ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДОВ ГАЛЕРКИНА И КОЛЛОКАЦИЙ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ОТРЕЗКЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 13. № 4 (2021). С. 94-114.

УДК 519.64.7

ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДОВ ГАЛЕРКИНА И КОЛЛОКАЦНЙ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ОТРЕЗКЕ

А.И. ФЕДОТОВ

Аннотация. Для одного класса сингулярных ннтегро-дифференциальных уравнений, определенных в паре пространств Соболева с весами, обоснованы методы Галерки-па и коллокаций. При этом точное решение исходного уравнения аппроксимируется линейными комбинациями полиномов Чебышева первого рода. По методу Галеркина приравниваются коэффициенты Фурье левой и правой частей уравнения по системе полиномов Чебышева второго рода, а по методу коллокаций приравниваются значения левой и правой частей уравнения в узлах являющихся корнями полиномов Чебышева второго рода.

Выбор полиномов Чебышева первого рода в качестве координатных функций для аппроксимации точного решения обусловлен возможностью вычислять в простом явном виде сингулярные интегралы с ядром Коши от произведений этих полиномов и соответствующих весовых функций. Это позволяет строить простые хорошо сходящиеся методы для широкого класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений на интервале (-1,1).

Метод Галеркина обоснован с использованием методики Габдулхаева - Канторовича. Обоснование метода коллокаций получено как следствие сходимости метода Галеркина по методике Арнольда - Вендланда. Таким образом, доказана сходимость обоих методов, получены эффективные оценки погрешностей.

Ключевые слова: сингулярные интергро-дифференциальные уравнения, обоснование приближенных методов.

Mathematics Subject Classification: 65R20

1. Введение

Рассматривая современное состояние теории приближенных методов решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений в периодическом и непериодическом случаях, можно констатировать, что если в периодическом случае построение этой теории практически закончено, то в непериодическом случае удалось пока получить лишь отдельные частные результаты |1| |(i| для уравнений первого порядка. Причина такой ситуации, в частности, в существенном отличии свойств сингулярных интегралов с ядрами Гильберта и Коши. И если в периодическом случае системы ортогональных тригонометрических полиномов позволяют создавать и обосновывать простые вычислительные схемы для сингулярных интегро-дифференциальных уравнений любых, в том числе и дробных (см., напр., [7]), порядков, то в непериодическом случае все вычислительные схемы строятся на основе двух известных формул сингулярных интегралов от полиномов Чебышева

A.I. Fedotov, Justification of Galerkin and collocations methods for one class of singular

integro-differential equations on interval.

© Федотов А.И. 2021.

Поступила 1 ноября 2020 г.

первого и второго рода [8], поэтому решаются задачи не выше первого порядка. Исключением здесь является, пожалуй, лишь работа автора [9]1, Но и в этой работе недостаток разработанности теории приближенных методов для таких уравнений потребовал введения жестких искусственных ограничений на коэффициенты уравнения для обеспечения сходимости метода,

В данной работе, являющейся продолжением работы [6], обоснованы методы Галеркина и коллокаций для сингулярных интегро-дифференциальных уравнений значительно более широкого класса, чем рассмотренный в [6]. Обоснование метода Галеркина проведено с использованием методики Габдулхаева - Канторовича (см., напр, [10]), Метод коллокаций обоснован как следствие сходимости метода Галеркина по методике Арнольда -Вендланда [11]. Доказана сходимость обоих методов, получены эффективные оценки погрешности,

2. Основные определения и обозначения

Будем, как обычно, обозначать N множество натуральных чисел, N0 множество натуральных чисел дополненных нулем, а R множество действительных чисел. Обозначим

p(t) = (1 - t2)-1, q(t) = (1 - t2)1, t е (-1,1), весовые функции соответствующие полиномам Чебышева первого рода

Ti(t) = cos(larccost), 1е N0, te (-1,1), и полиномам Чебышева второго рода

гт/ч sin(Z arccos t) , / , ,ч

Ui(t) = ^--f, le N, te (-1,1).

sin(arccos )

Обозначим H^1 пространство Соболева порядка s + 1 e R с весом p, то есть замыкание множества полиномов |Tl}leNo относительно нормы

ч,1/2

1 , N,

Мя« = {£^+1,®2(-0} , !={;=0; (2.1)

1 1 ж(0, -1) = 1 J р(т)х(т)с(т, I, -0 = 2 J р(т)х(т)Т1 (т)с(т, 1е N.

