Дифракция электромагнитной волны на щелях между пластинами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том 153, кн. 4

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Физико-математические пауки

2011

УДК 517.598

ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА ЩЕЛЯХ МЕЖДУ ПЛАСТИНАМИ

Д.Н. Ту,маков, А.Р. Тухватова

Аннотация

В работе исследована задача дифракции плоской ТЕ-поляризовапиой электромагнитной волны па щелях между металлическими пластинами, расположенными в одной плоскости. Задача дифракции сформулирована в виде краевой задачи для уравнения Гельмгольца с граничными условиями «па металле» и заданным асимптотическим поведением па ребрах экранов. Решения ищутся в классе уходящих па бесконечность воли. Исследуемая задача сведена к интегральному уравнению с сильной особенностью в ядре относительно следа вектора электрической напряженности па щели. В свою очередь, интегральное уравнение сведено к бесконечной системе лилейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения производной искомой функции. Аналитически вычислены сингулярные интегралы, содержащие обобщенные полипомы Чебышева.

Ключевые слова: дифракция, ТЕ-поляризованная электромагнитная волна, гипер-сипгулярпое интегральное уравнение, обобщенные полипомы Чебышева.

Введение

В работе исследована задача дифракции плоской TE-поляризованной электромагнитной волны на щелях в бесконечной металлической пластине. Эта задача, а также задача дифракции на металлических конечных экранах представляют большой теоретический и практический интерес, и им посвящено немало работ (см.. например. [1 5] и имеющуюся там библиографию).

Задача дифракции сформулирована в виде краевой задачи для уравнения Гельмгольца с граничными условиями «на металле» и заданным асимптотическим поведением на ребрах экранов [6]. Решения задачи ищутся в классе уходящих на бесконечность волн [7].

Уравнение Гельмгольца рассмотрено отдельно в верхней и нижней полуплоскостях [8], разделенных осью x. Образы Фурье следов на границах каждой из областей нормальных производных и самой искомой функции связаны соотношениями. полученными в [9]. Эти соотношения использованы при анализе исходной задачи.

Исследуемая задача сведена к интегральному уравнению с сильной особенностью в ядре относительно следа вектора электрической напряженности на щели. Из интегрального уравнения получена бесконечная система линейных алгебраических уравнений.

1. Постановка задачи

Пусть в плоскости z = 0 декартовой системы координат размещена идеально проводящая бесконечная вдоль оси x и бесконечная вдоль оси y топкая пластина со щелями (количество щелей конечно и равно J). Сверху (из области z > 0) набегает плоская электромагнитная волна вида uo(x, z) = Ao exp (ik sin в x + ik cos в z), где в - угол, отсчитываемый от оси z. Нужно найти электромагнитное поле,

Рис. 1. Геометрия задачи

возникающее при дифракции волны. Ограничимся случаем, когда вектор Е падающей волны параллелен оси у (ТЕ-поляризация поля). Поэтому можно искать решение задачи дифракции, не зависящее от координаты у.

Ненулевые компоненты электромагнитного поля в случае ТЕ-поляризации выражаются [8] через потенциальную функцию и(х,г) = Еу(х, г), которая является решением двумерного уравнения Гельмгольца

Рассматриваемая задача может быть сформулирована как задача сопряжения для этого уравнения. Плоскость х0,г разобьем на две области (см. рис. 1): верхнюю {(х, г) : г > 0} и нижнюю {(х,г) : г < 0} полуплоскости.

Границу сопряжения полуплоскостей разобьем на части: обозначим через М часть оси х, соответствующую металлическим пластинам, и через N - часть без металлических пластин.

Обозначим через и+(х) предельные значения искомой функции Еу (х, г) при стремлении г к 0 сверху, а через (х) — предельные значения Нх (х, г) (или, как следует из системы Максвелла, нормальной производной дЕу (х, с точностью

до постоянного множителя). Для предельных значений функции и нормальной

х

и-(х) и -у-(х).

