5=1 0
х
2
х
0
0
0
= 11ш О 1А1(х) = (1 - г(х- х0)ег(Х Х0) = 1
г2 ^Г1
Нетрудно проверить, что условия начальной задачи выполняются.
Литература
1. Куликов Н.К. Инженерный метод решения и исследования обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Высшая школа, 1964.-207 с.
2. Куликов Н.К. Решение и исследование обыкновенных дифференциальных уравнений на основе функций с гибкой структурой: тематический сб. МТИПП. - М.,1974. - с.47-57
3. Шишкин Г.А. Линейные интегродифференциальные уравнения Фредгольма с запаздывающим аргументом. - Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2006. - 50с.
4. Шишкин Г.А. Исследование и решение начальной задачи для линейных интегродифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа // Математика, её приложения и математическое образование. Материалы междунар. конф. - Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2008. - С.406-413.
5. Шишкин Г.А. Исследование и решение задачи Коши для линейных интегродифференциальных уравнений Вольтерра нейтрального типа // Вестник БГУ. Выпуск 9. - Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2009. -С. 94-98.