Определение первоначальных орбит внесолнечных планет методом лучевых скоростей: замкнутые формулы Текст научной статьи по специальности «Физика»

АСТРОНОМИЯ

УДК 521.1, 524.38

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРВОНАЧАЛЬНЫХ ОРБИТ ВНЕСОЛНЕЧНЫХ ПЛАНЕТ МЕТОДОМ ЛУЧЕВЫХ СКОРОСТЕЙ:

ЗАМКНУТЫЕ ФОРМУЛЫ*

К. В. Холшевников1, Д. Е. Вавилов2, А. А. Мюлляри3, Д. А. Толумбаева4

1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, студент, [email protected]

3. Университет Або Академи, г. Турку/Або (Финляндия), доцент, [email protected]

4. С.-Петербургский государственный университет, студент, [email protected]

Введение. Исследование внесолнечных планет представляется одной из самых интересных тем современной астрономии. Определение их орбит становится важной частью небесной механики. Нами рассмотрена [1] задача определения первоначальной орбиты внесолнечной планеты по кривой лучевой скорости (там же содержится обзор более широкой проблематики). Соответствующие уравнения представлены рядами по степеням эксцентриситета, а их решение — рядами по степеням известных величин порядка эксцентриситета. В настоящей статье мы получим уравнения в замкнутой форме и установим существование и единственность решения при любых эксцентриситетах. Эффективный алгоритм решения уравнений, а также область сходимости представляющих решение степенных рядов будут найдены в следующей статье.

Основные уравнения. Пусть вокруг звезды массы т* обращается планета массы т по эллиптической орбите с элементами а, е, г, 0, д (большая полуось, эксцентриситет, наклон к картинной плоскости, долгота восходящего узла, аргумент перицен-

* Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант №НШ-3290.2010.2), РФФИ (грант № 11-02-00230а) и Программы «Проведение фундаментальных исследований по приоритетным направлениям Программы развития СПбГУ» (грант №6.37.110.2011). © К.В.Холшевников, Д.Е.Вавилов, А.А.Мюлляри, Д.А.Толумбаева, 2011

тра). Наблюдательными данными служит кривая лучевой скорости звезды «*, т. е. периодическая функция времени «*(£). Как известно [2, 3],

где «о — постоянная лучевая скорость движения центра масс звезда—планета, и и в — аргумент широты и истинная аномалия планеты,

О — постоянная тяготения.

Для наглядности приведем теоретические кривые лучевой скорости. Каждая из них зависит от нескольких параметров, но ее форма определяется лишь двумя из них: эксцентриситетом и аргументом перицентра. Примем, поэтому, что «о =0, Р = 2п, К = 1, и что в начальную эпоху максимально, т. е. в = п — д. На рис. 1 представлен случай круговой орбиты, а на рис. 2, 3 — орбиты с эксцентриситетом е = 0.2 и е =

0.7 соответственно. На рис. 2 нанесено семейство орбит для различных аргументов перицентра д от 0 до 315° с шагом 45°. Кривые, отвечающие аргументам д и д + п, симметричны относительно оси времени, как это сразу следует из (1, 2). Поэтому на рис. 3 мы ограничились интервалом 0 ^ д ^ 160° с шагом в 20°. Кривые для круговых орбит отличаются только сдвигом по горизонтальной оси (оси времени), и на рис. 1 они приведены лишь для четырех значений д с шагом в 30°.

Кривая «*(£) дает нам непосредственно период Р, наименьшее «т¡п и наибольшее «тах значения лучевой скорости. Отсюда

Ниже понадобятся три точки на кривой, отвечающие последовательным значениям времени ¿1,£2,£з, при которых скорости равны наименьшему «т¡п, среднему («тах + «т¡п)/2 и наибольшему «тах значениям. Им соответствуют значения аргумента широты и1 =0, и2 = п/2, из = п.

По третьему закону Кеплера выразим большую полуось через период и массы:

V* = «о + «і — К сов и = «о + «і — К сов(в + д),

(1)

1

0.5

> 0

-0.5

-1

0 2 4 6 8 10 12 14

Рис. 1. Зависимость лучевой скорости от времени, е = 0.

t

Рис. 2. Зависимость лучевой скорости от времени, e = 0.2.