В каждой из полуплоскостей нужно найти решения уравнения (1) из класса распределений медленного роста на бесконечности, удовлетворяющие при г = 0 следующим условиям. Вне металлических пластин касательные составляющие векторов Е и Н непрерывны. В пашем случае эти условия имеют вид

и+(х) + ио(х, 0) = и-(х), «+(х)+ «о(х, 0) = ^-(х) при х £ N (2)

где г>о(х, 0) = ди0(х, . Касательные составляющие напряженности элек-

Е

быть равны нулю:

и+(х) = —и0(х,0), и-(х)=0 щи х £ М. (3)

Потребуем также, чтобы на ребрах экранов (см. (1.25) и (1.26) [6]) были выполнены условия

Еу = 0(р1/2), Нх = 0(р-1/2), р ^ 0,

где р - расстояние до концевой точки экрана.

Условия на бесконечности определим следующим образом [7]: функция и(х, г) ограничена на бесконечности или распространяется как волна (порождает волну, переносящую энергию) при х2 + г2 ^ то.

Задача (1) (3) вместо с условиями на бесконечности и ребре представляет собой математическую модель процесса дифракции на бесконечной металлической пластине с щелями ТЕ-поляризованной электромагнитной волны, описываемой функцией и0(х,г).

2. Сведение задачи дифракции к интегральному уравнению

Образы Фурье нормальных производных и самой искомой функции на границах полуплоскостей связаны соотношениями (см. [9]):

V + (С) - ¿7 (С) и + (0 = 0, V- (0 + »7 (С) и - (С ) = 0, (4)

где

7

(С) = {-у/Ё^Р, 1С1 < к, |С| > /с| •

Соотношения (4) для вещественных £ фактически заменяют собой уравнение (1). Таким образом, переходим от системы (1) (3) к системе (2) (4), которую и будем в дальнейшем решать.

При решении задач дифракции достаточно отыскать граничные значения либо самой функции, либо нормальной производной [8]. Рассмотрим в качестве неизвестной граничное значение функции и-(х). Сведем задачу (2)—(4) к системе интегральных уравнений относительно и-(х).

Применив к соотношениям (4) обратное преобразование Фурье и воспользовавшись условием (3), получим

+то

г>+(ж) = — / и+ (г) Ко(т — х) (1т = 2п ,]

-то

= — J и+ (т) К0(т - х)с1т - — J и0 (г) К0(т - х) с1т (5)

N М

— 1 I' — 1 [ —

V (х) =--/ и (г) Ко(т — х) с1т =--/ и (г) Ко(т — х) с1т, (6)

-то N

Ко(х) = -щН[2)(к\х\). (7)

Рассмотрим уравнения (5) и (6) на х € N. Вычтем одно из другого и используем условия (2):

1 - 1

—г>о(х) = — и (г) Ко (т — х) с1т--/ и о (т) Ко{т — х) с1т.

П .] 2п ,]

N -то

Здесь и далее у следов и0(х, 0) и г>о(х, 0) будем опускать значение 2-й переменной, обозначая их через и0(х) и г>о(х) соответственно.

Для падающей волны, как для волны, распространяющейся в отрицательном направлении оси г, справедливо второе соотношение (4), которое можно записать в виде

+то

Ко{т — х)

г'о(х) = J и о (г) К0(т - х) ¿т.

Тогда получим

J и- (т) К0(т — х) ¿т = —2п«0(х), х е N. (8)

N

Заметим, что в работе [10] при несколько отличных от (2) условиях получено интегральное уравнение относительно и+ (т) при той же правой части.

3. Преобразование интегрального уравнения

Пусть интервалы, на которых расположены щели, совпадают с отрезками (ау, ву), ] = 1,..., Будем считать, что отрезки упорядочены и а.\ < в < < а2 < в2 < ••• < а.] < в]- Обозначим и(т) = и-(т) и /(х) = —2п-у0(х), где

J

х е N = У (ау, ву) • Тогда уравнение (8) примет вид 3=1

] в ]

^ из (т)Ко(т — х) ¿т = /(х), х ^У (ау, в у) (9)

с граничными условиями и (ау) = и(ву) = 0 в соответствии с поведением поля па ребрах.

