Научная статья на тему 'Исследование и решение начальных задач для линейных интегродифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием опережающего типа'

Исследование и решение начальных задач для линейных интегродифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием опережающего типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
117
40
Поделиться
Ключевые слова
ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ / УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА / ОПЕРЕЖАЮЩИЙ ТИП / ФУНКЦИЯ ГИБКОЙ СТРУКТУРЫ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Шишкин Г. А.

В статье рассматривается возможность преобразования начальных задач для линейных интегродифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием опережающего типа к разрешающим интегральным уравнениям с обыкновенным аргументом и их решение.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Шишкин Г.А.,

Investigation and solution of the initial problems for Volterra linear integraldifferential equations with functional delay of forestalling type

The article deals with the possibility of transforming the initial problems for Volterra linear integraldifferential equations with functional delay of forestalling type to the integral equations with the usual argument and their solution.

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Исследование и решение начальных задач для линейных интегродифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием опережающего типа»

УДК 517.948

ББК 22.1

© Г.А. Шишкин

Бурятский государственный университет, Улан-Удэ E-mail: kafedra pm@bsu.ru

Исследование и решение начальных задач для линейных интегродифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием опережающего типа

В статье рассматривается возможность преобразования начальных задач для линейных интегродифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием опережающего типа к разрешающим интегральным уравнениям с обыкновенным аргументом и их решение.

Ключевые слова: интегродифференциальные, уравнения Вольтерра, опережающий тип,

функция гибкой структуры.

© G.A. Shishkin

Buryat State University, Ulan-Ude E-mail: kafedra pm@bsu.ru

Investigation and solution of the initial problems for Volterra linear integral-differential equations with functional delay of forestalling type

The article deals with the possibility of transforming the initial problems for Volterra linear integral-differential equations with functional delay of forestalling type to the integral equations with the usual argument and their solution.

Key words: integral-differential, Volterra equations, forestalling type, function of supple structure.

Введение

Ранее в работе [3] был исследован вопрос о возможности преобразования с помощью одной модификации функции гибкой структуры начальных и краевых задач для интегродифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом различных типов к разрешающим интегральным уравнениям смешанного типа Вольтерра-Фредгольма с обыкновенным аргументом. В работе показано, что такое преобразование возможно для всех линейных интегродифференциальных уравнений Фредгольма запаздывающего типа, и получены условия, накладываемые на некоторые коэффициенты внешнего и внутреннего дифференциальных операторов для уравнений нейтрального и опережающего типов.

В работах [4]-[5] было показано, что начальная задача для всех линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа и определенных видов нейтрального типа с помощью функции гибкой структуры преобразуется к разрешающему интегральному уравнению Вольтерра с обыкновенным аргументом.

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Постановка задачи и ее решение

Рассмотрим возможность такого преобразования для уравнений опережающего типа с одним отклонением при старшей производной во внешнем дифференциальном операторе

l п-1

у(п)(и(х)) +

]=0 г'=0

f (x) y(i) (uj (x)) + Я/ Kj (x, n)y(i) Ц. (n))dn

f (x),

(1)

где ы0(х) = х, и ■ (х) < X Уj = 1,1 , функции (х), ы] (х) и / (х) - непрерывны, ядра

К(х,п) - регулярны в квадрате а < х,П < Ь .

Выпишем начальные условия

у(i) (Uj (x)) = ф (Uj (x)), i = 0, n — 1, x є EXn, (2)

где EX = U Ej , Ej - множество точек, для которых соответствующие Uj (X) й X 0

при х ^ х0 У/ - 1,/ , -[а,х].

Предполагая, что решение задачи (1) - (2) существует и единственно, решение на отрезке х є [х0, Ь] будем искать, применив для преобразований одну из модификаций

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

функции гибкой структуры [1] - [ 2].

