Исследование и решение начальных задач для линейных интегродифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием опережающего типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.948

ББК 22.1

© Г.А. Шишкин

Бурятский государственный университет, Улан-Удэ E-mail: kafedra pm@bsu.ru

Исследование и решение начальных задач для линейных интегродифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием опережающего типа

В статье рассматривается возможность преобразования начальных задач для линейных интегродифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием опережающего типа к разрешающим интегральным уравнениям с обыкновенным аргументом и их решение.

Ключевые слова: интегродифференциальные, уравнения Вольтерра, опережающий тип,

функция гибкой структуры.

© G.A. Shishkin

Buryat State University, Ulan-Ude E-mail: kafedra pm@bsu.ru

Investigation and solution of the initial problems for Volterra linear integral-differential equations with functional delay of forestalling type

The article deals with the possibility of transforming the initial problems for Volterra linear integral-differential equations with functional delay of forestalling type to the integral equations with the usual argument and their solution.

Key words: integral-differential, Volterra equations, forestalling type, function of supple structure.

Введение

Ранее в работе [3] был исследован вопрос о возможности преобразования с помощью одной модификации функции гибкой структуры начальных и краевых задач для интегродифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом различных типов к разрешающим интегральным уравнениям смешанного типа Вольтерра-Фредгольма с обыкновенным аргументом. В работе показано, что такое преобразование возможно для всех линейных интегродифференциальных уравнений Фредгольма запаздывающего типа, и получены условия, накладываемые на некоторые коэффициенты внешнего и внутреннего дифференциальных операторов для уравнений нейтрального и опережающего типов.

В работах [4]-[5] было показано, что начальная задача для всех линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа и определенных видов нейтрального типа с помощью функции гибкой структуры преобразуется к разрешающему интегральному уравнению Вольтерра с обыкновенным аргументом.

Постановка задачи и ее решение

Рассмотрим возможность такого преобразования для уравнений опережающего типа с одним отклонением при старшей производной во внешнем дифференциальном операторе

l п-1

у(п)(и(х)) +

]=0 г'=0

f (x) y(i) (uj (x)) + Я/ Kj (x, n)y(i) Ц. (n))dn

f (x),

(1)

где ы0(х) = х, и ■ (х) < X Уj = 1,1 , функции (х), ы] (х) и / (х) - непрерывны, ядра

К(х,п) - регулярны в квадрате а < х,П < Ь .

Выпишем начальные условия

у(i) (Uj (x)) = ф (Uj (x)), i = 0, n — 1, x є EXn, (2)

где EX = U Ej , Ej - множество точек, для которых соответствующие Uj (X) й X 0

при х ^ х0 У/ - 1,/ , -[а,х].

Предполагая, что решение задачи (1) - (2) существует и единственно, решение на отрезке х є [х0, Ь] будем искать, применив для преобразований одну из модификаций

функции гибкой структуры [1] - [ 2].

у(i '(Uj (x)) = D-

Е y<s—,l( X.)

dlAs (uj (x) — X0)

(s—1)/~ \ sV ' 0

s=1

0 dxi

+

f d A n (U і (x) — 1 ) / ч ,

+ j ----------j------------M(t)dt

x0

n

+ YiUj (x)jU(Uj (x)), (3i)

где i — 0, n, Yn — 1, Y = 0 = 0, n — 1, D=D( r1, r2,.........., rn) - определитель

Вандермонда, составленный из неопределенных параметров r1, r2,...., rn.

Параметры определяются в ходе решения задачи исходя из оптимальности ее решения, определитель As (x — t), s — 1, n получается из определителя D заменой s-й строки строкой

exp r (X — t), exp r2 (x — t),..., exp rn (x — t) и fl(x) - новая неизвестная функция.

Так как любую непрерывную n раз дифференцируемую функцию можно представить в виде функции с гибкой структурой [1], [2], то преобразования, выполненные с её помощью, приведут к разрешающему интегральному уравнению, эквивалентному первоначально поставленной задаче Коши. За счет оптимального выбора параметров функции гибкой структуры можно получать решения в замкнутой форме, а если это не удается, то ускорять процесс приближенного решения и влиять на объем вычислений.

Параметры в определителе D могут быть и равными, в этом случае пределы выражений

^—1 д1A s (Uj (x) — t)

D имеют вполне определенные значения, вычисляемые по правилу

dx

Лопиталя.

Наименьший из корней уравнений Uj (x) — x0 на отрезке x Е [x0, b] обозначим через Cj, если таковых нет, то принимаем c j — b. Разобьем интегралы на сумму в соответствии с определившимися начальными множествами Ej и, учитывая начальные условия (2), подставим функцию гибкой структуры и ее производные (30)-(3n) в уравнение (1), выделяя при этом известные и неизвестные выражения под знаком интеграла.

