CC BY
42
Ильинский Р.Е., Ровенская Т. С.
АБЕРРАЦИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ГРАДИЕНТНОИ СРЕДЫ: МЕТОДЫ РАСЧЕТА
В результате анализа аберрационных свойств асферических поверхностей, образованных вращением эвольвенты окружности относительно нормали в некоторой точке эвольвенты, проф. М.М. Руси-новым было показано, что в центрированной осесимметричной оптической системе (ЦООС), содержащей одну или несколько поверхностей указанного типа, присутствуют поперечные аберрации второго порядка [1]. В [2] рассмотрен более широкий класс асферических поверхностей, вносящих в ЦООС поперечные аберрации второго порядка. Такие поверхности описываются уравнением [2]:
2 = Л (х 2 + у 2) + а2^ (х 2 + у 2) + Л3 (х 2 + у 2) + ••• +.
Необходимым условием наличия у такой поверхности поперечных аберраций второго порядка является ненулевой коэффициент Л2.
Покажем, что аналогичными свойствами обладают градиентные Среды с функцией распределения квадрата показателя преломления (ПП) вида:
(1)
п2 (( У, 1) = (по ())2 + мі (г) (х2 + У2) +
+ N2 (г^(х2 + у2) + Nз (і)( + у2) + ••• + •
Согласно [3] ход реального луча в градиентной среде описывается системой дифференциальных уравнений:
= 2 У(п (К )) = п (К )^ (К )
ёК
а
= Т (К )
(2)
(3)
где
г (К) <# = ^(ёх)2 +(ёу)2 + (й?2)2
К = (х; у; г)Т - радиус-вектор точки (х;у^) на траектории луча;
Т = (р;д;I)Т = п(К)(со8а;со8Р;со$,у~)т - вектор
оптических направляющих косинусов; а; Р; у - углы, оброазованные касательной в точке (х;у^) с осями координат ОХ; ОУ; 02 соответственно;
(дп дп дп ^ уп(К) = |—;—;— I - градиент ПП в точке
^дх ду ді)
(х;у^).
Рассмотрим бесконечно близкий к оптической оси луч. Для такого луча координаты точки на траектории и оптические направляющие косинусы можно представить в виде:
К = К^ + 8К ;
Т = Тха1 + 8Т
где Кы = (0;0;2)Т ; Т^а, = (0; 0; п0 (г)) ;
8Я = (8х; 8у; 82)Т и 8Т = (8р; 8д; 81 )Т - бесконечно
малые первого порядка малости.
Дифференциальные уравнения (2), (3) при бесконечно иалых 8Я и 8Т преобразуются в выражения:
Т 8 = ы (г)8х . (4)
(5)
(6) (7)
по (г )—=N1 (2 )8х;
по (г) 8 = ^ (г )8у;
й8х
(і = 8р;
(I) 8 = 8д •
ах
Система уравнений (4), (5), (6), (7) описывает ход параксиального луча в градиентной оптической среде [3]. Если обозначить через ц(2) п(г) углы параксиального луча с оптической осью в саггиталб-ном сечениях соответственно, то :
8р (2 ) = -по (2 )м(2)
8 (2 ) = -«о (2 М 2)
Вновь рассмотрим бесконечно близкий к оптической оси луч, учитывая теперь величины первого и второго порядка малости. В этом случае
Я = +8Я + 2 82 Я
Т = Тха1 +8Т + 2 82Т
где 82Я = (82х;82у;822)Т ; 82Т = (82р;82?;82/)Т -
бесконечно малые второго порядка малости.
Уравнения (2), (3) раскладываем в ряд Тейлора, сохраняя величины до второго порядка малости. После преобразований полученных выражений с учётом (4)-(7) имеем:
По (2) ^2р = N1 (2) 82х + 3Н2 (2) 8х^ (8х)2 +(8у)2 (8)
По (2)= Ы1 (2)82У + 3Ы2 (2)8у8+8 (9)
/ \ а8 д „2
по (2)^— = 8 Р аі
, Ч а 8 д 82
по (2 )^—=8д аі
(10)
(11)
Рассмотрим находящийся в однородных средах пространства предметов и пространства изображений оптический элемент, представляющий ограниченную плоскими поверхностями градиентную среду с распределением ПП (1). Рассчитаем ход через этот элемент бесконечно близкого к оптиче-
ской оси луча с учётом величин до второго порядка малости (рис. 1).
Рис. 1.
