Решение кинематического уравнения для близпараболического кеплерова движения: свойства коэффициентов формального ряда Текст научной статьи по специальности «Математика»

2010_ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_Сер. 1_Вып. 3

АСТРОНОМИЯ

УДК 521.1:517.958

РЕШЕНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

ДЛЯ БЛИЗПАРАБОЛИЧЕСКОГО КЕПЛЕРОВА ДВИЖЕНИЯ:

СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ ФОРМАЛЬНОГО РЯДА*

1, Л. Н. Судов2, К. В. Холшевников3

1. Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН, д-р физ.-мат. наук, профессор

2. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]

3. С.-Петербургский государственный университет,

д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected], [email protected]

Введение. Кинематическое уравнение задачи двух тел, связывающее время и положение на орбите, занимает важное место в небесной механике. По нашему мнению, недостаточно исследованным остался случай близпараболического движения.

В 1744 г. Леонард Эйлер [1-3] представил время в функции от истинной аномалии как в замкнутом виде, так и рядом по степеням параметра, характеризующего форму орбиты и обращающегося в нуль на параболе. В работе [4] рядом по степеням указанного параметра представлена обратная функция, дающая положение на орбите в зависимости от времени. Приведен алгоритм последовательного построения коэффициентов ряда, доказаны их важнейшие свойства. Осталось найти область сходимости ряда, что мы сделаем в следующей статье.

Для этого понадобятся дополнительные свойства коэффициентов, которые получены здесь.

Кинематическое уравнение для близпараболического движения и его формальное решение. В этом разделе приведем кратко результаты работы [4].

Пусть t, в, х, к2,р, е — время, считаемое от эпохи перицентра, истинная аномалия, тангенс половины истинной аномалии, гравитационный параметр, фокальный пара-

* Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-3290.2010.2), Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009—2010 годы)» Федерального агентства по образованию Минобрнауки РФ (грант №2.1.1/504). © В.А.Антонов, Л. Н. Судов, К. В. Холшевников, 2010

В. А. Антонов

метр и эксцентриситет. Вместо эксцентриситета используем введенный Эйлером параметр, обращающийся в нуль на параболе:

1 ~ е 1 ~ М m

М = -1 е=~,-• (1)

1 + е 1 + м

При изменении е от нуля до бесконечности м убывает от 1 до — 1. Точнее, — 1 < м < 0 на гиперболе, м = 0 на параболе, 0 < м ^ 1 на эллипсе, причем м =1 на окружности. Часто более удобен параметр z = ^JJL. На гиперболе z принимает чисто мнимые значения, на эллипсе — вещественные положительные, на параболе z = 0. Во всех случаях —1 < м ^ 1, |z| < 1.

Замечание. Для удобства мы обозначили здесь через м, z величины, фигурирующие в [4] как — м, vi.

Введем безразмерное время

у = -г^-^щгЫЧ = Щ + е)2 хр-^Ч у (1+м)2 4 1

и представим кинематическое уравнение для близпараболического движения в виде

2

3 V = F(x,z). (2)

Здесь

1 + z2 1 — izx (1 — z2)x 1 + z2 (1 — z2)x

b ^ z> = TT^ ~ 2z2(l + z2x2) = arCtgZX " 2z2(l + z2x2) ' ( )

что можно представить сходящимся при |zx| < 1 рядом по степеням z2 = м:

(l±lx2fc+1 + A±lx2fc+3^ \2k + l 2/г + З J

k=0

Решение уравнения (2) представимо степенным рядом

(5)

n=0

Здесь xo — единственный вещественный корень кубического уравнения

1 з _ 2

3

хо + ~хо = -У- (6)

Остальные хп находятся последовательно приравниванием нулю коэффициентов при одинаковых степенях ц в соотношении

2

-у = ¥1+¥2, (7)

где

Ек + 1

/ ^ ™ ™ 1,к+т1+т2 + ...+т2к+1 (о\

x

к + 1

2к + 3

В результате

(1 + ж0)ж„ + Р„(Ж0,Ж1,Ж2,... ,х„_1) = 0, п > 1, (10)

где Рп — многочлен от указанных аргументов. Величины хп можно представить в форме

х0п+1

ХП = (1+х2)2»-1а™- (П)

Установлены следующие свойства ап.

1. Величины ап — четные многочлены от хо с рациональными коэффициентами. Обозначим £ = х0 и ниже считаем ап(£) многочленами от £, если не оговорено противное.

2. Степень ап(£) не превосходит 2п — 1.

Кроме того, некоторые свойства проверены на первых 100 коэффициентах ап и сформулированы в виде гипотез.

3. Степень ап(£) равна 2п — 1.

4. Многочлен ап(£) не делится на £.

5. Многочлен ап(£) не делится на 1 + £.

6. Все коэффициенты многочленов ап(£) положительны.

Разумеется, свойства 3, 4 вытекают из 6. Но последнее, в отличие от остальных, нам пока не удалось ни доказать, ни опровергнуть. Скорее всего, оно имеет место. Здесь получены дополнительные аргументы в его пользу: свойства 3-5 доказаны нами в усиленной форме. Именно, доказана положительность и найдена асимптотика ап( —1) и коэффициентов при наибольшей и наименьшей степени многочлена ап(£).

