CC BY
37
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРВОНАЧАЛЬНЫХ ОРБИТ
ВНЕСОЛНЕЧНЫХ ПЛАНЕТ МЕТОДОМ ЛУЧЕВЫХ СКОРОСТЕЙ: СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ*
К. В. Холшевников1, Д. А. Толумбаева2, А. А. Мюлляри3
1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, kvk@astro.spbu.ru
2. С.-Петербургский государственный университет, студент, g_e_r_d_a@mail.ru
3. Abo академия г. Турку/Або, Финляндия, доцент, alemio@utu.fi
Введение. Исследование внесолнечных планет представляется одной из самых интересных тем современной астрономии. Определение их орбит становится важной частью небесной механики. По аналогии с вновь открываемыми астероидами в Солнечной системе можно говорить об определении первоначальных орбит, или об улучшении орбит по мере накопления наблюдательных данных. Вторая задача решается применением мощного аппарата теории вероятностей и математической статистики к желетельно большему массиву наблюдений; основное внимание уделяется распределению случайных ошибок наблюдений и их перетеканию в ошибки определяемых параметров. При решении первой задачи используется минимальное число наблюдений, и их ошибки учитываются уже после нахождения предварительной орбиты.
Мы рассмотрим только задачу определения первоначальной орбиты внесолнечной планеты по кривой лучевой скорости. Обзор более широкой проблематики см. в трудах коуровских конференций [1—3], обзоре [4] в статьях [5-7] и в диссертации [8]. Обратим внимание, что близкая задача определения орбит и масс в спектрально-двойных звездных системах хорошо исследована [9], но считать ее до конца решенной нельзя. В планетных исследованиях мы требуем большей точности по сравнению с обычной для астрофизических исследований спектрально-двойных звезд.
Основные уравнения. Пусть вокруг звезды массы m* обращается планета массы m по эллиптической орбите с элементами a, e, i, Q, g (большая полуось, эксцентриситет, наклон к картинной плоскости, долгота восходящего узла, аргумент перицентра). Наблюдательными данными служит кривая лучевой скорости звезды v*, т. е. периодическая функция времени v*(t). Как известно [4, 10],
v* = vo + vi — K cos u, (1)
где vo — постоянная лучевая скорость движения центра масс звезда—планета, u — ар-
* Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант №НШ-3290.2010.2), Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» Федерального агентства по образованию Минобрнауки РФ (проект 2.1.1/504).
© К.В.Холшевников, Д.А.Толумбаева, А.А.Мюлляри, 2011
т, т, m sin i I G
Vi = -Kecosg, K= --------------r=U~ñ--------2T’ 2
л/m* + m y a(1 — e2)
G — постоянная тяготения.
Кривая v* (t) считается известной и безошибочной и дает нам непосредственно период P, наименьшее vm¡n и наибольшее vmax значения лучевой скорости. Отсюда
Vo + V! = — (^шах ^min)? К = — (vmax ^min)*
Ниже понадобятся три точки на кривой, отвечающие последовательным значениям времени ti,Í2,Í3, при которых скорости равны наименьшему vmin, среднему (vmax + vmin)/2 и наибольшему vmax значению. Им соответствуют значения аргумента широты ui =0, U2 = п/2, из = п.
По третьему закону Кеплера выразим большую полуось через период и массы:
Р2С?(то*+то) /оХ
4^2 ' [ ]
Произведение постоянной тяготения на массу Солнца можно считать известным точно. Масса m* в массах Солнца известна по ее спектру с точностью в несколько процентов. С такой точностью мы можем заменить в (3) m* + m на m*. Во втором приближении можно подставить сюда оценку m первого приближения.
Таким образом, большая полуось а найдена. Долгота восходящего узла Q в принципе не определяется по лучевой скорости. Эпоха восходящего узла ti известна. Остаются три неизвестных i, e, g.