0 2 4 6 8 10 12 14

t

Рис. 3. Зависимость лучевой скорости от времени, e = 0.7.

Произведение постоянной тяготения на массу Солнца можно считать известным точно. Масса т* в массах Солнца известна по ее спектру с точностью в несколько процентов. С такой точностью мы можем заменить в (3) т* + т на т*. Во втором приближении можно подставить сюда оценку т первого приближения.

Таким образом, большая полуось а найдена. Долгота восходящего узла П, в принципе, не определяется по лучевой скорости. Эпоха восходящего узла ¿і известна. Остаются три неизвестных *,е, д. Основная цель этой статьи — получить и решить два уравнения с двумя неизвестными е, д. После этого найдем произведение

• • Гл---9 з/(т* + т)2Р

га sin г = К у 1 — е1 \ --——--. (4)

V 2nG

Получить отдельно m и sin i по кривой лучевой скорости невозможно.

Перейдем к эксцентрическим переменным. Вместо эксцентриситета удобнее ввести эквивалентную величину

'»“тттЬр- ' = птр- ">

Воспользуемся известными представлениями средней аномалии через эксцентрическую и эксцентрической через истинную:

М = Е — е sin Е, sin Е = \J 1-е2

7-, в sin 6

Е = в — 2 arctg ■

sin 6

1 + e cos 6

(6)

1 + в cos 6

Первые две из формул (6) приводятся в любом учебнике по небесной механике. Третья же встречается редко [3-5], хотя обладает несомненными преимуществами перед сингулярной стандартной, связывающей тангенсы половин аномалий. Заметим, что арктангенс в (6) однозначен, меняется от —п/2 до п/2.

Комбинируя три формулы (6) с учетом (5), получаем

в sin в 2в(1 — в2) sin в

М = в~- arctS 1 + /3COS0 - (1+/32)(1+2/3cos0 + /32) ' (?)

Трем моментам времени ^ соответствуют аргументы широты и и истинные аномалии в^:

пп «1=0, м2 = -, из = 7г; 6>1 = ~д, 02 = --д, 03 = тт-д. (8)

Запишем соотношения (7) для указанных эпох:

Л/Г , о *. /Звтд 2/3(1 - /З2) вш д

М1 = —д + 2 ап^----- ---------1-

1 + в cos g (1 + в2 )(1 + 2в cos g + в2)1

п в cos g 2в(1 - в2) cos (g

М2 =---------з — 2 arctg -

2 1+ в sin g (1 + в2 )(1 + 2в sin g + в2)'

л* __ о +. /?sing 2/3(1-/З2) sing /nx

3 — ^ — g ~ arctg ñ Тл i пг\<л од Т7ал • ( )

1 — в cos g (1 + в2)(1 — 2вcos g + в2)

Средние аномалии известны с точностью до аддитивной постоянной — средней ано-

малии эпохи. Исключим ее, образуя взвешенные разности

^М,-2Мг + М3^((1_2(2+^

|)=T + Af.-Afe=_^(p + 2ti_2ts) (10)

Величины £, п можно считать известными.

Таким образом, мы пришли к двум уравнениям с двумя неизвестными в, g:

Здесь

Л(в^) = е, /2(Ag) = п- (11)

0 , в cos g в sin g в sin g

4/i = 2 arctg -----b arctg ——------------------------------------arctg - -h

1 + в sin g 1 + в cos g 1 — в cos g

2/3(1 —/32) cosд 2/32(1 — /32) sin2g

(1 + в2)(1 + 2вsing + в2) (1 + в2)(1 — 2в2 cos2g + в4)

в sin g в sin g 2в(1 — в2) sin g

4/2 = arctg--------------1- arctg-----------------1-

1 + в cos g 1 — в cos g 1 — 2в2 cos 2g + в41

что можно упростить, пользуясь формулами для суммы и разности арктангенсов:

Лг о , в cos g в2 sin 2g

4 = 2 arctg--------------arctg--------r 11 + /3 sin g--------------------------------------1 — /32 cos 2g

