Решение кинематического уравнения для близпараболическо-го кеплерова движения: формальный ряд Текст научной статьи по специальности «Математика»

РЕШЕНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

ДЛЯ БЛИЗПАРАБОЛИЧЕСКОГО КЕПЛЕРОВА ДВИЖЕНИЯ:

ФОРМАЛЬНЫЙ РЯД*

К. В. Холшевников1, Л. Н. Судов2

1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, kvk@astro.spbu.ru

2. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, l_sudov@mail.ru

Введение. Кинематическое уравнение задачи двух тел, связывающее время и положение на орбите, занимает важное место в небесной механике. Ему посвящено более тысячи работ, 437 из которых подробно разобраны в [1]. По нашему мнению недостаточно исследованным остался случай близпараболического движения.

В 1744 г. Леонард Эйлер [2, 3, 4] представил время в функции от истинной аномалии как в замкнутом виде, так и рядом по степеням параметра, характеризующего форму орбиты и обращающегося в нуль на параболе. Благодаря удачному выбору параметра Эйлеру удалось найти коэффициент при общем члене ряда в виде простой функции от истинной аномалии.

В настоящей работе мы выясним свойства и приведем алгоритм вычисления общего члена обращенного ряда, представляющего истинную аномалию рядом по степеням введенного Эйлером параметра с коэффициентами, зависящими от времени. В заключение дадим сведения по истории вопроса. Область сходимости и оценки общего члена обращенного ряда мы установим в следующей статье.

Кинематическое уравнение для близпараболического движения. Запишем уравнение Кеплера для гиперболического движения [5, 6]:

еН - Н = кр-3/2(е2 - 1)3/2(£ - Т). (1)

Здесь Н — гиперболическая эксцентрическая аномалия, е — эксцентриситет, р — фокальный параметр, £ — время, Т — эпоха перицентра, к2 —гравитационный параметр.

При е =1, р > 0 уравнение (1) вырождается. Следуя Эйлеру, преобразуем его к виду, удобному для близпараболического движения. Заменим эксцентриситет е параметром у«, обращающимся в нуль на параболе:

е-1 1+/х /гл

М= -----77 е=~,---- • (*)

е +1 1 — ^

При изменении е от нуля до бесконечности ^ растет от —1 до 1. Точнее, ^ = —1 на окружности, —1 ^ ^ < 0 на эллипсе, ^ = 0 на параболе, 0 < ^ < 1 на гиперболе. Иногда удобнее пользоваться параметром V = ^Д1. На эллипсе V принимает чисто мнимые

* Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-1323.2008.2), Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009—2010 годы)» Федерального агентства по образованию Минобрнауки РФ.

© К.В.Холшевников, Л.Н.Судов, 2009

значения, на гиперболе — вещественные положительные, на параболе V = 0. Во всех случаях —1 ^ ^ < 1, |VI ^ 1.

За переменную, определяющую положение на орбите, примем x = tg в/2, где в — истинная аномалия. Поскольку [5, 6]

1 + vx 2vx Н

Н = 1п---------, впН = --------^п— = г/х,

1 — vx 1 — v2x2 2

уравнение (1) преобразуется к виду

2v(1 + v2)x , 1 — vx 8v3 -3/2,

71-----2ТП-----2~^2) + ТТГ----- = П----2)3 —

(1 — V2)(1 — V2x2) 1 + VX (1 — V2)3

Введя удобные (что выяснится ниже) и, по возможности, согласованные с работой Эйлера обозначения, получим окончательно

2

-у = Р(х,1/). (3)

Здесь

у = (Г^5)1*^3/2« -Т> = - Т),

(1 + v2)x 1 - v2 1 - vx

F(x'v} = VW\------, з 1пГГ----------------• 4

2v2(1 — v2x2) 4v3 1 + vx

На гиперболе v, x вещественны, истинная аномалия ограничена, причем |vx| < 1, так что выражение под знаком логарифма в (4) положительно.

Если исходить из уравнения Кеплера для эллипса

E — e sin E = кр-3/2(1 — e2)3/2(t — T), (5)

где E — эксцентрическая аномалия, то придем к соотношению (3) при

(1 + v2 ) x 1 — v2

(Ж’ ] = 21/1(1 -v*x*) + ( arCtg ] ■ (6)

Поскольку

1 — vx

2* arctgwx = In--------, (7)

1 + vx

функции (4) и (6) совпадают. Заметим, что при изменении ц от —1 (окружность) до 0 (парабола) величина ±v зачерчивает отрезок мнимой оси между точками ±i. Если изменяется от —1 до 0, а x принимает все вещественные значения, то величина (1 — vx)/(1 + vx) зачерчивает единичную окружность с центром в начале координат без точки — 1 .

