CC BY
15
Oshorov Bator Batuevich, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of higher mathematics, East-Siberian State University of Technology and Management (ESSUTM), associate professor, department of mathematical analysis and methodology of teaching mathematics, Buryat State University (BSU), e-mail oshorovbb@pochta.ru
УДК 517.948
© Г.А. Шишкин
ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА С ФУНКЦИОНАЛЬНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
В статье с помощью функции гибкой структуры исследуется возможность решения одной краевой задачи интегродифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.
Ключевые слова: функция гибкой структуры, запаздывание, краевая задача, дифференциальные уравнения.
G.A. Shishkin
ON A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR VOLTERRA INTEGER DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH FUNCTIONAL DELAY
Using function of flexible structure, In the article a possibility for solution of a boundary value problem for integerdifferential equations with delayed argument is studied.
Keywords: function of flexible structure, delay, boundary value problem, differential equations.
Введение
В работе [2] рассматривались начальные задачи для линейных интегродифференциальных уравнений Вольтерра с запаздывающим аргументом запаздывающего, нейтрального и опережающего типов. Определение типов осуществлялось в соответствии с общепринятой классификацией. Проведено исследование возможностей преобразования начальных задач для этих уравнений с помощью функции гибкой структуры к интегральным уравнениям с обыкновенным аргументом. Доказано, что задача Коши для всех интегродифференциальных уравнений запаздывающего типа с помощью функции гибкой структуры преобразуется к разрешающему интегральному уравнению типа Вольтерра с обыкновенным аргументом, решение которого существует и притом единственное при выполнении условий ограниченности функций, входящих в уравнение. Рассмотрены возможности решения в замкнутом виде и вариант приближенного решения, если точное решение найти затруднительно.
= /(х), (1)
Постановка начальной задачи
Выпишем общий вид линейных интегродифференциальных уравнений Вольтерра с запаздывающим аргументом:
£ £ [/(х) У(0 и (х)) + х\к„ (X, п) У (г) (и, ПМп
]=01=0 а _
где Ыо (х) = х, и7 (х) < х, и7 (х) ф х У] = 1,I, /, (х), /(х) и и, (х) -непрерывны на отрезке а < х < Ь с начальными условиями
у(г \и] (х)) = у (и, (х)), 1 = 0, п -1, х е £х0, (2)
I
где Ех = иЕ] , Е]х - множество точек, для которых соответствую-
0 7=0 0 0
щие uj (х) < х при х > х0 У] = 1,1, а Е.0^ =[а, х0 ], функции у (х) - заданы.
Постановка краевой задачи и ее решение
Рассмотрим уравнение (1) с начальными функциями в стандартной форме для краевых задач уравнений такого типа
У(г )(Ы] (х)) = у^У0])), г = 0ГП-1, х е ЕХо (3)
и с линейными билокальными краевыми условиями
£[ау(г)(х0) + ДтУ(°(х1)] = Ух, т=0,п-1, а < х0 < х < Ь, (4)
1=00
где ат, и ут - постоянные числа.
Предполагая, что решение задачи (1), (3), (4) существует и единственно, будем искать его на отрезке [х0,Ь], используя начальные функции (3), краевые условия (4), функцию гибкой структуры и ее производные
'¿у-->( х0) +
2=1 ых
(5)
и,( х) дг А п (и, (х) - X)
у(г )(и, (х)) = В -
у д г А п (и, (х) - X)
] --— мо^
уу. (х)^(и, (х)),
дхг
х0
где В=В( Г1, 72,....., Гп) определитель Вандермонда, составленный из
неопределенных параметров 71, 72,....., Гп . Параметры определяются в
ходе решения задачи, исходя из оптимальности ее решения, определитель А2 (х — X), 2 = 1, п получается из определителя В заменой 8-ой строки строкой ехр г1 (х - X), ехр г2(х - X),..., ехр гп (х - X), ¡и(х) -
новая неизвестная функция и г = 0, п, = 0 У г = 0, п -1, уп = 1.
Для решения краевой задачи (1), (3), (4) определим у(1х0) через новую неизвестную функцию /и(х). При этом при определении корней с^ уравнений и] (х) = х0 на отрезке х е [х0, Ь] могут возникнуть три возможных ситуации: 1. х0 < х1 < с; V ] = 0,1; 2. х0 < с< х1 V] = 0,1; 3. х1 таково, что 3] = 0,1 для которых х0 < х1 < с, а для некоторых х0 < с] < х1 .
Рассмотрим первый наиболее простой случай. Подставив х = х1 в начальные функции (3) при j=0 и затем значения у(г)(х1) = у(1)(х0)^( х1) в краевые условия (4), получим алгебраическую систему
1>(г)(х0)[аг + А^(х1)] = Гх, (6)
1=0 ^ ' т = 0, п —1
для определения значений у(1)(х0).
Обозначив через ю главный определитель этой системы ( = ёй [а1Т + Ргт(рг (х1)], г,т = 0, п —1
и через - алгебраические дополнения к элементам главного определителя, по формулам Крамера найдем
у)(х0) = ю-1 Е Ут(гг , I = 0ТП-1 . (7)
Заменив значения у(1)(х0) в соответствии с формулой (7) для начальных функций краевой задачи получим формулы
п—1
(и] (х)) = (рг (и] (х))(1 Е У(гг (3*)
т=0
Также получим новые формулы и для функции гибкой структуры, пронумеровав их как первоначально выписанные формулы, пометив эти номера звездочкой:
у(1)( х) = Е(ЦА®( х—Хс) +
^=1 т=0
х ~Л ,
•д1А^—t)
дхг
+ I-—-+ У1и] (х)/и(и} (х)),. 1=1,п, (5*)
И краевая задача в этом случае свелась к решению начальной, рассмотренной в монографии [2].
Заключение
В последующих работах предполагается исследовать возможности построения для краевых задач интегродифференциальных уравнений с функциональным запаздыванием разрешающих уравнений с обыкновенным аргументом, как это было сделано для начальных задач. В дальнейшем планируется рассмотреть возможности оптимизации нахождения точных или приближенных решений за счет оптимального выбора параметров функции гибкой структуры.
Литература
1. Куликов Н.К. Решение и исследование обыкновенных дифференциальных уравнений на основе функций с гибкой структурой // Тематический сб. МТИПП.
- М., 1974. - С. 47-57.
2. Шишкин Г.А. Линейные интегро-дифференциальные уравнения Вольтерра с функциональным запаздыванием. - Улан-Удэ: Изд-во Бурят. гос. ун-та. - 2009.
- 64 с.
Шишкин Геннадий Александрович, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики Бурятского государственного университета, e-mail: gnshishkin@mail.ru
Shishkin Gennady Alexandrovich, candidate of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics, Buryat State University, e-mail: gnshishkin@mail.ru.
