Компьютерный расчет оптических систем в области аберраций высших порядков Текст научной статьи по специальности «Физика»

С.А.Степанов, Г.И.Грейсух

КОМПЬЮТЕРНЫЙ РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ОБЛАСТИ АБЕРРАЦИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Расчет в области аберраций высших порядков наиболее эффективен в том случае, когда силовыми элементами оптической системы являются градиентные и дифракционные линзы. Это обусловлено в основном двумя причинами. Во-первых, аберрационное разложение такой системы при надлежащем выборе исходной схемы сходится достаточно быстро, благодаря чему устранение аберраций каждого последующего порядка приводит к ощутимому улучшению оптических характеристик.

Во-вторых, градиентные и дифракционные линзы обеспечивают возможность селективной коррекции аберраций различных порядков. Действительно, в случае радиально-градиентной линзы (показатель преломления которой

Кл>=Е прР

р=0

2 Р

(1)

где р - расстояние от оси линзы) коэффициенты пр влияют на аберрации, начиная только с (2р+1)-го порядка.

В случае дифракционной линзы (фокусирующие и аберрационные свойства которой определяются законом изменения пространственной частоты ее структуры

П(р) = (1/ Л)

РФ 0 +Е Ь21+Р

21+1

1 =1

(2)

где Ф0 - оптическая сила линзы на длине волны Л) коэффициенты Ь21+1 влияют на аберрации, начиная только с (2р+1)-го порядка.

Известные методики вычисления аберраций третьего и пятого порядков оптических систем, состоящих из градиентных линз [1,2] основываются на использовании теории квазиинвариантов [3]. Это позволяет достаточно легко распространить указанные методики и на системы с дифракционными элементами, для чего необходимо лишь получить в приближении соответствующего порядка малости вклад в приращение квазиинварианта, вносимый дифракционной линзой [4].

Однако, с точки зрения широты функциональных возможностей больший интерес, на наш взгляд, представляет путь получения аберрационных коэффициентов по диаграмме рассеяния псевдолучей,

ход которых через оптическую систему рассчитывается в приближении заданного порядка малости. В этом случае переход к все более и более высоким аберрационным порядкам существенно проще, а процесс вычислений легко алгоритмизируется. Более того, использование псевдолучей кроме вычисления аберрационных коэффициентов различных порядков позволяет осуществить минимизацию суммарной аберрации раздельно в каждом порядке и, наконец, минимизировать остаточную аберрацию того или иного типа путем взаимного балансирования ее составляющих различных порядков.

Расчет хода как реального, так и псевдолуча через оптическую систему, включающую элементы различных типов, основывается на использовании в той или иной последовательности формул расчета хода луча через отдельные ее элементы. Такие формулы по известным параметрам луча на входе в элемент (входным параметрам) позволяют определить параметры луча на выходе из него (выходные параметры). В дальнейшем совместим ось оптической системы с осью 02, а в качестве лучевых параметров воспользуемся парой векторов р и определяющих луч в его точке пересечения с плоскостью, нормальной к оси системы и отстоящей от начала координат на некотором расстоянии г.

Вектор р определяет точку пересечения и имеет составляющие [х(г), у(г), 0]. Вектор ^ определяет наклон луча и его составляющие [ех(г),еу(г), 0) связаны с направляющими косинусами луча (ах, ау, аг) соотношениями ех=ах/аг, еу=ау/аг.

Для того, чтобы получить формулы расчета хода псевдолуча через оптический элемент того или иного типа, необходимо точные формулы расчета хода луча через элемент привести к виду, удобному для их последующего разложения в ряды по степеням входных параметров луча.

В результате после разложения и соответствующей группировки параметры луча на выходе из элемента будут описываться степенными рядами, состоящими из слагаемых различных порядков малости относительно параметров луча на входе в этот элемент. Ограничивая ряды конечным числом слагаемых, получим выходные параметры псевдолуча, вычисленные в требуемом приближении.

Получение необходимых формул начнем с преломления луча на сферической поверхности, имеющей кривизну с и являющейся поверхностью раздела двух неоднородных сред с показателями преломления п и п'.