На параболе ц = v = 0. При этом значении параметра функция F содержит легко раскрываемую неопределенность, и следует положить

x3

F(x, 0)=х+ — . (8)

Итак, кинематическое уравнение (3) с функцией (4) годится для всех типов невозмущенного движения, исключая прямолинейный.

Как правило, на практике известны элементы орбиты и время, т. е. у, ц и V. Требуется определить положение на орбите, т. е. х. Так возникает задача обращения функции (4), т. е. нахождения соотношения

х = с(у^). (9)

Решение уравнения (3) для параболического случая. При ц = 0 уравнение (3) принимает вид

x3 2

(Ю)

Уравнение (10) хорошо известно в небесной механике (параболический вариант уравнения Кеплера). Его решение для —то < x < то существует, единственно и дается формулой Кардано

ж = У"/! +У2 + У ~ V Vх! +У2 ~У- (11)

Как при малых, так и при больших по модулю у использование формулы (11) ведет к потере точности. Целесообразно преобразовать (11) к виду

х = 2у

' / ,---------- \ 2/3 , ---------- Ч-2/31-1

1 + (уі + У2 + \у\) + (VI +У2 + \у\)

(12)

При малых у решение (10) разлагается в степенной ряд

2

х = ^2аку2к+1, а0 = (13)

к=о

Достаточно представить (10) в форме

3 4

у = х-^ир(х), х = -X, ^=~27’ <р(х)=х3 (14)

и воспользоваться формулой Бюрмана—Лагранжа [6, 5, 13]

Г/к г]к-1

* = » + Е£-з?=т1/ы]- (15)

к=1 у

Окончательно,

{-1)к22к+\Щ\ к Ззк+1к\(2к + 1)! ' ^ ^

Используя формулу Стирлинга, определим асимптотику ак при к ^ то:

М)\-3

«к

л/Ї2тг

к-3/2. (17)

Аналогичный ряд можно построить в окрестности бесконечно удаленной точки. Предположим вначале, что у > 0, и представим (11) в виде

х = ^у [«;(<?, г) - IV* {д, г)\.

где ______ ______

и)(д, г) = (а/1 + г+1)4 , «;*(д, г) = (л/1 + -г - I)5

при д = 1/3, г = у-2. Поскольку т* (д, г) = г9т(—д, г), справедливо

=

3’ У V 3’

Воспользовавшись формулами (44), (48) из Приложения 1, представим х рядом Лорана по степеням у-1/3:

X = '

Е з . 22^1/3^, (&у-2к+1/3 + 7кУ-2к-1/3) , (19)

к=0 '

где

в0 = -3, в1 = 1, 70 = 3 • 2 2/3, 71 = 2 2/3, а при к > 1

Рк~ (2/С“^) 7й^2 2/3(2/г“^) (2/г“^)"'(/г+^)-По нечетности х как функции от у формула (19) верна как при положительных, так и при отрицательных у.

В силу (49) справедлива асимптотика

____&______________Ъ________(20)

3.22к-1/зк\ 3.2^-1/зк\ 6^'

Из (17), (20) следует, что ряды (13) и (19) сходятся абсолютно и равномерно при |у| ^ 1 и |у| ^ 1 соответственно. Критическое значение у* = 1 легко получить, исследуя особые точки функции (11). Ему отвечают значения х = х*, в = в*, приведенные в [5, п. 3.8.1]:

ж* = \!\р! + 1 - \Д/2 - 1 = 0.5960716, Г = 2 агс^жо = 61.59594°.

Свойства функции ^. Свойства функции О однозначно определяются свойствами ^. Перечислим нужные нам свойства ^, опуская доказательства ввиду их очевидности.

1. Функция ^ вещественна при вещественных х и у«, т. е. вещественных и чисто мнимых V.

2. Функция ^ нечетна по х и четна по V. Поэтому можно брать оба знака в выражениях V = ±^//1, V = ±*д/—/х в случаях |и>0и/1<0 соответственно.