-1 -1 В пространстве Н;+1 определим скалярное произведение

< /,д)щ+1 = £ 12(*+1)/6, -2) I, -, 1,9

С введенным скалярным произведением пространство Н;+1 становится гильбертовым пространством, причем норма (2,1) выражается через скалярное произведение

(кИя^1 = <х,х)щ+1, х € н;+1.

Обозначим Н^ пространство Соболева порядка 5 € К с весом ц., то есть замыкание множества полиномов { ^ относительно нормы

1/2

{Е 1)}

ием v / )

УК* = \Y,12sy2( 1>2П , (2-2)

хЭта статья была испорчена редакторами: из текста по непонятным причинам исключена основная теорема. Полную версию статьи можно найти на портале ResearchGate по адресу Ыйрв: //www.researchgate.net/publication/307652663.

К 1> 2) I )у{т)П1 (т^ 1 Е N.

тг

-1

В пространстве Н* также определим скалярное произведение

(1,9)

Н3

Е <*/(2) г( 2)

гем \ / \ /

1,9 еН'.

С введенным скалярным произведением пространство Н* также становится гильбертовым пространством, а норма (2,2) выражается через это скалярное произведение

Ы\щ = у/(У, у)н', У

е Н*

Всюду в дальнейшем будем полагать выполненным условие 5 > 1/2, при котором (см., напр., [12]) пространство Н* вкладывается в пространство непрерывных функций, а пространство Щ+1 вкладывается в пространство функций, первая производная которых непрерывна.

Обозначим Н^~+1'в+1 пространство функций двух переменных, которые принадлежат пространству по каждой переменной равномерно относительно второй переменной.

Для функций к е Н!^1'^1 определим

т, 1 ,Т) = 2 I р(1)к(1, т)Тт(^, т е N0,

к

(-1,1),

1

т-ый коэффициент Фурье функции к по первой переменной,

к(г,1,-1)=2 [р(Т)к(*,Т)Тг0<1т, 1е N0,

к

те (-1,1),

1

I-ый коэффициент Фурье функции к по второй переменной и

1 1

<к^т,1,1, -2) = ^ [ [р(^р(т)к(г, т)Тг(т)Тт(г)с1тсИ,

п2

11

(т, I) е N0

(I, Т) е (-1,1)2

( т, ) к

Н!^1'^1 определим равенством

Н

8+1,8 + 1

(ее

1тем0 гем0

т2(,+1)/2(.+1)к2 1 -1

(2.3)

а скалярное произведение - равенством

( , )

Н

8 + 1,8+1 -

{ Е Е т2(*+1)12(*+1)Г(т, 2,1, -2) д(т, 1,1, -2) }

1теМо гемо ^ ' ^ ' )

С введенным скалярным произведением и пространство Н*+1'*+1 становится гильбертовым пространством, а норма (2.3) выражается через это скалярное произведение

Н

8+1,8 + 1 р,р

\!(к,к)щ+

8 + 1,8+1 ,

к е Н+*+\

2

Зафиксируем п e N и обозначим

n

РпУ(i) = £y(tk)a(t), te (-1,1),

fc=i

интерполяционный полином Лаграпжа функции у e Hq по узлам

^ к

tk = cos-, к = 1, 2,...,п. (2,4)

п +1

Здесь

к=1-2--п- ie(-1-1)'

- фундаментальные полиномы соответствующие узлам (2,4), Обозначим

Qny (t) = £ y(l, te (-1,1),

отрезок ряда Фурье функции у e Hq по системе полиномов [Ui}ieN, a En(y)sq наилучшее приближение этой функции полиномами порядка не выше п — 1 по норме пространства Hq. Известно, что наилучшее приближение функции в гильбертовом пространстве доставляет отрезок ее ряда Фурье, поэтому

En(y)q = \\y — Qny IIhj , yeH-q. 3. Вспомогательные результаты

В этом разделе приведены две леммы, необходимые для дальнейшего изложения. Доказательство первой леммы имеется, например, в [13], второй - в [10].

