Исследование и решение начальных задач для линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра нейтрального типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.948 ББК 22.1

© Г.А. Шишкин

Россия, Улан-Удэ, Бурятский государственный университет

ИССЛЕДОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА

В статье изложены результаты исследования преобразований начальных задач для линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра нейтрального типа к разрешающим интегральным уравнениям Вольтерра с обыкновенным аргументом.

Ключевые слова: интегро-дифференциальные, нейтральный тип, уравнения Вольтерра, функция гибкой структуры.

© G.A. Shishkin

Russia, Ulan-Ude, Buryat State University

INVESTIGATION AND SOLVING INITIAL VALUE PROBLEMS FOR LINEAR INTEGER-DIFFERENTIAL VOLTERRA EQUATIONS

OF NEUTRALING TYPE

The results of researches on transmissions of initial value problems for linear integer-differential Vol-terra equations of neutraling type to solving integral Volterra equations with ordinary argument are described.

Key words: integer-differential, neutral type, Volterra equations, supple structure function.

Введение

Ранее в работе [3] исследовался вопрос о возможности преобразования с помощью одной модификации функции гибкой структуры начальных и краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом к разрешающим интегральным уравнениям смешанного типа Вольтерра-Фредгольма с обыкновенным аргументом. В работе показано, что такое преобразование возможно для всех линейных ин-тегро-дифференциальных уравнений Фредгольма запаздывающего типа и получены условия, накладываемые на некоторые коэффициенты внешнего и внутреннего дифференциальных операторов для уравнений нейтрального и опережающего типов.

В статье [4] аналогичные исследования проведены по начальной задаче для линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа, где доказано, что задача Коши для всех линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа с помощью функции гибкой структуры преобразуются к разрешающему интегральному уравнению типа Вольтерра с обыкновенным аргументом, решение которого существует и при том единственное при условии ограниченности ядер и свободной функции в замкнутом квадрате.

В данной работе для линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с переменными коэффициентами и с функциональными запаздываниями исследуется тот же вопрос о возможности преобразования начальных задач к разрешающим интегральным уравнениям Вольтерра с обыкновенным аргументом.

Рассмотрим два возможных вида уравнений нейтрального типа, приводящихся к разрешающему интегральному уравнению Вольтерра с обыкновенным аргументом.

а) Пусть в уравнении старшие производные с отклонениями аргумента отсутствуют, а коэффициент при старшей производной y(n) (х) равен единице и существует ядро, не равное нулю под знаком интеграла при старшей производной $Kfj. (x,h) ^ 0, j = 1, l, т.е. имеем уравнение нейтрального типа при fn0 (х) ° 1 следующего вида:

У"’(*)+Z

j_0

n-1 * n

Z f(*) y(i) (uj(* W+4Z Kj(* ,h)y(l)(Uj (h))dh

i_0 a i=0

= f (*), (1)

где и0 (х) ° х, и- (х) < х У/ = 1,1, функции (х), и- (х) и /(х) - непрерывны, ядра

К- (х, ?]) - регулярны в квадрате а < х, Г} < Ь .

Сформулируем начальные условия

У0 (и/(х)) = Р(и/(х)), г = 0 п -1, х е (2)

I

где Ех = и Е—, Е— - множество точек, для которых соответствующие и/ (х) < х0 при

х ^ х0 У/ = 11, К =[a, х0 ].

Предполагая, что решение задачи (1) - (2) существует и единственно, решение на отрезке х е [х0, Ь] будем искать, применив для преобразований одну из модификаций функции гибкой структуры [1], [2]

у(г)(и,(х)) =

■ D~l

'¿у-i)( *0)(,,j(* > ~ ^+"1) m, )d,

s_, d*1 J Э*1

—-i V»

n (3)

+v"t (*)m(",(*)),

где i = 0, n, n = 0, "i = 0, n —1, vn = 1, D=D( r1, r2,..., rn) - определитель Вандермонда,

составленный из неопределенных параметров r1,r2,.....,rn. Определитель As(x — t), s = 1,n,

получается из определителя D заменой s-ой строки строкой exp r1 (x — t), exp r2 (x — t), ..., exp rn (x — t) и m( x) - новая неизвестная функция.

