К выводу уравнений движения в оскулирующих элементах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 521.11

Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 1 (59). 2014. Вып. 2

К ВЫВОДУ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ В ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТАХ*

Т. Н. Санников а1, К. В. Холшевников1'2, М. С. Джазмати3

1 Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

2 Институт прикладной астрономии РАН,

Российская Федерация, 191187, Санкт-Петербург, наб. Кутузова, 10

3 Университет Кассим, Бурайдах, Кассим, Саудовская Аравия

Показано, что при выводе уравнений типа Эйлера в форме, инвариантной относительно группы вращений БО(3) (для оскулирующих элементов: большая полуось, эксцентриситет, средняя аномалия) или относительно группы вращений БО(2) (для наклона, долготы восходящего узла, аргумента перицентра), достаточно использовать представление через элементы лишь радиуса-вектора г, но не вектора скорости г. Указан метод получения уравнений типа Эйлера в проекциях на оси употребительных в астрономии систем координат. Библиогр. 3 назв.

Ключевые слова: оскулирующая орбита, вращающаяся система отсчета, изменение оску-лирующих элементов.

Введение. В работе [1] мы привели уравнения изменения инвариантных относительно группы вращений БО(3) элементов а, е, М (большая полуось, эксцентриситет, средняя аномалия) в инвариантной относительно БО(3) форме. Затем мы привели уравнения изменения элементов г, О, д (наклон, долгота восходящего узла, аргумент перицентра) в форме, инвариантной относительно группы Б О (2) вращений основной плоскости х,у. Заметим, что наклон и аргумент перицентра инвариантны относительно БО(2), чего нельзя сказать о долготе узла. Однако аддитивная константа не меняет скорости О изменения О, поэтому О обладает нужной инвариантностью.

В настоящей статье мы приводим более изящный вывод уравнений для элементов, связанных с основной плоскостью, использующий представление через элементы лишь г, но не г. Точно так же мы упрощаем вывод уравнений в проекциях на оси основной инерциальной системы отсчета и добавляем уравнения в проекции на оси орбитальной системы координат с первой осью, направленной в перицентр орбиты.

Изменение наклона и аргумента широты. Приведем скорость I изменения г, вывод которой в [1] не нуждается в модификации:

г= ^(сгЕ)--1—(г¥к), (1)

нгр Ну/р&тг

где к2 — гравитационный параметр, р — фокальный параметр, к — орт оси г, с = г х Г — вектор площадей, Е — возмущающее ускорение. Последнее определяется фактически заданием уравнения движения точки в виде

к2

г+-^-г = Е (2)

в области (г, Г) £ (М3 \ {0}) х М3 или в той ее части, где определено Е.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №14-02-00804) и Программы проведения фундаментальных исследований СПбГУ по приоритетным направлениям (грант №6.37.110.2011).

Перейдем к аргументу широты u. Обратимся к известному представлению координат через элементы [2, 3]:

x = r(cos u cos Q — cos i sinu sin Q),

y = r(cos u sin Q+cos i sin u cosQ), (3)

z = r sin i sin u.

Продифференцируем по времени третью формулу (3):

z = r sin i sin u + r cos i sin u i +r sin i cos u u. (4)

В невозмущенном движении (4) можно представить в виде

..... . ^VP ■ ■ íк\

z = г sin г sin и Н--1—sin г cos и, (5)

r

поскольку в этом случае г= 0, г2й = х^/р. Формула (5) содержит только координаты, скорости и элементы, но не ускорения или производные от элементов. По определению оскуляции она справедлива и в возмущенном движении. Вычитая (5) из (4), получим

... . Т' . . ,,

г cos г sin и г +r sin г cos и и--1— sin г cos и = О,

r

откуда с учетом (1) находим

+ (rPk). (6)

r¿ Hzp н^/psin i

Изменение долготы узла. Из первых двух уравнений (3) легко найти следующие комбинации косинуса и синуса долготы восходящего узла:

x cos Q + y sin Q = r cos u, —x sinQ + y cosQ = r cos i sin u. (7)