Доказательство свойства 5. При п =1 оно выполнено. Пусть п ^ 2. Обозначим П = (1 + £)-1. Согласно (11) переменная п входит в хп в степени 2п — 1. В процессе доказательства свойства 1 выяснилось [4], что наибольшую степень п в фигурирующий в (10) многочлен Рп вносят слагаемые У2, отвечающие к = 0 и пропорциональные хохяхп_я, 1 ^ в ^ п — 1. Остальные имеют меньшую степень. Поэтому

п_1 (1 +

х20 ) хп + х0 х + ... = 0, 1

где точками обозначены члены степени 2п — 3 и ниже относительно п. Переходя к ап согласно (11) получим

п_1

ап = —х0 ^ аяап-я + ..., (12)

8=1

где точками обозначены слагаемые, содержащие п в отрицательных степенях, т.е. обращающиеся в нуль при £ = -1. Обозначим $„ = ап(-1) и подставим в (12) £ = -1:

п-1

£п = ^ п ^ 2. (13)

8=1

Решение рекуррентного соотношения (13) методом производящих функций приведено в [5, §19.2]:

(2п)!! 1

Поскольку = 4/15, в нашем случае

п

(2п - 3)!! /16\' , ,

Итак, $п положительны при всех п ^ 1. Свойство 5 установлено. Асимптотика при п ^ то дается формулой Валлиса [6, §4.6]:

(15)

Доказательство свойства 4. В процессе доказательства свойства 1 выяснилось [4], что свободный член в ап вносит только слагаемое У1 в правой части (7). Поэтому можно положить У2 = 0. Легко показать, что если дополнительно принять хо = £ = 1, то ап(£) перейдет в свободный член ап, который мы обозначим через сп. Иными словами, сп представляют собой коэффициенты Маклорена функции

х(м) = сп^П' со = 1, (16)

п=о

служащей решением уравнения

к=0 +

и обращающейся в единицу при ^ = 0. Здесь и ниже через х, а, мы обозначаем

вспомогательные переменные, свои в каждом разделе. Совершим замену переменных

= и. (18)

Соотношения (16), (17) перейдут в

= ^ сп^2п+1, со = 1, (19)

п=о

к=0 у 7

Вычисляя производные, найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет u(z), служащая производящей функцией коэффициентов cn:

£ = (1 + «2)2- (21) dz

Найдем решение (19) уравнения (21), удовлетворяющее условиям u = 0, du/dz = 1 при z = 0. Положим

u2 = £ c„2z2n+2, u4 = £ c„4Z2n+4 (22)

n=0 n=0

при

cn2 ^ ^ cmcn-m , cn4 ^ ^ cm2cn-m,2 •

m=0 m=0

Подставляя (22) в (21), получаем

]Т(2п + 1)cnz2n = 1 + 2 £ Сп2^2п+2 + £ Сп4^2п+4

п=0 п=0 п=0

Отсюда со = 1, С1 = 2/3, а остальные сп находятся по рекуррентности

(2п + 1)сп = 2сп-1,2 + Сп-2,4 • (23)

По индукции из (23) вытекает положительность коэффициентов сп. Свойство 4 доказано.

Установим асимптотику сп при п ^ то. Уравнение (21) показывает, что м^) имеет особенности, лишь обращаясь в бесконечность. Согласно (20) ближайшими к началу будут точки z = ±п/4, затем z = ±3п/4 и т.д. Положив zl = п/4 — z, представим (20) при малых zl и больших м в виде

п п 1 1/м п 24

~2 ~ = ~2 ~ аГС^ и + 1 + (1 /и)2 = 2 " 3^ + + ''''

откуда

^ = (3.i)1/3 + g l^j , « = (3z!)-1/3 + g fe**?*'3J (24) с некоторыми вещественными lifc, ¿2fc. По симметрии при z = —п/4 — z2

(3z2)-1/M 1 + Е ^2к/3) (25)

fc=i

с теми же коэффициентами ¿2&. Оба ряда (24), (25) сходятся в круге < п/4, причем функция

« - (З^)-1/3 - (Зга)"1/» - /21 (|)1/3 - /21 (|)1/3 (26)

ограничена там вместе с первой производной. По неравенству Коши [7] коэффициенты при z2n+1 ее ряда Маклорена ограничены величиной

С (4\

2n+1

2n + 1 )

u

для некоторого С > 0. Далее,

^'^Г

при

¿п + 4/3) /4\2п+1 21/3 /4\2п+1

2Г(2п + 4/3) /4\ Г(1/3)(2п+1)! У

■П + 1)! \7Г/ Г(1/З)п2/3 у 7Г )

Асимптотическое равенство получено с использованием формулы Стирлинга. Для двух последних слагаемых в (26)

V3 /X1/3 / 4.X1/3 / 4.X1/3 ~

= ТМпг2п+1

-№ -т =И) -о-т) -при

2Г(2п + 2/3) ^ 4 ^ 2п+1 2-!/З /лх2П+1

'4п —

■ 2'1/3 (1)'

