CC BY
47
ТРАЕКТОРИИ ЛУЧЕЙ В РАДИАЛЬНО-ГРАДИЕНТНОЙ СРЕДЕ
С.Е. Курушина, В.В. Максимов, Ю.Л. Ратис Самарский государственный аэрокосмический университет
Аннотация
Аналитические решения лучевого уравнения получены для радиально - градиентной среды с профилем показателя преломления, ограниченным членами четвертой и шестой степени расстояния от оптической оси в разложении показателя преломления в ряд.
Введение
Для анализа оптических систем, содержащих элементы с радиально-градиентным профилем показателя преломления, необходимо знать представленное в аналитическом виде уравнение траектории луча, распространяющегося в такой среде.
Один из возможных способов аналитического решения лучевого уравнения состоит в представлении траектории луча в виде разложения по степеням расстояния z, измеренного вдоль оси симметрии профиля показателя преломления. Полученные на этой основе формулы представлены в работе [1]. Недостаток этого способа заключается в том, что при практических расчетах бесконечные ряды заменяются конечными суммами, в результате чего ход луча рассчитывается приближенно.
Другой способ основан на методе последовательных приближений. Этот способ был применен в работах [2, 3, 4] к радиально-градиентным средам с положительной оптической силой, и обобщен в работе [5] на среды как с положительной, так и отрицательной оптическими силами.
В данной работе предложен метод определения траектории луча в цилиндрической системе координат, позволяющий для среды заданной оптической силы найти координаты произвольной точки луча р (расстояние от оптической оси) и р (полярный угол) в зависимости от расстояния z, измеренного вдоль оси симметрии профиля показателя преломления.
Постановка задачи
Для среды с радиально-градиентным распределением показателя преломления его профиль определяется выражением:
n =Z nkР2к , (1)
к=0
где р - расстояние от оптической оси системы. Тогда с учетом р6:
n = n0 - sign (-n1)n1p2 + n 2 р4 + n 3 р6 + ... (2)
Здесь
sign
(- n ) =
1, (n1 < 0 ) 0,(n1 = 0) . - 1, (n1 > 0 )
(3)
Если первый коэффициент радиального градиента п1 < 0, то среда обладает положительной оптической силой.
Квадрат показателя преломления может быть представлен в виде:
n 2 = no (1 - sign (-n1)r12р2 + т^т2р4 -- sign (-п1)т16т3рб + ...), где
2 n
Т =
(4)
1 n2n
— +
2"0
Т3 =
4 n1
n 2 + -
n 3 n
3"0
Ход луча будем описывать в цилиндрической полярной системе координат, ось 02 которой совпадает с осью симметрии распределения показателя преломления.
Учитывая, что показатель преломления зависит только от координаты р, в выбранной системе координат лучевое уравнения принимает вид [6]
d
ds
A
dp + р—e
ds
dz
dn — i dp
(5)
где ер, ер, 82 - единичные орты цилиндрической
полярной системы координат. После преобразований [6] это уравнение можно представить в виде системы двух уравнений для компонент р и р
2 Л1/2
dp dz
dp dp
J_
в
в
р
n 2(р)-Pz 2
Рр
\ (
n 2(р) -Pz 2 -
р
( р2
/
2 V1/2
(6)
где величины
Pz = n(f)cosy = n^cosY)
Рр= n(p)psinycosф = n(po)PoSinYoCOsфo
(7)
являются инвариантами в радиально-градиентной среде. Углы уи ф показаны на рис. 1. Величина Д представляет собой оптический направляющий косинус луча относительно оси 02.
Точка входа луча в неоднородную среду характеризуется величинами р0 и р0 .
Таким образом, задача определения траектории луча, распространяющегося в радиально-градиент-ной среде с профилем показателя преломления, ограниченным членами четвертой и шестой степени расстояния от оптической оси в разложении показателя преломления в ряд, сводится к решению системы дифференциальных уравнений (6) с учетом выражения (4) при заданных начальных условиях.
n
0
1
Тп =
2
2
2
n
n
0
n
1
р
. (9)
рЩ>
Рис. 1. Разложение элемента длины луча на компоненты
Анализ траекторий лучей
1. Квадрат показателя преломления ограничен р4 Запишем первое из уравнений системы (6) для случая, когда
г\ О О А. А.