Легко получить два уравнения относительно e, g. Вместо эксцентриситета удобнее ввести эквивалентную переменную
R = ____________ р = (Л\
Р 1 + уГ3^2 > 1+/32 ' И
Предполагая эксцентриситет умеренным (оценку сверху получим ниже), воспользуемся известным разложением уравнения центра в ряд Фурье по кратным истинной аномалии в [10, 11]:
в — M = Х14( —:1)”-1Сп(в)в” sinпв, (5)
П=1
где
2 Vn 1+ в2/ 2
-і
—+ 2y(-l)yfc
n
k=1
(6)
Ряд (6) сходится абсолютно и локально-равномерно при 0 ^ в < 1, причем сп(в) убывает с ростом п и с ростом в:
1 п + 1 1 — в2 1
Ряд (5) сходится абсолютно, равномерно по в Є К и локально-равномерно по в Є [0,1). При в = 1 ряд (5) сходится условно при всех в Є К.
с
П
п
Si = -д, 62 = - - д, в3 = 7г - д.
В этих точках (5) записывается в виде
—g — Мі 4( —l)”c„e” sinng,
n= і
— — g — М2 = 4( — 1)" 1cnßn sinn (— — gj , (8)
n= і
п — g — М3 = ^4( — 1)"-іс„в" sinn(n — g).
n=1
Из (8) легко вывести два соотношения, левые части которых содержат только известные из наблюдений разности средних аномалий:
2£ = ^(-1)” lcn/3n sinng + 2sinn — g) — sinп(тг — д)
”=1 „ (9)
2n = ^( —1)”-1с„в" [sin ng + sin п(п — g)] .
n=1
Здесь
Mi - 2 M2 + M3 7Г Mi - M3 + 7Г 7Г
£ =----------§---------= 4p(* 1 - 2 + í3), í? =-------------g-----= gp(-P + 2íi - 2í3)
известны. Для упрощения правых частей (9) рассмотрим отдельно четные и нечетные п. В результате получим два уравнения с двумя неизвестными в, g:
fi(e,g) = е, f2(e,g) = n, (10)
где
Л(в, д) = 53(-1)"С2п+1в2"+1 сов(2п + 1)д - ^ 2с4„+2в4”+2 sin(4n + 2)д,
п=0 п=0 (11)
оо ( )
/2 (в, д) = с2п+1в2”+1 sin(2n + 1)д.
п=0
Напомним, что сп зависят от в, точнее, от в2-
После решения уравнений (10) из (2), (3) находим произведение
• • Г---------^з/(т* + т)2Р
msmi = К у 1 — е2 у------ ------. (12)
V 2nG
Получить отдельно m и sin i по кривой лучевой скорости невозможно.
Алгебраическая форма уравнений. Уравнения (11) трансцендентны. Их можно существенно упростить, придав общему члену полиномиальную форму. Положим
x = вcos g, y = в sin g- (13)
Для перехода от тригонометрических функций кратного аргумента к степеням x, y воспользуемся формулами Эйлера
в” exp mg = (x + iy)”,
L”/2J / \
в” cosng = K(x + iy)” = y; (-1)4 n x”-2ky2k,
k=Q W (14)
L(”-1)/2J
L(”-1)/2J / \
в” sin ng = 3(x + iy)” = ^ (-1)4 2кП- 1 )
Í- — П V + /
x”-2k— 1y2k+1
Ч--+1/ y "
k=Q 4 '
В соотношении (6) следует положить e2k = (х2 + y2)k. В результате /i,/2 представляются рядами по степеням х, у. Собирая вместе величины одного порядка относительно эксцентриситета, получаем
О
/s = ^3 /sn(x,y), s = 1,2, (15)
n=1
где /sn —однородные многочлены от х, у порядка n. Равенства (11) показывают, что
/11 = X, /21 = У, /2,2п = 0,
причем /in имеет х, а /2n — у общим множителем.