В среде пространства предметов имеем [3]:
8 = -пл = (т - упр) «7 (^ - £); 8241 =0;
8p1 = -п1и1 = МпУ(8р - £); 82р1 = 0 . На первой поверхности элемента: 8х1 = ; 82х1 = 0 ;
8у1 = Б1п1 ; 82У1 = 0. Преломление луча на этой поверхности описывается формулами:
-пи = 8Р1 = -п0 (0) и (0) = 8Р (0); 82 р (0) = 0;
-п1п1 =8д1 =-п0 (0)п(0) = 8д (0) ; 82д (0) = 0. Значения координат 8х2 =8х (ё); 8у2 =8у (ё);
82х2 = 82х (ё); 82у2 = 82у (ё) и оптических направляющих косинусов 8р2 =8р(ё); 8д2 =8д(ё); 82р2 = 82р (ё); 82д2 = 82д (ё) в точке встречи луча
со второй поверхностью находятся в результате интегртрования дифференциальных уравнений (4)-(7) и (8)-(11) при начальных условиях:
8х (0) = 8х1; 8р (0) = 8р1; 8у (0) = 8у1;
84 (0) = 8д1; 82 х (0) = 82 х1; 82 р (0) = 82 р1;
82 у (0) = 82 у1; 82 д (0) = 82 д1. Преломление луча на второй поверхности описывается формулами:
-п3и3 =8р3 = -«0 (ё )и(ё ) = 8р (ё ) = 8р2; 82 р3 = 82 р (ё ); -п3п3 = 8д3 = -п0 (ё)п(ё) = 8д (ё) = 8д2; 82д3 = 82д (ё).
Координаты точки встречи луча с плоскостью изображения с учётом первых и вторых порядков будут:
х =8х +—82 х
и 3 и 3 2 и 3
у =8у +—82 у
и3 и3 2 и3
(13)
где
8хцк = 8х2 +8р3 £ '/ «3; 82 хцк = 82 х2 +82 р3 £ '/п3;
8Уцк = 8У2 + 843£'/п3; 8'Уцк = 8'У2 +843£'/«.
На основании (12) и (13) аберрации второго порядка луча равны:
8£п =182 уш;
80’ =182 х .
11 2 и3
Таким образом, задачу расчета аберраций второго порядка для градиентных сред можно считать решенной. Существенным недостатком изложенной методики является необходимость решения системы дифференциальных уравнений (8)-(11).
Рассмотрим усовершенствованную методику рассчета аберраций второго порядка, свободную от указанного недостатка. С этой целью разделим градиентную среду плоскостью на части А и В. В результате рассчета величин второго порядка малости через часть А в плоскости раздела частей А и В имеем 82 х'Л = 82 х (2Л);
82УЛ = 82У (2л ) ;82р'л = 82р (^л ); 824л =824 (^л ).
Продолжая расчет величин второго порядка малости через часть В при начальных условиях
82хво = 82хЛ; 82Уво = 82уЛ ; 82рво = 82рЛ ;
824во = 824Л, в плоскости изображения получим:
2 2 2 2 8 хи3лв ; 8 уи3лв ; 8 хи3лв ; 8 хи3лв .
Можно поступить иначе. Если в качестве начальных условий для расчета величин второго по-лядка малости через часть В принять
82хво = 82Уво = 82рво = 824во = 0 , то в плоскости изображения определим величины
82 хи3 ^; 82 уи3в; 82 р3 в ; 82д3В. Рассчитаем также
через часть В до плоскости изображения параксиальный луч с начальными координатами
82 хво = 82 хЛ; 82 Уво = 82 уЛ ; 82 рво = 82 рЛ ;
824во = 82 дЛ; в результате в плоскости изображения п°лучим 82хи3лв ;82уи3ЛВ;82р3лв ;82ълв .
Т. к. общее однородное решение системы дифференциальных уравнений (4)-(7) подобно общему однородному решению системы дифференциальных уравнений (8)-(11), то выполняются равенства:
)2 х = 82 х + 82 х
7 ли3лв и хи3в^и ■>
?2,. _ , 02-
8 уи3лв = 8 У3В +8 уи3ЛВ ; 8 р3лв = 8 р3 В + 8 р3 лв ;
8 43ЛВ = 8 43В + 8 д3лв .
Для ЦООС в параксиальной области известен обобщеный инвариант Гюйгенса [3], справедливый при любом значении ъ в любой среде:
до = п!а!Н1 - п1Р1к1 =
= по (г )а(г )Н(г)-по (г)в(г )И (г) = , (14)
= п3а3Н2 -п3В3к2 = п3а3Н -п3В3к
3 3 2 3 3 2 3 3 из 3 и3
где (а;И) и (Р;Н) - углы и высоты двух произвольных параксиальных лучей; киз и Низ - высоты этих лучей; И2 и Н2 - высоты этих лучей на второй поверхности градиентного элемента.