Лемма 3.1. Обозначим D uV — линейные операторы, действующие из банахова, пространства, X в банахово пространство Y. Предположим, что оператор D обратим и выполнено условие \\V\\х\\D-1\\y< 1- Тогда оператор D + V : X ^ Y также обратим, и справедлива, оценка

»< d+v '-1'1'-- < 1 - Дв-1\|У.. •

Вновь обозначим X и Y — банаховы пространства и пусть Xn С X,Yn С Y, п =1, 2,..., их подпространства. Рассмотрим уравнения

Кх = у, К : X ^Y, (3.1)

кпхп - Уn, Kn : Xn ^ Y'n, п - 1, 2, . . . , (3-2)

где К и Kn, п = 1, 2,..., — линейные ограниченные операторы.

Лемма 3.2. Предположим,, что оператор К : X ^ Y обратим, и операторы, Kn, п = 1, 2, . . . ,

\\К - Kn\\xn^Y ^ 0 при, п ^ ж. Если, dimXn = dimYn, п = 1, 2,..., то для всех п, удовлетворяющих условию

Un = \\К-1\у\\К -Kn\\Xn^Y < 1,

приближенные уравнения (3.2) имеют единственные решения хП e Xn для, любых правых

n e Yn

\\х* - хП\\х < ^(\\у - уп\\у + Un\\y\\y),

n 1 Un

где х* = К 1у - точное решение уравнения (3.1).

4. Постановка задачи Рассмотрим сингулярное интегро-дифференциальное уравнение 1 1

х(г) + а(г)х(г) + Ь() [р(т^х(т^т + 1 [р(т)к(1,т)х(т)<1т = у(г), ге (-1,1), (4.1) к ] г-г ж] -1 -1

с условием

1

J р(т)х(т)йт = 0. (4.2)

-1

Здесь х - искомая, а а, Ь, к и у - известные функции. Будем предполагать, что функции а и Ь принадлежат пространству Щ+1, функция к принадлежит пространству Н*+1,*+1, а функция у принадлежит пространству Н*. Сингулярный интеграл будем понимать в смысле главного значения по Коши - Лебегу.

5. Анализ разрешимости Задачу (4.1), (4.2) запишем в виде операторного уравнения

Кх = Их + Ух = у, К :Х ^У, (5.1)

X = |х е Яр*+1 | ^р(т)х(т)с1т = 01 , V = Н3д,

Пх(г) = х'(г), Ух(г) = Ах(г) + Вх(г) + Скх(г), ге (-1,1),

1

Аха) = аа)хЦ), Вх(1) = Ь-^ [ Р(т)х(т)<1\

К ] т t -1

1

Скх(г) = - !Р(т)к(^, т)х(т)(Ит, ье (-1,1). -1

Теорема 5.1. Для, всех а,Ь е Щ+1 и к е Д*++1'*+1, удовлетворяющих условию и = Са\\а\\н1+1 + Сь\\Ь\\н8+1 + Сл\\к\\н8+1,8+1 < 1 >а =\(((48 + 4) + у (1 + 22(*+1)) + £

Са =1 (((4з + 4) + ^(1 + 22(*+1)) + у22* (22(*+1)(1 + 3С(2в + 2)) + 7((25 + 2) + ,

^ „ ____ ^ _ ^

ОО

С = -(1 + 22*+1)(1 + 3((2в + 2)), Сн = -(1 + 22*+1), т = £Г',

3 = 1

операторное уравнение (5.1), а, следовательно, и задача (4-1), (4-2), однозначно разрешимы при любой правой части, у еV, и верна, оценка

\\ К-1\\у^ (1 -и)-1.

Доказательство. Покажем вначале, что оператор И : X ^ V обратим, и выполняются равенства

т\х^У = \\и-1 \\У = 1.

Действительно, возьмем произвольные х £ Х и у £ У и запишем их в виде рядов Фурье в соответствующих пространствах

х(*) = £х СI, -1) т (*), у® = £У (1, 1) и(), г £ (-1,1).

гш ^ ' ¿ем ^ '

Уравнение

Их = у, И : Х ^У, в этом случае будет иметь вид бесконечной системы уравнений

К''- £> = К '• 8' '£ *

а его решением будет функция

х(*) = £ г1 у( I, ±)т г£ (-1,1).

