РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ В ЯДРЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА Текст научной статьи по специальности «Математика»

АКТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

УДК 51

РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ В ЯДРЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА

М. Ю. Медведик1, Б. А. Зайцев2, М. Ж. Умуров3, В. Д. Сидоренко4, М. В. Киселев5

1,2,3,4,5Пензенский государственный университет, Пенза, Россия

'[email protected] [email protected]

3штшоу2007@тай.ги 4vlad-sidorenko - 14@тай .гш [email protected]

Аннотация. Рассматривается нахождение эффективного математического метода расчета интегральных уравнений с логарифмической особенностью в ядре. Составлен метод такого расчета на основе метода кол-локации и полиномов Чебышева. Используется тригонометрическая замена для полиномов Чебышева. Представлен численный алгоритм, позволяющий решать данное интегральное уравнение. Приведено частное аналитическое решение задачи. Реализован комплекс программ для решения описанной задачи.

Ключевые слова: полиномы Чебышева, интегральные уравнения с логарифмической особенностью, метод коллокации, тригонометрическая замена, численный метод

Для цитирования: Медведик М. Ю., Зайцев Б. А., Умуров М. Ж., Сидоренко В. Д., Киселев М. В. Решение интегрального уравнения с логарифмической особенностью в ядре с использованием полиномов Чебышева // Вестник Пензенского государственного университета. 2024. № 2. С. 83-91.

Введение

Интегральные уравнения с ядром, содержащим логарифмическую особенность, встречаются повсеместно в прикладных задачах. Решение их является важной и нужной работой как в прикладных областях науки, так и в теоретических. В математике интегрирование функций с логарифмической особенностью является достаточно трудоемкой задачей. Однако существуют методы, которые позволяют решать такие интегралы с высокой точностью и эффективностью. Предлагается использование полиномов Чебышева 1 -го рода в качестве инструмента для решения подобных интегралов. Полиномы Чебышева являются одними из наиболее важных и полезных ортогональных многочленов. Они имеют множество важных свойств, которые помогают при их

© Медведик М. Ю., Зайцев Б. А., Умуров М. Ж., Сидоренко В. Д., Киселев М. В., 2024

83

использовании. Благодаря своим свойствам они нашли множество применений во многих областях науки, в том числе в численных методах.

Областью интегрирования будет являться отрезок [-1,1], так как именно на этом отрезке полиномы Чебышева обладают нужным свойством ортогональности, а также имеют удобное тригонометрическое представление. Одной из проблем, возникающей при счете интегралов с логарифмической особенностью, является возникновение сингулярности на концах отрезка, которое сильно сказывается на решении интегрального уравнения. Существует большое многообразие способов решения данной задачи. Одним из них являются проекционные методы. В работе [1] приводится описание некоторых проекционных методов. Однако у них есть как достоинства, так и недостатки.

Недостатками проекционных методов являются необходимость решения больших систем алгебраических уравнений и общая трудоемкость выполнение расчетов и вычислений в процессе решения. К преимуществам можно отнести то, что решение находится сразу во всей области изменения независимой переменной, а не в отдельных точках, а погрешность расчета одинакова во всем диапазоне изменения независимой переменной (отсутствует экспоненциальный рост погрешности, характерный для методов решения задачи Коши).

Данные методы приводят к сингулярности на концах отрезка. Чтобы избежать этого, воспользуемся методом коллокации. Под методом коллокации будем понимать сравнение коэффициентов рядов. В работах многих авторов приведены различные подходы для решения подобных интегральных уравнений [2-5]. Нами предлагается подход к решению интегралов с логарифмической особенностью, основанный на использовании полиномов Чебышева 1 -го рода, с применением тригонометрической замены, которая дает возможность избежать сингулярности и решить нужное интегральное уравнение.

Постановка задачи

Рассмотрим основные определения и свойства полиномов Чебышева, которые мы будем использовать в дальнейшем. Полиномы Чебышева 1 -го рода могут быть представлены в виде рекуррентной формулы:

Однако более удобно будет использовать их в виде тригонометрического представления в области [-1,1]:

Одним из важнейших свойств многочленов Чебышева 1-го рода является их ортогональ-

Т (х) = х ,

Т2 (х) = 2 х2 - 1

Тп ( х ) = 2 х (Тп-1) - Тп

Т (х) = 008 (п аГ0008 х).

