Композиция и расчет высокоразрешающих оптических систем с градиентными и дифракционными элементами Текст научной статьи по специальности «Физика»

КОМПОЗИЦИЯ И РАСЧЕТ ВЫСОКОРАЗРЕШАЮЩИХ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ГРАДИЕНТНЫМИ И ДИФРАКЦИОННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

Г. И. Грейсух1, Е. Г. Ежов2,С. А. Степанов1 'Государственная архитектурно-строительная академия, e-mail: postmaster@pgasa.penza.com.ru 2Институт систем обработки изображений РАН Излагаются принципы композиции, методы расчета и оптимизации высокоразрешающих оптических систем, выполненных на основе градиентных и дифракционных элементов. Приведен пример их использования при проектировании гибридного объектива-монохромата.

1. Введение

Аберрационные свойства и коррекционные возможности градиентных и дифракционных элементов хорошо изучены [1-3]. Это позволяет при компоновке исходной схемы оптической системы из таких элементов использовать подход, при котором в нее включают лишь те элементы, свойства и возможности которых необходимы, а количество достаточно для удовлетворения требований, предъявляемых к разрабатываемой системе. Эффективность подхода и относительная простота его реализации обусловлены спецификой аберрационных свойств градиентных и дифракционных элементов. Во-первых, сходимость аберрационного разложения чисто градиентной, дифракционной или гибридной градиентно-дифракционной системы, выбранной в соответствии с вышеизложенным подходом в качестве исходной, такова, что устранение аберраций каждого последующего порядка приводит к ощутимому улучшению оптических характеристик. Во-вторых, градиентные и дифракционные линзы позволяют осуществлять селективную коррекцию аберраций различных порядков, что достигается с помощью коэффициентов рядов, описывающих законы изменения показателей преломления материалов градиентных линз и пространственных частот микроструктур дифракционных линз.

Здесь предполагается, что распределения показателя преломления градиентной линзы и пространственной частоты дифракционной линзы описываются выражениями вида

(1)

Ф)=Х np р2

ф.

l Р- 2^ (Р + 2)Ь

(2)

В этих выражениях р- расстояние от оптической оси; пр при р=0 - базовый показатель преломления; пр при р =1, 2, ... - коэффициенты радиального градиента; Фвь = 1/ /¡ь - оптическая сила дифракционной линзы; Х0 - длина волны записи; й2р+3 - коэффициенты асферической деформации эйконала записи [1-3].

2. Компоновка исходных схем

Из изложенного во введении следует, что требования к разрабатываемой системе целесообразно выражать через аберрации, подлежащие устранению. Например, если у системы потребовать полное и одновременное устранение всех монохроматических аберраций третьего порядка, то почти автоматически при-

ходим к следующим возможным схемным решениям: двухлинзовый дифракционный объектив [1]; объектив, состоящий из дифракционной и градиентной линз [2,3]; склеенная линза Вуда (т.е. оптический элемент, имеющий плоские внешние преломляющие поверхности и изготовленный из двух неоднородных материалов, разделенных сферической поверхностью склейки) [4] и компонент, состоящий из трех склеенных плоскопараллельных пластин, выполненных из двух неоднородных материалов [5].

Поставив задачу одновременного устранения у системы монохроматических аберраций третьего и пятого порядков, приходим к триплету, склеенному из неоднородных линз, ограниченных сферическими преломляющими поверхностями [6,7]; компоненту, состоящему из четырех склеенных неоднородных плоскопараллельных пластин [8]; склеенной линзе Вуда, у которой на плоских внешних поверхностях размещаются кольцевые микроструктуры дифракционных линз и к объективу, состоящему из трех плоских дифракционных линз, разделенных двумя неоднородными материалами.