Примем, что (а;И) - угол и высота апертурного (первого вспомогательного [3]) параксиального луча, который пересекает плоскость изображения
при Ииз=о [3]. Тогда высота Низ в плоскости изображения другого, входящего в инвариант (14) параксимального луча определяется как
Н =
&
а3п
(15)
где а3 - угол первого вспомогательного луча в пространстве изображений.
Величина 82Уи3в находится из расчета параксиального луча, поэтому для нее на основании уравнения (15) можно записать:
Х2~ ^У
8 уи3лв = ,
где Ьу - меридиональный квазиинвариант [3]:
Ьу = 82у () по () а (^ И ) ■82д () •
Аналогично для саггитального сечения:
Ьх
8 х - ——
и Хи3АЕ
где Ьх - сагиттальный квазиинвариант [3]:
Ьх = 82 х (2Л ) «0 (2Л М2Л ) + к (2Л ) 82 р (2Л ) .
Очевидно, что градиентную среду можно разделить не на две, а на любое количество т частей. Меридиональный и саггитальный квазиинварианты для каждой ,-й части Среды определяются уравнениями:
= 82У' (2,) п0 (2,) а (2,) + к (2,) ■84' (2,) ;
1х, = 82 х ' ( 2,) «0 ( 2, М 2 ) + к ( 2г) 8 2 р ( 2,) ,
где 2,+1 =2,+Дё,; а (2,+1) = а (2,); к (2,+1) = к (2,).
При этом в начале каждой ,-й части среды примем:
82х1 = 82у1 = 82р1 = 8241 = 0 .
Интегрированием системы дифференциальных уравнений (8)-(11) находим
82 х' (21); 82 у' (21); 82 р' (21); 82 4' (21) в конце каждой
,-й части Среды (рис. 2). Суммарно от всех т частей градиентной Среды имеем:
382 х =У Ьхі;
3 и3 4—1 хі
а3п
82у =У Ь. .
! и3 ^ уі
і = 1
(17)
Рассмотрим случай, когда величина Дф бесконечно малая. В этом случае для нахождения величин 82 х ' (21); 82у'(21); 82 р' (21); 82 д' (21) воспользуемся
разложением в ряд Тейлора и с учетом (8)-(11) получаем:
ё82 х
82 х' (г, ) = 82 х (г,)+ -
аг
да,. =
= 82х (г,) + 82р (г,.) да, /по (г,.)
да.. =
(18)
(19)
= 82 У (г,) + 82 Р (г,)да, / по (г,) 82 Р (г, ) = 82 р (г,)+8
да, =
= 8 р (гі)+(N1 (г )82 х, +
+ш2 (г, )8х4 (8х, )2+(8у, )2) да,! по (о)
82 д ’ (г, ) = 82д (г,)+ 8 да, =
(2о)
аг
= 8 д (г,)+(^ (г )82 Уі + •
+ш2 (г, )8у4 (8х, )2 +(8у, )2) даУпо (о)
(21)
Выражения (18)-(21) можно преобразовать, принимая во внимание, что
8 х (2 ) = 8 2 у (2,) = 8 2 р (2,) = 8 2 4 (2,) = 0 :
82 х ' (21) = 0;
82 у ' (2, )=0;
82 р' (2,) = 3ы2 (2, )8х,л1 (8х, )2 + (8у, )2 Дё7«0 (0);
824' (2, ) = 3ы2 (2, )8у,у! (8х, )2 + (8у, )2 Дё,/п0 (2,);
Ьх! = к (2, )3Ы2 (2, )8х,л1 (8х, )2 + (8У, )2 Дё,/П0 (2,) ;(23)
1У, = к (2, )3Ы2 (2, )8у4 (8х, )2 +(8У, )2 Дё</п0 (2 ) .(24)
Заменяя в (16), (17) суммирование на интегрирование и учитывая (23), (24), получаем:
2а3«38£,'1 =
а и (г)^ (г)8у (г)^(8х (г))2+(8у (г))2 а
= ! по (г) аг
; (25)
2а3п380[1 =
а ,
' к (2)3Ы2 (2)8х
= 1 «0 (2) 2. (26) При этом 8^’^ и 80’ ц включают в себя все аберрации луча, в т.ч. дисторсию.