п = «о(1 - sign(rnl)тl р +Тхт2р ): (8)
^Р 1 / 2 п 2 . , Л222.
— = — (п0 - - (-п1)п0Г1 р +
¿2 Рг
. 2 4 4 Рср -Л/2 + ЩТ1Т2Р Г)'
Р
При п1 >0 , когда среда обладает отрицательной оптической силой, - sign(-n1)n^т1^ = п^т2, что далее в формулах соответствует верхнему знаку.
В случае п1 <0 среда обладает положительной
оптической силой, - sign(-n1)n0т12 =-п^т12, что далее в формулах соответствует нижнему знаку. После замены р2 = £ получим
^ п о2Т14Т2^3 ± п о2Т2£2 +
¿2 в 2
+ (п о2 - в2 2)£- Р9 2)1/2
(10)
Приведем кубический многочлен к каноническому виду
¿£ = 2 п 0т12 4^2 £ ± _£2 +
¿2 в2 т2Т2
-1 2
(п 02 - Р2 2) £ - вЯ>2 )У2
ь 2 4 )
(11)
. 2 _ 4 ,
и сделаем замену переменных [9]
7 = £ ± 1 / 3 т 2 т 2 ; ё п = ё £ .
Для кубического многочлена получим приведенное выражение. Тогда
ёп 2п 0т1
¿2
Р.
(п3 + рп + Ч )2, (12)
где
Р =
3(п02 - Р2 2 )т2 - п02 3п02т14т22
Ч =
± 2п0 + 9т2(п02 -Рг2) - 27т/т22
. (13)
27 п 2 т 6 т 2
Решение дифференциального уравнения (12) зависит от вида корней уравнения п3 + рп + Ч = 0. Дискриминант этого уравнения Б определяется выражением [9]:
Б = \Р
+ '21 =
(пр -в2 2)2 [(^2 -вг 2) - п 02 4*27 п06т112т24
п02т2Р1 [27тТ2р1 + 4п0 ± 18т2(п02 -Р22)1
. (14)
4*27 п6т12т24
а) Кубическое уравнение имеет действительные корни, если Б < 0 и р < 0 [9]. Положим
Я =
соз Т =
3
4
2Я3
(15)
Тогда действительные корни определяются выражениями [9]:
11
-2Я ссз
3
ГТ 2п п2 = -2Я ссз1 — +——
ГТ 4п % = -2Я Ну + "у
Для многочлена
£3 ± 1 £ 2 + (п2 - в22) £ Р
(16)
т1 т2
2 4 п 0 т1 т 2
24 п 0 т1 т2
(17)
действительные корни определяются следующим образом
1 Т 1
£1 = п + —2— = -2Я соз—+ -
3т12т2
3 3т1 т2
1 ГТ 2жЛ 1
£2 =п2 + —;— = -2Яссз\ —+— I + -
3т2г2
3 3 ) 3г2 1 00 ГТ 4П 1
£3 =п3 +—;— = -2Я соЗ —+— | + -
(18)
3г,2г9
'1 '2 V 3 3 ) 3т1 т2
Обозначим наименьший из корней £1 через а, средний по величине - через Р, а наибольший по величине - у. Тогда уравнение (11) можно переписать следующим образом:
<£ =^повт[((£-а)(£-вХ£-г)2. а9) После разделения переменных получим:
2п0т1
Л/(£-а)(£-Р)(£-г) Рг
¿2 .
(20)
В левой части этого уравнения под знаком корня должна стоять положительная величина, т. е. выражение (17) должно быть > 0. Это условие выполняется для интервалов:
1. а < £ < Р и
3
2
3
2
2
2. Г < $ .
Рассмотрим решения системы (6) для каждого из этих интервалов.
1. а <$ < в .
Для решения уравнения (20) введем новую переменную р по правилу [7]
$ = а + (в - а) ът2 р .
(21)
После несложных преобразований из уравнения (20) можно получить:
2
ёр
2п0т1
Г-а „0лД - к2 ъ1п2 р
в,
(2 - 2о), (22)
где
к2 =в-а у - а
0 < к 2 < 1
и = агеът
Р0 - а в-а
2
(23)
Р
в-а
В результате, после интегрирования выражения (22), получим:
¥ (и, к) =
п0Т 472 (у - а)
в,2
(г - 20 + 2')
2 = -
вг¥ (и0, к)
(24)
п0т1 4 Т2(Г-а)
Здесь ¥ (и, к)- неполный нормальный эллиптический интеграл первого рода [8]. После обращения интеграла (24) окончательно получим:
р2 = а + (в-а)™2
0г12л/ Тг(Г-а) в;2
(2 - 20 + 2)
(25)
от в - эллиптическая функция Якоби, называемая синусом амплитуды [8].
