Уравнения движения в оскулирующих элементах в различных системах отсчета Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 521.11

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 4

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТАХ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА*

Т. Н. Санников а1, К. В. Холшевников2

1. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, Институт прикладной астрономии РАН, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

Введение. Понятия оскулирующая орбита и оскулирующие элементы являются важнейшими в небесной механике [1]. Переход к ним от координат и скоростей позволил, в частности, разработать метод осреднения и описывать движение небесных тел на космогонических временах. Введение оскулирующих элементов потребовало вывода соответствующих уравнений движения, что было выполнено еще Эйлером (в общем случае) и Лагранжем (для потенциальных сил). Здесь мы рассмотрим общий случай, не предполагая существования потенциальной функции.

Классические уравнения Эйлера жестко привязаны к определенной системе отсчета, вращающейся в М3 с переменным, зависящим от положения и скорости, вектором угловой скорости. Причина состоит в простом виде уравнений. Однако в век информатики простота уравнений отходит на второй план. Полезно иметь уравнения, пригодные в произвольной системе отсчета. Мы приведем их в этой статье, а затем конкретизируем в наиболее употребительных системах координат. В дальнейшем мы применим уравнения к движению астероида, к которому приложен двигатель малой постоянной тяги для перевода на нужную нам орбиту, например, чтобы предотвратить его столкновение с Землей.

Постановка задачи. Пусть в М3 имеется система двух точечных масс: неподвижное тело 5 (например, Солнце) массы то и малое тело А (например, астероид), движущееся под действием силы притяжения к точке 5 и возмущающей силы Е. В инерциальной системе отсчета с началом в 5 изменение радиуса-вектора = г описывается дифференциальным уравнением

где к2 = Ото —гравитационный параметр, О — постоянная тяготения.

Перейдем к оскулирующей орбите, считая ее эллиптической. Поскольку положение и скорость А выражаются через элементы по формулам невозмущенного движения, вывод уравнений для изменения оскулирующих элементов не встречает принципиальных затруднений. Естественно получить сначала соотношения в инвариантной, не зависящей от системы отсчета форме. Однако это возможно лишь частично, поскольку некоторые элементы сами зависят от ориентации системы координат. Это

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-02-00232-а) и Программы проведения фундаментальных исследований СПбГУ по приоритетным направлениям (грант №6.37.110.2011).

© Т. Н. Санникова, К. В. Холшевников, 2013

соображение диктует разбиение элементов на два класса: инвариантные (вектор площадей с, его модуль с, фокальный параметр p, постоянная энергии h, большая полуось a, среднее движение ш, эксцентриситет e, средняя аномалия M, истинная аномалия в, эксцентрическая аномалия E, эпоха перицентра т, средняя аномалия эпохи Mo) и зависящие от выбора основной плоскости (наклон i, долгота восходящего узла Q, аргумент перицентра g, аргумент широты и). Заметим, что вектор с и его модуль с инвариантны, хотя компоненты с зависят от ориентации системы координат.

Замечание. Уравнение (1) описывает систему с тремя степенями свободы, чему отвечают 6 независимых оскулирующих элементов. Но мы рассмотрим большее их число, поскольку в разных задачах предпочтительными оказываются разные элементы.

Инвариантная форма для инвариантных элементов. Найдем инвариантную форму производных по времени от инвариантных элементов. Рационально начинать с дифференцирования интегралов движения задачи двух тел [1, 2].

1. Интеграл площадей

с = г х г,

где точка означает производную по времени. Дифференцируя с учетом (1), найдем

( к2 \ с = г х I--g-r + F j = г х F.

Перейдем к модулю с = |с| вектора площадей и фокальному параметру p = с2/к2 :

(с2) = 2сс = 2сс = 2(crF) = ж2р.

Мы получили одно векторное и два скалярных уравнения:

1 2

с = г х F, c=-(crF), r-(crF), (2)

с к2

причем два последних равенства (2) являются следствием первого. Ниже мы не будем оговаривать зависимость уравнений.