В соответствии с законом Снеллиуса-Декарта направляющие векторы падающего и преломленного лучей а и а' связаны соотношением [5]

а' = va — АЧ , (3)

где N - направляющий вектор нормали к преломляющей поверхности в точке падения луча, V = п/п',

А = —V

(Ч • а ) + ^ 1 — V2 1 — (Ча)

(4)

Вводя в уравнения (3), (4) векторы в и р, их нетрудно привести к виду [6], удобному для разложения по степеням входных параметров луча

е' = В (гаг е + сАг ) (5)

В уравнении (5)

а

= 1М

В = 1

А = —VI)

Б = а.

Ал/ 1 — 2с 2и

л/1 — V2 (1 — Б2)

(л/1 — с 2и — СУ )

(6)

пр (2и)/ ЕК (2и)

р=0 / 9=0

где величины и, у и V являются инвариантами вращения и определяются с помощью соотношений

и = г2,у = (г е),V = е2/2

(7)

Разлагая выражения (6) в ряды по степеням трех инвариантов вращения, подставляя эти разложения в уравнение (5) и группируя после перемножения члены, имеющие одинаковый порядок малости, получим выходной параметр луча (в') в виде суммы слагаемых первого, третьего, пятого и т.д. порядков малости относительно входных параметров (модулей векторов р и в):

е' = е'(1)+ е'(3)+ е'(5) +... (8)

Аналогичные соотношения могут быть получены и для дифракционной линзы. Направляющие косинусы падающего и дифрагировавшего лучей при дифракции на линзе, структура которой имеет пространственную частоту и выполнена на плоской подложке, связаны соотношениями [7]

га 1 г ах > тЖ1 Г х 1

1а;, а у у р V У у' (9)

а, = Ф — (аХ )2 — (ау ))

где т - порядок дифракции, X - длина падающей световой волны, х и у - координаты точки пересечения луча с плоскостью линзы.

Подставляя в первое из соотношений (9) пространственную частоту (2) и вновь вводя векторы р, в перейдем от соотношений (9) к уравнению вида

е'= Q (а,е + т/\уг ) (10)

где

/и = X Л()

да

^ = Ф0 +Е Ь21+1 (2и )

а величина

Q = 1/ а, = 71 + (0

(11)

(12)

Из структуры соотношений (10)-(12) видно, что после разложения в степенные ряды уравнение (10) приводится к виду (8), а выражение (12) - к ряду, содержащему величины нулевого и четного порядков:

Q = Q (0)+ Q (2)+ Q (4) + ••• (13)

где Q(0)=1.

Путь использования формул (10)-(13) для вычисления компонент различного порядка малости вектора в' очевиден. По известному определяется компонента в'(1), зная последнюю находится Q(2), позволяющая определить компоненту

5 (3)

в' и т. д.

Обратимся теперь к расчету хода псевдолуча через среду, ограниченную к-й и (к+1)-й поверхностями раздела. Зададим луч на входе в среду (после преломления на к-й поверхности) векторами рк и вк, а на выходе из среды [в точке падения на (к+1)-ю поверхность, но до преломления на ней]-векторами рк+1 и вк+1. Если среда является однородной, то наклон луча при прохождении среды не меняется (вк+1=вк), а векторы рк+1 и рк связаны между собой уравнением

гк+1 = гк + ,к+1е к (14)

Здесь zk,k+1 - координата точки выхода луча из среды в системе координат, начало которой лежит в плоскости перпендикулярной оси 02 и проходящей через точку входа луча в среду. Следовательно

2к ,к+1 = Лк + +1 — (15)

где Лк - расстояние между вершинами к -й и (к+1)-й поверхностями, ,к+1 - координата точки пересечения луча с к -й поверхностью в системе координат, связанной с вершиной этой поверхности, и, аналогично, гк+1- координата точки пересечения луча с (к+1)-й поверхностью в системе координат, связанной с вершиной (к+1)-й поверхности.

1=1

Координаты гк и гк+1 можно нетрудно найти, воспользовавшись уравнением сферической поверхности [8]:

г =

(16)

Выражения (14)-(16) являются основой для получения формул расчета хода псевдолуча через однородную среду.

Структура выражений (15) и (16) такова, что координата гк^+1 после разложения в ряд приводится к

виду (13) с г[°)+1 =йк. Это, как и в случае дифракционной линзы, позволяет организовать на основе метода последовательных приближений процесс вычисления компонент различного порядка малости вектора рш, и тем самым определить точку выхода луча из среды в приближении заданного порядка.