3. На гиперболе ^, V положительны, истинная аномалия в и х = tg в/2 ограничены:

— (7г — агссоэ — ) < в < (7Г — агссоэ - ---< х < — . (21)

V е/ V ^ V V

При фиксированном V > 0 значения ^ на концах промежутка изменения х бесконечны:

^( —1/v, v) = —то, ^(1^, V) = то.

х

4. На эллипсе ц отрицательно, V чисто мнимо. Считаем, не умаляя общности,

—п < в < п, —то < х < то. (22)

При фиксированном чисто мнимом V значения ^ на концах промежутка (22) изменения х конечны:

22 Р(-оо, V) = --г/0и, Р(оо, V) = -уоН,

где

, . 3п(1 — v2) 3п / 1 + e

У°(г/) = 8|г/|3 = TV (1-е)3 ' ( ^

5. Частная производная

dF 1+ x2

— = ___ + ____ (24)

дх (1 — v2x2)2

положительна при всех рассмотренных значениях x и v. Поэтому функция (3) имеет обратную (9).

6. Функция F разлагается в ряд по степеням v2 =

F(x, v) = V (A±lx2fc+i + А±1ж2й+з\ к ^

У ’ ^\2k+l 2/г + З У У ’

к=0 v 7

Ряд (25) сходится при всех комплексных x, v из области

|vx| < 1 (26)

и расходится вне ее. В частности, ряд (25) сходится во всех точках гиперболы, но лишь на половине эллипса, лежащей по ту сторону от малой оси, которая содержит перицентр. Действительно, условие |vx| = 1 на эллипсе равносильно ^х2 = —1, или E = ±п/2, что соответствует концам малой оси.

Интервал —п/2 < E < п/2 при отображении (3) переходит в —yi < y < yi, где

3[н(1 — V2) — 2(1 + 1у2)\ 3(тг-2е) / 1 + е

иМ =---------1W--------= —8—\/(ТП)3- (27)

Замечание. Следуя Эйлеру, ряд (25) можно получить и непосредственно из интеграла площадей [5].

Решение уравнения (3) в виде степенного ряда. Представим правую часть (9) в виде ряда

х = ^2 х„(у)^", (28)

п=0

сходящегося при каждом вещественном у для достаточно малых ^.

Для определения коэффициентов хп подставим (28) в правую часть (25)

2

-У = ¥1 + У2, (29)

где

к + 1

V, — X т т ...т к+т1+т2 + ...+т2к+1 ('оп\

' ' 2к | 1 •1"т2к+1И1 ;

Ек +1

3 г г ...Г ..*: + 81+82 + --- + 82)с + 3 ('СМ')

2к 3 ■1'в2к + зН/ ■ \0±/

Суммирование по всем индексам осуществляется от 0 до то.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ^, получаем

2 1 3

-у = х0 + -х0 ,

0=2ф. + ЩЬ+Х1+х2

3 5

3х0 3х0 2 4 2 2

О = —^ + —- + 2х0х\ + 2х0х\ + Х0хг + Х2 + Х0Х2 ,

5 7

9

О = —~— —77— ЗХдХ^ ЗХдХ^ 2Х()Х2 4ХдХ2“Ь

7 9

X

+ — + 2х0х2 + 2х0х2 + 2Х0Х!Х2 + Х3 + х0х3 ,

Начальное уравнение системы — кубическое, с точностью до обозначений совпадающее с (10) и подробно исследованное выше:

1 3 2

Хо + 2Х0 = дУ- (32)

Остальные уравнения линейны относительно х с наибольшим индексом

(1 + х0)х„ + Р„(х0, хь х2,..., х„_1) = 0, п > 1, (33)

где Рп — многочлен с положительными рациональными коэффициентами относительно указанных аргументов.

Свойства коэффициентов хп при п ^ 1. В этом и следующем параграфе считаем хп функцией от х0. При желании ее можно выразить через у с помощью одной из формул (11), (12), (13), (19).