Так как любую непрерывную n раз дифференцируемую функцию можно представить в виде функции с гибкой структурой [1], [2], то преобразования, выполненные с её помощью, приведут к разрешающему интегральному уравнению, эквивалентному первоначально поставленной задаче Коши. За счет оптимального выбора параметров функции гибкой структуры можно получать решения в замкнутой форме, а если это не удается, то можно ускорять процесс приближенного решения и влиять на объем вычислений.

В монографии [3] было показано, что параметры в определителе D могут быть и равны-

_—1 Э: A s (x — t)

ми, так как и в этом случае выражения D ---------:--- имеют вполне определенные значе-

Эxг

ния, вычисляемые по правилу Лопиталя.

Наименьший из корней уравнений ut (x) = x0 на отрезке x е [x0, b] обозначим через cj,

если таковых нет, то принимаем c. = b.

Учитывая начальные условия (2), подставим функции гибкой структуры (30) —(3n) в уравнение (1), выделяя при этом известные и неизвестные выражения под знаком интеграла, полагая рп (uj (x)) = (р'п—1 (u}. (x)), после введения обозначений для известных выражений получим разрешающее интегральное уравнение типа Вольтерра с обыкновенным аргументом

i uj(x)

m(x)+Z { Q (xt)m(t)dt=f(x), (4)

1 =0 x0

где

i_0

fj(*)-

Э1 A n ("j ( *) - t)

Э*1

-+

Э1 An ("j (h) - t)

Эh1

dh

+

+ДК„. (*»;1 (,))"'"' ("-1 (,)), j _ 0, /,

F (*) _ f (*) - D; Z У-1'( *0)

j_0 1_0

s_1

+

** dlA (" (h)-*0)

ijk,(*,h) д v" dh

dh

(5)

(6)

+

(*,h)j ("j (h))dh[.

Методом последовательных приближений для уравнения (1) доказано существование решения этого уравнения при условиях "x и "t a < x, t < b, |F(x)| < F,

Q. (x, t) < Q1 < Q, где Q = max Q., а методом от противного и единственность решения.

I 1 I 1 i=0,l 1

Получены формулы для вычисления погрешности приближенного решения.

б) Пусть fnj (*) ° 0 "j _ 0, l -1, fnl (*) ° 1, Kn0 (*,h) Ф 0, тогда имеем уравнение ней-

трального типа следующего вида:

у(n) ("1 (*)) + Z

j _0

n-1

Z fj (*) y(1) ("j (* ))+1 jZ Ky (*,h) y(1) ("} (h)) dh

Разобьем интегралы в уравнении (7) на сумму

X сі X

| К (х,п) У° (и} (ц)) ¿П = І К (Х,П) У° (и} (ц)) ¿П +1К (х,п)р (и} (ц)) ¿п.

а а с^

Подставим в уравнение функцию гибкой структуры (30) — (3п), перенесем известные функции в правую часть равенства и, поделив его на щп (X), получим

j_0 1_0

f j (*)D

-1 ^A n ("j ( *) - t)

Э*1

+lj K„ (*,h) D

-1 Э1As ("j (h) - t)

эh

dh +

+iK1j (*,"j 1 (t))"'n 1"1 (t)) m(t)dt:

f (*) "T (X)1

где Кп0 (х,ц)ф 0, ^ (х) определяется формулой (6) и и -1 (х) - обратная функция для функции и/ (х). Введя новую переменную 2 = и1 (х), х = и-1 (х), обозначения для известных выражений и положив V- (2) = и/ (и- (г)), получим для задачи (7), (2) разрешающее

интегральное уравнение Вольтерра с обыкновенным аргументом

I V(2)

т(2)+Ё I н/ (^1 )т(1^=ф(2).

(8)

j_0

Для функции Ф( 2) и ядер Н/ (2,1) так же получены определенные формулы.

Таким образом, задача Коши с начальными условиями (2) для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом нейтрального типа (1) и (7) с помощью функций гибкой структуры преобразуются в разрешающие интегральные уравнения типа Вольтерра (4) и (8), соответственно, с обыкновенным аргументом. Решение которых существует и при том единственное при выполнении следующих условий:

с

a

*

1_0

1_0

*.

*

*

0

*.

