Исследование возможностей решения в замкнутом виде начальных задач для линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.948

Г.А. Шишкин

ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ РЕШЕНИЯ В ЗАМКНУТОМ ВИДЕ НАЧАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА С ФУНКЦИОНАЛЬНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

В статье, используя одну модификацию функции гибкой структуры, рассматриваются возможности решения начальных задач для линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием в замкнутом виде.

Ключевые слова: интегро-дифференциальные уравнения Вольтерра, замкнутые решения, функция гибкой

структуры.

G.A. Shishkin

RESEARCH OF POSSIBILITIES OF SOLUTION IN THE CLOSED KIND INITIAL PROBLEMS FOR THE LINEAR INTEGER-DIFFERENTIAL EQUATIONS OF VOLTERRA WITH FUNCTIONAL DELAY

In the article, using one updating of function of flexible structure, the possibilities of the Solution of initial problems for the linear integer-differential equations of Volterra with functional delay in the closed kind are considered.

Key words: integer-differential, the equations of Volterra, the closed decisions, function of flexible structure.

Введение

В работах [5]-[7] исследовался вопрос о возможности преобразования начальных задач для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с запаздывающим аргументом различных типов (запаздывающего, нейтрального и опережающего) к разрешающим интегральным уравнениям Вольтерра с обыкновенным аргументом.

Общий вид таких уравнений можно записать в виде:

II

j=0 i=0

fj (х) y(i) (Uj(x)) + AjKjj(x,n)y(i)(Uj(n))dn

= f (x),

(1)

где и0( х) = X , Ы] (х) < X У/ = 1,1 , функции /у (х) , Ы] (х) и / (х) - непрерывны, ядра К/ (Х,п) - регулярны в квадрате а < х,ц< Ь , с начальными условиями для уравнений вида (1)

у(‘V/(х)) = ф(и/(х)),I = 0,п-1,хе Еч, (2)

где Е^ = и Е1^, Е/ - множество точек, для которых соответствующие и/ (х) < х0 при х > х0 У/ = 1,1 ,

< =[ а х0 ].

В этих работах преобразование поставленных задач осуществлялось с помощью одной модификации функции гибкой структуры

y(i)(u,. (х)) = D

I У( 5-1)( хо)

5=1

dAs (Uj (х) - Хо)

dx'

- +

U] f) д A п (Uj (x) -1)

+ j -----------j------------ju(t)dt

x0

dx’

+ YU j (x)^(U: (x)),

(3i)

где i = 0, n, Yn = 1, Y = 0 Vi = 0, n -1, D=D( r1, r2,. rn) - определитель Вандермонда, составленный

из неопределенных параметров r1, r2,. rn.

x

a

Параметры определяются в ходе решения задачи исходя из оптимальности ее решения, определитель As(x-1),s = 1,n получается из определителя D заменой s-й строки строкой expr1(x-1),exp r2(x-1),..., exp rn (x -1) и j(x) - новая неизвестная функция.

В результате исследований получены следующие результаты: начальные задачи для всех уравнений запаздывающего типа (если fnj(x) = О и Knj(x,n) = О Vj = 1,l, а fnО(x) ^ О), для уравнений нейтрального типа (выполняются условия fn0( x) ^ О и 3j ^ О, для которых fn. (x) ^ О и Knj (x,n) ^ О одновременно или по отдельности, если же fn0(x) = О, то 3Knj(x,n) ^О для j ^ О) и для уравнений опережающего типа (если fn„( х) = О, Kn„( x,n) = О и 3j ^ О, что fnj (x) ^ О) преобразуются к разрешающим интегральным уравнениям с обыкновенным аргументом одного и того же вида

Vj (г)

j(г) + j Pj (г, t)j(t)dt = R(г). (4)

xo

Постановка задачи и её решение

Исследования возможностей решения начальных задач в замкнутом виде проведем, опираясь на результаты работ [5]-[7] .