Используя соотношение (33) как рекуррентное, выразим хп через х0:

Рп(хо) Хп - 1 _1_ ^2

1 + х0 ’

(34)

где Р„(хо) = Рп(хо, хі (хо), Х2(хо),..., х„_і(хо)) —дробно-рациональная функция от хо. Перепишем (34) в виде

(_1 )„х2„+1

~ - 0-—ап(х0) ■ (35)

(1 + а^)2"-1

Приведем несколько первых ап(х0):

22

2

а 1 = —|—хп ,

1 3 5°’

11 439 2 33 4 37 6

а-2 =-----1-----хп -\-хп -\----хп ,

15 315 0 35 0 175 °’

292 7928 2 10328 4 432 6 956 8 184 10

СИ — ----- -\- -Хп ---------Хп -\- ---Хп ------Хп -\- ---Хп ,

315 2835 0 2835 0 175 0 1125 0 1575 0 ’

3548 781339 2 4371166 4 167103053 6 93056 8

ал — ---------------Хп -Хл -Хп -хп+

2835 155925 0 467775 0 16372125 0 13475 0

5191397 д0 1200818 12 13219 14

+ 1819125Ж° + 1819125Ж° + 202125Ж° '

С использованием средств компьютерной алгебры выражения для ап получены вплоть до п=100.

Докажем, что ап — многочлен от £ = х2 степени не выше 2п — 1 с рациональными коэффициентами. Очевидно, ап — дробно-рациональная функция от х0 с рациональными коэффициентами. Из нечетности Р по х следует нечетность О по у. В силу (32) у — нечетная функция от х0, поэтому хп —нечетная функция от х0. Следовательно, ап — четная функция от х0.

Остальные свойства ап докажем по индукции. Для а1,а2 они выполнены. Предположим их справедливость для значений индекса 1, 2,..., п — 1. Приравняем в (29) слева и справа коэффициенты при ^п, п ^ 1. Слева получим нуль. Обратимся к правой части. Переменная хп входит в У1 при к = 0, Ш1 = п, а в 12 —при к = 0, причем один из индексов в1, в2, ®з равен п, а два других равны нулю. В результате хп появляется в комбинации (1 + х0)хп, что и указано в формуле (33).

Перейдем к слагаемым, входящим в Рп. Общий член У1 согласно (30) содержит переменную х0 множителем в степени

(2т 1 +1) +... + (2т2к+1 + 1) = 2(т1 +.. . + т-2к+1) + (2к +1) = 2(п — к) + (2к +1) = 2п +1.

В 12 она входит в степени

(2в1 + 1) + ... + (2в2к+з + 1) = 2п + 3.

Таким образом, Рп содержит х0п+1 множителем.

Переменная п = (1 +х2)-1 входит в х^- в степени 0, если ] = 0, и в степени 2^’ — 1, если

2 > 0. Пусть в множестве индексов 'Р = {т-1,. .., т2к+1} отличны от нуля г элементов. Не умаляя общности, считаем, что это первые г элементов Р. Переменная п войдет в Рп из общего члена 11 в степени

п* = (2т1 — 1) + ... + (2тг — 1) = 2(т1 + ... + т2к+1) — г = 2(п — к) — г.

Нас интересует наибольшее возможное п*. Если к > 0, то

п* < 2п — 2. (36)

Пусть к = 0. В этом случае т1 = п, но соответствующее слагаемое хп не входит в Рп.

Обращаясь к общему члену ряда (31) для 12, находим, что переменная п входит в Рп в степени

п* = 2п — 2к — г1 , где Г1 —число ненулевых элементов множества Р-1 = {в1, . . . , в2к+з}.

Как и выше, интерес представляет только случай к = 0, когда в і + в 2 + в з = п. Значение г і минимально, если два из чисел ві, в2, вз равны нулю, а третье равно п. Этот случай приводит к слагаемому ж2ж„, не входящему в Р„. В других случаях множество ^4 содержит не менее двух ненулевых элементов, гі ^ 2. Таким образом, неравенство (36) справедливо всегда. Переменная п входит в Р„ в степени не выше 2п — 2 и, следовательно, в ж„ в степени не выше 2п — 1.

Итак, а„ — многочлен от £. Оценим его степень. Перепишем (35) в виде

х _ Wвj-l(xo)

(1 + х2)2^-1 ’

где символом ^(х0) здесь и ниже будем обозначать различные многочлены от х0 степени не выше в. Каждое слагаемое и суммы 11, входящее в Рп, представимо в форме

и ЩгЫ)

(1+ х§)® ’

где

д1 = (6т 1 — 1) + ... + (6тг — 1) + (2к + 1 — г) = 6(п — к) + (2к + 1) — 2г = 6п — 4к — 2г + 1,

^2 = (2т1 — 1) + ... + (2тг — 1) = 2п — 2к — г.