2. Интеграл энергии

22

h

~ ~2 ~ ~7

Дифференцируем с учетом (1):

, к2 ( к2 \ к2 п = гг -|——г = г |--—г + Г ) Ч—^-гг = гЕ.

Большая полуось а = -к2/2Н и среднее движение ш = каТ3/"2 зависят лишь от Н, а эксцентриситет е2 = 1 — р/а — от с и Н. В результате получаем еще четыре уравнения:

к = гЕ, а='^гг¥, ш =--гЕ = —3//-^гЕ, (3)

к2 к у/ а у к4

р ^ 1 , ^ 1 ( схг

(сгЕ) = —--+рг Е. (4)

к2 е к2 ае к2 е а

3. Уравнение конического сечения p = r(1 + e cos в) позволяет теперь найти скорость изменения истинной аномалии:

ху/Р , pctgd 2е + (1 + е2) cosö к2ре2 sin в

(5)

По традиции коэффициенты уравнений выражают через координаты и элементы, избегая скоростей. Для исключения последних мы воспользовались формулами [1, 2]

хе sin6> X\fp х /----

r = -, vt = —-—, v = -у 1 + 2e cos 0 + e2 , (6)

y/P r y/P

где vt, v —трансверсальная скорость и модуль вектора скорости соответственно. Для практики предпочтительнее оказывается в одних случаях истинная, а в других — эксцентрическая аномалия. Например, декартовы координаты — линейные функции косинусов и синусов эксцентрической аномалии, но дробно-линейные от косинусов и синусов истинной аномалии; для компонент скорости ситуация противоположна. Ниже мы будем выражать коэффициенты уравнений как через истинную, так и через эксцентрическую аномалии согласно связи

eos E — e у/1 — е2 sin Е

cos в =-, sine* = -

1 — е cos E 1 — е cos E

л cos в + е ^ у/1 — е2 sin в , .

cos Е=-, sm£. =-. (7

1 + е cos в 1 + е cos в У '

Отсюда и из (5, 6)

xeJTismE Ху/р к í + ecosE

г=-> vT = —— , v=-=d---, (8)

r r yja\ 1 — е cos E

•= H^p aVT^2(cosj;_e)__e + co sE_

r2 x2e2sinE x2ae2y/T^e2 sinE '' V ;

4. Аналогично, уравнение r = a(1 — е cos E) позволяет найти скорость изменения эксцентрической аномалии:

• к (1 + e2)cosE — 2е ^ ctgE. . .

Е=—+аУ 2\ . „-rF--^-(crF), (10)

ry'a к2 е2 sin E к2ае2

или, после перехода к истинной аномалии,

• к p(cos в — е) ^ cos в + е . _ .

Е=—=Л-——-. у rF--, -(crF). (И)

ryja к2е2 sin в у/1 — е2 к2 ае2у 1 — е2 sin в

5. Дифференцированием уравнения Кеплера M = E — е sin E получаем

е(—3 + е2) + (1 + 3е2) cos E — 2е3 cos2 E _ cos E — е ,

М = и; + а-i--22 F-rF~ 2 2 • F crF > 12

к2 е2 sin E к2ае2 sin E

или, после перехода к истинной аномалии,

ryj 1 — e2 2/i\-tti ctg 6>\Л — e2

к2 е2 sin в

136

M = UJ + У . (—2e + cosé» + ecos2 0)rF--S ,-(crF). (13)

6. Остались последние инвариантные элементы аномалия эпохи Мо. По определению, М = — т) Отсюда получаем дифференцированием

— эпоха перицентра т и средняя = M0 + w(t — t0), где t0 = const.

ш — М ш . .

г=-+ (14)

ш ш

М0 = М — ш — ш(г — ¿0). (15)

Сюда следует подставить выражения (3) и (12) или (13). Мы не стали делать этого, поскольку наличие векового члена, пропорционального времени, делает эти элементы малопригодными.