2/3(1 —/32) cosg 2/32(1 — /32) sin2g

(1 + в2)(1 + 2вsing + в2) (1 + в2)(1 — 2в2 cos2g + в4) ’

2/3sing 2/3(1 — /З2) sing

4/2 = arctg ------ж + -----—--------- . 12

1 — в2 1 — 2в2 cos 2g + в4

Переход к переменным

x = в cos g, y = в sin g,

эквивалентным декартовым координатам вектора Лапласа, приводит соотношения (11,12) к более простому виду

/з(ж,у) = С, /4(ж,у) = п, (13)

где /з(ж,у) = /і(в(ж,у),д(ж,у)), /4(ж, у) = /2(в(ж, у), д(ж, у)), т. е.

х 2жу 2ж(1 — ж2 — у2)

4/3 = 2 ап^ —---------arctg -----5——^ +

1 + y 1 — x2 + y2 (1 + x2 + y2)(1 + 2y + x2 + y2)

4xy(1 — x2 — y2)

(1 + х2 + у2)(1 — 2х2 + 2у2 + (х2 + у2)2) ’

2у 2у(1 — х2 — у2)

4/4 = аг^ё ------2-----2 + 1-о 2,0 2 2 I 2^2 ' 14

1 — х2 — у2 1 — 2х2 + 2у2 + (х2 + у2)2

Рассмотрим теперь случай прямолинейно-эллиптического движения, для которого большая полуось конечна и положительна, а эксцентриситет равен единице. Разумеется, этот случай не встречается в реальной задаче определения орбит вне-солнечных планет, но представляет интерес как предельный.

Введем обозначения

K = K0^ßl=, Ko = mJ,---(15)

a/i - Є2 ’ V (ш* + т)с

и перепишем (1) в виде

sin в e + cos в

V* = vq + Kq sin * sin ff = — Ко sin * cos ff — . (16)

1 — e2 1 — e2

Как известно, в ^ п при e ^ 1, поэтому лучше перейти к эксцентрической аномалии:

sin 0 sin Е Е е + cos 0 а/1 —

2

,_____ ctg —, , =----------cosE^O. (17)

а/1 — е2 1 — е cos Е 2 а/1 — е2 1 — е cos Е

Величина s = sin i sin g представляет собой косинус угла между направлением на перицентр и нормалью к картинной плоскости. В прямолинейном движении имеется однопараметрическое семейство орбитальных плоскостей, углы i, g определяются с большим произволом, но величина s определена однозначно. Таким образом, соотношение (1) принимает вид

E

V* = vo + ifosctg — , (18)

что отвечает существенно нелинейным колебаниям бесконечной амплитуды.

Обратим внимание, что от ориентации орбиты зависит только множитель s, а не форма кривой. На рис. 4 представлена кривая (18) в функции времени. Поскольку в момент соударения скорость обращается в бесконечность, мы не можем нормировать амплитуду функции (18) на единицу. Примем Kos = -1, vo = 0.

Для сравнения на рис. 5 изображено семейство кривых при e = 0.99. Параметр g принимает значения 0, 50, 80, 110 и 110 градусов.

Как обычно, в предельном случае орбита определяется просто. Дифференцируем (18) по времени:

=______K°S7r П9)

dt 2P sin4 E/2 ’ V '

Рис. 4- Зависимость лучевой скорости от времени, е =1.

Рис. 5. Зависимость лучевой скорости от времени, е = 0.99.

откуда с учетом (3, 15) получаем

Р4(т* + т)2

4п4С

шт

Л

(20)

Заметим, что наименьшее значение модуля лучевого ускорения достигается в точности посередине между моментами обращения скорости в бесконечность.

Как и в невырожденном случае, определяется только произведение те, но не т и в по отдельности.

Исследование уравнений. Хотя уравнения (11, 13) трансцендентны, их удалось исследовать с достаточной для практики полнотой.

Функции /з, /4 вещественно-аналитичны и ограничены в открытом круге

х2 + у2 < 1. Функция /3 непрерывна в замкнутом круге

X2 + у2 ^ 1

(21)

(22)

за исключением трех точек (0, —1), (±1,0); функция /4 непрерывна там за исключением двух точек (±1,0).