Поэтому справедливо

„ _ ^/бп-4й-2г+1(а;о) _ ^Убп-з(хр)

1 (1 + х1)2п-2к~г (1+х2)2"-2 '

Аналогично для каждого слагаемого и суммы 12, входящего в Рп:

^бп-4к-2г1+з(х0) ^вп-1(х0)

^2

(1 + х1)2п-2к~Г1 (1+х2)2п-2 •

Итак, степень числителя правой части (35) относительно х0 не превосходит 6п — 1, что и требовалось.

Сформулированные выше свойства ап доказаны полностью.

Замечание. Наши вычисления показывают, что при п ^ 100 все коэффициенты многочленов ап(£) положительны, и что ап не делится на 1 + £. Возможно, это верно при всех п.

Разложение истинной аномалии в степенной ряд. Формула (28) представляет тангенс половины истинной аномалии. Несложно перейти к самой аномалии

в = 2arctg(x0 + и), (37)

где и — сумма ряда (28) от единицы до бесконечности. Воспользуемся рядом Тейлора для арктангенса (см. формулу (51) Приложения 2):

( — 1)к-1(х0)ик

агсЭДжо + и) = аг^ж0 + У ск(х 0)— 2 — . (38)

к=1 (1+ х0)

Подставляя (28) в (38) с учетом (35), получаем

(1 )к-1+Ш1 + ...+ть х(2т1 + 1) + --- + (2тк + 1) а а

О = 2„с,.евд + 2^ И--------------

где суммирование по каждому индексу осуществляется от 1 до бесконечности. Собирая коэффициенты при у«п, представляем в в требуемом виде

в = 53 впЫмп. (39)

п=0

Здесь в0 = 2 ак^ х0, а при п ^ 1

(_1 )к-1+Ш1+...+ть х(2т1 + 1) + ... + (2тк + 1) а а

п _ I _______________-^0_________________сйцто 1 Ц-т),

П / ^ -|- Хд)к^(2т1 ~ 1) + --- + (2тк — 1) 7

где суммирование производится по конечному множеству

1 ^ к ^ п, 1 ^ т^- ^ п — к +1, т1 + ... + тк = п. (40)

Окончательно, при п ^ 1

2( —1 )пх2п+1

/ 2° Ъп(хо), (41)

где

(1+ж2)2"

6п(х0) = ^ ^( 1) х0 скат1 * * * атк . (42)

Суммирование в (42) по-прежнему производится по множеству (40). Элементарно доказывается, что 6п — многочлены от £ степени не выше 2п — 1, причем свободные члены

6п и ап совпадают.

Приведем 6п(х0) для первых значений индекса:

2 2 2

Ь1 = с\а\ = - + -ж0 ,

3 5

2 _ 11 299 2 43 4 9 6

62 — с\а,2 - х0с2а1 — — + + ^05Ж° 175Ж° ’

2 3 292 4876 2 18664 4 824 в 884 8 92 10

Ьз = со, - йиад + ^ ^ ^ ^

64 = С1а4 — х0С2(2а1аз + а2) + 3х2сза1а2 — х3С4а1 =

3548 453946 2 1401056 4 29720302 в 4003612 8 377302 10

=---------1-----хЛ н---------х% н-----------х% н----------Жп н----------Жп +

2835 155925 0 467775 0 16372125 0 5457375 0 1819125 0

343688 12 1894 14

Н---------хк -\--------ж/, •

9095625 0 606375 0

С использованием средств компьютерной алгебры выражения для 6п получены вплоть до п = 100.

Замечание. Наши вычисления показывают, что при п ^ 100 все коэффициенты многочленов 6п(£) положительны, и что 6п(£) не делится на 1 + £. Возможно, это верно при всех п.

Область сходимости рядов (28) и (39) мы исследуем в следующей статье.

Историческая справка. Уравнение (3), выражения (4), (6) и разложение (25) получены Эйлером [3]. В мемуаре [3] пропущен член (2/3)х3д ряда (25), что привело к искажению дальнейших результатов. Соответствующие формулы исправлены Л. Кур-вуазье, научным редактором 28-го тома швейцарского собрания сочинений Л. Эйлера [4].