Иногда используют величину М0, определяемую интегралом

м = м0 + / ш(г') л', (16)

Ло

так что М0 = М — ш и вековой член исчезает. Однако плата за это слишком велика. Система уравнений типа Эйлера, в которой один из 6 элементов равен М0, не является системой дифференциальных уравнений. Действительно, система дифференциальных уравнений определяет скорость изменения фазового вектора, если известно время t и значение фазового вектора в момент ^ Между тем знание М не позволяет вычислить фазовый вектор: для этого надо знать предысторию ш(^) при ^ ^ Ь' ^ ^

Мы не рекомендуем использовать где-либо величину М0.

Замечание. Как видим, скорости изменения всех инвариантных элементов линейно зависят от двух содержащих возмущающую силу величин: гЕ и (сгЕ).

Полуинвариантная форма для полуинвариантных элементов. Элементы г, и, д, П зависят от ориентации осей координат, или, что то же, от выбора ортов 1,,], к. Ясно, что правые части для скорости изменения г, и, д будут зависеть, наряду с г, Iх, с, Е, еще и от вектора к. Казалось бы, правые части для скорости изменения П будут зависеть еще и от 1, поскольку от направления оси х зависят значения П. Однако поворот на постоянный угол не меняет скорости изменения П. Поэтому, как мы покажем, можно избежать зависимости от 1,,]. Иными словами, уравнения типа Эйлера для рассматриваемых элементов зависят от выбора основной плоскости, но не от выбора в ней начала отсчета углов. Поэтому мы говорим о полуинвариантности.

1. Запишем третью компоненту вектора площадей в виде ск = х^/р соэг. Дифференцируя с учетом (2), найдем

;= ^(сгЕ)--2__(гГк); (17)

к2р куР вт г

где мы обозначили производную от г жирной точкой.

2. Нам понадобятся следующие представления векторов положения и скорости

[2, 4]:

х = га, у = гв, £ = Г7, (18)

к ( ■ а /Р —— ае sin 0 + а — у/р V г

, , , . = — (а + есь) л/р

Vp

Здесь и ниже мы ввели обозначения

а = cos u cos П — cos i sin u sin П, в = cos u sin П + cos i sin u cos П,

Y = sin i sin u,

У = (/?e sin 0 + /3'^) = (/?' + ef3[),

к ( . „ ,p\ к . . _^esm0 + 7-j=—(7 +e7l).

а' = — sin u cos П — cos i cos u sin П, в' = — sin u sin П + cos i cos u cos П, Y' = sin i cos u, (20)

ai = cos g cos П — cos i sin g sin П, в1 = cos g sin П + cos i sin g cos П,

Yi = sin i sin g,

ai = — sin g cos П — cos i cos g sin П, в1 = — sin g sin П + cos i cos g cos П, Yl = sin i cos g.

a = a1 cos в + al sin в, в = в1 cos в + в1 sin в, Y = Y1 cos в + y1 sin в,

а' = a1 cos в — а1 sin в, в' = в1 cos в — в1 sin в, Y' = y1 cos в — Y1 sin в.

(21)

Заметим, что величины (21) отличаются от (20) лишь заменой и на д, причем

(22)

Дифференцируя третье соотношение (18), выразим и через ¿,г, г, откуда с учетом (19), (6), (17) получаем

Xs/V ctg2 i tg i

к2р

■(crF) +

cos i tg u

x-^/psm" i

rV(rFk).

(23)

Аргумент широты легко выразить как через истинную, так и эксцентрическую аномалии:

cos u = cos(g + в)

sin u = sin(g + в)

(cos E — e) cos g — a/1 — e2 sin i? sin g

1 — e cos E

a/1 — e2 sin cos g + (cos E — e) sin g

1 — e cos E

3. Уравнения (5) и (23) влекут

2e + (1 + e2) cos в 2 .

e2 sin в

— ctg2 i tg u

(crF) —

p ctg в cos i tg u

-rF +

я^/р sin" l

(24)

:(rFk). (25)

4. Из первых двух уравнений (18) легко найти следующие комбинации косинуса и синуса долготы восходящего узла:

x cos П + y sin П = r cos u, —x sin П + y cos П = r cos i sin u.

