Решение интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа с помощью математического пакета Maple Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968.

Г. А. Шишкин, А. А. Ткачева

РЕШЕНИЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MAPLE

В статье рассматривается возможность преобразования начальной задачи для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием к разрешающим интегральным уравнениям Вольтерра с обыкновенным аргументом, используя математический пакет Maple.

Ключевые слова: уравнения Вольтерра, запаздывающий тип, начальная задача, функциональные

запаздывания, разрешающие уравнения.

G.A. Shishkin, А.А. Tkacheva

SOLUTION VOLTERRA INTEGER-DIFFERENTIAL EQUATIONS DELAY TYPE USING

MATHEMATICS MAPLE PACKAGE

The article considers the possibility of converting the initial problem for integro-differential equations of Volterra with functional delay to allow the integral equations of Volterra with common argument using mathematical package Maple.

Keywords: equations of Volterra, delayed type, cauchy problem, functional delay, allowing the equation.

Введение

В работе [2] рассматривается начальная задача для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа

l n-1 x

y(n)(x) + EE fjj(x)y(i)(Uj(x)) + ¿jKjj(xn)y(i)(Ujmdn

j=0 >=0 a

+

+4 Kno( xn) y(n)(n)dn = f (x)

a n 0 (1)

с начальными условиями

y(‘) (Uj (x)) = # (Uj (x)), i = 0, n -1, xe Exo , (2)

где u0(x) = x, Uj (x) < x Vj = 1, l , функции f (x) и Uj (x) непрерывны, ядра Kjj (xn) регулярны в

i

квадрате a < xn< b , E^ = U Ej, Ej - множество точек, для которых соответствующие Uj (x) < x0 при

x ^ x0 Vj =1, l , Ex0 =[a, x0 ].

В этой работе, опираясь на одну модификацию функции гибкой структуры

y(i )(U, (x)) = D~l

^ (,-1^ d>As(Uj(x)-xe)

Ey )(xc)-------------h----------+

s=1

An (Uj (x) -1)

+ Y>u j (x)jU(Uj (x)) ,

(где i = 0, n, Yn = 1, Yi = 0 Vi = 0, n -1, D=D( Гр Гр , rn) - определитель

Вандермонда, составленный из неопределенных параметров гх,г2,........ гп, параметры определяются в

ходе решения задачи исходя из оптимальности ее решения, определитель As (x -1), s = 1,n получается из определителя D заменой s-й строки строкой exp гх( x -1 ),exp r2( x -1),..., exp rn (x -1) и ц.( x) - новая неизвестная функция), доказано, что задача (1)-(2) для уравнений запаздывающего типа всегда сводится к разрешающему интегральному уравнению типа Вольтерра с обыкновенным аргументом

l Uj (x)

n(x) + E j Qj (x, t)M(t)dt = F(x). (3)

j=0 *0 163

В уравнении (3) получены формулы

n

Qj (х, t) = D-X

i=0

d An (Uj (n) -1)

Г , ^ An (Uj (X) - t) ,

/i; ( X)--------------------—---------------+ .

J,j dX

0 Г / 4 n (Uj (n) ^) 1

+Л\ Kij(x,n)-------------------------n-dn

+ ЯКпо( X, t),

и функция F(x) находится по формуле

F(х) = /(х) -XZj D-1XУ(S-1)(Xo)

j =0 i=0 I s=1

d As (u; (x) - x0) +

ij ) dxi

X d’ As (u; (n) - x0)

+4 Kj (x.n) ■ n ’ 0) dn

+

я\кц (x,n)$ (Uj (n))dn r.

с учетом равенства нулю коэффициентов при старших производных y(n) (u;. (x)) функции y(Uj (x)) и яДеР Knj (x,n).Y/ =1./.

Постановка задачи и её решение

При использовании интегро-дифференциальн^1х уравнений Вольтерра в приложениях, где запаздывающий тип уравнений является наиболее часто встречающимся, преобразование начальной задачи (1)-(2) к модели этой задачи (3) - процесс довольно трудоемкий, особенно для уравнений порядка выше первого и при нескольких отклонениях аргумента. Поэтому, естественно, ставится вопрос получения разрешающего уравнения - модели поставленной задачи с помощью ЭВМ, опираясь на известные математические пакеты, и затем получение её точного или приближённого окончательного решения, оптимизируя выбор параметров Гр ........., rn .

Уравнение (1) с начальными условиями (2) для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом запаздывающего типа с помощью функции гибкой структуры преобразуем к разрешающему интегральному уравнению типа Вольтерра с обыкновенным аргументом (3), используя символьный (аналитический) математический пакет Maple, который позволяет создавать пользовательские программы с помощью встроенного языка программирования. Преимущества данного пакета при решении поставленной задачи заключаются в том, что в нем реализованы многие алгоритмы, например diff(F,x) дифференцирует функцию F по переменной х.

Для решения поставленной задачи создадим сначала несколько вспомогательных процедур: LimitDV, obrfunction, RechYr, а затем основную RIEquat, которые высчитывают соответственно предел

отношения определителя Вандермонда D=D(r1, r2, ...,rn) и определителей As(x-t), ■ = 1,n , обратные

функции, решение уравнений Uj (x) = x0 и известные функции в разрешающем уравнении (3).