Дифференцируя первое соотношение (7)

X cosQ + y sinQ + (—x sinQ + y cosQ)Q = r cos u — r sin uu

и пользуясь вторым соотношением (7), получаем

r sin u(u + cos i Q) = r cos u — (x cosQ + y sinQ). (8)

В невозмущенном случае (8) можно представить в виде

sin и = г cos и — (xcosí} + у sinQ). (9)

r

Формула (9) справедлива и в возмущенном движении. Вычитая (9) из (8), получаем после преобразований

Хл/Р

й + cos = (10)

Четыре системы отсчета. Для практического применения уравнений типа Эйлера следует спроектировать векторы на оси какой-либо системы отсчета. В астрономии широко используются четыре координатные системы с общим началом в притягивающем центре, но разными направлениями осей: основная O с ортами i, j, k и три орбитальные Os с ортами is, js, ks. Орты системы Oí направлены по радиусу-вектору, трансверсали (перпендикуляру к радиусу-вектору в плоскости оскулирующей орбиты в сторону движения) и бинормали (направленной по вектору площадей). Орты системы O2 направлены по вектору скорости, главной нормали к оскулирующей орбите и бинормали. Орты системы O3 направлены в перицентр, в точку с истинной аномалией 90° и по бинормали.

Пусть Q —произвольный вектор, отнесенный к системе O. Тот же вектор, отнесенный к системе Os, обозначим через Qs. Связь между ними дается матричным равенством

Q = BSQS. (11)

Третий столбец всех трех матриц Bs состоит из координат (sin i sin Q, — sin i cos Q, cos i)T единичного вектора площадей в системе O. Матрица Bí принимает вид [2, 3]

'cos Q cos u — cos i sin Q sin u — cos Q sin u — cos i sin Q cos u B1 = I sin Q cos u + cos i cos Q sin u — sin Q sin u + cos i cos Q cos u * sin i sin u sin i cos u *)

(12)

где мы выписали явно только первые два столбца. Матрица В3 получается из В1 заменой и на д. Матрица В2 получается [1] из В1 заменой и на и + 90° — /, где f — угол, на который надо повернуть вектор скорости до совмещения с трансверсалью. Именно,

откуда

cos f sin f

cos(u + 90° — f) = —

1 + e cos в

a/1 + 2ecos0 + e2 e sin в

1e

2

1 — e2 cos2 E e sin E

a/1 + 2ecos0 + e2 a/1 - e2 cos2 E '

(13)

sin u + e sin g a/1 + 2e eos в + e2

a/1 — e2 cos E sin g + sin E cos g a/1 — e2 cos2 E

sin(u + 90° — f) =

eos и + e cos g a/1 — e2 cos E cos g — sin E sin g

a/1 + 2ecos0 + e2

a/1 — e2 cos2 E

(14)

Сопровождающая система отсчета О1 (первый орт — по радиусу-вектору). В этой, чаще всего используемой системе, Е = Б11 + Т^ + Шк1,

(e sin в' 0

'0> КурР I 0

k

sin i sin u sin i cos u cos i

Компоненты вектора к в (15) — это третья строка матрицы В1. Скалярное и два смешанных произведения принимают вид

r F

4 (е sin в S + Р Т) = (е sin Е S + УГ^ Т) у/р V г / г V /

r

r

c

(crF) = >cry/pT,

(rFk) = r cos iT — r sin i cos u W =

= r cos i T + a sin ¿(ecos g — cos E cos g + s/l — e2 sin E sin g) W. (16)

Орбитальная система отсчета O3 (первый орт направлен в перицентр).