Дифференцируя первое соотношение (26),

X cosQ + y sinQ + (—x sinQ + y cosQ)n = r cos u — r sin uu,

2

r

1

к2 e2

и используя второе соотношение (26), получаем

г вт и(и + сов г П) = г сов и — (X совП + у втП).

Формулы (6) и (19) приводят к соотношению

и + сов г П =

Интересно, что правая часть оказалась независящей от возмущающей силы, что можно показать без вычислений, пользуясь кинематическими и геометрическими соображениями [3, § 16.6]. Но это не менее сложно, чем приведенный нами вывод (27). Подставив (23) в (27), получим

П=

tg и

с^/Р

(сгЕ) — (гЕк)

(28)

Замечание. Как видим, скорости изменения всех неинвариантных элементов линейно зависят от трех содержащих возмущающую силу величин: гЕ, (сгЕ) и (гЕк).

Три системы отсчета. Приведенные выше уравнения типа Эйлера справедливы в любой системе отсчета. Для практического применения следует выбрать какой-либо репер. В астрономии широко используются три координатные системы с общим началом 5, но разными направлениями осей: основная О с ортами 1,,], к и две сопутствующие О8 с ортами 1я, ^, кя. Орты системы О1 направлены по радиусу-вектору, трансверсали (перпендикуляру к радиусу-вектору в плоскости оскулирующей орбиты в сторону движения) и бинормали (направленной по вектору площадей). Орты системы О2 направлены по вектору скорости, главной нормали к оскулирующей орбите и бинормали. Пусть Ц —произвольный вектор, отнесенный к системе О. Тот же вектор, отнесенный к системе Оя, обозначим через Связь между ними дается матричными равенствами

Ц =

= ВзЦ2.

Здесь [1, 2]

а' вт г вт П В1 = В1(г, П,и)= |в в' — ^п г совП

а 7

сов г

Вз = В(/)

^вт / — сов / сов / вт / 0 0 0 1,

(29)

(30)

(31)

Угол / (рис. 1), на который надо повернуть вектор скорости до совмещения с транс-версалью, определяется равенствами

сов / вт /

1 + е сов в

л/1 + 2есо8б> + е2 е вт в

1 е2

1 — е2 сов2 Е е вт Е

л/1 + 2есо8б» + е2 а/1 - е2 соэ2 Е

(32) 139

2

г

2

Рис. 1. Угол поворота / вектора скорости v до совмещения с трансверсалью. Оси г2 направлены на нас, ортогонально к орбитальной плоскости.

Как и следовало ожидать, угол f по модулю меньше п/2, положителен при r > 0 и отрицателен в противном случае. В апсидах он обращается в нуль и тождественно равен нулю на круговой орбите.

Перемножая матрицы Bi и B3, получаем матрицу B2 (i, П, u, f), третий столбец которой совпадает с третьим столбцом Bi, а первые два равны

^cos П sin(f — u) — cos i sin П cos(f — u) — cos П cos(f — u) — cos i sin П sin(f — u) sin П sin(f — u) + cos i cos П cos(f — u) — sin П cos(f — u) + cos i cos П sin(f — u)

sin i cos(f — u)

sin i sin(f — u)

Видим, что В2 — это та же В1, где надо заменить и на 90° — / + и (рис. 2).

Рис.2. Углы поворота между осями ХХ1, ХХ2, Х1Х2. Здесь мы направили ось х по линии узлов, чтобы все три оси лежали в орбитальной плоскости.

Раскрывая косинусы и синусы разности f — u, представим B2 в форме

'(а' + ai е)/й B2 = | (в' + в1 e)/v

(Y' + y1

— (a + а1 е)/й

— (в + в1в)/£ — (7 + Yi e)/i)

sin i sinH — sin i cos П cos i

где v = \/l + 2ecos в + ё2.