Определим теперь зависимость полярного угла р от расстояния р из второго уравнения системы (6). Проведя преобразования, аналогичные указанным выше, несложно получить следующее выражение:
в,
р = Ф0 + -
п0Т\-\] т2 (у-а)а
[П(и, п, к) - П(и 0, п, к)] ,(26)
где параметр интеграла п =
^ , П(и, п, к) -
не-
полный нормальный эллиптический интеграл в форме Лежандра третьего рода [8], остальные величины определены в (23).
2. Рассмотрим второй интервал у < $ . В этом случае для решения уравнения (20) необходимо сделать замену переменных [7]
$ =
у - в ^п р
1 - ът 2 р
(27)
При такой замене уравнение (20) приводится к виду (22) с модулем интеграла к, определенным в (23). Однако величины и и и0 здесь определяются так
и0 = агеът
и = агеът,
'р0-в
р-7 !р2-в
(28)
Решение уравнения (20) имеет теперь более сложный вид, чем (25):
У - в$п 2
р =
0Т\л1 Т2(У-а) в2
(г - г0 + г')
0712л/ ^2(У-а) в2
(г - г0 + г')
(29)
Здесь г' имеет такой же вид, как в (24), но и0 нужно брать из (28), сп в - эллиптическая функция Якоби, называемая косинусом амплитуды [8].
Зависимость полярного угла от расстояния от оптической оси определяется из второго уравнения системы (6) при помощи замены (27) и представляет собой комбинацию эллиптических интегралов первого и третьего рода:
р = р0 +-
вр( п + 1)
пп 0Т
0'1
,(у~а)у
П(и, п, к )-
в
(30)
р
¥ (и, к )+р'
пп 0Т2л/ т 2 (У-а)у В выражении (30) параметр интеграла п = - в/у , величины и и и0 определены в (28),
р
вр (п +1)
- П (и 0 , п, к) +
пп 0т12^т2 ( ~а)У (31)
+-2 -, ¥ (и 0, к )
пп 0т1 л1т 2 ( ~а)Г Таким образом, если многочлен (17) имеет действительные корни, то решениями системы уравнений (6) являются выражения (25,26) и (29,30).
б) Кубическое уравнение имеет два комплексных корня и один действительный, если Б > 0 и р < 0 или р > 0 [9]. Корни приведенного многочлена третьей степени представлены в таблице 1.
Обозначим действительный корень многочлена
(17)
$ _ 1
$1 =^1 +-7 = а.
3г2г1
Тогда
$ 3 + 1 $ 2 + (П 02 - Р г 2) $ Рф 2 =
Ъ — 2 ^ 2 4 ^ 24
Т 2 Т 1 1 1 2
= ($-а)($2 + х$ + а) где ($2 +х$+а) - трехчлен с вещественными коэффициентами всегда остается положительным при вещественных $. Коэффициенты а и х можно найти из таб. 1. Интервал а < $ соответствует положительным значениям выражения (17).
п
п
2
сп
и
0
п
0'1'2
0-1-2
р<0 и Б>0 р>0
Я =- сНТ = -Ч~ Я =- 3 shТ=-Ч-2Я
Действительные корни
Т п = -2ЯСН — 1 3 Т п = -2Яsh — 3
Мнимые корни
Т Г Т п2 = ЯСН--+ гЧ/ 3Яsh — 3 3 Т Г Т п2 = Яsh--+ Ы 3ЯсН — 2 3 3
п3 = ЯсН — - — 3 3 3 ТТ п3 = Яsh--Ы 3ЯСН — 3 3
Чтобы проинтегрировать уравнения (6) введем новую переменную [7] по правилу:
I 2 2 ф
£=а + ^а + %а+аtg —.