3. Определение исходных конструктивных параметров

Конкретные значения конструктивных параметров всех вышерассмотренных схем можно получить, решив систему, включающую соответствующие параксиальные и компенсационные уравнения. При этом, как правило, количество параметров превышает число решаемых уравнений и, следовательно, имеется определенная свобода выбора значений некоторых конструктивных параметров. Они могут выбираться исходя, например, из требований и ограничений, априори накладываемых на задний фокальный отрезок системы, перепады показателей преломления неоднородных материалов, максимальные значения пространственных частот структур дифракционных линз, кривизны сферических преломляющих поверхностей, толщины линз и т. д. Однако если, в конечном счете, требуется получить оптическую систему с предельными для выбранного количества используемых элементов полевыми характеристиками, то набор значений вышеуказанных свободных параметров должен обеспечить исходной схеме минимально возможный уровень остаточных аберраций высших порядков.

Поиск такого набора целесообразно производить в два этапа. На первом этапе определяются границы начальной зоны поиска, исходя из известных ограничений на значения свободных параметров, и

Р=0

р

p=0

выбирается шаг для каждого из свободных параметров, что должно обеспечить оптимальный баланс между временем и точностью поиска. Результатом этого этапа поиска явится база начальных решений. На втором этапе, по результатам лучевого расчета, выделяются решения, обеспечивающие при выбранной числовой апертуре и в пределах заданного полевого угла наинизший уровень остаточных аберраций высших порядков.

4. Оптимизация

Выделенные решения используются в качестве исходных при последующей лучевой оптимизации. В общем случае ее осуществляют по положению входного зрачка, коэффициентам радиального градиента всех неоднородных материалов и по коэффициентам рядов, описывающих законы изменения пространственных частот микроструктур дифракционных линз. При этом оптимизация производится по коэффициентам рядов, влияющим на аберрации, начиная с того порядка малости в аберрационном разложении, который не учитывался при составлении компенсационных уравнений.

Оптимизацию, как показала практика расчетов, целесообразно осуществлять специально адаптированным методом Ньютона с использованием двух лучевых функций оценки качества точечного изображения Q1 и Q4, вычисляемых для ряда полевых углов, число которых равно числу оптимизируемых параметров. Функция Q1, представляющая собой нормированный на рэлеевское разрешение объектива ¿я средний радиус пятна рассеяния лучей и монотонно убывающая с уменьшением уровня остаточных аберраций, используется для построения целевой функции, а функция, на которой базируется наиболее достоверный из лучевых критериев оценки качества Q4>0,7, - для выработки команды завершения процесса оптимизации [7]. Выбор наилучшего решения и окончательная аттестация объектива, включающая оценку размера поля, в пределах которого точечное изображение близко к дифракционно-ограниченному, осуществляется по картине распределения интенсивности в дифракционном изображении точки. Для этого, в частности, используется критерий Е(дя) ^0,73, ограничивающий снизу относительную энергию, приходящуюся на центральный кружок дифракционного изображения радиусом и гарантирующий, что изображение практически не отличается от дифракционно-ограниченного [1,3,9].

5. Высокоразрешающий гибридный объектив-монохромат

На рис.1 представлена оптическая схема гибридного объектива-монохромата, состоящего из градиентного элемента, имеющего плоские внешние поверхности и изготовленного из двух различных неоднородных материалов с радиальными распределениями показателей преломления, разделенных сферической поверхностью склейки, на внешние по-

верхности которого нанесены структуры дифракционных линз. Количество коррекционных параметров объектива таково, что их в принципе более чем достаточно для полного и одновременного устранения всех монохроматических аберраций третьего и пятого порядков. Однако, как показали предварительные исследования, аберрации высших порядков могут быть снижены до приемлемого уровня лишь в том случае, когда одна из аберраций пятого порядка и, в частности, дисторсия остается не устраненной.

1

-Г- I

^ ^ 0 ^ ^ ^ # # #

# # # # \ ^ ^ ^

# ^ ^ / ^ ^ ^

Рис. 1. Дифракционно-градиентный объектив.

При расположении предмета в бесконечности и в приближении аберраций не выше пятого порядка, оптические характеристики этого объектива определяются 17 параметрами. В это число входят оптические силы дифракционных линз Ф^' = 1/, коэффициенты асферический деформации их эйконалов записи Ь(3ш) и Ь^, радиус сферической поверхности склейки г, толщины неоднородных материалов йт, их базовые показатели преломления П™' и коэффициенты радиального градиента н^ (т=1-2, />=1-3).