¿ем ^ '

Из произвольности выбора элемента у £ У следует обратимость оператора И : Х ^У. Вычислим теперь нормы операторов И : Х ^ У и И-1У ^ Х. Для произвольного х £ Х

\\DxWl = £ II, -\))2 = £I^Х2 (I, -1) = ||х||^. гем ^ ^ ' ' гем ^ '

Для произвольного элемента у £ У найдем

1 \\2 ^ / Г

4-1 ||2 _ /2(«+1И 1-1^ I 1 1 1 1 _ 123^2 1 1 \ _ II„,||2

\ \ Б-1у \ \ ^ = £ / /-1у (1,1)) = £ 12°У2( 1,1)

V V / / 7 сто V /

211 " V" 2 '

гем 4 4 77 гем

Это и означает, что \ \ И \\х^у = \ \ И-1 \\ у^х = 1.

Оценим теперь норму оператора V : Х ^ У. Вновь возьмем произвольный элемент х £ Х

х(*) = £х(1, - 1)ш 1£ (-1, 1), гем ^ '

применим к нему оператор V

Vx = А.х + Вх + Оьх (5.2)

У

Для первого слагаемого найдем

|2 II__,||2 _ ' 1

\ \ Ах||£ = \\ ах\\2щ = £ т2сВ2 (т 1|

м V /

I ах 11 На = т ах тем

^ £ т2* ([ д(г) £ £ а (к, -1) X и -1) Тк(т)Т1(г)ит(г)йт тем у—1 кемо гем ^ / V /

(1 ^ 2

£ £« (к, -\)х (I, -1) / Ф)Тк(т)Т1(т)ит(т)<1т йем0 гем ^ ' ^ ' _1

Дважды применяя к суммам неравенство Коши - Буняковекого, получим

||Аг||^ ^ А £ ш- £ fc^+V (к, —2) £ Z2^I, —2)

п тем кем0 ^ ' гем ^ '

—2( S+1) 7-2(8+1)

д(т)Тк (т)Тг (r)Um(r)dr

fceMo гем

—1

4

V |а и^м k—2(s+1)l

тем кем0 гем 2

д(т)Тк (т)Т (r)Um(r)dr

1

Интегралы

д(т)Тк(т)Т(r)Um(r)dr, к Е No, l,m e N,

1

вычисляются явно. Действительно, делая замену переменных т = cos р., получим

q(r)Tk (T)Ti(r)Um(r)dT = cos kip cosí p sinmp sinpdp

—1

cos( к + 1 + m — l)pdp + cos(k +1 — m + l)pdp

o

ж

o

ж

+ J cos( к — I + m — l)pdp + J cos(k — l — m + l)pdp oo

ж ж

— J cos( к + 1 + m + l)pdp — j cos^ +1 — m — l)pdp oo

ж ж

— j cos( к — I + m + l)pdp — j cos^ — l — m — l)pdp oo

поэтому

при

и

при

m = 2,

к

q(r)Tk (т)Т (r)Um(r)dr = 8

1

l = l, 2,...,m — l, к = m — I — l; m = l, le N, к = I; m = 2, 3,..., l = m — l,m,..., к = l + l — m;

к

m Е N, le N, к = m + 1 — l; q(r)Tk (T)Tl(r)Um(r)dT = —-

8

1

m Е N, l = l, 2,... ,m +l, k = m +l — l;

1

1

1

ж

ж

ж

l

8

1

1

т £ К, 1 = т + 1,т + 2,..., к = 1-т - 1; т,1 £ К, к = т + I + 1.

к, т

оценка (5,3) примет вид

/ те т— 1

\ \ Ах || ^ ^ ^ \ \ а|| ^ \ \ х|| УУт2-Г^Ы -I- 1)—^ + £ Г4^

\т=2 г=1 гем

оо оо

+ £ £ т2Ч—2(^+1)(/ -т +1)—2(^+1) + ££т2*Г;^+1)(т + /- 1)" т=2г=т—1 тем гем

т+1 те

+ £ £т2*Г^+^т +1 - г)-2(^+1) + £ £ т2*Г2^ -т - 1)

тем г=1 тем г=т+1

2

+ £ £ т2°Г^+^т + I + 1)—22(5+1)] тем гем )

^1 \ \ а|| ^ \ \ х|| ^ (С(4в + 4)

16

+ Е ((т -Т^.) + Ет2* Г2"+')(.» -I- 1)—2"■■+")

т=2 V ' гем /

+ £ £т25/—2(5+1)(т + / - 1)—2(5+1)