а) Решение в замкнутом виде получим, если в уравнении (4) параметры г , г = 1, п можно определить так, что Я( г) = 0. Тогда однородного уравнения (4) будет ц.( г) = 0 (в силу единственности решения при выполнении условий ограниченности функций |Л(г) — F , |р. (г,0| - Q в заданном квадрате

и1 (х0) - г - и1 (Ь)) и решение первоначально поставленной задачи найдётся по формуле (30)

у(г) = D 1 I y(s-1)(xj)As(г - xj) . (5)

„( *-Я=1

б) Другой возможный вариант решения в замкнутом виде получим, если параметры г , г = 1, п можно определить так, что Р. (г, t) = 0 V/ = 0,1. Тогда решение разрешающего уравнения (4) будет ц.( г) = Я( г) и по формуле (30) найдётся решение поставленной начальной задачи

у( г) = D-1

n x

IУ(s-1) (xo)As (г - xo) + j An (г -1)R(t)dt

s=1 xo

(б)

Хорошо известны методы решения (в том числе и точные) обыкновенных интегральных уравнений типа Вольтерра

V( г )

j(г) + j P(г,t)j(t)dt = R(г). (7)

у( г)

1 +

Х0

Это методы дифференцирования, применения рядов (степенных, Неймана, Фурье), принципа сжатых отображений, операционные методы и другие, многие из них приведены в справочниках по интегральным уравнениям [3], [4].

Исследуем далее возможные варианты постановки начальных задач, которые приводили бы к разрешающим уравнениям вида (7).

в) Для уравнений запаздывающего и нейтрального типов с одним функциональным запаздыванием

п-1 Х

У(п)(х) + £(х)у(,)(ы(х)) + +Л|Кг(х,п)У(‘)(и(яМц~\ = £(х), и(х) - х, и(х) = х (8)

г=0 а

найдём ядра Р0(х, t), Р1(х, t) и функцию Я(х) разрешающего уравнения (4) по формулам работ [6]-[7]

Р0( х, г) = О-1 £

,д' Ап (х - г)

д Ап (П- г)

дх'

дП

+ ЯКпо( х, г) = Я

-1 дпАп (х - г)

дхп

так как /0(х) = 0 V/ = 0, п -1 и /п0(х) = 1, Кш(х,п) = 0 V/ = 0, п. Далее найдём

Р( х, г) = О - £

/ (х)

д' Ап (и( х)- о + ^ К' (х,п) ?'А п(и(п) -г)

дх'

Я(х) = /(х) - £ -О £ у(5-1)(х0)

+л] К' (х,п)

' = 0 I 5=1

й А 5 (и(п) - х0)

дп'

й А5 (и(х) - х0) +

Л'( ) йх'

йп

йп'

йп

+ Л ] £К' (х,пМ (и (п))йп[,

где с = и *(х0).

Для уравнений рассматриваемых типов в этом пункте для получения разрешающего уравнения вида (7) достаточно так определить параметры т,' = 1, п , чтобы Р0 (х, г) = 0 или р(х, г) = 0.

Такие варианты, как показывают рассмотренные далее примеры с их решениями, есть. Например, при п=2, если положить т1 = г2 = 0, то, применив правило Лопиталя вычисления пределов, найдём

Р0( х, г) = О

1 д2А2(х - г) т22вТ2(х-г) - т2вт‘(х-г)

1 2 - = 11Ш 2 1

дх2

т2 ^т1

= т1(2 + т1(х - г))вт1(х г) = 0.

Как видим, для задачи (8), (2) получим разрешающее уравнение Вольтерра с обыкновенным аргументом вида (7).

г) Для уравнений запаздывающего и нейтрального типов с одним функциональным запаздыванием только под знаком интеграла

£

/ (х) у(') (х) + л] К' (х,п) у(') (и (п))йп

= / (х)

(9)

найдём ядра Р0(х,г),Р1(х,г) и функцию Я(х) разрешающего уравнения (4), воспользовавшись формулами работ [5]-[6]

Р0(х,г) = О1 £/.(х)ЭА"(х г), Р(х,г) = £л]К.(х,п)

д'Ап(и(п) -г)

дх' ;=0 \ 1 дп

Я(х) = /(х) - £ 10-1 £у(5-1)(х0)

+ ЛКп(х,и \г))ип 1(и '(г)),

' = 0 I 5=1

(х) й'А5(X-х0) +

' йх'

+

Л]к (х,п)

йА5 (и(п;> - х0) п

йп '

+

Л]к (х,п)ф(и(п))йп|.