Основная система отсчета. Обратимся к первоначальной декартовой системе с неподвижными ортами 1,,], к. Считаем Е = + + Ек. Представим в этой системе скалярное и смешанные произведения IхЕ, (сгЕ), (гЕк). Это несложно: координаты векторов г, Г даются формулами (18), (19), а с/с представлен третьим столбцом матриц #1, #2.

В результате

r F

у/Р

[(а' + eai)Fx + (в' + ев1 )F„ + (y' + e7i ],

(crF) = жг^/р {Fxa! + i^/3' + iV), (rFk) = r (-Ехв + Fyа).

Введем вспомогательные величины

Ф1 = aiFx + ß\Fy + yiFz , Ф2 = alFx + ß[ Fy + Y' Fz

и представим соотношения (33) в виде

(33)

Фз = в^х - aFy (34)

rF = — [-Ф1 sin в + Ф2 (е + cos t у/Р

sinE + Ф2 л/1 - е2 cos Е

(crF) = жг^/р (-$i sinö + Ф2 cosö) = жа^/р yj\ - е2 sin Е + Ф2(cos Е - е) ,

(rFk) = -гФ3 .

(35)

Заметим, что Ф1, Ф2 не зависят от быстрой переменной в или E.

Итак, мы выразили rF, (crF), (rFk) как через истинную, так и через эксцентрическую аномалии. Это позволяет представить правые части уравнений типа Эйлера как линейные функции Fx,Fy, Fz с коэффициентами, зависящими от одной из аномалий. Приведем искомые уравнения:

С = r [(7j - ek)Fx + (ak - 7i)F„ + (в - aj)Fz] , с = r( - sin0$i + cos0$2) = a -yj\ - e2 втЕФ1 + (cos E - е)Ф2

— y/l — e2 sin E + (cos E - е)Ф2

p= sinö Ф1 + cos 9 Ф2) = ^^

h = — [- sin в Ф1 + (e + cos 0)Ф2] = - sin E Ф1 + \J 1-е2 cos E Ф2

y/p r L

2a

2

[-sin0$i + (e + cos 0)Ф2] = — + \J\ - e2 cos E Ф2

wr L

[-sin0$i + (e + cos 0)Ф2] = — -sin£;$i+ yj\ - e2 cos E Ф

л A/1 — e

Xy/P

ay/P кг

[-(e + cos в) sin 0 Ф1 + (1 + 2e cos в + cos2 в)Ф2]

-yj\ - e2 cos£sinS$i + (1 — 2ecosE + cos2 E)Ф2

к

к/a

r

w = —

2

é=^/p

„ н--— [(2 + e cos в - cos2 в)Ф1-совв sin в Ф21

г2 xe^Jp

7,3/2

+

V7! - е2(2 - еcos Е - cos2 Е)Ф1 - (cos Е - е) sin ЕФ2

+--- [(2-cos20-e2)$1 -(e + cos0)sin0$2l

rya Key a(l — e2)

^^ .ъf 3 j 2 ^ -ч

É= —- +-[2 - 2ecos£- (1 -е2) cos2 El - Vi - e2 cosí? sin ЯФ2 ^ ,

кег L J

rya кег

r

M = uj Л--[(2 - e cos в - cos2 в)Ф1 - (cos 0 + 2e) sin 6» Ф21

к ae

M = lv + — |[2-e(3 + e2)cos£- (1 -3e2)cos2 wre L

- Vi -e2 [e+ (1 — 2e2) cosE] sinS$2|,

-—: [cos i sin в Фх — cos i cos в Ф2 — Ф3] .

я^/ps m i

xjp T cos i tg и r . . .