Во вновь полученном равенстве в двойных интегралах

x “'П д'An(u,(П) —t)

J к,'(x,n)dn J ------M(t)dt

с xA /

n

поменяем порядок интегрирования в соответствии с областью интегрирования

с, <п<х, и.(п) - г, Хо <г <и.(п)

и заменим их равными им интегралами

с Х д1А (и. (п) - г)

| /и(г)йг\ К. (х,п)—п-^і---П

х0

дп

В интегралах

х /

| Кп] (х,п)и.п (п)м(и. (ПЫП

произведем замену переменных, положив г = ыj (П). Тогда П = и^ (*) (где ы-1(г) -

обратная функция для функции ыj (п) ), & = Ыj (П)&П , новые пределы интегрирования *1 = Ы] (Cj ) = х0, *2 = Ы} (х) , и заменим их равными интегралами

Ыj ( х)

I Кп] (х, и -1 (г))Ыjп-1 (ы -1 (г))^(г)&г.

х0

Затем, суммируя интегралы с одинаковыми пределами интегрирования от неизвестной функции ц(г) и вводя обозначения для известных выражений, получим разрешающее интегральное уравнение типа Вольтерра

и'п (х)^(щ (х)) + II |

]-0 і-0

I, (х) В

1 діАп (и. (х) - г)

дх

+

чп-1 д' (и](п) - г )л

Л\ К] (х,п)в ---------д_--------^п +

+ЯК, (х, и ■1 (г))и/,п 1 (и]1 (г)) ц(г)Аг - Г(х).

Далее, поделив последнее равенство на ы'" (х) Ф 0, введя новую переменную г = ыг (х)

(х = ы-1( г)) и обозначения для известных выражений, получим для задачи (1)-(2) разрешающее уравнение типа Вольтерра с обыкновенным аргументом

I vj(г}

м(г) + I I Н (г, г)м(г)&г = Ф (г), (4)

где

Н, (г г) -

аЦ (и1 *(г) сІи-\і)

п

I

і-0

І, (и-1(г))В-

1 д1 Ап (и, (и/( г)) - г)

(дщ (г))

“Г гг) і і д' (и, (п) - г)

+Я | К, (и-1(г),п)В-1 С// Ап +

дп

+ЯК] (и/-1( г), и -\г ))и'п-1(и -\г))

-1(и - ■■

с

х

0

-п

г

Ф( г) =

йы1 (ы/(г) йы-1(г)

I п

/ (ыГ1( г)) - ЕЕ

3=0 г=0

О' Е у‘ !-1)( Х>) X

.5=1

X

й1 А я (ы. (ы/1( г)) - Хо)

3

Ы[ 1(г)

+Л | Кц(ы-1( г ш

(йы/( г ))г йг А в (и. (ц)- Хо)

йц +

+

3

л\ Кц (ы-1 (г), п)ф (ыц (ц))йц

Вывод. Задача Коши с начальными условиями (2) для интегродифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом опережающего типа (1) с помощью одной модификации функции гибкой структуры (30)-(3п) преобразуется к разрешающему интегральному уравнению типа Вольтерра (4) с обыкновенным аргументом. Единственное решение, которое существует при выполнении условий: функции Ф (г), Нц (г, t) в

разрешающем уравнении (4) ограничены в заданном квадрате ыг (Х0) < г < ыг (Ь) , |Ф (г)| < Р , Нз (г, t) < Qз < Q , 0, = шах Q3 . Доказательство можно провести, применив метод последовательных приближений и метод от противного [4].

Примеры

Приведем примеры решения начальных задач для интегродифференциальных уравнений Вольтерра опережающего типа.

Пример 1. Найдем приближенное решение задачи Коши для уравнения опережающего типа

з

4 { У (п)йц = 1 - Х - у,

2 ?

у (х) = 1 + х, у (х) = 2х, х 0 = 0,

' Х ^ , Х2 / Х ^ Х

У

Г Х } Х2 Г Х ^ Х

— = 1 +—, у' — =

ч 2 у 4 ч 2 У 2

на отрезке х е

0,1

2

с точностью а = 0,0001.

Решение. Выпишем данные задачи ы0 (х) = Х, f21 (х) = 4,

Х 1 / 1

г = — = ы1(х), х = 2г = ы-1(г), 0< г< —, ы"(х) = —

2 4 2

Я = -1, К00( х,ц) = 1, /( х) =1 - Х -

Х

-п

п

<

с

а

Х

Для данной задачи начальное множество состоит из одной точки Е = Е0 ^ Е0 = [0].

Ядра и свободную функцию разрешающего уравнения можно найти по формулам в разрешающем уравнении (4), но так как порядок уравнения небольшой и коэффициентов мало, то выгоднее получить разрешающее уравнение непосредственной подстановкой функции гибкой структуры ( 30 )-( 32 ) в данное уравнение

) + 4^ О'

.5=1

У 15-1)(0)-

й2А(2) 2 э 2А 2 - г)

йх

і

х

'2

Эх2

- ц.(г )йг

х 2 п

- | О 1 Ё У (5 1)(0)А 5 (п) + | А 2 (п г )^(г )йг

0

х

йп = 1 — х-----------.