Процедуры, используемые в модуле:

LimitDV:=proc(s,n):

Obrfunction:=proc(u,x):

RechYr:=proc(u,x,x0 ,b):

a

RIEquat := proc (n, l, a, b, x0, f, f0, u, K, phi) local dl, i, j, s, Phi, u1, u2, H, P, N, R, v, c, ieq, ub, RIE, PR, PR1; u1 := eval(u, x = z); u2 := eval(u, x = t1); ub := eval(u, x = a); for j to l+1 do v[j] := eval(obrfunction(u[j], x), x = t) end do; for j to l+1 do c[j] := RechYr(u[j], x, x0, b) end do; for i to n do dl[i] := LimitDV(i, n) end do; for j to l+1 do Phi[j] := f[1, j]*(eval(dl[n], x = u2[j])) end do; for j to l+1 do for i from 2 to n+1 do Phi[j] := Phi[j]+f[i, j]*(eval(diff(dl[n], '$'(x, i-1)), x = u2[j])) end do end do; for j to l+1 do H[j] := int((eval(K[1, j], t = t1))*(eval(dl[n], x = u2[j])), t1 = v[j] .. x) end do; for j to l+1 do for i from 2 to n+1 do H[j] := H[j]+int((eval(K[i, j], t = t1))*(eval(diff(dl[n], '$'(x, i-1)), x = u2[j])), t1 = v[j] .. x) end do end do; for j to l+1 do P[j] := int((eval(K[n+1, j], t = t1))*(eval(diff(dl[n], '$'(x, 2)), x = u2[j])), t1 = v[j] .. c[j]) end do; for j to l+1 do N[j] := eval(K[n+1, j], t = v[j])+piecewise(c[j] <= t1, Phi[j]+H[j], t1 < c[j], 0) end do; R := f0; for j to l+1 do

for i to n+1 do R := R-(int((eval(K[i, j], t = t1))*phi[i], t1 = a .. c[j])) end do end do; for j to l+1 do for i to n+1 do for s to n do if i = 1 then R := R-f[i, j]*phi[s]*(eval(eval(dl[s], [x = u1[j], t = x0]), z = x))-(int((eval(K[i, j], t = t1))*(diff(u2[j], t1))*phi[s]*(eval(dl[s], [x = u2[j], t = x0])), t1 = c[j] .. x)) else R := R-f[i, j]*phi[s]*(eval(eval(diff(dl[s], '$'(x, i-1)), [x = u1[j], t = x0]), z = x))-(int((eval(K[i, j], t = t1))*(diff(u2[j], t1))*phi[s]*(eval(diff(dl[s], '$'(x, i-1)), [x = u2[j], t = x0])), t1 = c[j] .. x)) end if end do end do; R := R-(int((eval(K[n+1, j], t = t1))*(diff(u2[j], t1))*(sum(phi[s1]*(eval(diff(dl[s1], '$'(x, n)), [x = u2[j], t = x0])), 's1' = 1 .. n)), t1 = a .. c[j])) end do; PR1 := sum('int(P[j1]*(eval(mu(z), z = t)), t = ub[j1] .. x0)', 'j1' = 1 .. l+1); RIE := sum('f[n+1, j1]*(eval(mu(z), z = u[j 1]))', 'j 1' = 1 .. l+1)+PR1; PR := sum('int(N[j1]*(eval(mu(z), z = t)), t = ub[j1] .. u[j1])', 'j1' = 1 .. l+1); RIE := RIE+PR; [RIE] end proc.

Программа позволяет получить для начальной задачи (1)-(2) разрешающее интегральное уравнение типа Вольтерра с обыкновенным аргументом (3).

Пример. Рассмотрим задачу Коши для уравнения запаздывающего типа

y'(t) - 2 y'(|) + ]yQm = ex -1,

y( x) = x, y'( x) = 1, y(2) = 2, y'(-|) = 2.

Зададим исходные данные:

u :=

x

x,—

2

: x0 := 0:

b := 1: a := 0:

f := Matrix(3,2): f [2,2] := -2: f [3,1] := 1: f 0:= exp( x) -1: ф:= [x,1,0]: f :

K := Matrix(3,2): K[2,2]:= 1:

eval (simplify (RIEquat (2,1, a, b, x0, f, f 0, u, K ,ф)), r = 0);

Начальное значение x0 =0. D - определитель Вандермонда, составленный из неопределенных параметров ij , j = 1, n, которые определяются в ходе решения задачи, исходя из оптимальности ее решения, в данном примере параметры взяты равными Г = Г1

■ Г '2 .

Процедура RIEquation выводит следующий результат на рабочий лист:

\l{x)

ti <0

1

|i(jc) + int ц(ґ) (-2 + jt — 2t),t = 0x,opts \ ^

0 <tl

= e

Таким образом, мы имеем разрешающее интегральное уравнение типа Вольтерра с обыкновенным аргументом вида (3).

Заключение

В статье показана возможность применения математического пакета Maple к получению модели для первоначально поставленной задачи (1)-(2).

Работа в этом направлении будет продолжена по определению оптимальных значений параметров Г,i = 1,n с целью получения точного решения, а если это не удается или затруднительно, то приближенного решения с заданной точностью.

Литература

1. Сдвижков О.А. Математика на компьютере: Maple. - М.: СОЛОН-Пресс, 2003. -176с.

2. Шишкин Г.А. Линейные интегро-дифференциальные уравнения Вольтерра с функциональным запаздыванием. - Улан-Удэ: Изд-во Бурят. ун-та, 2009. - 63с.

Шишкин Геннадий Александрович, кандидат физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой прикладной математики Бурятского государственного университета. Тел. (3012)217733.

Ткачева Анастасия Алексеевна, студент 5 курса специальности «Прикладная математика и информатика» Бурятского государственного университета.

Shishkin Gennady Alexandrovich, Candidate of Physics and Mathematics Science, Prof., head of applied mathematics department of Buryat State University.

Tkacheva Anastasia Alekseevna, student 5-th course specialty "Applied Mathematics and Informatics" of Buryat State University.