Если среда неоднородная и радиально-градиент-ная, то траектория луча в ней в декартовых координатах описывается системой двух скалярных дифференциальных уравнений [9]:

й х

й2 у ' йг2 '

1+(1' + 1+(1| +

йу_ йг

± т

йг )

д = 0

дх

дп ду

= 0

(17)

С использованием же вектора эта система приводится к одному векторному дифференциальному уравнению

йг

(

1

V йп2 ^

2рв

, (18) где рг - оптический направляющий косинус луча относительно оси Ог, являющийся для радиально-градиентной среды инвариантом [10].

Дифференциальное уравнение (18) можно привести к виду, удобному для интегрирования, выполнив замену переменных и использовав представление показателя преломления, отличное от (1). Независимую переменную г заменим на

Я = п0т1 г1 Р,

а векторные параметры луча р и е - на векторы Я = т1гЕ = йЯ/йд = (вг/п0)е ,

(19)

(20)

(21)

Профиль показателя преломления представим в виде

где

Т =

V2 (п1 (/ п0

2 2 п = п0

[1 + 88И (щ ) Я2

т2 Я4

т3Я6

.] (22)

где

1 при п1 > 0 (п ) = ^0 при п1 = 0 (23)

-1 при п < 0

а коэффициенты т2, т3,... в соответствии с выражением (1) равны

V

п0 4п,2

Т У

ч У

После указанной замены переменных дифференциальное уравнение (18) приводится виду

й Я

йд2

- sgn (п1 )Я = Ь

(25)

где

Ь = ( 2т2Я 2 + 3т3К4 +...) Я (26)

В приближении первого порядка малости (параксиальном приближении) правая часть уравнения (25) равна нулю. В этом случае уравнение сводится к хорошо известному однородному линейному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами, решение которого [8]

Я = С (д) Я к +£ (д) Ек, (27)

где

при п1 > 0 [соБд при п1 < 0

при п1 > 0 [зтд при п1 < 0

Як и Ек - векторные параметры луча на входе в среду.

Компоненты более высокого порядка параметров луча внутри среды можно получить методом последовательных приближений. В этом случае решение дифференциального уравнения (25) сводится к вычислению интегралов [11]:

с (д) = ^ (д) =

(28)

Я = £ | СЬйд- С | БЬйд

0 0

д д

Е = С | СЬйд + £ | БЬйд

(29)

Входящие в выражения (29) интегралы были вычислены в приближении пятого порядка в работах [11,12] и в приближении седьмого порядка в работе [13]. Используя результаты этих работ, а также следуя пути, предложенному выше для определения точки выхода псевдолуча из однородной среды, определяют компоненты различных порядков малости векторов Як+1 и Ек+1 на выходе из неоднородной среды. После того как найдены эти компоненты, с помощью соотношений (20) осуществляют обратный переход к векторам рк+1 и ек+1, т.е. тем самым находят компоненты различных порядков выходных параметров псевдолуча из радиально-градиентной среды, ограниченной сферическими поверхностями.

Список литературы

1 Sands P.J. // J. Opt. Soc. Am.. 1970. V.60. N.11.

P.1436-1443.

2 Fantone S.D. // J. Opt. Soc. Am. 1983. V.73. N.9.

P.1149-1161.

3 Buchdahl H.A. Optical Aberration Coefficients. NY.,

1969.

4 Бутусов М.М., Грейсух Г.И., Степанов С.А. // Опт.

и спектр.1984. Т.56. Вып.4. С.752-754.

5 Герцбергер М. Современная геометрическая опти-

ка. М., 1962. 487с.

6 Грейсух Г.И., Ефименко И.М., Степанов С.А, Оп-

тика градиентных и дифракционных элементов. М., 1990. 136 с.

7 Бобров С.Т., Грейсух Г.И., Туркевич Ю.Г. Оптика ди-

фракционных элементов и систем. Л., 1986. 223 с.

8 Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.,

1977. 832 с.

9 Moore D.T. // J. Opt. Soc. Am. 1975. V.65. N.4.

P.451-455.

10 Адамс М. Введение в теорию оптических волноводов. М., 1984. 512 с.

11 Marchand E.W. // Appl. Opt. 1985. V.24. N.24. P.4371- 4374.

12 Marchand E.W. // Appl.Opt. 1988. V.27. N.3. P.465-467.

13 Bociort F., Kross J. // SPIE. 1992. V.1780. Lens and Optical Design. P.216-225.