Подставляя д = 0 в (25), Эйлер за 13 лет до Баркера [7] получает кинематическое уравнение для параболы (10), часто называемое «уравнением Баркера». Впрочем, оно встречается в явном виде уже у Э. Галлея [8]. А в геометрической форме оно выведено И. Ньютоном: см. предложение 30 отдела 6 первой из трех книг, составляющих Начала [9]. Решение (11) уравнения (10) по формуле Кардано приводится в указанном мемуаре Эйлера [3], [4]. Общий член рядов (13), (19), представляющих решение уравнения (10), получен нами, по-видимому, впервые.

Решение (9) уравнения (3), выражающее х как функцию от времени, Эйлер [4] представил рядом по степеням (нечетным) хо вплоть до хд с коэффициентами — многочленами от д. Этот результат немедленно вытекает из (28), (35) после разложения (1 + х2)-2”+1 в ряд Маклорена. Однако величина хо обычно не мала, и разложение по д предпочтительнее.

Через сто с лишним лет после Эйлера Ф. Брюнов [1, 10] нашел первые члены разложения (39) вплоть до д3. Они совпадают с приведенными в настоящей работе, если не считать досадной опечатки (или вычислительной ошибки) в коэффициенте при хд в выражении для 63 в работе Брюнова [10]. В [1] погрешность не исправлена.

Через семьдесят лет после Ф. Брюнова киевский астроном И. И. Ильинский [11] вывел соотношение (3), представив Р рядом по степеням Д = (1 — е)/2е. Неудачный выбор параметра не позволил получить явного выражения общего члена ряда. С сожалением констатируем, что блестящие результаты Эйлера были быстро забыты. Нет упоминания о фундаментальной работе Эйлера [3] ни в цитированных статьях Брюнова и Ильинского, ни в книге К. Штумпфа [12], где излагаются результаты Ильинского, ни даже в обзоре Колвелла [1].

Сходимость рядов (28), (39), насколько нам известно, никем не исследована.

Приложение 1. Ряд Тейлора одной вспомогательной функции. Пусть

ии(д, г) = (а/1 + 2+1) , ц ^ 0. (43)

Представим функцию (43) рядом Маклорена по степеням г

М?, г) = ^ ^п(?)гп. (44)

Первые члены находятся элементарно:

иП \

о

^0 = 29, ад1 =29-2?, ад2 = — 29-ь?(3 — ?). (45)

Для вывода общего члена составим линейное дифференциальное уравнение с полиномиальными коэффициентами. Дифференцируя (43), получаем

/——<ки <?(а/1 + г - 1)

2 а/1 + г —— = ----ги = ----------------и;,

-у/1 + % +1 %

откуда вытекают два представления:

/-----сім , ,----------- ч ,-----сім , . сім , .

2,їа/і + 2: — = </ (а/1 + 2 — 1) го, 2а/1 + 2 — = — 2(1 + г)—-\-дъи. (46)

а% а% а%

Дифференцируя первое из них и умножая на 2 л/1 + г, приходим к соотношению

, . еРъи г , ч /----1 <1и)

4г(1 + %) ~^2 + [4 — 2д Ч- (6 — 2д)г + 2 дУГ+г] — -<?«; = 0.

Иррациональность исключаем с помощью второго из равенств (46):

. й2 гш , . _ Лш . .

4г(1 + г)—-г- + 4 - 4д + (6 - 4^)^] —— + - 1)го = 0. (47)

Лг2 аг

Подставляя (44) в (47), получаем рекуррентность

4(п + 1) (п +1 — ?)^п+1 = —[4п2 + 2п(1 — 2?) + а(а — 1)]^п,

или

(2п +1 — а)(2п — а)

адп+1 = _“77 | ТТ7 П Г*п •

4(п + 1)(п +1 — а)

Окончательно, и>0 = 29, и>1 = 29-2а, а при п > 1 ( —1)п-129 а

*11(9) =--------------[(2п — 1 — </)(2п — 2 — </)••• (п + 1 — </)]. (48)

4пп!

Асимптотика и>п при фиксированном а и п ^ то легко устанавливается. Деленное на п! выражение в квадратных скобках равно

Г(2п — д) 22"-^-1

Г(п + 1 - д)Г(п + 1) л/й

так что

-п

-3/2

»„(<() ~ (49)

г— 1^ л/фЙ

Следовательно, при любом д ряд (44) сходится абсолютно и равномерно в замкнутом круге |%| ^ 1.

Приложение 2. Ряд Тейлора для арктангенса. Воспользуемся стандартным разложением логарифма [13, п. 116]

^0. (_1)* — 1ик

1п(1 + X + и) = 1п(1 + х) + ----------т-, х^-1, |м|<|1+х|.