Очевидно, ряды (15) сходятся абсолютно и локально-равномерно в круге
х2 + у2 < 1. (16)
Используя систему MAXIMA, мы определили /s с точностью до в15. Ниже /s приведены с точностью до в7:
/i = х — 3 ху — - х3 + ху2 + 4 х3у + 4 ху3 + — х5 — 6 х3у2 + ху4 —
— 11 х5у + — х3у3 — 11 ху5----— х7 + 19 х5у2 — 13 х3у4 + ху6,
/2 = у + х2у - ^ у3 + х4у - 6 х2у3 + уу5 + х6у - 13 х4у3+
+ 19х2у5-|у7.
Решение уравнений. Как показано в предыдущем разделе, уравнения (10) имеют вид
X = С - /1(х,у), у = П - /2(х,у), (17)
где /1/2 —ряды по однородным многочленам от х,у, начинающиеся с членов второго и третьего порядка, соответственно:
оо оо
/1 = Y1 /1п(х, у), /2 = /2п(х, у), (18)
n=2 n=3
причем во второй сумме отличны от нуля лишь слагаемые, отвечающие нечетным n.
Решение уравнений (17) легко представить в виде ряда по степеням С, п- Достаточно применить метод итераций. За первое приближение возьмем
xi = С, У1 = п*
За второе приближение возьмем правую часть (17), в которую следует подставить первое приближение и ограничиться членами второго порядка малости
Х2 = С - fi2(xi,yi) = С + 3Сп, У2 = п-
Вообще, за n-приближение возьмем правую часть (17), в которую следует подставить предыдущее приближение и ограничиться членами порядка n. Именно, сначала вычисляются хП, уП по формуле
n П
xn С ^ ; f1k (xn—Ъ yn—1^ yn п ^ ' f2fc(xn—Ъ yn — 1) *
k=2 k=2
Затем из многочленов ж«,уП удаляются слагаемые, степень которых превосходит n, а оставшиеся группируются в однородные многочлены. В результате решение уравнений (17) представляется в виде
ОО ОО
х = С +53 ЫбпЬ У = П +53 f4n(c,n)* (19)
n=2 n=3
Здесь /sn —однородные многочлены от С, п степени n. Легко показать, что /3П имеет множителем С, а /4П — п, и что /4,2«, = 0.
Используя систему MAXIMA, мы нашли /зп,/4п вплоть до n = 15. Ниже решение (19) приведено вплоть до n = 7
X = £ + 3£?? + Q Є3 + 8^ + (із Єгі + 22 ^ +
(86 а5 202 ~ 2 170 Л ( 365 а5 866 а3 3 756 5 \
+ (і5 + “ІГ ^ + - З" Ы) + {— Єї1 + Т- Є " +—^) +
(1541 7 8413 5 2 9994 3 4 17413 6 \ , N
е + ^ + — ^ + -15- ^ ) ’ (20)
у = г]+ (-£2??+^v3^j — бс2-??2 + (-у - у £V + ТЕГ]5') +
( ,4 2 „2 Л ( 641 , 2183 . 3 4916 - 5 1541
+ (-36£?? -96£ ц J + Є V- — £ V
Исследование решения. Очевидно, при малых в ряды (19) сходятся и представляют единственное решение уравнений (17), для которого
lim £ = lim ?- = 1.
в^о С п
Осталось выяснить два вопроса. Во-первых, в какой области круга (16) решение уравнений (17) существует и единственно. Во-вторых, в какой области оно представимо рядами (19).
Вычислим якобиан
д(ж,у) д(ж, у)
Очевидно, он представим сходящимся в круге (16) рядом
3 =^2 3”(ж, у), (21)
”=0
где 3П — однородные многочлены степени п. Для вычисления 3 с точностью до в” следует взять ряды для /1, /2 с точностью до в”+1. Мы нашли 3 с точностью до в14. Приведем его с точностью до в11:
3 =1 — 3 у — 4 ж2 — 4 у2 + 15 ж2у + 19 у3 + 9 ж4 — 14 ж2у2 + 9 у4 — 42 ж4у—
— 16 ж2у3 — 70 у5 — 16 ж6 + 80 ж4у2 + 80 ж2у4 — 16 у6 + 90 ж6у — 102 ж4у3 —
— 122 ж2у5 + 198 у7 + 25 ж8 — 252 ж6у2 + 214 ж4у4 — 252 ж2у6 + 25 у8 —
— 165 ж8у + 568 ж6у3 — 250 ж4у5 + 848 ж2у7 — 473 у9 — 36 ж10 + 588 ж8у2 — (22)
— 1128 ж6у4 — 1128 ж4у6 + 588 ж2у8 — 36 у10 + 273 ж10у — 1747 ж8у3+
+ 1930 ж6у5 + 2746 ж4у7 — 3275 ж2у9 + 1001 у11.