Исследуем поведение функции Ханкеля в окрестности нуля. Для этого выразим

(2)

данную функцию через функции Бесселя и Неймана: Щ '(х) = (х) — гУ1 (х). Разложим в ряд Тейлора при х ^ 0 справа функции Бесселя

Мх) = ^+0(х3)

и Неймана

вд = + (-1 + 2^-;1п2 + 21пж)ж + о(хЗ),

пх 2п

где 7 = 0.57722 - постоянная Эйлера. С учетом этих представлений получим

Ко(х) = -щШк\х\)-г¥1(к\х\)) =

1 к2 , ( —1 + 27 — 21п 2 + 21п к)к2 к2 —^--1п ж---г —

пх2 2п 4п 4

Таким образом, в ядре интегрального уравнения (9) можно выделить слагаемые. содержащие особенность в нуле:

1 к2 1

К0(х) = — + — 1п — + Щх), (10)

пх2 2п |х|

где

»к 1 к2 1 ВД = -^-7 Шк\х\) - гУ!(к\х\)) - — - — 1пп (И)

2|х| пх2 2п |х|

представляет собой регулярную часть ядра Ко (х). Функция Д(х) непрерывна на каждом из интервалов (а у, в у) и

( — 1 + 27 — 21п 2 + 21п к)к2 .к2 Щи) =-----г—.

4п 4

С учетом (10) интегральное уравнение (9) можно записать в виде

А А А

1 С и (т) к2 Г 1 Г

— J с1т + — J и8{т) 1п _ с1т + у и8{т)Щт - х) с1т +

аБ а5 а5

3 во

+ ! и(т)Ко(т — х) ¿т = /(х), X е (а8,р8), « = 1,..., (12)

ао

Здесь в первые два интеграла вошли особенности ядра уравнения (9). третий содержит непрерывное ядро Е(т — х), а последний интеграл также будет без осо-

т=х

второго порядка и понимать его следует в смысле интеграла Адамара [11].

4. Некоторые свойства обобщенных полиномов Чебышева

Введем функцию

Рз(х) = \/03з ~х){х-а^),

которая понадобится для дальнейших преобразований с обобщенными полиномами Чебышева ТП (х) и ЦП (х), заданными па интервале х е (а3-, в] )■ Обобщенные полиномы Чебышева связаны с обычными полиномами Чебышева соотношениями

Т] (х) = Тп(х'), ЦI (х) = Цп(х'), (13)

где

х>=*х-%±4. (14)

Рз — аз Рз — аз Докажем ряд вспомогательных утверждений.

Лемма 1. Пусть функция и3- (т) е С 1(аз-, в]) при т е (а3-, в]) представима в виде ряда Фурье по обобщенным полиномам Чебышева второго рода:

ж

из(т)= рз(т)£ и](т), (15)

п=0

а ее производная и] (т) на том же интервале - в виде ряда по обобщенным полиномам Чебышева первого рода:

1 ж

3 Рз (т) п=0

Тогда СО =0«

т

к т':

■з(т') = ^^ л/Г^ ЁВД(г'), (17)

ОС

/ /\ Р-7 Гл ~

и

' 4 ' 2

п=0

2 1 ж

Продифференцируем ряд (17) по т':

..;.(/) = -,т_2 Е Ш^т') + VI - г'2 Е &Мт').

* п=0 п=0

Используя формулу (22.8.4) [13]: (1 - х2)иП(х) = -пхПп(х)+ (п + 1)ип_1(ж),

получим

' то

= £ + ¿2(-п)Щгип(т1) +

* П=0 * П=1

1 ТО '

* п= 1 *

'ТО ..ТО

* п=1 * П=1

Для дальнейших преобразований воспользуемся соотношениями, связывающими между собой полиномы Чебышева первого и второго рода (22.5.6) и (22.5.7) [13]:

Тп(х) = ип(х) - хип_1(х) , Тп(х) = хип_1(х) - ип_2(х).

Получим

оо

VI - т'Ч'^т') = -т'ОЪи0{т') + 1№ип(т') +

п=1

ТОТО

+ ^(п +1)К ии_1(т' ) = -Е пБ1 _{Тп(т').

Следовательно,

ТО

V1 т п=1

Приравняем полученное выражение и разложение производной (18):

1 то 2 1

--=== У" пТА Т„ (г') =-=--, V ОТ, (г').

V п=1 * п= 0

Отсюда следует утверждение леммы. □

Заметим, что для тригонометрических рядов Фурье также справедливо утверждение. подобное лемме 1 ( [12. п. 704]).