у(i '(Uj (x)) = D-

Е y<s—,l( X.)

dlAs (uj (x) — X0)

(s—1)/~ \ sV ' 0

s=1

0 dxi

+

f d A n (U і (x) — 1 ) / ч ,

+ j ----------j------------M(t)dt

x0

n

+ YiUj (x)jU(Uj (x)), (3i)

где i — 0, n, Yn — 1, Y = 0 = 0, n — 1, D=D( r1, r2,.........., rn) - определитель

Вандермонда, составленный из неопределенных параметров r1, r2,...., rn.

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Параметры определяются в ходе решения задачи исходя из оптимальности ее решения, определитель As (x — t), s — 1, n получается из определителя D заменой s-й строки строкой

exp r (X — t), exp r2 (x — t),..., exp rn (x — t) и fl(x) - новая неизвестная функция.

Так как любую непрерывную n раз дифференцируемую функцию можно представить в виде функции с гибкой структурой [1], [2], то преобразования, выполненные с её помощью, приведут к разрешающему интегральному уравнению, эквивалентному первоначально поставленной задаче Коши. За счет оптимального выбора параметров функции гибкой структуры можно получать решения в замкнутой форме, а если это не удается, то ускорять процесс приближенного решения и влиять на объем вычислений.

Параметры в определителе D могут быть и равными, в этом случае пределы выражений

^—1 д1A s (Uj (x) — t)

D имеют вполне определенные значения, вычисляемые по правилу

dx

Лопиталя.

Наименьший из корней уравнений Uj (x) — x0 на отрезке x Е [x0, b] обозначим через Cj, если таковых нет, то принимаем c j — b. Разобьем интегралы на сумму в соответствии с определившимися начальными множествами Ej и, учитывая начальные условия (2), подставим функцию гибкой структуры и ее производные (30)-(3n) в уравнение (1), выделяя при этом известные и неизвестные выражения под знаком интеграла.

Во вновь полученном равенстве в двойных интегралах

x “'П д'An(u,(П) —t)

J к,'(x,n)dn J ------M(t)dt

с xA /

n

поменяем порядок интегрирования в соответствии с областью интегрирования

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

с, <п<х, и.(п) - г, Хо <г <и.(п)

и заменим их равными им интегралами

с Х д1А (и. (п) - г)

| /и(г)йг\ К. (х,п)—п-^і---П

х0

дп

В интегралах

х /

| Кп] (х,п)и.п (п)м(и. (ПЫП

произведем замену переменных, положив г = ыj (П). Тогда П = и^ (*) (где ы-1(г) -

обратная функция для функции ыj (п) ), & = Ыj (П)&П , новые пределы интегрирования *1 = Ы] (Cj ) = х0, *2 = Ы} (х) , и заменим их равными интегралами

Ыj ( х)

I Кп] (х, и -1 (г))Ыjп-1 (ы -1 (г))^(г)&г.

х0

Затем, суммируя интегралы с одинаковыми пределами интегрирования от неизвестной функции ц(г) и вводя обозначения для известных выражений, получим разрешающее интегральное уравнение типа Вольтерра

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

и'п (х)^(щ (х)) + II |

]-0 і-0

I, (х) В

1 діАп (и. (х) - г)

дх

+

чп-1 д' (и](п) - г )л

Л\ К] (х,п)в ---------д_--------^п +

+ЯК, (х, и ■1 (г))и/,п 1 (и]1 (г)) ц(г)Аг - Г(х).