' 6

0 *=1

Для сокращения объема выкладок положим г2 = г1 = г и, подставив значения выражений

гл-1 д гА5 (ы3 (х) - 0 —— __ ^ ^

11ШО -----------т—:---------------, I = 0,2, 3 = 0,1, 5 = 1,2, приведенные в монографии [3],

Эхг

найдем

2 (х — )

/л(—) + 4| е 2 — (2 + г(— г))^(г)йг — ^ ^(г)йг^ (п — г)е—(п г)йп =

2'

0

4

2

г3 —

= 1 — х-----------+ е2 г2

6

1 х

1 + г— 2

+

х

| (1 — —п)е—пйп.

х

Наиболее простое разрешающее уравнение будет при г = 0 и, положив г = — , получим

1 2 г

М( г) — т | (2 г — г )2 м(г )йг = 1 2 •

3 .

= 4 г

Возьмём М0( г) =1 —- и вычислим два последовательных приближения к решению

3

разрешающего уравнения

32г6 / л і 368 9

М(г) = 1 ——, /и2(г) =1 —г

45

2835 '

По формулам, приведенным в работе [4], предварительно вычислив при 0 < г < 4 ,

х0 = 0,1 = 1, к = 2

Е = тах

0 < г < 14

1

3

_ |2г — г2 1

= 1, У = та^----------------= —

0<г ,г <1 2 8 ,

посчитаем погрешности вторых приближений разрешающего уравнения а^ и

начальной задачи ау

2

0

2 "1

х

х

х

0

т

0

V 8 у

• 23

/ 1 л3 ч4у

(2 +1)!

І2І

8___4

, 4

0,00005

ау <а„ тах

У2 М 0<х<1

| О А 2( х — г )йг

х — г

а„ тах '

М2 1 О

0<х<— 2

2

0,000006.

Найдем теперь приближенное значение решения поставленной задачи по формуле (30 ) , положив ц( Х) «^( Х)

у (х) « О

—1

2 х £ у5—1(0)а5 (х) + | А2 (х — г)мг(г)йг

= 1 +

х

184

2 155925

х

11

5=1 0

Как видим, требуемая точность достигнута ау~ 0,000006 << а = 0,0001.

„2

х

Зная точное решение поставленной задачи у (х) 1 + 2 , нетрудно посчитать и

точное значение погрешности

8 = тах

0£ х £1

184 х

11

155925

184 Х-1-» 0,0000005 155925 2 .

Оно значительно меньше требуемой точности по условию задачи. Пример 2. Найти решение задачи Коши

Х

Х ^

2"

4 У\) — I У(п)йп = — х,

у( х) = х2 +1, у'( х) = 2 х, Ґ

. у

л Л /

= —+ 1, у

4

х

2

х

=—, х0 = 0. 2 0

2 4 2

Решение. В данном примере интегродифференциальный оператор и начальные условия те же, что и в примере 1 ( Ех0 = [0], у(0) = 1 у (0) = 0) . Поэтому, воспользовавшись выкладками примера 1, можем сразу записать разрешающее интегральное уравнение

х 1

х 1 і*

М(—) — I (х—г)2 м(г)йг=—х+х=0. 2 2

В силу единственности решение однородного разрешающего уравнения будет Ц.(г) = 0 , где г = 2.

Решение поставленной задачи при Г2 = г1 = 0 найдем по формуле (30)

у (х) = О

—1

2 х

£ у5—1 (0)А^ (х) +1А2 (х — г)м(г)йг

5=1 0

х

2

х

0

0

0

= 11ш О 1А1(х) = (1 - г(х- х0)ег(Х Х0) = 1

г2 ^Г1

Нетрудно проверить, что условия начальной задачи выполняются.

Литература

1. Куликов Н.К. Инженерный метод решения и исследования обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Высшая школа, 1964.-207 с.

2. Куликов Н.К. Решение и исследование обыкновенных дифференциальных уравнений на основе функций с гибкой структурой: тематический сб. МТИПП. - М.,1974. - с.47-57

3. Шишкин Г.А. Линейные интегродифференциальные уравнения Фредгольма с запаздывающим аргументом. - Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2006. - 50с.

4. Шишкин Г.А. Исследование и решение начальной задачи для линейных интегродифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа // Математика, её приложения и математическое образование. Материалы междунар. конф. - Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2008. - С.406-413.

5. Шишкин Г.А. Исследование и решение задачи Коши для линейных интегродифференциальных уравнений Вольтерра нейтрального типа // Вестник БГУ. Выпуск 9. - Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2009. -С. 94-98.