В данный набор параметров не вошло расстояние определяющее положение входного зрачка, поскольку, если в оптической системе все монохроматические аберрации данного порядка устранены при некотором положении зрачка, то они отсутствуют и при любом другом его положении.

Обратимся теперь к системе уравнений, которую следует решить для определения вышеперечисленных параметров. В нее входят два параксиальных уравнения для фокусного расстояния объектива и для заднего фокального отрезка, а также 13 компенсационных уравнений, обеспечивающих обнуление пяти коэффициентов монохроматических аберраций третьего порядка и восьми из девяти коэффициентов пятого порядка. При решении системы целесообразно положить фокусное расстояние объектива /'=1, а задний фокальный отрезок и базовые показатели преломления неоднородных материалов п(0т> считать свободными параметрами.

Явный вид уравнений, обеспечивающих единичное фокусное расстояние и заданное значение заднего фокального отрезка, легко получить, воспользовавшись аппаратом гауссовых коэффициентов [10, 11, 2]. В результате имеем

1 -Ф ЬЬ АФ 08^2 Ф ЬЬ + + ^Ф ^ Ф ЬЬ + ^Ф 08 в 2 Ф ЬЬ +

+ «2Ф1 Р\Ф08 +«2Ф&ДФ"Ь -

(1)

л(2)

-а1а2 Ф Ы -а1а2 Ф 08 -

-Ф ьЬ

-ааф"г! -Ф ЬЬв\У2 -

(3)

- в2 Ф <ЫУ\ +а1^2 + а2У\ = 0 4 = Ф^Р^Р2 -«1Ф£Р2 - а1ФеБР2 -

- а2ФЕ11.Р1 + Р2У1 + «1«2 . (4) Здесь Ф cs = (п(2) - ПЦ )/ г - оптическая сила

поверхности склейки; аш, Рш, уш - гауссовы коэффициенты т -ого неоднородного материала:

а = Е(ш]{ё .¡Щ^

ш 1 I ш Д/ 1

(ш )

Р =•

гт

ё л/ т Д/

7(ш)

П

(ш) 'о

Уш = 2«ш )Рш

(5)

где (...) и Д2 (...) - функции вида

(еоэ^/д/- « )(« < 0) « > 0)

Ш)=

81п(ёЛ/- п. , , ч

у V ^(п < 0)

Д2 ё

п1 = 2п7 по.

лрщ

,(«1 > о)

л/п1

(6)

(7)

Из всех компенсационных уравнений третьего и пятого порядков, наиболее простой вид имеет уравнение, обеспечивающее выполнение у объектива условия Петцваля, которое, в силу автоматического выполнения этого условия у дифракционных линз, сводится к требованию его выполнения только у склеенного градиентного элемента [4]:

2«01)«02) X [/(«0ш) )2]

- Фсс = 0 .

(8)

Оставшиеся четыре компенсационных уравнения, определяющие условия устранения у объектива сферической аберрации, комы, астигматизма и дис-торсии третьего порядка, а также уравнения, обеспечивающие устранение любых четырех аберраций пятого порядка, имеют следующую структуру:

Во (с, йт , нОЧ П(т))+ 2

+ Х н2т)Вт (йт , н0т), п«) = О,

т=1

+ > п

X п(т)0т (ф;

(т) т ЬЬ

,г,й ,н0т),п,(т)) = О

' > т > 0 > 1 /

(9)

для третьего порядка и

и(ф Ь< т), Г, йт , н0т), п1(т), н2т)) +

X Ь5Г) V (Ф ЬЬ), т), Г, йт , н0т), п<т), п2т)) +

т=1

+ X п(т) ^^т (Ьть), т), Г, йт , н0т), н" п(т)) = 0 (10)

т=1

для пятого порядка, т.е. аберрационные коэффициенты третьего порядка линейны относительно коэффициентов Ь3(ш) и «2ш), а коэффициенты пятого порядка - относительно Ь5(ш) и п(ш) [12, 3]. В результате 11 из 15 уравнений вышеописанной системы линейны, что существенно упрощает процесс ее решения.