тем гем

+ Е ((тТ^ + Ет2-Г2"+')(т -/ + 1)—2(-+1))

тем V ' гем /

+ £ Ет28^2(5+1)(т + I + 1)—2(*+1))2

тем гем

1 ( ^2

1,1 '12 II II2 / !■( , А\ I о2(«+п "

1 ( 2 те

^ ^ \ \ а|| ^ \ \ х|| Ы С(4 в + 4) + 2 2(в+1) 1- + £ £т2Ч—2(-+1)(т -I- 1)—2(-+1)

V т=2 гем

2

+ £ £т25/—2(5+1)(т + / - 1)—2(5+1) + ^ + £ £т2Ч—2(^+1)(т -I + 1)—2(^+1)

6

тем гем тем гем

+ £ —2(5+1)(т + I + 1)—2(^+1) )

тем гем )

2

Используя неравенства Гельдера и треугольника, оценим выражения под знаками сумм. Первая оценка выглядит следующим образом:

1 /

2 1 2 2

\ \ Ах||2у ^ ^ \\ а||^ \\х||^ (((4 в + 4) + (1 + 22(в+1))^

те / т \2("+1) + т ( т — 1 )

те ' т \2(5+1^ (т - 1 -I + /)2(*+1)

т - 1! ^ /2(^+1) (т - I - 1 )2(*+1) т=2 4 7 гем ^-'

т \2(5+1^ (т - 1 + / - /)2(^+1)

+ т ( тт. — 1 )

ч т - 1 ^ /2(^+1)(т + I - 1)2(^+1)

тем 4 7 гем 4 '

+ Е'»"Ч тт+^) Е ""

2( +1)

(т +1 -I + /)2( 5+1)

хт +11 ^ /2(5+1)(т + 1 - ¿)2(^+1) тем 4 7 гем ^-!-'

+ V т-*(2(*+1^ (т + 1 + 1 - 02(*+1) ^ 2

+ ^ Ц +11 ^/2(.+1) (т + 1 + 1)2(*+1)1 . тем 4 у гем ^ ' '

Вторая оценка имеет вид:

( т - 1 - + )2( +1)

~ ( т N 2(*+1)

Ит ( т - 17 ^г2(*+1) (т -I- 1)2(*+1) т=2 4 7 гем ^-'

^ 22(*+1) ^ т" 222*+1 ( ^ /-2(*+1) + 1 + ^ (т -I- 1)-2(*+А т=2 \гем т-1=гем /

2

^ 24*+3 V т-2(1 + 3((2в + 2)) ^ 24*+3 — (1 + 3((2в + 2)),

6

т=2

-2 ^ т \ ) у^ (т

^ I т- 1/ ^

-

2( *(т - 1 + 1 - 1)2(*+1)

т - 1! ^ /2(*+1) (т + 1 - 1)2(*+1) тем ем

^ 22(*+1)£.^(2$ + 2). 6

Следующие оценки таковы:

Е'»-2^)2(*+1) Т. (т

тСИ V / 7СТКТ

(т +1 -I + 1)2(а+1)

хт +1 ^ /2(*+1)(т + 1 - 1)2(з+1) тем 4 7 гем ^-!-'

1 Е т-2(^ ^-2(*+1) + 1 + ^ (т -I + 1)-2(*+1) )

тем \гем т+1=гем /

и

^ 22^ V т-2 (V /-2(*+1) + 1+ ^ (т -1 + 1)-2(*+1)

т+1=г ем

^ 22 *+1 ^(1 + 3((28 + 2)), 6

т \2(*+1^ (т + 1 + 1 - /)2(*+1)

т 2( +1) ^ т \т +1) ^

т +1 ^ /2(*+1)(т + 1 + 1)2(*+1)

тем ем

^ 22(*+1) ^ т-2 /-2(*+1) - ^(т + I + 1)-2(*+1) ) тем ем ем

^ 22(*+1)^(28 + 2). 6

Окончательно имеем:

\\Ах||у ^Са\\а\\н^+1 \\х||н5+1, (5.3)

= и...... ^ . ,

4

у у

Са =4 (((48 + 4) + ^(1 + 22(*+1)) + у22* (22(*+1)(1 + 3С(2в + 2)) + 7((2з + 2) + 1)^