Рассмотрим расчет меридиональной сферической аберрации второго порядка. Из уравнения (25) при 8х=8р=0; 8уф=Ь^); Уq(z)=-Пo(z)a(z) получаем:
2а3п38ё’т
по (г )
(27)
Дисторсия второго порядка определяется уравнением
2 8 1 3Ы2 (2)(Н (2)(Н Мк (--)(’ , _
2а3п388пвы = 1-----------------------------ё2 ,(28)
0 «0 (2)
где (Р;Н) - угол и высота полевого параксиального луча (второй вспомогательный луч [3]).
Может быть доказано, что если градиентный элемент ограничен не плоскостями, а сферическими поверхностями, то формулы (25) и (26) остаются в силе, т.к. сферические поверхности не вносят аберраций третьего порядка, а характерные для теории аберрации третьего порядка поверхностные составляющие [3] в теории аберрации второго порядка отсутствуют.
При наличии в оптической системе нескольких градиентных сред поперечная аберрация второго порядка описывается выражениями:
2а'п' 8g'll = ;
1=1
2а«8в'п =^Ь. .
1=1
где к - число градиентных сред: а‘ - угол первого вспомогательного луча в пространстве изображений; меридиональный и саггитальный квазиинварианты для каждой 1 - среды определяются на основании вышеприведенных выражений:
1 ■)к (2)щ(2) 8У (2 ^(8х (2 ))2 +(у (2 ))2 , ;/29>
^=| «0 (2) ё2 • (29)
ё1 к (2 )3Ы2 (2 )8х (.2)^(8х(2))2 +(8у(2))2 ^ (30)
^ =| «0 (2)
Все подинтегральные величины в (29), (30) соответствуют 1-й среде.
Для градиентной оптической системы в виде градиентного стержня с плоскими поверхностями были вычисленны по формулами (25)-(28) поперечные аберрации второго порядка, а также аберрации реальных лучей. Длина стержня 23.5мм; функция распределения П: «2(х,у,2) =
= 1.52 - 0.01 (х2 + у2)- 0.0005^(х2 + у2 )3 . Предметная плоскость бесконечно удалена от первой поверхности стержня; входной зрачок расположен на расстоянии -8р=5 мм. Плоскость изображения совпадает с плоскостью Гаусса 8’=41.29684*10-3 мм.
В таблице 1 приведены аберрации осевого пучка, вычисленные на основании расчета реальных лучей и с использованием формулы (27).
Дисторсия второго порядка, вычисленная для угла поля ю=-30’ с использованием выражения (28) и на основании расчета реального луча, равна Уg’DlSt=-0.47599*10-3 и Уg’ПDlst=-0.47970*10-3 соответственно. В таблицах 2 и 3 приведены значения аберрации наклонного пучка (со=-30’) в меридиональном и сагги-тальном сечениях, определенные на основе расчета хода реальных лучей и по формулам (25), (26).
Высоты лучей во входном зрачке подобраны таким образом, чтобы влиянием аберрации третьего, четвертого и более порядка можно было пренебречь. Результаты расчета по формулам (25)-(28) теории аберрации второго порядка имеют хорошее совпадение с результатами расчета реальных лучей.
Литература.
1. Русинов М.М. Композиция оптических систем. Л.: Машиностроение, 1989.-383с.
2. Грамматин А.П., Марчук С.М. Асферические поверхности нового типа и их аберрационные свойства. Оптико-механическая промышленность, 1990, N. 11. -с. 55-57.
3. Грейсух Г.И., Ефименко И.М., Степанов С.А. Оптика градиентных и дифракционных элементов. М.: Радио и связь, 1990. -136с.
Таблица 1
Осевой пучок
шхЮ3 Реальные лучи 5g,х103 Аберрации 2 порядка 5g,IIх103
31.25 -.о489о -.4883
62.5о -.19589 -.19531
Таблица 2
Аберрации наклонного пучка в меридиональном сечении. ю=-30’
шх1о3 Реальные лучи ^’^’ш0х1о3 Аберрации 2 порядка (8^п-8^1щы)х 1о3
62.5о -.742718 -.74о748
31.25 -.322191 -.321545
-31.25 .224296 .223888
-62.5о .354922 .353923
Таблица 3
Аберрации наклонного пучка в сагиттальном сечении. ю=-30’
шх1о3 Реальные лучи Аберрации 2 порядка
№’^’ша) х1о3 8g’х103 х103 8g’пх103
31.25 -.о2337о -.146о7о -.023346 -.146877
62.5о -.о84617 -.341743 -.084509 -.343770