*—1 к(1 + х)*

Замена (х, и) на (—х, —и) дает

О

_ V"

к(1 — х)*

и*

1п(1 — х — и) — 1п(1 — х) — ^ ^ 7 х ^ 1, |^| <С 11 — х|7

*=1 откуда

оо *

1+ х + и 1 + х ^—\ и Г *

1п ------------— ІП -----------Ь 2, ТТ-,-----\{х +1) — (х — 1) ] (50)

1— х — и 1— х ^^к(1 — х2)*

*=1 у 7

при х2 = 1, |и| < тіп{|1 + х|, |1 — х|}.

В квадратных скобках стоит многочлен степени к — 1 с положительными коэффициентами, четный или нечетный вместе с к — 1. Старший коэффициент равен 2к.

Заменяя в (50) (ж, и) на (*ж, ш), с учетом (7) получим в области ж2 = —1, |и| < шш{|1 + жг|, |1 — ж*|} разложение арктангенса

^ ( —1)к-1ск(ж)ик , х

аг^(ж + м) = аг^ж + 2_^-------2\к---------’ (51)

к=1 ( + Ж )

где

С*^ = 2^ + • (52)

При вещественных ж круг сходимости (51) описывается неравенством |м| < \/1 + ж2. Из (52) легко вывести рекуррентное соотношение

(к + 1)ей+1 = 2кжей - (к - 1)(1 + ж2)ей_1 .

Раскрывая бином в (52), получим для нечетных и четных значений индекса

«.♦.<*>=-<*>=ё

т=0 4 у т=0 4 у

Многочлены е^(ж), таким образом, четны или нечетны вместе с к —1 и имеют степень к — 1. Коэффициенты имеют чередующиеся знаки, причем старший коэффициент равен единице.

Выпишем несколько первых е^(ж)

2 1 3 4 г, 2 1 5 10 3

с\ = 1, с2 = ж, сз = ж — —, С4 = ж — ж, С5 = ж — 2ж И—, Сб = ж-—ж + ж.

3 5 3

Авторы благодарны доктору Л. И. Брылевской и доктору М. Эфроимскому за помощь в библиографических изысканиях, а также доктору В. А. Антонову за указание на возможность вывода общего члена рядов (13), (19).

Литература

1. Colwell P. Solving Kepler’s equation. Richmond, Virginia, Willman-Bell, 1993. 202 p.

2. Субботин М. Ф. Астрономические работы Леонарда Эйлера // Леонард Эйлер. М.: Изд. АН СССР, 1959. С. 268-376.

3. Euler L. Theoria motuum planetarum et cometarum, continens methodum facilem ex aliquot observationibus orbitas cum planetarum tum cometarum determinandi // Berolini Sumtibus Am-brosii Haude, 1744.

4. Euler L. Theoria motuum planetarum et cometarum, continens methodum facilem ex aliquot observationibus orbitas cum planetarum tum cometarum determinandi // Leonhardi Euleri opera omnia. Ser. 2, Vol. 28. Turici, 1959. P. 105-251.

5. Холшевников К. В., Титов В. Б. Задача двух тел. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2007. 180 с.

6. Battin R. H. An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics. Reston, Virginia, AIAA educ. ser. 1999, 432 p.

7. Barker T. An account of discoveries concerning comets, with the way to find their orbits, and some improvements in constructing and calculating their places. London, 1757.

8. Halleio E. Astronomiae cometicae synopsis // Philosophical Transactions Royal Soc. 1704. Vol. 24. P. 1882-1899.

9. Ньютон И. Математические начала натуральной философии / Пер. с лат. А. Н. Крылова. М.: Наука, 1989. 690 с. (Серия Классики науки).

10. BrUnnow F. On the calculation of the true anomaly in ellipses and hyperbolas of great eccentricities // Astronomical Notices. 1858, N 2. P. 12-14

11. Iljinsky J. Uber die Bewegung in sehr parabelnahen Bahnen // Astronomische Nachrichten. 1930. Bd 238, N5708. S. 325-328.

12. Stumpff K. Himmelsmechanik. Bd1. Berlin, VEB Deutscher Verlag Wissenschaften, 1959. 508 S.

13. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Физматлит, 2007. 680 с.

Статья поступила в редакцию 30 июля 2009 г.