Так как

1 [ р(т)х(т)с1т 1

ж I т-г ^ \ 2

_1 гем

5м < -1)

7еКГ V '

I, -п иг(V, ¿е (-1,1),

то квадрат нормы второго слагаемого правой части равенства (5,2) представляется следующим образом

\ \ Вх|12у = ^ £ т23 (/ а(г) £ £& (к, - 2 )х(1, - 2) Тк (тП (т)ит(т)йт

тем > 1-см„ 7см V /V /

1

йемо гем

4

п2

Е т23 ( Е Е"ф, -2) х(I, -2) / (г)и1(т)ит(т)(1т

тем \^ем0 гем ^ ' ^ ' —1

Вновь, дважды применяя к суммам неравенство Коши - Буняковекого, найдем

\ \ Вх||2У ^4 Е т25 Е к2(5+1)^2 (к, -2) Е Г2^*2 (I, -2)

тем йемо ^ ' гем ^ '

1

2

£ £г2(5+1)/-2(5+1) I / д(т)Тк(г) щ(т)ит(т)йт йемо гем \Ч

4

О \ \ \ \ Н"5 + х \ \ \ \

п2

\ \ х|| ит, т2' Е £г2('+1);

\ \ х|'2

т

тем &ем0 гем 2

-2(8 + 1) 7-2(8+1)

Интегралы

д(т)Тк(г) ^(т)ит(т)(!т I .

1

J д(т)Тк (т)и1(т)ит(т)с1т = J сое кр вт/рр вттр^р -1 0

ВЫЧИСЛЯЮТСЯ явно

1

сов( I - т + к)рйр + сов(/ - т - к)рйр

0

<р

0 ж

- / сов(/ + т + к)рйр - сов(/ + т - к)рйр

к £ Ко, 1,т £ К,

сов( к - т + 1)рйр = п,

т £ К, I = 1, 2,..,т, к = т - /;

сов(—к — т + 1)рйр = п, т £ К, I = т,т +1,..., к = 1 - т;

сов(—к + т + 1)рйр = п т,1 £ К, к = т +/;

1

1

ж

ж

ж

4

ж

ж

ж

и равны нулю при остальных значениях индексов к,1 и т, поэтому оценка (5,4) примет вид

1

(т

тем =1

те \

+ Е т2* Т(т - г)-2(*+1)/-2(*+1) + ^ т2* £(т + /)-2(*+1)/-2(*+1)

тем = т тем ем

(Т + £

тем ем

1 I ^ ^ т2(*+1)

^\\ьнн^1 \\х11 н^+М У+ Е^Е (т_ /)2(в+1)/2(в+1)

\ тем '<=м 1-'

т2(*+1)

тем ем

(т + /)2(*+1)/ 2( *+1)

^„2 ,, ,,2 (т - 02(*+1) + /2(*+1)

2

«4\ин;+. 1|х||н;+Л 22*+' Е т-2 Е Л2(.+1)/2(.+1)

4 тем гем 1-'

+ Ет-2 Е

(т + /)2(*+1) - I2(*+1^ 2

( т + )2( +1) 2( +1)

тем ем

^ 1 \\ь 1|2н8+1 \\х||н+А ^ + 22*+^т-2 ^/-2(*+1) + - /)-2(Ч

(у + 22*+1 Е т-2 (^/-2(*+1) + У(т - г)-2(*+1)]

6 тем ем ем

Е т-2 (£ /-2(*+1) - £(т + /)-2(*+1А тем ем ем

Ь||нг+1 \\х|| нг+^ у + 22*+16(1 + 3((2в + 2)) + -((28 + 2)J

1 / 2 \ 2 ^4№ 11нг+1 \\х|1 н5+1 (у(1 + 22*+1)(1 + 3С(2в + 2))) .

И, окончательно, оценка второго слагаемого правой части равенства (5,2) будет иметь вид

^2

\\Вх\\У ^ Сь\\ЬIIн8+1 \\х||н8+1, Сь = -(1 + 22*+1)(1 + 3((2з + 2)).