Установим независимость функций /з, /4, для чего достаточно вычислить якобиан J. Очевидно, производные / по х, у являются дробно-рациональными функциями. Мы вычислили их, используя средства компьютерной алгебры:

д/з

дх

91

дз

д/з

ду

92

дз

¿>/4

дх

94

де

¿>/4

%

35

де

где

д1 = (1 — X2 — у2)2 [х10 + X8(—3 — 5у + 3у2) + 2хе(1 — 7у — 10у2 — 8у3 + у4)+

+ (1 + у2)3(1 + у — у3 — у4) + 2х4(1 — 2у — 15у2 — 23у3 — 17у4 — 9у5 — у6) — —х2(3 + 10у + 20у2 + 36у3 + 34у4 + 34у5 + 20уе + 8у7 + 3у8)] ,

д2 = х(1 — х2 — у2)2 [х8(3 + 2у) + хе(2 + 4у + 8у2 + 8у3)+

+2х4у(4 + у + 2у2 + 3у3 + 6у4) + (1 + у2)2(—3 — 10у — 16у2 — 8у3 — у4 + 2у5)+

+2х2( —1 — 2у — 2у2 — 8у3 — 9у4 — 2у5 + 4у7)] ,

дз = (1 + х2 + у2)2 [х2 + (1+ у)2]2 [у2 + (1 + х)2] 2 [у2 + (1 — х)2]2 ,

д4 = 2ху(1 — х2 — у2)2, д5 = (1 — х2 — у2)2(1 — х2 + у2), де = [у2 + (1 + х)2]2 [у2 + (1 — х)2]2 .

Якобиан оказался совсем простым, разбивающимся на квадратичные множители:

J = ^ д(/з,/4) =_________________(1 - х2 - у2)5(1 + х2 + у + у2)____________

6 д{х,у) (I + х2 + у2)2 [х2 + {1 + у)2}2 [у2 + {1 + х)2}2 [у2 + {1 - х)2}2 '

(24)

Все множители числителя и знаменателя положительны внутри единичного круга, причем второй множитель числителя и первый знаменателя отделены от нуля. Второй и третий множитель знаменателя обращаются в нуль в точках единичной окружности (0, —1) и (±1,0) соответственно. Однако числитель стремится к нулю быстрее при приближении к любой точке окружности. Можно, следовательно, считать J > 0 внутри и J = 0 на единичной окружности.

Положительность якобиана говорит о локальной обратимости отображения (13). Установим его глобальную обратимость. Для этого представим отображение (13) единичного круга как семейство отображений окружностей

¡З2 = х2 + у2 = г„, Гп = ]\7’ п = 0,1,.. ,,ЛГ,

и отрезков

у +■ пп плыл

-=*ё 9п, 9п = -Г7, п = 0, 1,...,лг — 1,

х N

в плоскость С, п (см. рис. 6).

Мы видим, что исследуемое отображение взаимно однозначно.

Оно симметрично относительно оси п, что легко доказать и аналитически. Действительно, замена в ^ в, 9 ^ п — д, или, что то же, х ^ —х, у ^ у, приводит к

С ^ —С, п ^ п.

Далее, граница образа единичного круга — равнобедренный прямоугольный треугольник. Этот факт также можно обосновать аналитически, хотя из-за разрывов функций /к на окружности в =1 доказательство не совсем тривиально. Мы не можем просто положить в =1. Исследуем окрестность точки в = 1,д = 0. Считаем

1 — в и д независимыми бесконечно-малыми величинами. Согласно (12)

д д(1 — в)

4£ ~ 2 ап^ 1 — ап^ -

1 - в + g2 (1 - в)2 + g2’

/1 +- 9 , 9^-Р)

4r] ~ arctg---- +

1 - в (1 - в)2 + g2 ’ где знак «~» означает эквивалентность переменных при g ^ 0, в ^ 1* Положим g = (1 - в)7 при y = const, причем допускаются значения 7 = 0 и 7 = Переходя к пределу, получаем

п 7 7

Ч = 77 - arctg7 - ——г, 4'г/ = arctg 7 + - ■—

2 1 + 72 1 + 72

X 5

Рис. 6. Отображение (13); слева — семейство окружностей в = const и радиусов д = const, справа — семейство их образов.