(32)
В результате после преобразований из уравнения (20) получим:
1_I
_____У4 Л
сф>
(а2 +ха+ст)Х4 „^1- к2 з1п2 ф
=2п0х2УтГ,
где
к2 =
Р2
1 -
-(2 -20)
(33)
+ Х/ 2
а + ха + а
0 < к2 < 1
и 0 = 2 агсзт
= 2 агсзт
Р 0 - а
р0 - а + д/(а 2 + Ха + а^
р - а
1/2
р2 - а + д/(а 2 +ха + а ^
1/2
(34)
Далее, проинтегрировав уравнение (33), окончательно определим зависимость
р2 = д/(а2 + %а + а)?2 ада[8( 2 - 20 + 2')]| + а,
5 =
2п0т12Л/т2 (а2 + ха + а))4 (35)
. Р^ („0, к) 2n0тl2^т2 (а2 + ха + а))4
Ввиду громоздкости преобразований при определении зависимости полярного угла ф от р, здесь приведен окончательный результат:
ф = ф0 +^(1- Ь)11(и) + еБ(„, к) -ф';
рф
Е =
2п0г12^Г! (а2 +ха+а)1 (а-(а2 +ха + а)1 )
/ 2 \12 а+(а +ха+а)
а-(а2 +ха + а)
У2 '
11(и) = п[ и 2—, к | +
Ъ2-1
Ъ2-1
1п
>/1- ъ2а+кТкчък2:
2>/(T-Ъ2Х(чЪ2k2)
ф = е(1 - Й)/1 (и0) + Е^(и0, к),
n/1-ъ2 а - км'к'2 + Ъ2к2 йт и
А = л/1 - к2 з1~2
З1П И,
(36)
к'2 = 1 - к2.
Величины к, и, и0 определены в (34).
Таким образом, если многочлен (17) имеет два комплексных корня и один действительный, то решением системы уравнений (6) являются выражения (35,36) с учетом (34).
2. Квадрат показателя преломления ограничен рР
Рассмотрим решения системы уравнений (6), если квадрат показателя преломления задан выражением (4).
Сделав замену переменных р2 = £ , уравнения (6) можно переписать так:
й£ = 2п0т1 Vт3 (±£4 + £3 ± £2 +
¿2
Р,
т т
1
т т
1
п 2 - Р 2 )
2 6 п0т1 т3
+ (п0 -Р/) £ Рф )12 - ' Ь 2 6 )
26 п0т1 т3
йф = Рф ¿£ 2п0т3,/7
;4 . т2 £3 I 1 е2
(±£4 + £3 ±-
£2 +
3":
2 2 2
+ (щ -Р/ )
+-2 6-£-
п0т т
Рф
(37)
0 '1 '3
п0т1 т3
а
2
и
13
13
Решение системы уравнений (37) зависит от вида корней многочлена четвертой степени. Определим корни $.
Преобразуем многочлен четвертой степени к приведенному виду. Для этого введем переменную
П = £ ± Ti/4zi т3
[9]. В результате получим
±£4 +
±
1
+
т1 т
1 '3
т, т
13
(n 2 -в*2) £
р.
2_6,
2_б„
(38)
42
= ±n + pn + qn + г
где
Р=-
+ 3т2 ± 8т3
q =
8т4т32 '
п2т2 -4Т2«02Т3 + 8Х32(И02-в/). (39)
о 2 6 3 '
8п0Т1Т3
+ 3т2«02 +16т2п2Т3 + 64Т2Т32(«02 -вг2) -256т2Т3Рр
г =-—
256п02т8т34
Вид решения уравнения
+ ц4 + рц2 + дп + г = 0 зависит от вида решения его кубической резольвенты:
г3 + 2 рг 2 + (р 2 + 4г) г - д 2 - 0 .
Запишем для (40) приведенное уравнение:
у3 + р'у + д' = 0;
, + 12г - р2
(40)
(41)
3
, + 2 p3 + 72 pr - 27 q2 q =
27
Дискриминант приведенного уравнения для кубической резольвенты Б' = (р' / 3)3 + (д' / 2)2. Если Б '<0 ир '<0, корни действительные и имеют вид:
()ЖрГ\ У1 = -2К сое ^, К =--3
(42)
cos Т
3
q'
2 R3
„л (Т 2п y2 = -2R cosí--1--
2 ^ 3 3
(Т 4п y3 = -2R cosí--1--
3 ^ 3 3
Если p' <0 и D' >0 или p' >0 корни могут быть определены из таб. 1, в которой величины p и q нужно заменить на p' и q'.
zi = У i + 2 p /3 - корни кубической резольвенты (40).