В этом случае также возможны варианты определить параметры т,' = 1,п, так, чтобы Р,(х, г) = 0 или Р1( х, г) = 0. Тогда получим для задачи (9), (2) разрешающее уравнение Вольтерра с обыкновенным аргументом вида (7).

д) Для уравнений нейтрального и опережающего типов с одним функциональным запаздыванием вне интеграла

£п

/ (х) у(') (и( х)) + л] К (х,п) у(') (п)йп

= / (х),

(10)

х

'=0

(=0

х

! = 0

с

а

х

=0

а

х

с

а

х

а

воспользовавшись формулами работ [6]-[7] , найдём ядро Р(г,г) и функцию Я(г) разрешающего уравнения (4)

№ г) = -Л: ^ ......(п-г)

■„ -V Ч1 К(“"■(г)п)-П-Г1 Лп+ЛК,(и-■(г),и-‘(г)),

и (и (г)) 1=0 і -п

Р‘( г, г) =

I №"(г))0-‘-А(и(и"(г))Г')

ип (иг)) 1=

(-и (г))'

Я( г) = -

1

и п (и-‘(г))

/ (и Чг)) г I

и ‘(г)

+Л | К,(и-(г),п)ІЬПЗІп

С Лп

и-,(,)) Л-к (и(и(г)) Г х0) +

(Лиг))'

С

+ Л| К- (и-1( г),ц)щ(ц)Лц

Случай, аналогичный предыдущему, при Р0( г, г) = 0 или при Р( г, г) = 0 получим для задачи (10), (2) -разрешающее уравнение Вольтерра с обыкновенным аргументом вида (7).

е) Для уравнений с одним функциональным запаздыванием, когда отсутствует функция у(х) и её производные вне интеграла и под знаком интеграла

у(п) (и( х)) +1 / (х) у(-) (и( х)) + Л Ц К- (х,п) у(0 (и(п))Лп = / (х),

(11)

найдём ядро Р( г, г) и функцию Я( г) разрешающего уравнения (4) по формулам работы [7]

Р( г, г) = ----------;-Ц О"

и п (иг)) ІГ1

1 -‘А (и(и ‘(г)) г г)

/ (и (г)) п ( ( ( '

и-‘(г)

+ Л | К- (и Чг)п)

(-и ‘(г))‘

+ЛК (и(г), и(г ))ипг‘ (и(г))},

- (и(п) г г)

-п

Лц

+

Я( г) = -

{/ (и-(г)) Г I {о-'I

и (и (г)) І ‘=о I .=1

О 11 у"г1)(хо)

/. (и _1( г)) Л'А. (и(иГ1( г)) Г х0) +

(Ли (г))‘

Л'А. (и(п) г хо) Лп

Лп

+

Получим для задачи (11), (2) разрешающее уравнение Вольтерра с обыкновенным аргументом вида

(7).

Примеры

Пример 1. Найти решение начальной задачи для уравнения запаздывающего типа

у"(х) Г 2у (х) + 1 у (П)Лп = ех Г1, 2 ■' 9

2

у(х) = x, у,(х) =1, у(2) = 2, у (~~) = ^ х0 = 0.

х

Решение. Так как х0 = 0 , = 0, то начальное множество состоит из одной точки Ех^ = [0]. Выпи-

шем данные поставленной задачи

/20(х) = 1,/„(х) = -2, л = 1,Кп(х,п) = 1,/(х) = вх -1,

х х 1

у( х0) = у (0) = 0, у' (х0) = у' (0) = 1, у(у) = 0, у' (-£) = -.

Найдём с0 = 0, с = 0, О = тг - тх и для сокращения объёма выкладок положим т = 0, тогда по формулам, приведённым в работе [5], главы 1, п.1.2., найдём

о

і=0

.=1

а

х

а

а

х

0

D 1 = г2 1, Д1( x -1) = г2 ,

ЭА1С x -1) Э Д1 (x -1)

dx

dx2

= 0, А2(x-1) = er2(x-t) -1,

ЭА 2 (x -1) dx

„Г2( x-t)

d 2 Д2( x - t) = ^(x-t) Д (x -t) = Г ^2 1'2

dx2 ~ Г2 e , Д1(2 t) = ^

dA^ -1) d2 A1 (— -1)

dx

dx

2

= 0,

A ,x . r2(|-t)