Лемма 2. Полиномы Т£(х) являются собственными функциям,и интегрального оператора с логарифмическим ядром. При этом

-П(х), п= 0,

1 С 1 1 |шд--¿ОС-Ч, и.-и,

- / "ТТт"(т) 1п I-гс1т = 1 3 ~ 3 (19)

х

мену для переменной интегрирования т, перейдя к т'. Тогда подынтегральные сомножители преобразуются следующим образом:

1 2 1 ,1,2,1

1п --г = 1п —--Ь 1п ■

Рз(т) !3з - аз л/1 - г'2 ' \т-х\ \т'-х'[

Искомый интеграл (19) примет вид

1

11 ^т=шТп{т>)

-1

21 1п —--1- 1п ■

в — а |т'— х'1

¿т'

4

1п--Щх'), п = О,

1 Рз — аз

—Тп(х'), п= 1,2,...

. п

Здесь использованы значения интегралов

1 1 1 1 (1п 2, п = 0,

уТп{т) 1п ---¿т = { 1

тгУ VI - Г2 |т-ж| |-Т„(ж), п = 1,2,...

-1 п

и свойство ортогональности полиномов Чебышева:

±[-^=Тп(т)<1т = 11> П = °' тгУ д/Т^Т2 |0, »7 = 1,2,...

-1

Отсюда и из (13) следует утверждение леммы. □

Лемма 3. Пусть

в,

11

Щх) = - / РзМЩ(г) 1П|--¿т.

П.] |т — х|

а,

Тогда

4 ^ (/?д. - ад.)2

ад = ^+1п га -

3 (х) = —

(вз —•

16п

-иЫ*) +

(п + !)(/% - а3-)2 . (/% - а3-)2 •

+ 8п(п + 2) "А ] 16(«. + 2) "+2(

п = 2, 3,...

Доказательство. Перейдем от обобщенных полиномов Чебышева второго рода к полиномам Чебышева первого рода по формуле

иЗ_1(х) =

8 р2(х)

Тп-1(х) — Тп+1(х)

х

которая следует из равенства (22.5.10) [13

1

1 — х

и рекуррентного соотношения Тп+1(х) — 2хТп(х) + Тп-х(х) = 0.

Вернемся к полиномам Чебышева второго рода, воспользовавшись формулой

ип-1(х) = --— [хТп (ж) - Тп+1(х)},

П (х) =

ИЗ (х) — и^-2(х)

которая следует из (22.5.8) [13]. При п =0 имеем

в,

о в,

. (вз — "з )2 Г 1

8п

Рз(т)

То (т) — Т2 (т)

1п

|т — х|

¿т =

1 , 4

7 + 1п о-

4 рз — а3

(вз — аз )2

ИЗ (х) —

(вз — •

32

-Щ( ж).

Здесь Тд (х) = Ид (х). Для случая п = 1, так как 2ТЗ (х) = (х), получим

в,

11

- ] Рз{т)Щ{т)Ы у—.^т =

2 в

(вз — аз )2 Г 1

8п

Рз(т)

П (т) — Т3 (т)

1п

|т — х|

¿т

12

(х) —

(Рз ~аз? 48

ИЗ (х).

При п =2, 3,...

в,

11

о в,

~ ^з? Г 1

8тг

Рз(т)

ТЗ (т) — тз+2(т)

1п

|т — х|

¿т

(вз — ад )2

(п +1)(вз — ад )2

(вз — ад )2

16п

Лемма доказана.

Лемма 4. Для х € (ад, вз)

8п(п + 2)

16(п + 2)

□

1

в,

П У Рз(т)(т —

гэ^пж •

С'д(Ж'), ?? = 0,

"Ц'З_1(х), п =1, 2,...

вз — аз

(интеграл понимается в смысле главного значения по Коши).

2

1

1

1

Доказательство. При п = 0 имеем

Р, 1

1 С 1 2/1

— У'Р / -;—-Г (1т = —-:—V» / —, - (1т' =

т У Рз(т)(т-х) ^у уТ3772(т/_.г./)

а, —1

2 »sign х' »sign х

- VI - .г-'2 ^-(ж)

п=0

(22.13.3) [13]

в, 1

1ур[ ПН с}т =_2_ Г__ =

т .1 Рз(т)(т-х) ' Ч '

аз — 1

во — а & — а

Доказанные леммы являются обобщением ряда утверждений, приведенных в [14].

5. Бесконечная система линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим интегральное уравнение более общего вида, чем уравнение (12) (вместо к2/2 запишем постоя иную Б).