—-т.--1--[cos i sin УФ\ — cos г cos О Ф2 — Фз],

rZ Xy/p sin i

r e cos i tg u , . .

g =-< -7,-[cos i sin О Ф1 — cos г cos О Ф2 — Фз] —

"°\¡V I sin i

— (2 + e cos в — cos2 в)Фх + cos в sin в Ф2

r tg u

Q =--5— [cos i sin вФ1 - cos i cos в Ф2 - Ф3] . (36)

н^/р sin г

Величина Ф3 появляется только в комбинации cos i sin в Ф1 — cos i cos в Ф2 — Фз и только у неинвариантных элементов. Прямые вычисления дают

cos i sin в Фх — cos i cos в Ф2 — Ф3 = — sin i cos u Ф4 ,

Ф4 = sin i sin Q Fx — sin i cos Q Fy + cos i Fz . (37)

Поэтому множитель tgu, встречающийся в некоторых из формул (36), не приводит к сингулярности. Однако лучше переписать последние 4 формулы (36) в виде

r cos u

i= -—Ф4 ,

ж^/р

xJp г ctg i sin и и = ---—-Ф4 ,

r2 Kjp

д =--Г—~ [(2 + е cos в - cos2 0)$i - cos в sin вФ2 + е ctg i sin мФ41 ,

Яву/р

r

1 г / 7* cti£f % s1h u

д =-\ VI - е2 Г—2 + е eos Е + eos2 Е] + (eos Е- е)втЕФ2 \--^^—Ф4 ,

ture I J Х\/Р

■ r sin u , = ——— Ф4. 38

н^р sin г

Заметим, что величины Ф1, Ф2, Ф4, в отличие от Ф3, не зависят от быстрых перемен-

Сопровождающая система отсчета (первый орт — по радиусу-вектору).

В этой, чаще всего используемой системе, F = Sii + Tji + Wki,

(l\ /в sin /0\ /sin i sin uN

0 , r = — p/r , с = xJp (O), k = sin i eos и ) . (39) Oj ^ \ o ) \i) \ cosl

Компоненты вектора k в (39) — это третья строка матрицы Bi.

Обратим внимание, что определяемая формулой (37) величина Ф4 есть скалярное произведение векторов с/с и F, так что Ф4 = W.

В системе Oi скалярное и два смешанных произведения принимают вид

rF = —fesinвЯ + Т-т) = ^ fesinES + УТ^т) , у/р V г / г V /

(crF) = жг^/рТ, (rFk) = r cos iT — r sin i cos uW, (40)

что существенно проще (33). Вместо (36), (38) имеем теперь

С = rTki — rWji,

С = r T,

• 2ryp P = — — -í i я

2

h= 4= (esine S + ^Т) = — fesin E S + y/l^J т) , ,/ю V r / г V /

yjp v r / r

fesinOS+^t) = — fesinES+y/Г^т) ,

я^/р V r / uir V /

3 (esin eS + ^T^j = fe sin E S + л/1 — e2 T^j

a\J 1 - e2 V r ) r

2

в

^ ¡eánes + (p- - r-) t] = + ^ (E - L) т.

кв L Vr a) J wr кв Vr a/

¿ xVp , Vpcose (r+p) siné» 0 = —H--й--—— 1,

r2 кв кв^/p

Яу/р (cos E - е)л/1 - e2 л/а(р + r) sin S —ñ--1--<Ь---i,

ных.

w = —

• я a/cj(cos 9-е) (г + a) sin в Е = —-¡= Л--<Ь---¡=— 1,

ryja, ке ке^/a

■ >с (1 + е2) cosE - 2е л/р(а + г) sin Е Е = —— Н--6--J ,

rva wer кer

r , 2 ч (r + р) sin в

-= (cos é> + е cos2 в -2e)S - v — '

кел/a кел/a

• —e(3 — e2) + (1 + 3e2) cos E — 2e3 cos2 E y/p(p + r) sin E JVl — w -о —-1,

wer

• r cos u

»= —^ w,

Hy/P

Xyjp r ctg г sin и ^

г2 лг-у/р

у/рсовв (r+p)siné> г ctg г sin и 9 = ---S Н----Т---— W,

ке к ре к р

(cos Е — е)л/1 — е2 (p + r)sinE г ctg г sin и

д=--6 Н--1--—-W,

wer waer к^/р

x^/psin г

Здесь встречаются косинус и синус аргумента широты, которые можно выразить как через истинную, так и через эксцентрическую аномалию (24). Заметим также, что

1 р r r a

- ---) = -(е + 2 cos в + ecos2 в) =--(е - 2cos£ + ecos2 .