1

на отрезке [-1,1]. Благодаря этому свойству можно упростить процесс вы-

ность с весом

1 - х2

числения

\Тп ( * ) Тт ( х )

ёх

л/Г- х 2

0, п Ф т,

—, п = т Ф 0, 2

л, п = т = 0.

Любую функцию, определенную на отрезке [-1,1], можно разложить по полиномам Чебы-шева, используя формулу

1 ™

f ( *) = Т ЬоТо (х) + ^Ъ1Т1 ( *). 2 1=1

Коэффициенты Ъ, можно вычислить по формуле

9 1 И^т

Ь= - / f ( х ) Т ( х ) .

п Д VI - х2

Аналогично может быть разложена функция от двух переменных:

к (х, у )=хх ст^ (у) т (х),

(1)

(2)

. = 0 1=0

с. =Цкг]к(х,)Т (х)т. (у)

йх йу

ТТ-х7 ^

1 - у2

(3)

к, =

1= 0, . = 0, к = —-,

2

л 2

1> 1, ] = 0, к = — п2

2

1 = 0, ] > 1, к = — п2

4

1> 1, ] > 1, к = —. п2

В дальнейшем при расчетах будет использована еще одна формула:

1

ёх

<• 1 1 т (х)

- У 14 ^

л 1п2, 1 = 0, л , г

(4)

- Т (У) ,1 >1.

I

Перейдем к постановке основной задачи. Пусть задано некоторое интегральное уравнение

вида

1 ( I 1 ёх

| [^^^ + К ( X, У ^ и ( х = f ( У )

(5)

где К (х, у) и f (у) - известные функции. Ядро интегрального уравнения содержит логарифмическую особенность 1п-—1—-. Требуется найти неизвестную подынтегральную функцию и(х). Поль-

Iх - у|

зуемся разложением функций по полиномам Чебышева, сведем задачу к вычислению коэффициентов и сравнению их у соответствующих полиномов, т.е. воспользуемся методом коллокации.

Коэффициенты, записанные в матрицу, дадут систему уравнений, решение которых будет являться разложением неизвестной функции.

Численный метод

В интегральном уравнении (1) и(х) является неизвестной подынтегральной функцией; при разложении этой функции в ряд появляются коэффициенты Ъ^ , нахождение которых будет эквивалентно решению задачи:

^ да

и ( х ) = 1ЪоТо ( х ) + ХЪТ ( х ).

2 1=1

При этом разложим и /(у) в ряд и найдем коэффициенты разложения по формулам (1) и (2). Для нахождения этих коэффициентов перепишем уравнения (5) в виде

1 г 1 у 1 ™ ^ d

+ к(^у) 1ЬТ(х) + ЕЬТ(х) ^== = I(у).

-1V Iх - у

2

х

Перемножая подынтегральное выражение, получаем группу интегралов, вычисление каждого из них даст нам искомые коэффициенты:

1 , Г, 1 т / \ ах | ь-Т0 (x)-/_, (6)

2 -1 |х - У\ V! -■

2

х

\ 1^1—1—Г(х, (7)

-1 Iх - уЦ=Т л/1 - х2

\ъ0 |к (x, у) То (х )-* , (8)

2 -1 л/1 - х2

-1

1

|к(х,у)]ГЪТ (х(9)

-1 1=1 л/1 -

.-х2

Рассмотрим поочередно интегралы (8) и (9), для этого перезапишем интеграл (8), разложив функцию К (х, у) в ряд Фурье - Чебышева:

1 да да 1

ах

-| 1 да да

1ъ щ ст ( у ) т (х) т (х )т

2 -1 у=01=о Л/1

2

- х

Преобразуем разложение, используя свойство ортогональности на отрезке, и получим ряд:

да

7Ъ0 ХТУ (у) Соу =7ЪоТо (у) Соо +ТЪоТ1 (у) С01 + ••• 2 у=0 2 2

Запишем интеграл (9), аналогично разложив К (х, у) по полиномам, используя формулу (3):

1 да да да 1

ЧТ, ( У ) Т ( х)УЪТп ( х) ах

/ЕЕсуТу(У)т(х)ХЪТП(х)1а 2

-1 у=01=0 п=1 л/1 - х

Используя ортогональность многочленов, упростим выражение:

ад ад 1 7

ЕТ (у|Тп (х)Тп (х)"