Теорема 1. Гиперсингулярное интегральное уравнение относительно функции и(х) = {иу(х) е С 1(ау, ву)}]=1

Ря Ря Ря

1С и (т) Б [ 1 ('

- ) (т3-Х)1с1т + ~ У щ(т) 1п с1т + У Ыя(г)Д(г " х) с1т +

п (т — х)2

+ ! иу (т )Ко(т — х) ¿т = / (х), х е (а8,в.э), « = 1,...,7 (20)

]

Р,

J'=1>J'=«

с ладанным, поведением, на границах отрезков

Ит щ{х) = 0{у/х-а, Ит щ{х) = 0(Л/^ -ж)

х ► а, + о х —► р, — 0

(21)

сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов СП разложения функций и'у (т) в ряды Фурье по обобщенным полиномам Чебышева второго рода

{138-а8) п(/38-а8)3В

32

С8

14 1+1п

1

Аи -А-

п(/38-а8)3В

-Со

+

п(/38-а8)3В 32

96

_^_/^чв _ _\_/"уз , _^_

_2(А-+ 1)(А- + 2) '*+2 (А--1)(А-+1) й 2(А- - 3)(А- - 1)

4-1 - 1

+

п

то вз

Е^ТТ У рЛ^Щ^х) j рв{т)Щг{т)Щт-х)с1тс1х -

в? - „ п + 1

п= 0

Е Я, _ Е

а

п+1

в3 — а, п +1

3 3 п=о

р8(х)и«-1 (хП рз(т)ЦП(т)Ко(т - х) ¿т^х =

Ра

У"рв(х)/(х)и«-1 (х) ¿х, 8 = 1,...,7, к =1, 2,... (22)

Доказательство. Действительно, поведение производной искомой функции на границе определяют формулы

Ит и';(х) = О! —Ит и'Ах) = 0{

1 ^ ^ / т* — г\/ ■ _, О.--П ^

1

х—+ 0

4 у/Х — а2 х^/Зу-о

Поэтому и, (х) удобно искать в виде ряда по полиномам Чебышева первого рода (16).

Рассмотрим первое слагаемое уравнения (20). Проинтегрируем его по частям:

1 ? «.(г) .¿т = I /ХМ^

п У (т — х)

2

п / т — х

Подставив представление для и?(т) в виде ряда (16) в полученный интеграл и воспользовавшись леммой 4, получим

вз в'

1 ^ 1 то 1 то 1 ^

ТП(т)

п=0

п=0

пУ р«(т)(т -;

¿т =

= а

» Б^П х

р«(т) в,

п=1

Следовательно, по лемме 1

вз

1 Г Щ[Т)

(т - х)2 в« - ая

п= 1

и(х)

второго рода (15). Тогда второе слагаемое интегрального уравнения (20) примет

В

вз

вз

/1 то 1 С 1

п=0

(в« - а«)В

4

С?

1 4 \ 1

- + 1п- Щ(х) - -Щ(х)

(в? - а«)В

12

С?

и1(х) - \щ(х)

+

+ (Д -а3)В^ С«+1

4

п + 1

2п

ип-2(х) -

п(п + 2)

иД (х) +

1

2(п + 2)

и?+2(х)

2

в

П

1

Как и полиномы Чебышева второго рода ип (х) (22.2.5) [13], обобщенные полиномы и"П(ж) ортогонадьны с весом ря(т) та отрезке (а3,@3):

J Ps(T)Usk(T)U°(T)dT={,3s ^ J y/r^Uk(T)Un(r)dr = as -1

r(es - as)

S' SI

Таким образом, левая часть интегрального уравнения (20) примет вид

2

в - as

--stts („л (Д ~ as)B cs

us-i(x) -

1 4 \ 1

(в - as)B

12

cs

+

+

(ft -as)B^ C«+1 n+ 1

E

i

2n.

2(x) -

n(n + 2)

us (x) +

1

2(n + 2)

us+2(x)

A

Ps

2 cs /*

— E^TT P.(r)U'(T)R(r-x)dr-

- as n + 1

n=0 J

2 cj /

- E Yi—T,^ PiWfr)^-*)*- (23>

j=1,j=s aj n=0 n +1 J.