А2 (--------t) = e -1 ,

, ■ = — r2e , 0

2 dx 2 dx

1 2 r2(^x-t) ■ = — r2 e 2

42

Функции гибкой структуры от аргументов х, х/2 и их производные примут вид

y( x) = —

x

-1 + і(er2(x-t) - 1)^(t)dt

/x\ 1 , УЫ =— 2 Г2

r22

1 + J (e

0

1)^(t )dt

x 1

У (x) = e'2x + і er2‘x-" ^(t)dt, уф = і 0 2 '•

r2 r2 x 2 Г2 r2(x-t)

"2 e 2 + і -fe 2 M(t)dt

y"(x) = r2ehx + г2іer2(x t)^(t)dt + ^(x).

x

rx

2

e

2

x

x

Подставив данные задачи и найденные значения функций и их производных в исходное уравнение, найдём свободную функцию Я(х) разрешающего интегрального уравнения (4)

R( x) = f (x) - УУ d- jy y(^-1) (0) j=0 i=0 I ^=1

d д, (“j(x)) x d д, (“j (n))

fa (x)-------ті------+ і Kj (x,n)-----------71------dn

0 J dn

dx'

= ex -1 - ГГ1 [fn(x)А2 (“1 (x)) + f 20 (x)А2(“0 (x)) + іKn(x,n)A2(“1 (n))dn] =

: ex -1 - Г2-1

xx 1 Г> — о Г2 —

-2—r2e 2 + г2єГ2x + e 2

-1

О

xx Г) 1 Г2 —

= ex -1 + e 2 - r2e^ - r2 e 2 + r2

Нетрудно увидеть, что оптимальное значение г2 при решении этой задачи будет г2 = 1, тогда Я( х) = 0 и разрешающее уравнение однородное. В силу единственности решения разрешающего уравнения ц,(х) = 0 , и по формуле (30) найдём решение поставленной задачи

у (х) = I у(.г1) (0) А. (х) = у (0) А! (х) + у'(0) А2 (х) = А2(х) = <?х г 1, у (х) = «?х г 1.

.=1

Проверка показывает, что условия начальной задачи выполняются.

Пример 2. Найти решение начальной задачи для уравнения нейтрального типа

х

у'(х) Г у(8ІП х) +1 у'($,1Щ)Лц = 0,

x0 = °.

^ у( х) = ex, y(sin x) = esa

Решение. Так как х0 = 0, sin х0 = 0, то начальное множество состоит из одной точки E = [0]. Выпишем данные поставленной задачи f10 (х) = 1, f01(х) = -1, Л = 1, K11(х,ц) = 1, х0 = 0 , у(0) = 1 и най-

x

1

О

дём с0 = 0, с = 0, D = 1: А1(х -1) = |er(х-(^ = er(х-t), Э^(х 1) = rer(х-(), A1(sin х -1) = er(sinх-t),

1 1 Эх

dA'(Sin х - ') = rer ВП х- ,.COs х .

Эх

Получим разрешающее уравнение непосредственной подстановкой в уравнение функции гибкой структуры и её производных

d А1( х) х дА1( х -1)

l( x) + D 1

У( x0)-

dx

- +

і

dx

l(t )dt

-D-1

y(x°)А1(sln x) + і Д^іп x -1)i(t)dt

+

+D

1 h , ■ 4 r>-1 srw dД1 (sinn) j ТЭД^шп-1) . wT1, n

і {cosni(sinn) + D y(0)—l~n-—dn + і —1 d ----l(t) dt]}dn = 0,

dn

sin x

l(x) + rerx + іrer(x-t)i(t)dt -ersinx - і er(sinx-t)i(t)dt + іcosni(slnn)dn

0 0 0 x x sinn

+і reT sinn cosndn+ + r і dn і er (sinn-t)cosni(t)dt.

+

sln x

l(x) + rerx + і rer(x-tl(t)dt - ersinx - і er(sinx-t)i(t)dt +

ОО

X X X sinn

-і cosni( sinn) dn + і rer sinn cosndn+r і dn і er (smn-t) cosni(t)dt.