Приведенный многочлен четвертой степени в (38) имеет следующие корни [9]:
n i = (4*1 + 4*2 + 4*3)/2
П 2 = (( -4I¡ -VZT)/2; (43)
n 3 = (-4*1 + 4*2 -4*3)/2 n 4 =(- 4*1- 4*2 + 4*3)/ 2
При этом знаки перед радикалами 4^2 выбирают так, чтобы 4*14*24*3 = -д .
Если корни уравнения (40) действительны и положительны, то уравнение
±n4 + pn2+qn+r = о
(44)
имеет 4 действительных корня. Если (40) имеет положительный действительный и два отрицательных действительных корня, то (44) имеет две пары комплексно сопряженных корней. Если (40) имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня, то (44) имеет два действительных и два комплексно сопряженных корня.
Для уравнения
±£4 £3 ±
1 , («02 -в,2)
т12т3
т14т3
£2 +-
«от16т3
р.
пот16т3
= 0 (45)
корни определяются так: = п + т2 / 4т1 т3
0 =1,2,3,4).
В зависимости от коэффициента при старшем члене, вида корней $1 и интервалов, на которых (38) > 0, в таблице 2 приведены необходимые для решения системы (6) замены переменных [7] и полученные зависимости р(г) и рр).
В таб. 2 используются следующие обозначения. Для случая, когда все корни многочлена (38) вещественны, эти корни обозначены: а, в, У 8 причем предполагается, что а < в < У< 8. В случае, когда (38) имеет два вещественных и пару комплексных корней, у < 8 являются вещественными корнями, а комплексные корни заданы выражением Ь0 ±i с0 (с0 > 0). В случае, когда (38) имеет две пары комплексно сопряженных корней, эти корни имеют вид Ь ±i С1 (С1 > 0), Ь2 ±i С2 (С2 > 0), Ь1 > Ь2 .
Кроме того, в таб. 2 использованы вспомогательные величины:
tg 01 =
s - b о
, tg 02 =
Y - b о
02 - 01 02 + 01 V = tg 21 tg 2 1
2
c 1 + c 2
2
(46).
tg 03 =-!-рЦ tg 04 =
12
tg
b1 - b2 b1 - b2
2 05 cos 03 2 cos 0 л
Вид интеграла 11(и) определен в (36).
Таблица 2 составлена с учетом работ [7, 8].
Заключение
В выражениях (25, 26), (29, 30), (35, 36) и таб. 2 представлены в аналитическом виде уравнения траекторий лучей, распространяющих в радиально-градиентной среде с профилем показателя преломления (4). Эти выражения имеют достаточно простой вид и могут быть легко разложены в ряд по заданному параметру.
С учетом формулы (7) полученные выражения дают возможность при любых начальных параметрах определить высоту и наклон луча в произвольной точке траектории.
т
2
2
+
о "1 "3
о "1 "3
2
c
c
о
о
Зависимости р(г) и р(р) для профиля показателя преломления, заданного выражением (4)
Нули (38)
Коэфф.
при старшем члене
Интервал
Замена переменных
Выражения для и , и0, к2, г', п; Ь ,с - вспомогательные величины
р(г), рр)
Четыре вещественных.
+1
4<а или 8*4
4=
8(у-а)-у(8-а)5\П:р (у-а) - (8-а)5\П:р
ио = аггат
и = аггат
(Р2 -8)(у -а)
i(Рo2 -у)(5 -а)
1(Р2 - ■8)(у- а)
8(у -а) - у(8 -а)зП
(р2 - у)(8 - а)
Р2 =
поТл1Тз(у-а)(8-в)
Рг
(г - г о + г')
(у-а) - (8 -а)яп'
поТл1 Тз(у-а)(8-Р)
Р,
(г - го + г')
г =
в г
ПоТ^Тз(у-а)(8 - в) к: = (8-а)(у-в) (у-а)(8-Р)
у (а - 8)
Р(ио, к)
РЛГ-8)
р = ро +--- -
пот1 8ул!т- (у - а)(8 - в)
П(и, п, к ) +
в.