Умножим обе части интегрального уравнения на р3(х)иц_1(х) щи к = 1, 2,..., в = 1,..., .1 и проинтегрируем по интервалу (ая, /Зе) ■ Получим уравнения (22). □

2

эс

1

Работа выполнена при поддержки РФФИ (проект Х- 09-01-97009).

Summary

D.N. Tumakuv, A.R. Tukhvatuva. Diffraction of an Electromagnetic Wave in the Gaps between Plates.

In the article, the problem of diffraction of a plane TE-polarized electromagnetic wave in the gaps between metal plates located in one plane is investigated. The diffraction problem is formulated in the form of a boundary-value problem for the Helmholt.z equation with the "on metal" boundary conditions and a given asymptotic behavior on the edges of the screens. The solutions are searched for in the class of the waves propagating to infinity. The problem under consideration is reduced to an integral equation with a strong singularity of the kernel with respect to the trace of the electric field vector in the gap. The integral equation, in its turn, is reduced to an infinite system of linear algebraic equations with respect to the derived function expansion coefficients. Some singular integrals containing generalized Cliebysliev polynoms are analytically calculated.

Key words: diffraction, TE-polarized electromagnetic wave, hypersingular integral equation, generalized Cliebysliev polynoms.

Литература

1. Репин В.М. Дифракция электромагнитных воли па прямоугольном отверстии в экране // Вычислительные методы и программирование. М.: Изд-во Моск. унта, 1975. Вып. XXIV. С. 50 68.

2. Butler M.С., Umawhankar K.R. Electromagnetic Excitation of a Wire through an Aperture-Perforated Conducting Screen // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1976. V. AP-24, No 4. P. 456 462.

3. Butler M.G., Rahmat-Samii Y., Mittra R. Electromagnetic Penetration through Apertures in Conducting Surfaces // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1978. V. AP-26, No 1. P. 82 93.

4. Шаиии A.B. К задаче о дифракции па щели. Некоторые свойства ряда Шварц-шильда // Зап. пауч. семинаров ПОМИ. 2001. Т. 275. С.258 285.

5. Тумаков Д.Н., Тухвалпова, А.Р. Дифракция электромагнитной волны па щели между полубескопечпыми пластинами // Труды Рос. летней шк. «Математическое моделирование фундаментальных объектов и явлений в системах компьютерной математики» и Рос. семинара «Нелинейные поля и релятивистская статистика в теории гравитации и космологии». Казань: Фолиаптъ, 2010. С.95 104.

6. Ильинский A.C., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн па проводящих топких экранах (Псевдодифферепциальпые операторы в задачах дифракции). М.: ИПРЖР, 1996. 176 с.

7. Плелцииский И.Н., Плелцииский Н.Б. Интегральные уравнения задачи сопряжения полуоткрытых диэлектрических волноводов // Изв. вузов. Матем. 2007. Л*' 5. С. 63 80.

8. Плелцииский Н.Б., Тумаков Д.Н. Метод частичных областей для скалярных координатных задач дифракции электромагнитных воли в классах обобщенных функций. Препринт ПМФ-2000-01. Казань: Изд-во Казап. матем. о-ва, 2000. 50 с.

9. Плелцииский Н.Б. Уравнение Гельмгольца в полуплоскости и скалярные задачи дифракции электромагнитных воли па плоских металлических экранах. Препринт ПМФ-03-02. Казань: Изд-во Казап. матем. о-ва, 2003. 34 с.

10. Плелцииский Н.Б. Модели и методы волновой электродинамики. Казань: Изд-во Казап. ун-та, 2008. 105 с.

11. Бойков И.В., Добрынина Н.Ф. Приближенные методы вычисления интегралов Ада-мара. Пенза: Изд-во Пепз. гос. ун-та, 2007. 108 с.

12. Фих'теиголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2001. Т. 3. 662 с.

13. Абрамовиц A4., Cmuaau И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979. 832 с.

14. Лифанов И.К. Особые интегральные уравнения и методы их численного решения. М.: МАКС-Пресс, 2006. 68 с.

Поступила в редакцию 20.10.11

Тумаков Дмитрий Николаевич кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры прикладной математики Казанского (Приволжского) федерального университета.

Е-шаП: dtumakovQksu.ru

Тухватова Алсу Равилевна студент Института вычислительной математики и информационных технологий Казанского (Приволжского) федерального университета.

Е-шаП: ahu-tuhvatovaQyandex.ru