Отсюда

П

£ + (25)

что представляет правый катет треугольника с концами в точках (п/4, —п/8) и (0, п/8), соответствующих 7 = —то и 7 = то.

Исследуем теперь окрестность точки в = 1,5 = —п/2. Считаем 1 —в и д+п/2 = д' независимыми бесконечно-малыми величинами. Согласно (12)

^ о +■ ^ , +■ ^ , 2</(1 — /3) б'/(1 — /3)

4£ ~ 2 ап^----------—Н ап^----------------------------------------^ -¡г Н-тг~ ,

^ е1-/3 + д/2/2 1-д'2 (1-/3)2+д/2 1-д/2

1 1 — в

4г/ ~ — arctg ■

1 - в 1 - д'2 '

Положим д' = (1 — в)7 при 7 = const. Переходя к пределу, получаем

1 Y П

£=-arctg7H— --------, п= , (26)

2 2(1+ 72)’ ' 8’ V ’

что представляет гипотенузу треугольника с концами в точках (—п/4, —п/8) и (п/4, —п/8), соответствующих 7 = —то и 7 = то.

Заключение. Подведем итоги. Отображение (13) внутренности круга на внутренность треугольника аналитично и взаимно-однозначно. Теми же свойствами обладает и обратное отображение. Система уравнений (13) имеет единственное решение, если точка (£, п) лежит внутри треугольника. Для наглядности представим (13) как обратное отображение семейств отрезков £ = const и п = const (см. рис. 7, 8). Рисунки 6 и 8 показывают, что крест {(ж = 0)U(y = 0)} переходит в крест {(£ = 0)и(п = 0)}, что сразу следует из формул (14).

а 0.0

Рис. 7. Отображение (13); слева — семейство прообразов отрезков £ = const, справа — семейство прообразов отрезков n = const.

Рис. 8. Отображение (13); справа — семейства отрезков £ = const и n = const, слева — семейства их прообразов.

В заключение рассмотрим модификацию уравнений, выбирая вместо последовательных моментов времени , к = 1, 2, 3, которым соответствуют аргументы широты и = п(к — 1)/2, моменты времени ¿й+з, к = 1, 2, 3, которым соответствуют аргументы широты м^+з = и — п. Это может быть нужно тогда, когда наблюдениями охвачена неполная дуга орбиты, однако имеется участок от минимума до максимума лучевой скорости (и тогда нужно иметь дело с ¿1, ¿2, ¿з) или участок от максимума до минимума (и тогда нужно работать с ¿4, ¿5, ¿6).

Очевидно, переход от tk к tk+3 равносилен переходу от g к g + п. Таким образом, достаточно заменить в уравнениях (12) g на g и считать

п п

£ = — (¿4 — 2Í5 + ¿б), ?? = gp(P + 2Í4 — 2Í6)- (27)

После решения уравнений (12) следует положить g = g — п.

Вместо (12) можно рассматривать алгебраическую форму уравнений (13), не меняя функций /з,/4 и полагая £, п определенными формулами (27). После решения уравнений (13) следует положить

¡3 = л/х2 +у2, cos g = — ^ , sin g = — у ■

Р Р

Эффективный алгоритм решения уравнений, а также область сходимости представляющих решение степенных рядов будут найдены в следующей статье, где будет исследовано также влияние ошибок измерений.

Литература

1. Холшевников К. В., Толумбаева Д. А., Мюлляри А. А. Определение первоначальных орбит внесолнечных планет методом лучевых скоростей // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2011. Вып. 1. С. 166-172.

2. Ferraz-Mello S., Michtchenko T. A., Beaugé C., Callegari Jr. N. Extrasolar Planetary Systems // Chaos and Stability in Extrasolar Planetary Systems. Lecture Notes in Physics, 2005. Vol. 683. P. 219-271.

3. Холшевников К. В., Титов В. Б. Задача двух тел. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2007. 180 с.

4. Battin R. H. An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics. Reston, Virginia, USA: AIAA educ. ser., 1987. 800 p.

5. Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики. М.: Наука, 1967. 524 с.

Статья поступила в редакцию 24 марта 2011 г.