Для оценки нормы третьего слагаемого правой части равенства (5,2) заметим, что разложение

Г

к(1, т)= к, -2) Тк(т), (I, т) е (-1,1)

кем0 ^ '

2

позволяет представить Скх в виде

Скх(г) = , I, - 1)х ГI, -1 ] , ге (-1,1). гем ^ '

Теперь квадрат нормы третьего слагаемого можно оценить

/ 1

4 ^ Оо Г , , 1\ЛЛ 1

\\Скх\\2у = \ ^т2* П д(т) £к(т,1, - I, - ^ М^г

тсм \ «Л 7см V / \ /

тем 1 ем

2

^ А £т2* -1) £Щ(к, -1,1, -1) (т)ит(т)й т

" тем уем ^ ' йем0 ^ ' -1

< Ет2* Е (2(а+1)х2 (', -1) Е г2(а+1) Е к2(,+1)л2 (к, -1,1, -1

тем гем ^ 7 гем &емо ^

(1 > 2

[ д(т)Тк(т)ит(т)<1т 1

^""2 \\х||\Щ\£ £ т2^-2(5+1) ( / д(т)Тк(т)ит(т)йт п Р'Р тем&емо у^

Интегралы

1

У д(т)Тк(т)ит(т)с1т, к £ Ко, т £ К, -1

равны 4 при т = 1, к = 0 и при т £ К, к = т - 1 и равны - ж при т £ К, к = т +1, При остальных значениях индексов они равны нулю, поэтому

2

\ \ СНх\\2у ^4 \\ х||^.+1 \\ Щ \\ ^+,+1 ( 1 + £ т2(т - 1)-2(^+1) + £ т2*(т + 1)-

V тем тем /

(1+(тГт Г+(т+т П

\ тем у-7 тем \ 1 / /

^ 1 \ \ х|1 V \ \ Щ \ \ ^ (1 + "б2 22(^+1) + у

^1 \ \ х|1 ^ \ \ Щ \ \ ^^ у (1 + 2-+1))'

^ \\ х||\\ Щ \\ ^ [ 1 + £ т-2 ^ ) + 2

гем ^-

г2 \ 2

то есть

"2

\ \ СНх\\У ^ Сн\\хIIяг+1\\Щ\\я.+1,+1, Сн = -(1 + 225+1).

^р 11 ' Н 6

Собирая полученные оценки вместе, найдем, что

\ \ у \ \ х^ С0\\аII Я.+1 + Сь\\&11я^+1 + Сн\ \Щ\\ и по лемме 3,1 для всех а.;Ь и Щ таких, что

и = Са\\а\\н.+1 + СьЩ\н;+1 + Сн\\Щ\\я^1,.+1 < 1,

оператор

К = И + V, К : Х ^ У, обратим и обратный оператор К-1 ограничен

\ \ К-1 \\ у^ (1 -и)-1. Теорема 5,1 доказана, □

Условия обратимости оператора К : Х ^ У, указанные в теореме 5,1, являются лишь достаточными. На самом деле, класс задач типа (4,1), (4,2) с обратимыми операторами значительно шире. Тем не менее теорема 5,1 необходима для того, чтобы предположение об обратимости операторов в теореме 6,1 следующего раздела было не пустым.

6. Метод Галеркина

Зафиксируем п е N. Приближенное решение задачи (4,1), (4,2) будем искать в виде полинома

хп(1) = I, - ге (-1,1),

неизвестные коэффициенты {х (I, - 2) }]=1 которого найдем из системы линейных алгебраических уравнений метода Галеркина

( Кхп,ит)н! = (у ,ит)щ, т =1, 2,...,п. (6.1)

Теорема 6.1. Пусть оператор К : X ^ V задачи (4-1), (4-Ю обратим и обратный оператор К-1 ограничен. Тогда для всех п е N 'таких, что

ип =\\К-1\\у^х (4\\анн

= \\ К-1 \\ 4 \\а||н.+1 (22(*+1) + (22(*+1) + 1)2((2 ^ + 2))

1 (22(*+1) + 1)С(2 , + 2) + 2 \ \ к \ \ н^122(*+1))п-1 < 1

си,стем,а, уравнений (6.1) имеет единственное решение {х* (I, - 2) }'П= 1; и приближенные решения

хП(*) = 5>*(1, -1)™, ^ е (-1,1),

сходятся, к точному решению х* = К 1у задачи, (4-1), (4-Ю по норме пространства X со скоростью

\\х* -хп\\х < (Еп(у)1 + ип\\у\\у).