поТ-УЫТз(У -а)(8 - в
п = -
8(у-а)
Р =
вр (У - 8)
от^у^т- (у-а)(8-в)
вр
Р(и, к)- р'
П(и 0, п, к ) +
поТ1У^т-(у -а)(8 - в)
Р (и о, к )
в < 4 <у
4=
в(у-а)-а(у-в)51т} р (у-а)-(у-в)$,\П:р
и0 = аггат
и = аггат
(Р - Р)(у -а)
-а)(у- -Р)
1(Р2 - -Р)(у- а)
Р(у -а) -а(у - в)т"
РР =
поТ-\1 т-(у-а)(8-в)
вг
(г - го + г)
¡(р2 - а)(у - Р)
(у-а) - (у- Р)зп"
поТл1 т-(у-а)(8-Р)
вг
(г - го + г')
вг
поТл!т-(у-а)(8 - в) к 2 = (8-а)(у-в) (у-а)(8-в)
а(Р-у)
Р(ио, к)
вр(а-в)
р = ро +--- -
поТ1 ав~]т- (у - а)(8 - в)
П(и, п, к) +
Рр
п отзатз(.у-а)(8 - в
Р(и,к)- р'
п=
в (У - а)
Р =
вр(а-в)
п оТ авфз (у-а)(8 -в) Рр
П(и о, п, к ) +
пот-атз(у -а)(8 - в
Р (и о, к )
+
п
+
г =
+
+
к» о
-1
o < 4 <ß
4=
o(S-ß) +S(ß-o)sir2^ (S-ß) +(ß-o)sirl*
un = arcsin
u = arcsin
- o)(S ■ -ß)
i(S- pQ2)(ß - o)
(p2- - o)(S - ß)
iS-p^-o)
z '=_ ßz
По^д/Тз (r-o)(S- ß) k 2 = (ß - o)(S - r) (r-o)(S-ß)
S(ß-o)
7 F (u Q, k )
П=
o(S-ß)
o(S-ß) + S(ß -a)sri
p=
По^л]тз(У -o)(S - ß)
ß
(z - zQ + z
(S-ß) - (ß-o)m
h(r-a)(S-ß)
ß
( z - zq + z)
* = *o +
ßAS-o)
от1о^тз (r-o)(S -ß)
П(u, п, k ) +
ß*
TiS^T (r-o)(S-ß)
F (u, k )- *'
* =
ßAS-o)
от1о^ТЗ(Г -o)(S - ß)
ß*_
Т^^Тз (r-o)(S-ß)
П(0, п, k) +
F (u о,k )
r < 4 < S
4=
rSS-ß) -ßSS-y)si\Ï* (S-ß)-(S-y)si\i*
un = arcsin
u = arcsin
(p2 -r)(S- - ß)
i(pt -ß)(S -r)
(p2- ■ r)(S - ß)
rSS-ß) -ß(8-r)m'
I (p2 - ß)(S - r)
p=
ПоТ-J h(r-o)(S-ß)
ßz
( z - zQ + z ')
(S-ß) - (S-r)sH
Пот1л1 тЗ(Г-0)^ - ß)
ßz
( z - zQ + z )
z' =_ ßz
Поrl-JТз (r-o)(S- ß) k 2 = (ß - o)(S - r) (r-o)(S-ß)
ß(r-S)
rF (u oo, k )
* =*o +
ß*(ß-r)
Arß4^(r-o)(S- ß)
П(, п, k)-
ß*
qT?ß^r-oXS -ß)
П=
rSS-ß)
* =
ß*(ß-r)
от1^л1тз (r-o)(S-ß) ß*
отi ß^^(y-o)S-ß)
F (u, k )- *' П(u 0, п, k ) +
F (u 0 , k )
П
+
П
+
П
П
+
П
+
П
Два вещественных и два комплек сных
-1
S < £ или
£ < г
7 <£ < S
tg-
£ =
Ф cos 9j(8-£) 2 cos 9 2(£-j) S + y S-y v-cosф
2
2 \-vcosф
0j - острый, 9 2 - тупой,
u0 = 2arctg
u = 2arctg
lcos 9Д5-р2) cos 9 2 (p2 -y)
lcos 91(S-p2) cos 9 2 (p2 -y)'
P z (- cos 91cos 9 2)1/2
z =
2conoTi V T3
F (Uo, к),
9 -9 i 2 • 2 1 2 к = sin2 1 2
b =
2
(S + y) - (S-y)v (S-y) - (S + y)v
в1,в2 - острые .