]=0 п=1 -1 Л/1 - х

Используя полученные ряды и ряд, найденный из предыдущего интеграла, получим выражения:

П Ь0Т0 (у ) с00 + П Ь1Т0 (у ) с10 + П Ь2Т0 (у ) с20 + • ПЬ0Т1 (у ) С01 + ПЬ1Т1 (у ) С11 + П Ь2Т1 (у ) с20 + • П Ь0Т2 (у ) с00 + П Ь1Т2 (у ) с10 + П Ь2Т2 (у ) С20 +•

Теперь вычислим интегралы (6) и (7), используя при этом формулу (4):

1Ь011пПЛ Т0 ( х)

- у

ёх л 1п 2 , ч

х» ■-= ~— Ь0Т0 (у),

х

ад 1 1 7 ад

ЕЕ ь 11^1—1—г Т (х )1й==ее ьл т (у).

И - Iх - у\ л/1 - х2 И 1

Добавив коэффициенты при соответствующих многочленах, перепишем каждое из выражений следующим образом:

/ч|л л 1п2 | л , ч л /ч

Ь0Т0 ( у )1 - с00 + ^"1+2 Ь1Т0 ( у ) с10 +- Ь2Т0 (у ) с20 +

П Ь0Т1 ( у ) С01 + Ь1Т1 ( у С11 + П Ь2Т1 ( у ) С20 +•

л / \ л . * /\|л л 1

~Ь0Т2 ( у ) с02 +-Ь1Т2 ( у ) с12 + Ь2Т2 ( У )1 " С22 +~ 1+-

Таким образом собраны все полученные из интегрального уравнение (5) коэффициенты при соответствующих полиномах Чебышева. Теперь, когда определены и коэффициенты раз -ложения, можно воспользоваться методом коллокации и составить систему линейных алгебраических уравнений, приравняв каждую строчку разложению правой части исходного уравнения:

ЬоТо(у) (Псоо + + ПЬ1То(У)с10 +ПЬ2тО(У)С20 + - = 1аоТо(у), ПьоТ1(у)со1 + Ь1Т1(у) (Псц + п) + ПЬ2Т1(у)С20 + - = а1Т1(у), ПЬоТ2(У)Со2 +ПЬ1Т2(У)С12 + Ь2Т2(у) С22 +П) + '" = а2Т2(У).

(10)

Для разрешения системы (10) необходимо знать коэффициенты Су, которые находятся по формуле (4). Для точности расчетов воспользуемся тригонометрическим представлением полиномов Чебышева и заменой переменных. Использование тригонометрической замены значительно улучшает качество приближения и упрощает разработку компьютерного кода. Теперь, когда известны коэффициенты для всех частей уравнения, решим систему методом Гаусса:

V

л 1п2 л л

00 + 2 2с10 2с20

л л л

2с01 2 ■си + л 2с21

л л л

2 с°2 2с12 2 С22 +

(Ь Л Ь0

(1 Л

— ап

с 'о 0

0 с'

V Ь Л

Ьо

(а ^ а0

У V V Ч'" У

Видно, что интегралы (6) и (7) всегда дают постоянные значения и заполняют главную диагональ, а вот интегралы (8) и (9) могут давать всплески по всей матрице. Осталось только найти исходные значения для :

ь =

; ь, = ^ ; ь2 =

г 1 г 2 ?

С0 с 1 с 1

1

Запишем разложение искомой функции. Решение уравнение (5) выглядит следующим обра-

зом:

( * ) = "Г Т0 ( х ) + -1Т ( х ) + -2 Т2 ( х ) + ...

Разложив функции в левой и в правой части уравнения в ряды по полиномам Чебышева и вычислив коэффициенты этих разложений, полученные после решения интегралов, при этом сделав замену для полиномов Чебышева, находим нужную нам функцию и(х), составив систему уравнений (10) и решив ее.

Построение математической модели

Рассмотрим аналитическое решение интегрального уравнения. Пусть функция К (х, у) = = х + у, а / (у) = у2 + у +1, тогда уравнение (5) примет вид

1 Г

I

1п ■

- у|

+ (х + у) и (х)

ёх

71-

■ = у2 + у + 1

(11)

Найдем аналитическое решение уравнения (11) и сравним его с приближенным решением. Перепишем функции К (х, у) и / (у) следующим образом:

К (^ у) = Т (х) + Т ( у ), / ( у) = IТ2 ( у) + Т ( у) +1Т0 ( у).