Далее, поделив последнее равенство на ы'" (х) Ф 0, введя новую переменную г = ыг (х)

(х = ы-1( г)) и обозначения для известных выражений, получим для задачи (1)-(2) разрешающее уравнение типа Вольтерра с обыкновенным аргументом

I vj(г}

м(г) + I I Н (г, г)м(г)&г = Ф (г), (4)

где

Н, (г г) -

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

аЦ (и1 *(г) сІи-\і)

п

I

і-0

І, (и-1(г))В-

1 д1 Ап (и, (и/( г)) - г)

(дщ (г))

“Г гг) і і д' (и, (п) - г)

+Я | К, (и-1(г),п)В-1 С// Ап +

дп

+ЯК] (и/-1( г), и -\г ))и'п-1(и -\г))

-1(и - ■■

с

х

0

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

-п

г

Ф( г) =

йы1 (ы/(г) йы-1(г)

I п

/ (ыГ1( г)) - ЕЕ

3=0 г=0

О' Е у‘ !-1)( Х>) X

.5=1

X

й1 А я (ы. (ы/1( г)) - Хо)

3

Ы[ 1(г)

+Л | Кц(ы-1( г ш

(йы/( г ))г йг А в (и. (ц)- Хо)

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

йц +

+

3

л\ Кц (ы-1 (г), п)ф (ыц (ц))йц

Вывод. Задача Коши с начальными условиями (2) для интегродифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом опережающего типа (1) с помощью одной модификации функции гибкой структуры (30)-(3п) преобразуется к разрешающему интегральному уравнению типа Вольтерра (4) с обыкновенным аргументом. Единственное решение, которое существует при выполнении условий: функции Ф (г), Нц (г, t) в

разрешающем уравнении (4) ограничены в заданном квадрате ыг (Х0) < г < ыг (Ь) , |Ф (г)| < Р , Нз (г, t) < Qз < Q , 0, = шах Q3 . Доказательство можно провести, применив метод последовательных приближений и метод от противного [4].

Примеры

Приведем примеры решения начальных задач для интегродифференциальных уравнений Вольтерра опережающего типа.

Пример 1. Найдем приближенное решение задачи Коши для уравнения опережающего типа

з

4 { У (п)йц = 1 - Х - у,

2 ?

у (х) = 1 + х, у (х) = 2х, х 0 = 0,

' Х ^ , Х2 / Х ^ Х

У

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Г Х } Х2 Г Х ^ Х

— = 1 +—, у' — =

ч 2 у 4 ч 2 У 2

на отрезке х е

0,1

2

с точностью а = 0,0001.

Решение. Выпишем данные задачи ы0 (х) = Х, f21 (х) = 4,

Х 1 / 1

г = — = ы1(х), х = 2г = ы-1(г), 0< г< —, ы"(х) = —

2 4 2

Я = -1, К00( х,ц) = 1, /( х) =1 - Х -

Х

-п

п

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

<

с

а

Х

Для данной задачи начальное множество состоит из одной точки Е = Е0 ^ Е0 = [0].

Ядра и свободную функцию разрешающего уравнения можно найти по формулам в разрешающем уравнении (4), но так как порядок уравнения небольшой и коэффициентов мало, то выгоднее получить разрешающее уравнение непосредственной подстановкой функции гибкой структуры ( 30 )-( 32 ) в данное уравнение

) + 4^ О'

.5=1

У 15-1)(0)-

й2А(2) 2 э 2А 2 - г)

йх

і

х

'2

Эх2

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

- ц.(г )йг

х 2 п

- | О 1 Ё У (5 1)(0)А 5 (п) + | А 2 (п г )^(г )йг

0

х

йп = 1 — х-----------.

' 6

0 *=1

Для сокращения объема выкладок положим г2 = г1 = г и, подставив значения выражений

гл-1 д гА5 (ы3 (х) - 0 —— __ ^ ^

11ШО -----------т—:---------------, I = 0,2, 3 = 0,1, 5 = 1,2, приведенные в монографии [3],

Эхг

найдем

2 (х — )

/л(—) + 4| е 2 — (2 + г(— г))^(г)йг — ^ ^(г)йг^ (п — г)е—(п г)йп =

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

2'

0

4

2

г3 —

= 1 — х-----------+ е2 г2

6

1 х

1 + г— 2

+

х

| (1 — —п)е—пйп.