В этой системе F = Ф1Д3 + Ф^3 + Wk3,

(cos в\ ( — sin в \ /0\ /sin i singN

siné> , r =- e + eos 0 1, с = x^/p 0 , к = sin i cos g I . (17)

o j vp \ o ; V1/

Скалярное и два смешанных произведения принимают вид

rF = Í— sin О Ф\ + (е + cos в) Ф2] = (-втЕФ-^ + \J\ - е2 cos ЕФ2) л/ю г V /

(crF) = >cry/p(-sin в Ф1 + соввФ2) = яа^/р - \J\ - е2 sin Е Ф1 + (cos Е - е) Ф2

(rFk) = —r cos i sin в Ф1 + r cos i cos в Ф2 — r sin i cos u W =

= — a eos г V 1-е2 sin£^i + a eos ¿(eos E — e) Ф2+

+ a sin i [(e — cos E) cos g + \J 1-е2 sin E sin g] W. (18)

Основная система отсчета O. Считаем F = Fxi + Fyj + Fzk. Проще всего вывести выражения для нужных нам величин, представив (Ф1, Ф2, W)T произведением транспонированной матрицы B3 на вектор F:

Ф1 = (cos Q cos g — cos i sin Q sin g)Fx + (sin Q cos g + cos i cos Q sin g)Fy + sin i sin g Fz ,

Ф2 = ( — cos Q sin g — cos i sin Q cos g)Fx + ( — sin Q sin g + cos i cos Q cos g)Fy + sin i cos g Fz , W = sin i sin Q Fx — sin i cos Q Fy + cos i Fz . (19)

Поскольку

— sin вФ1 + cos вФ2 = (— cos Q sin u — cos i sin Q cos u)Fx+

+ (— sin Q sin u + cos i cos Q cos u)Fy + sin i cos u Fz ,

последнее соотношение (18) перейдет в

(rFk) = —r (sin Q cos u + cos i cos Q sin u)Fx + r(cos Q cos u — cos i sin Q sin u)Fy , (20)

что, впрочем, легче получить непосредственно, поскольку k = (0, 0,1)T в системе O. Вывод соотношений в системе O2 не нуждается в модификации.

Заключение. Рациональный вывод соотношений трех ключевых величин rF, (crF), (rFk) не влияет на окончательный вид уравнений типа Эйлера, приведенных

в [1]. Заметим только, что уравнения (37), (38) из этой статьи, где следует положить Ф4 = W, являются фактически уравнениями в системе O3. Их можно рассматривать как уравнения в системе O с учетом (19).

Литература

1. Санникова Т. Н., Холшевников К. В. Уравнения движения в оскулирующих элементах в различных системах отсчета // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2013. Сер. 1. Вып. 4. С. 134—145.

2. Субботин М. Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука, 1968. 800 с.

3. Холшевников К. В., Титов В. Б. Задача двух тел / учеб. пособие. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2007. 180 с.

Статья поступила в редакцию 26 декабря 2013 г.

Сведения об авторах

Санникова Татьяна Николаевна — аспирант; [email protected]

Холшевников Константин Владиславович —доктор физико-математических наук, профессор; [email protected]

Джазмати Мухаммед Салахович — кандидат физико-математических наук, доцент; [email protected]

ON THE DERIVATION OF EQUATIONS OF MOTION IN OSCULATING ELEMENTS

Tatiana N. Sannikova1, Konstantin V. Kholshevnikov1,2, Mohammad S. Jazmati3

1 St.Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7/9, St.Petersburg, 199034, Russian Federation; [email protected], [email protected]

2 Institute of Applied Astronomy RAS, nab. Kutuzova, 10, St.Petersburg, 191187, Russian Fedration; [email protected]

3 Qassim University, Buraidah, Kassim, Saudi Arabia, [email protected]

It is shown that for deducing Euler type equations in a form that is invariant with respect to the rotation group SO(3) (for osculating elements: semi-major axis, eccentricity, mean anomaly) or with respect to the rotation group SO(2) (for inclination, longitude of ascending node, argument of pericentre) it is sufficient to use a representation via elements of the radius-vector r, but not of the velocity vector r. A method of deducing Euler type equations in projections on axes of coordinate systems commonly used in astronomy is pointed out. Refs 3.

Keywords: osculating orbit, rotating reference frame, variation of osculating elements.