! ^) Зг(2/З)п4/3 ^У

3Г(2/3)(2п + 1)!\, к) 3Г(2/3)п4/3 V п

Таким образом, основной вклад в асимптотику сп вносят слагаемые (26) в отрицательных степенях ¿1 и ¿2. Окончательно,

Сп--с=-8 ,_= 0.450008, о=^ = 1.621139. (27)

пУз4 ' Г(1/3)^4 4 тг2 к '

Доказательство свойства 3. В процессе доказательства свойства 1 выяснилось [4], что член наибольшей степени в ап вносит только слагаемое У2 в правой части (7). Поэтому можно положить У1 = 0. Легко показать, что если дополнительно принять хо = 1, то ап перейдет в коэффициент при старшем члене ап, который мы обозначим через Ьп. Иными словами, Ьп представляют собой коэффициенты Маклорена функции

х(М) = ^ 6пМп, Ьо = 1, (28)

п=о

служащей решением уравнения

1 ^ ^ к + 1

3 ' 2/г + З Р У '

к=о

и обращающейся в единицу при ^ = 0. После подстановки жг = и соотношения (28), (29) перейдут в

и(г) = £) 6п^2п+1, Ьо = 1, (30)

п=о

к=о у 7

Вычисляя производную, находим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет и(г), служащая производящей функцией коэффициентов Ьп:

U2^=Z2{l + U2)2. (32)

dz

Подстановка переводит (32) в откуда

v

u = tg- (33)

2 v dv о .

S 2 (fe = ^

-z3 = v — sin-y. (35)

Уравнение (35) подробно исследовано в [8]. В частности, показано, что v разлагается в ряд Маклорена по нечетным степеням z с положительными коэффициентами

то

v = £ v„z2n+1, v„ > 0. (36)

n=0

Подставим (36) в (33), воспользовавшись предварительно рядом для тангенса

то то /1 то \ 2m+1

tgr = ¿ $>z2s+l

n=0 m=0 \ s=0 y

Сравнение с (30) показывает, что bn представимо конечной суммой

bn 'У \ 2 ímvsi vs2 • • • vS2m + 1 ,

где суммирование осуществляется по множеству 0 ^ ш ^ п, вх + в2 +... + в2т+1 = п —ш. Поскольку > 0, > 0, все величины Ьп положительны. Свойство 3 доказано.

Найдем асимптотику Ьп. Уравнение (32) показывает, что в особых точках функции и(г) должно быть и = 0 или и = то. На интересующей нас ветви и(г) согласно (31) равенство и = 0 влечет г = 0. Точка г = 0 не сингулярна. Остается и = то. Ближайшими к началу в силу (31) будут точки г = ±а, а = у37г/4. Действуя, как в предыдущем разделе, введем ¿1 = а — г, ¿2 = —а — г и представим и в двух формах:

1 Л л 1

^ v1+) • и=^ ^+Е(-1г^2

где оба ряда сходятся в круге |z| < а. Функция

u(z

(*)- -Л+-

а2 (а — г) а2 (а + г)

непрерывна в круге |г| ^ а вместе с производной. Поэтому асимптотика Ьп совпадает с асимптотикой коэффициентов Ьп функции

11 2

1___1 _ ^2п+1 7 _ ^

аЦа-г) аЦа + г) ^ " ' " а2™+4 '

V > V > п=0

u

1

Окончательно,

bn ~ bqS, b = {jЦ? = 0.637894, до = = 0.564754. (37)

Пока недоказанным осталось свойство 6. Дополнительным аргументом в его пользу служит положительность младших и старших коэффициентов an(£) и их регулярная асимптотика.

Литература

1. Субботин М. Ф. Астрономические работы Леонарда Эйлера // Леонард Эйлер. М.: Изд. АН СССР, 1959. С. 268-376.

2. Euler L. Theoria motuum planetarum et cometarum, continens methodum facilem ex aliquot observationibus orbitas cum planetarum tum cometarum determinandi. Berolini Sumtibus Ambrosii Haude, 1744.

3. Euler L. Theoria motuum planetarum et cometarum, continens methodum facilem ex aliquot observationibus orbitas cum planetarum tum cometarum determinandi // Leonhardi Euleri opera omnia. Ser. 2, Vol. 28. Turici, 1959. P. 105-251.

4. Холшевников К. В., Судов Л. Н. Решение кинематического уравнения для близпарабо-лического кеплерова движения: формальный ряд // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Вып. 4. 2009. С. 124-136.

5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 3. М., 1967. 300 с.

6. Антонов В. А., Тимошкова Е. И., Холшевников К. В. Введение в теорию ньютоновского потенциала. М.: Наука, 1988. 270 с.

7. Евграфов М. А. Аналитические функции. М.: Наука, 1968. 472 с.

8. Антонов В. А., Судов Л. Н., Холшевников К. В. Решение уравнения Кеплера для прямолинейного движения // Астрон. журн. Т. 87. №12. 2010.

Статья поступила в редакцию 26 апреля 2010 г.