х

Наиболее простое разрешающее уравнение будет при г = 0 и, положив г = — , получим

1 2 г

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

М( г) — т | (2 г — г )2 м(г )йг = 1 2 •

3 .

= 4 г

Возьмём М0( г) =1 —- и вычислим два последовательных приближения к решению

3

разрешающего уравнения

32г6 / л і 368 9

М(г) = 1 ——, /и2(г) =1 —г

45

2835 '

По формулам, приведенным в работе [4], предварительно вычислив при 0 < г < 4 ,

х0 = 0,1 = 1, к = 2

Е = тах

0 < г < 14

1

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

3

_ |2г — г2 1

= 1, У = та^----------------= —

0<г ,г <1 2 8 ,

посчитаем погрешности вторых приближений разрешающего уравнения а^ и

начальной задачи ау

2

0

2 "1

х

х

х

0

т

0

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

V 8 у

• 23

/ 1 л3 ч4у

(2 +1)!

І2І

8___4

, 4

0,00005

ау <а„ тах

У2 М 0<х<1

| О А 2( х — г )йг

х — г

а„ тах '

М2 1 О

0<х<— 2

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

2

0,000006.

Найдем теперь приближенное значение решения поставленной задачи по формуле (30 ) , положив ц( Х) «^( Х)

у (х) « О

—1

2 х £ у5—1(0)а5 (х) + | А2 (х — г)мг(г)йг

= 1 +

х

184

2 155925

х

11

5=1 0

Как видим, требуемая точность достигнута ау~ 0,000006 << а = 0,0001.

„2

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

х

Зная точное решение поставленной задачи у (х) 1 + 2 , нетрудно посчитать и

точное значение погрешности

8 = тах

0£ х £1

184 х

11

155925

184 Х-1-» 0,0000005 155925 2 .

Оно значительно меньше требуемой точности по условию задачи. Пример 2. Найти решение задачи Коши

Х

Х ^

2"

4 У\) — I У(п)йп = — х,

у( х) = х2 +1, у'( х) = 2 х, Ґ

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

. у

л Л /

= —+ 1, у

4

х

2

х

=—, х0 = 0. 2 0

2 4 2

Решение. В данном примере интегродифференциальный оператор и начальные условия те же, что и в примере 1 ( Ех0 = [0], у(0) = 1 у (0) = 0) . Поэтому, воспользовавшись выкладками примера 1, можем сразу записать разрешающее интегральное уравнение

х 1

х 1 і*

М(—) — I (х—г)2 м(г)йг=—х+х=0. 2 2

В силу единственности решение однородного разрешающего уравнения будет Ц.(г) = 0 , где г = 2.

Решение поставленной задачи при Г2 = г1 = 0 найдем по формуле (30)

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

у (х) = О

—1

2 х

£ у5—1 (0)А^ (х) +1А2 (х — г)м(г)йг

5=1 0

х

2

х

0

0

0

= 11ш О 1А1(х) = (1 - г(х- х0)ег(Х Х0) = 1

г2 ^Г1

Нетрудно проверить, что условия начальной задачи выполняются.

Литература

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

1. Куликов Н.К. Инженерный метод решения и исследования обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Высшая школа, 1964.-207 с.

2. Куликов Н.К. Решение и исследование обыкновенных дифференциальных уравнений на основе функций с гибкой структурой: тематический сб. МТИПП. - М.,1974. - с.47-57

3. Шишкин Г.А. Линейные интегродифференциальные уравнения Фредгольма с запаздывающим аргументом. - Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2006. - 50с.

4. Шишкин Г.А. Исследование и решение начальной задачи для линейных интегродифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа // Математика, её приложения и математическое образование. Материалы междунар. конф. - Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2008. - С.406-413.

5. Шишкин Г.А. Исследование и решение задачи Коши для линейных интегродифференциальных уравнений Вольтерра нейтрального типа // Вестник БГУ. Выпуск 9. - Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2009. -С. 94-98.