cos02 2
S-y-2 tg
cos01
p =-
1
—am 2
pz (-cosdicosej12
(z - Zo + zZ)
1 + ^ tg 2 cos91
f
2
2c0n0Tl4 T3
pz (- cos0lcos02)1/2
(z - Zo + Z')
в (-cos91 cose2)l2(1+bv)
Ф = Фо +-^-i I1(u) -
coп0Т1 л]T3 [(S-y) -v(S + y)\
рф(-cos61 cose2)l2v co no rlTi [[S -y) -v(S + y)]
F (u, к)
ф = +
рф(-cos61 cose2)l2(1+bv) co no -y) -v(S+y)]
h(u o) -
вФ(- cosd1 cose2)l/2v
c0 n0T1 'T
' -y)-v(S + y)]
F (uo, к)
Вид решения такой же, как в случае S < £ или
г , (- cos в1 cos в2 )112 £ < y, с учетом замены множителя --1-^—
на множитель _
(cos0jcos02)1/2
Четыре комплек сных,
bi > b2
ж <£< ж
£=b1 + cM Ф+
93 +9
2
в3,в4,в5 / 2 - острые.
(p2 -b1 \ 93 +94
u0 = arctg
p2 = b + c1tg\ am
u = arctg
V У
(p2 - b Л
9i +9 4
2noT
P*
pz (cose5)1!2 2n0T1 *JT3(c1c 2) 1
F (u 0 , к)
к2 = sin2 в5
Ф = Фо + Рф
2noTi л/тз
в
cos 9
sl/2
v cos95
Л1/2 (
(z - zo + z)
9 + 94
1 + tg
9з +9 4 2
at*)
bt 9з +94
ci - btg \ 4
I 2 (u) -
b1 + c 1 tg
9 3 + в4
2noTi VT3
cos 95
Л1'2 (
9i + 94
Ч 2
С1 - b1 tg
93 + 94
bt 9з +94 c - btg \ 4
F(u, к) -ф '.
2c0n0T1
0"0
1
am
c
0
c
0
1
12
2
2
2
c
c
V c1c2 У
z =
V c1c2 У
2
c
к» к»
Четыре комплек сных,
bi = b2 ci > c2
£ = b - ^лф.
u0 = arctg
u = arctg
b1 -P 0
b -p0
Pz
2^1 n0 л]T3 c'1
F(u0, к)
(„ Y
, c = --
к 2 = 1 -
ъ
p = b1 - c1ctg <! am
2n0T1 1T3 c1
Pz
(z - z0 + z')
Рф T^i 1 \ Рфc T / \ ' ф = ф0 +—3-F=-F(u,к)--3-—-1o(u)-Ф ,
Ф ="
2тз n0-,Jт3 c1b1 Рф
2т1 n0J т3 c1b1
F(u0, к) --
2т1 n0^lт3 c1b1 P«c
2т1 n0Jт3 c1b1
-I o(u 0).
c
c
z
c
2
V c1 у
*) Io(u) = -
1 + c0
F (u, к) + -
1
c(c 2 +1)
П
u,--
к', Д - определены в (36).
1 + cг
(1 + c 2 ) + c 2 к'2)
In
V1 + c 2 к'2 +v 1 + c 2 Д л/1 + c2к'2 -д/1 + c2 Д
Литература
1. Грейсух Г.И., Ефименко И.М, Степанов С.А. Оптика градиентных и дифракционных элементов. М.: Радио и связь, 1990. - 136 с.
2. F. Bociort, J. Kross New ray - tracing method for gradient - index lenses // Proceedings SPIE. 1993.Vol. 1780, p. 216-225.
3. E.W. Marchand Fifth-order analysis of GRIN lenses // Applied Optics. 1985. Vol. 24, № 24, р. 4371-4374.
4. E.W. Marchand Rapid ray tracing in radial gradients // Applied Optics. 1988.- Vol. 27, № 3, р. 465-467.
5. Грейсух Г.И., Степанов С.А. Расчет хода псевдолучей через оптические системы, включающие градиентные и дифракционные линзы // Опт. и спектр. 1996. Т.
81, №4. с. 698-701
6. Адамс М. Введение в теорию оптических волноводов // М.: Мир, 1984. 512 с.
7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье // М.: Наука, 1967. 299 с.
8. Градштейн И. С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений // М.: Наука, 1971. 1108 с.
9. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике // Совм. изд-во: Лепциг «Тойбнер», М.: Наука, 1981. 718 с.
1
c
к
о
c
2