функции Е (X), Qj (X, і), Ф(г), Н(г, і) в разрешающих уравнениях (4) и (8) ограниченны в любом заданном квадрате.

Пример 1. Найти решение начальной задачи для уравнения нейтрального типа

y(x) - y(sin x) + J ./(sin r¡)dh = 0,

y( x) = ex, y(sin x) = esin x, x0 = 0.

Решение. Так как x0 = 0, sin x0 = 0, то начальное множество состоит из одной точки

Ех = [0]. Найдём с0 = 0, c1 = 0, D = 1: Aj( x -1) = e

r(x-t) I r(x-t)

ЭА1 (x -1) dx

■ re

r ( x-t)

A1 (sin x -1) = e

r (sin x-t)

ЭА1 (sin x -1) =

= re

r (sin x-t)

cos x.

1 ’Эх

Получим разрешающее уравнение непосредственной подстановкой в уравнение функции гибкой структуры и её производных

х sin х х

m(х) + jrer(х-)m(t)dt- j er(sinx-t)m(t)dt + jcoshm(sinh)dh =

x sinr

r sin x rx

■ e - re

- J rersinr cos rdr - J dr J rer(si^“t) cos rdt.

0 0 0 Легко заметить, что оптимальное значение r = 0 и разрешающее уравнение будет

sin x x

m(x) - | m(t)dt+1coshm(sinh)dh = 1,

00 откуда m( x) = 1. По формуле (3) найдем

xx

y( x) = D~l [ y(0)D1 (x) + J D1( x -1 )m(t )dt ] = erx + J er (x-t) dt = 1 + x.

00 Пример 2. Решим задачу Коши для уравнения нейтрального типа

x

y (x) + ey(x) - J y (h - 1)dh = e~x + e,

0

y( x) = x +1, y( x -1) = x, x0 = 0.

Решение. Найдём c0 и cx: x0 = 0, то c0 = 0, x -1 = 0, то cx = 1, начальное множество

E„ =[-1,0].

Выпишем данные задачи f10(x) = 1, f00(x) = e, A = -1, Ku(x,h) = 1, f (x) = e~x + e +1, x0 = 0, y(0) = 1 и определители функции гибкой структуры D(r) = 1, Aj(x -1) = er(x-t),

Aj(x -1 -1) = er(x 1 1 '> и найдем их производные (Х—— = rer(х 1 '>, (^—1—— = rer(х 1 1 '>

ЭА1 (x -1 -1)

Эx

Эx

По формуле (6) найдём F (x)

F (x) = -e

f00( x)A1( x) + fw( x)

ЭА1( x) x ЭА1(г-1) Эx

dr-J dr

= -e

X

-J rer (r-1) dr-

= -e~x - el+rx - rerx + er(x-1).

При r = -1 имеем F(x) ° 0 и, следовательно, m(x) = 0. По формуле (3) найдём реше-

ние

x

0

0

0

0

x

0

ee™ + re™

1

y( x)=У(0)А1( x) = .

Нетрудно проверить, что полученное решение удовлетворяет первоначально поставленной задаче.

Литература

1. Куликов Н. К. Инженерный метод решения и исследования обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Высшая школа, 1964. - 207 с.

2. Куликов Н. К. Решение и исследование обыкновенных дифференциальных уравнений на основе функций с гибкой структурой // Сб. МТИПП. - М., 1974.- С. 47-73.

3. Шишкин Г. А. Линейные интегро-дифференциальные уравнения Фредгольма с запаздывающим аргументом. - Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2006. - 50 с.

4. Шишкин Г.А. Исследование и решение начальной задачи для линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа // Материалы III Всероссийской конференции с международным участием. - Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2008. - С. 406-413.

References

1. Kulikov N.K. Engineering method for solving and researching ordinary differential equations. - M.: Vy-shaya shkola, 1964.

2. Kulikov N.K. Solving and researching ordinary differential equations with supple structure functions // Sb. MTIPP. M. 1974.

3. Shishkin G.A. Linear integer-differential Fredholm equations with late argument. - Ulan-Ude: BGU, 2006.

4. Shishkin G.A. Researching and solving initial problem for linear integer-differential Volterra equations late type. - Ulan-Ude: VSGTU, 2008. - P. 408-413.