Поиск и исследование областей существования физически реализуемых решений рассматриваемой системы уравнений показал, что при базовых показателях преломления неоднородных материалов, удовлетворяющих условию 1,5 < п(ш) < 2, решения существуют в широком диапазоне длин заднего фокального отрезка объектива 0,15/' < з'р < 0,7/'. В

результате была поставлена задача локализовать в ограниченной области трехмерного пространства (п0°>, н02), s'F) зону, которой при заданной числовой апертуре объектива N4=0,27 и в пределах углового поля в пространстве предметов 2ю < (15° - 20°) соответствуют решения, обеспечивающие наинизший уровень всех остаточных аберраций (за исключением дисторсии). В итоге было выделено несколько решений, из которых уже по результатам оптимизации было выбрано одно, приводящее к наилучшей исходной схеме гибридного объектива. Это решение представлено в табл. 1.

Результаты исследования исходной схемы и ее оптимизации приведены в табл. 2. Первый раздел этой таблицы содержит конструктивные параметры и полевые характеристики, полученные непосредственно из расчета в области аберраций третьего и пятого порядков, а второй раздел - полученные в результате оптимизации. Все данные получены при фокусном расстоянии / '=25 мм и числовой апертуре N4=0,27, обеспечивающей на длине волны Ие-0ё лазера 1=0,4416 мкм рэле-евский предел разрешения бд=1 мкм.

В табл.2 приведены: конструктивные параметры Ь7, Ь9, п1, п5, использовавшиеся для минимизации остаточных аберраций высших порядков; параметр который использовался как для минимизации аберраций, так и для уменьшения перепадов показателей преломления; световые диаметры Б дифракционных линз и неоднородных материалов, минимальные периоды Лтш структур дифракционных линз и перепады показателей преломления Дп неоднородных материалов.

т=1

ш =1

Т а б л и ц а 1

Конструктивные параметры объектива, свободного от всех монохроматических аберраций третьего и пятого порядков за исключением дисторсии пятого порядка

г/' п (2) 0 п//'2 п / '4 п/'6

<х>*

1,3598 1,94 -0,5689 0,1735 0,1997

5,612

0,7161 1,55 0,6508 -0,8515 -1,6612

<х>"

= 0,58 /'

* Ф = = - 0,5920/ /' к-- = -0,13274//'ъ, Ь 5 = -0,96990/ / '5

* * Ф = 1,2391/ /', ьъ = 2,22633//'3 , Ь = 5,63116/ / '5

Т а б л и ц а 2

Дополнительные конструктивные параметры и полевые характеристики объектива

до и после оптимизации

(/' = 24 мм; ЫЛ = 0,27 ; X = 0,4416 мкм)

№№ разделов №№ строк Конструктивные параметры Полевые характеристики

Ь7 / '7 Ь9 / '9 Б , мм Л шт , мкм «4 / '8 «5 / ^ -Дп <1/' 8Д, мкм 2ю,0 2У', мм 8у', %

1 1 0 0 13,6 2,71

2 17,7 0 0 -0,074 0,02 21,2 9,0 0,05

3 16,9 0 0 0,065

4 0 0 16,1 1,46 1

2 1 -1,6849 14,829 19,0 2,04

2 19,0 0,5115 -4,008 -0,084 0,3 42,5 18,8 0,89

3 20,05 -1,9072 10,98 0,079

4 13,34 -107,88 20,05 1,46

Первая и четвертая строки каждого раздела этой таблицы содержат конструктивные параметры, относящиеся к первой и второй дифракционным линзам, а вторая и третья строки - параметры, относящиеся к фронтальной и последующей частям склеенного градиентного элемента, соответственно.

Представленные в таблице полевые характеристики объектива включают: диаметр поля высококачественного изображения 2у', соответствующее ему угловое поле в пространстве предметов 2ш и дис-торсию ду'. Граница поля высококачественного изображения определялась по критерию Е(д^) >0,73.