е r a р r

Сопровождающая система отсчета (первый орт — по вектору скорости). В этой системе F = Ti2 + Nj2 + Wk2,

/ sin/ \ /1\ /0\ /sinocos(/-«)\

г = г — cos / , г = г> I О I , с = Кд/р 0 , k = sin i sin(/ — и) . (42)

V 0 / W W V cos i У

Здесь модуль скорости v дается формулами (6), (8). Компоненты вектора k в (42) — это третья строка матрицы B2.

В системе O2 скалярное и два смешанных произведения принимают вид

r F = v T,

(crF) = KA/pr(cos / T + sin / 91), (rFk) = r (cos i cos f T + cos i sin f N — sin i cos u W), (43)

что по простоте сравнимо с (40). Вместо (36) имеем теперь

c = r cos f Tk2 + r sin f Nk2 — (r cos f i2 + r sin f j2) W,

c = r(cos f T + sin f N),

р = ^^(cos/T + sin/9T),

h = v T,

• 2a2

a, = —ttV к2

'T,

2д/р(е + cos 0)

:T-

Гд/psin 0

уел] 1 + e2 + 2ecos0 кал/1 + e2 + 2e cos 0

N,

к

2л/а (l - e2) cos E 1-е2 cos2 E 2^/psin 0

T

r^/ps in i?

ja/1 — e2 cos2 i?

r [2e+(l + e2)cos0]

r

2

xey/l + e2 + 2e cos 0 xe^JpV 1 + e2 + 2e cos 0 2^/psmE

E =

E

к

1-е2 cos2 i? 2Vasin 0

л/а(е + cos Д) /1 - e cos Д ^

T

ке V 1 + e cos E r(e + cos 0)

N,

Гл/а xey/l + e2 + 2ecos0 хел/ал/1 + e2 + 2e cos 0 x 2^/asmE

_ VP cos Д /1 -ecosE ^

M = w -

M

Гл/a хел/1 - e2 cos2 i? 2r sin 0(1 + e2 + e cos 0

xe л/а a/1 + e2 + 2ecos0 xe^/aV 1 + e2 + 2e cos 0

2л/а (l — e3 cos i?) sin E ^ ^P(e ~ cos /l—е cos £

Ke V 1 + e cos E .г- r(l-e2)cos0 ^

1-е2 cos2 i?

1 + e cos E

N,

• r cos u »=-^

Хл/Р

x^Jp r ctg г sinw

¿a/P

W,

9 =

g =

2,/psin 0

^ + r [2e+ (l + e2)cos0] ^ _ r ctg ¿sin и ^

1 + e2 + 2e cos 0 Ху/реу/1 + e2 + 2e cos 0 2 sin S

¿a/P

xey/l — e2 cos2 i?

^/a(e + cos i?) /l — е cos E r ctg i sin и ~ \ I ~ ~ ~ ** i

1 + e cos E

Jp

Q

Xy/pSYD. i

■ W.

Литература

(44)

1. Субботин М. Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука, 1968. 800 с.

2. Холшевников К. В., Титов В. Б. Задача двух тел: учеб. пособие. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2007. 180 с.

3. Херрик С. Астродинамика. Т. 3. М.: Мир, 1978. 360 с.

4. Battin R. H. An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics. Reston, Virginia, USA: AIAA educ. ser. 1987. 800 p.

Статья поступила в редакцию 27 июня 2013 г.

w = —

кл/ а

w —

2

r

r sin u