Коэффициенты в (22) оказались целыми числами. Нетрудно доказать, что все коэффициенты многочленов 3” целочисленны. Воспользуемся тождеством
¡3.1 = • (23)
д (в, д)
В силу (6) ряды для производных от С„(в)в” COS пв и С„(в)в” sinпв по в и в имеют целочисленные коэффициенты. Согласно (14) переход к переменным x, y не нарушает целочисленности.
При малых в якобиан J близок к единице. С удалением от центра круга он может уменьшаться. Найдем множество A, определяемое уравнением
при х2 + у2 < 1. С помощью системы MAXIMA мы нашли множества An, описываемые уравнением (24) при учете в (21) членов до порядка n включительно. На рисунках показан единичный круг и расположенная внутри него часть An при n от 2 до 12 с шагом 2. На отвечающем значению n =12 рисунке нанесена также окружность наибольшего радиуса, внутри которй нет точек A12. В таблице приведены наименьшие расстояния gn от начала координат до A«. Видно, что gn имеют тенденцию к росту. Скорее всего, якобиан отличен от нуля в круге
и там же уравнения (17) имеют единственное решение в виде ряда (19), сходящегося в круге (25).
Подробное исследование множества A, области сходимости рядов (20) и влияния ошибок измерений мы выполним в следующей статье.
Литература
1. Соколов Л. Л. О динамике внесолнечных планетных систем // Физика Космоса: Тр. 31-й Междунар. студ. науч. конф., Екатеринбург, 28 янв. — 1 февр. 2002. С. 96-99.
2. Холшевников К. В., Кузнецов Э. Д. О распределении больших полуосей орбит внесолнечных планет // Физика Космоса: Тр. 31-й Междунар. студ. науч. конф., Екатеринбург, 28 янв. — 1 февр. 2002. С. 112-126.
3. Холшевников К. В. Внесолнечные планеты // Физика Космоса: Тр. 32-й Междунар. студ. науч. конф., Екатеринбург, 3-7 февр. 2003. С. 163-172.
4. Ferraz-Mello S., Michtchenko T. A., Beauge C., Callegari Jr. N. Extrasolar Planetary Systems // Chaos and Stability in Extrasolar Planetary Systems, Lecture Notes in Physics, 2005. Vol. 683. P. 219-271.
5. Brown R. A. Photometric Orbits of Extrasolar Planets // Astroph. Journ., 2008. Vol. 702. P. 1237.
6. Nesvorny D., Morbidelli A. Mass and Orbit Determination from Transit Timing Variations of Exoplanets // Astroph. Journ., 2008. Vol. 688. P. 636.
7. Холшевников К. В. Методы обнаружения и статистика внесолнечных планет // Астрономия: традиции, настоящее, будущее: Сб. обзорных докладов на конференции, приуроченной к 125-летию АИ СПбГУ. СПб., 26-30 июня 2006. С. 263-283.
8. Балуев Р. В. Статистический анализ и планирование измерений лучевых скоростей внесолнечных планетных систем: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. 2009. 138 с. С.-Петербург, СПбГУ.
9. Мартынов Д. Я. Курс общей астрофизики. М.: Наука, 1988. 640 с.
10. Холшевников К. В., Титов В. Б. Задача двух тел. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2007. 180 с.
11. Субботин М. Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука, 1968. 800 с.
Статья поступила в редакцию 7 октября 2010 г.
J (x,y) = 0
(24)
x2 + y2 < 0.562,
(25)