Чтобы дать читателю более полную информацию о коррекционных возможностях рассматриваемого объектива на рис. 2 приведены графики его остаточных аберраций. Они относятся к оптимизированному варианту, параметры которого представлены во втором разделе табл. 2. Кроме того, на рис. 3 для этого же варианта объектива представлена картина распределения волновой аберрации по плоскости выходного зрачка для края поля, т. е. при полевом угле ю =21,25°. Максимальное значение волно-

вой аберрации на краю зрачка составляет 0,42 X. Наконец, на рис. 4 представлена картина распределения интенсивности в дифракционном изображении точки при том же самом полевом угле. Интенсивность Штреля в этом изображении равна 0,825, а Е(8 л ) = 0,734.

ю=-21,25°

6,5 мкм

-100%

\

100%

..-6,5 мкм

т=-14,7°

' 6,5 мкм

V r»^--N

-100% X M 100% \

.-6,5 мкм \

ю=0°

6,5 мкм

-100%

.-6,5 мкм

Рис. 2. Графики остаточных аберраций: а -астигматизм и кривизна поля; б - дисторсия; в -аберрации широких наклонных пучков (Ау' -для меридиональной плоскости; 5О' - для сагиттальной плоскости)

Рис. 3. Волновая аберрация в выходном зрачке при полевом угле ю =21,25°.

6. Заключение Представленные в данной статье принципы построения и методы расчета оптических систем с градиентными и дифракционными элементами позволили авторам, как следует из табл. 2, получить гибридный объектив-монохромат, который по полевым характеристикам превосходит все известные объективы, содержащие дифракционные и градиентные элементы [1-8].

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобразования РФ (межвузовская научно-техниче-кая программа "Плазменные, ионные и электронные упрочняющие технологии").

0,8 _

0,6 ,

0,4

0,2

Рис. 4. Распределение интенсивности в дифракционном изображении точки при полевом угле ю =21,25".

Литература

1. Бобров С. Т., Грейсух Г. И., Туркевич Ю. Г. Оптика дифракционных элементов и систем. - Л.: Машиностроение, 1986. - 223 с.

2. Грейсух Г.И., Ефименко И.М., Степанов С.А. Оптика градиентных и дифракционных элементов. М.: Радио и связь, 1990. 136 с.

3. Greisukh G.I., Bobrov S.T., Stepanov S.A. Optics of Diffractive and Gradient-Index Elements and Systems. - Bellingham, WA:SPIE Press,1997.- 414p.

4. Степанов С.А., Грейсух Г.И. Аберрационные свойства и коррекционные возможности склеенной линзы Вуда // Опт. и спектр. - 1999. - Т.86, № 3. - C.522-527.

5. Грейсух Г.И., Степанов С.А., Ежов Е.Г. Коррекционные возможности компонента, состоящего из трех склеенных плоскопараллельных пластин // Оптический Журнал.-1999.-Т.66, № 2.-С.80-83.

6. Greisukh G. I., Stepanov S. A. Design of cemented radial gradient-index triplet // Applied Optics. -1998. -Vol.37, № 13. - P.2687-2690.

7. Грейсух Г.И., Степанов С.А., Ежов Е. Г. Тройные склеенные радиально-градиентные объективы: схемные решения и полевые характеристики // Оптический Журнал. - 1999. - Т.66, № 10.

8. Грейсух Г.И., Степанов С.А., Ежов Е.Г. Коррек-ционные возможности объектива, склеенного из четырех радиально-градиентных плоскопараллельных пластин // Оптический Журнал. - 2000. -Т.67, № 8.

9. Бобров С.Т., Грейсух Г.И. Взаимная корреляция числовых критериев оценки качества изображения // Опт. и спектр. - 1985. - Т.58, № 5. - С. 10681073.

10. Герцбергер М. Современная геометрическая оптика. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. - 488 с.

11. Sands P.J. Inhomogeneous lenses, III. Paraxial optics // J. Opt. Soc. Am. - 1971. - Vol. 61, N 7. - P. 879-885.

12. Sands P.J. Third-order aberrations of inhomogeneous lenses // J. Opt. Soc. Am. - 1970. - Vol. 60, N 11. - P. 1436-1443.

с