Легко заметить, что оптимальное значение т = 0 и разрешающее уравнение будет

8Ш х 81П х

‘ +

00

По формуле (30) найдем

хх

sln x sln x

l(X) -1 - і /Li(t)dt + і ii(t)dt = 0, откуда i(x) = 1.

y(x) = D 1 [ y(0)Д1 (x) + і Д1(x -1)i(t)dt] = erx + іer(x-t)dt = 1 + x .

Пример 3. Решим задачу Коши для уравнения опережающего типа

4 /(2) - і Х^- X y (x) = г + 1 /(x) = 2 x,

I х I х .Л х I х

у [ 2)=7+1,у 1 2} = 2, х0 = а

х 1

Решение. Выпишем данные задачи: и0(х) = х, /21(х) = 4, г = — = и1(х), х = 2г = и1-1(г), 0 < г < —,

и[(х) = 2, Л = -1, К00(х,п) = 1, /(х) = -х .

Для данной задачи начальное множество состоит из одной точки Е = Е^ и Е0 = [0].

Ядра и свободную функцию разрешающего уравнения можно найти по формулам для разрешающего уравнения (4), но так как порядок уравнения небольшой и коэффициентов мало, то выгоднее получить разрешающее уравнение непосредственной подстановкой функции гибкой структуры (30)-(32) в данное уравнение

О

О

О

О

x

x

О

ОО

x

О

О

ОО

О

О

x

О

М(~) + 4£ D 1

2 s=1

y( s-1)(0)-

d2 As £) 2 Э2 A2 (x -1)

2

dx

+

2

dx2

-ц.(t )dt

-J D 1 £ y(s-1) (0)A s (П) + І A2(n -1 )p(t )dt

dn = -x

Для сокращения объема выкладок положим г2 = г1 = г и, подставив значения выражений

Э' As (uj (х) -1) ---- —

lim D -----------------------------, i = 0,2, j = 0,1, s = 1,2, которые могут быть вычислены по правилу Лопиталя,

r2 ^r Эх'

найдем

2 (x )

^(^) + 4Jer 2 t — (2 + r(x -1))^(t)dt - J^(t)dt J(n -1)er(n-t)dn =

= - x + e2 r

x

1 + r— 2

+

x

J (1 - rn)erndn .

Наиболее простое разрешающее уравнение будет при г = 0 и, положив г = —, получим

2

1 2г

Жz) - - І (2z -1)2M(t)dt = 0.. / "

2 о

В силу единственности решение однородного разрешающего уравнения будет ц.( г) = 0, и решение поставленной задачи при г2 = г1 = 0 найдем по формуле (30)

У( x) = D-

X У5-1(0)As (x) + J A2( x -1 )M(t )dt

= lim D 1A1 (x) = (1 - r(x - x0 ))er(x x0l) = 1 .Нетрудно прове

рить, что условия начальной задачи выполняются.

Заключение

Мы рассмотрели наиболее общие случаи интегрируемости в замкнутом виде. Возможны и более частные случаи уравнений, допускающие возможность получения точного решения задачи Коши.

Литература

1. Куликов Н.К. Инженерный метод решения и исследования обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Высшая школа, 1964.-207 с.

2. Куликов Н.К. Решение и исследование обыкновенных дифференциальных уравнений на основе функций с гибкой структурой: темат. сб. МТИПП. - М., 1974. С. 47-57.

3. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раковщик Л.С., Стеценко В.Я. Инте-

гральные уравнения. Справочная математическая библиотека. - М., 1968.

4. Полянин А.Д., Манжирова А.В. Справочник по интегральным уравнениям. - М.: Физматлит, 2003.

5. Шишкин Г. А. Исследование и решение начальной задачи для линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа // Математика, её приложения и математическое образование: материалы междунар. конф.

6. Шишкин Г.А. Исследование и решение задачи Коши для линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра нейтрального типа // Вестник БГУ. - Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2009. Вып. 9. - С. 94-98.

7. Шишкин Г.А. Исследование и решение начальных задач для линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием опережающего типа // Вестник БГУ. - Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2010. Вып. 9. - С. 194-200.

Шишкин Геннадий Александрович, кандидат физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой прикладной математики Бурятского государственного университета. Тел. (3012)217733.

Shishkin Gennady Alexandrovich, Candidate of Physics and Mathematics Science, Prof., head of applied mathematics department of Buryat State University.

0

x

0

0

x

x

x

0

0

0

x

2

0