Решения интегралов с логарифмической особенностью дают уже известные значения л

21п2, л, —. Всплески же дают лишь два интеграла, которые не обращаются в нуль: 2

Ь

с

а

Ь

а

2

2

2

и

-1

кт1 (у) |тс (* )~г==л ьот1 (у); -1 VI - * 2

ът (у)] т (*) т (* =л щ (у).

-1 VI - X2 2

Матрица коэффициентов будет иметь вид

Г л 1п2 л ^

2

2 л 2

0

л 0

0 0 -

0 0 0 0 -

Г ъ \ и0

V 0 /

г 3 ^ 2 1 1 2 0

V 0 /

Решив систему, находим искомые коэффициенты для и (х):

ъ = 3,296; ъ =-1,33; Ъ2 = 0,318. Получаем следующее аналитическое решение:

/ ч 3,296 / 2 ч и (х) = —^--1,33х + 0,318(2х2 -1).

Результаты сравнения численного и аналитического решений представлены на графике (рис. 1).

"П:\\Ыя1\\1п1я1гат\Т^рпгаМ\\Па1лР М" -

"0:\\Мед\\Медгг llV\IntegrallWDataAl.txt" X

! -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Рис. 1. Сравнение численного и аналитического решений уравнения Сходство очевидно, что говорит об эффективности численного решения поставленной за-

дачи.

Рассмотрим графики функций более высокого порядка, представленных на рис. 2, а именно: /(у) и К (х,у), равных соответственно у3 - 4у + 0,5 и х2 + у, и на рис. 3 для / (у)и К (х,у),

5 3 2 п. 3 2 ,2

равных у + у - у - 2и х у - у + х у.

"0:\\Мед\\Медга11\ \IntegrallWDataF.brt"-

0.5 1

3 л , л с гт ( \ 2

Рис. 2. Численное решение уравнения (5) для / (у) = у - 4у + 0,5 и К (х,у) = х + у

"0:\\1п1ед\\Медга11\\1п1едга11\^^аР.Ь(Г-

Рис. 3. Численное решение уравнения (5) для / (у) = у + у - у - 2 и К (х,у ) = х у - у + х у

Заключение

Показано, что полиномы Чебышева 1-го рода являются эффективным средством для решения таких интегралов. Благодаря своим свойствам разработанный алгоритм и его применение дают высокую точность и эффективность при вычислении интегралов с логарифмической особенностью. Применение тригонометрической замены упрощает разработку кода и дает возможность работать с большим количеством данных, не теряя в точности исчислений. Использование полиномов Че-бышева 1 -го рода для решения интегралов с логарифмической особенностью может существенно

улучшить эффективность и точность вычислений. Наше исследование имеет потенциал для дальнейшего развития и применения в различных областях.

Список литературы

1. Гусейнов Э. А., Ильинский А. С. Интегральные уравнения I рода с логарифмической особенностью в ядре и их применение в задачах дифракции на тонких экранах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1987. № 27. С. 1050-1057.

2. Плещинский Н. Б. Сингулярные интегральные уравнения со сложной особенностью в ядре : монография. Казань : Казан. ун-т, 2018. 160 с.

3. Медведик М. Ю. Субиерархический метод решения интегрального уравнения на плоских экранах произвольной формы // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2009. № 4. С. 48-53.

4. Медведик М. Ю. Субиерархический метод решения интегрального уравнения Липпмана - Швин-гера на телах сложной формы // Радиотехника и электроника. 2012. Т. 57, № 2. С. 175.

5. Евстигнеев Р. О., Медведик М. Ю., Смирнов Ю. Г., Цупак А. А. Обратная задача восстановления неоднородностей тела для ранней диагностики заболеваний с помощью микроволновой томографии // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2017. № 4. С. 3-17.

Информация об авторах

Медведик Михаил Юрьевич, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры «Математика и суперкомпьютерное моделирование», Пензенский государственный университет.

Зайцев Борис Алексеевич, студент, Пензенский государственный университет.

Умуров Мухаммад Журабекович, студент, Пензенский государственный университет.

Сидоренко Владислав Дмитриевич, студент, Пензенский государственный университет.

Киселев Максим Вячеславович, студент, Пензенский государственный университет.

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.