п 1 - ип

Доказательство. Зафиксируем п е N обозначим Хп = 8рап{Тг}п= 1 подпространство пространства X ъVп = врап{^г }П= 1 подпространство пространства V размерности п. Теперь систему уравнений (6.1) можно записать в операторной форме в виде

Кпхп Уп, Кп : ^ ^ Vп, Кп QпК, Уп ^пУ.

Оценим близость операторов К и Кп па Xп. Для этого возьмем произвольный элемент хп е Xп и оценим разность Кхп - Кпхп по норме пространства V

\\Кхп - К,пхп\\у =\\Кхп - QпКXп\\Y (6.2)

^ \\ Ахп - QпАXп\\Y + \\Вхп - QпВXп\\Y + \\Окхп - QпGкXп\\Y.

Для первого слагаемого правой части (6.2) найдем

\ \ Ахп -QпАхп\\у = Е т2захп2 (т, 2|

т=п+1 ^ '

4 £ т2* ( / д(т) £ £ а (к, -1) ^п (I, -1) Тк(т)Тг(т)ит(г)йг

п т=п+1 кем0 г=1 ^ ' ^ '

£ т2* ( £ £ а (к, -^ хп(I, -^ I я(т)Тк(т)Тг(т)ит(т)йт

т=п+1 укем0 г=1 ^ ' ^ ' -1

1

Дважды применяя к суммам неравенство Коши - Буняковекого, как и при доказательстве теоремы 5,1, получим

4

\ \ Ахга -QnАxn\\2 ^ — \\а||^\хга\\^+1 (6.3)

(1 4 2

„

д(т)Тк (т)Т, (т)ит(т)с1т

1

Интегралы 1

J д(т)Тк (т)Т1(т)ит(т) ¿т, к £ К0, 1 = 1, 2,...,п, т = п + 1,п + 2,..., -1

вычислены при доказательстве теоремы 5,1, Они равны | при

т = п + 1, п + 2, . . . , = 1, 2, . . . , п, к = т - - 1;

т = п + 1, = п, = 0;

т = п + 1, п + 2, . . . , = 1, 2, . . . , п, = т + - 1;

и равны - 8 при

т =п + 1,п + 2,..., I = 1, 2,...,п, к = т - I + 1;

т =п + 1,п + 2,..., I = 1, 2,...,п, к = т + 1 + 1.

Для остальных значений индексов к, I и т эти интегралы равны нулю. Таким образом, оценка (6,3) примет вид

1 16'

те п

т

\т=п+1 ¿=1

\ \ Ахп - QnАxn\\у \\а||2 .+1 \\хп\

£ £т2*Г^+^т-!-!)-2^^ + (п + 1)2^-2(5+1)

=п+1I=1 те п

+ £ £т25/-2(5+1)(т + 1 - 1)-2(*+1)

т=п+1 ¿=1 те п

+ £ £т25/-2(5+1)(т -I + 1)-2(*+1)

т=п+1 ¿=1

те п \ 2

+ £ £т25/-2(5+1)(т + / + 1)-2(*+1)

т=п+1 1=1 /

1

^ \ \ а|| ^+1 \ \ хп \ \ ^.+1 (22(^+1)(п + 1)-2

+ £ т_2(_т_\2(-+1) £ (т - 1 + / - /)2(^+1)

т - 1 ^ /2(^+1) (т -I - 1)2(*+1)

т=п+1 4 7 г=1 4-'

(^^ (т - 1 + 1 - г)2(-+1)

+ ^ \т - 1) ^/2(^+1)(т + / - 1)2(^+1)

т=п+1 у 7 г=1 4 '

-2 ^Ч2^ ™ (т +1 -I + г)2(*+1)

+ т \т + 1/ 2^/2(^+1)(т -/ + 1)2(*+1)

т

т=п+1

т= п+1

V ~2(\(т +1 + 1 - 1)2(з+1) у т ( т +1) ^ /2(*+1) (т + 1 + 1)2(*+1))

= п+1 =1

2 т ( т

+ У т~2

^ 1 \ \ «И н-1 \ \ хп \ \ н^+1 (22(*+1)(п + 1)-2

те / п п

+ 24 *+3 ^ т-2 £ /-2(*+1) + У(т -I- 1)-2(*+1)

т= п+1 =1 =1

те / п п

+ 22(*+1) ^ т-2 £/-2(*+1) - £(т + 1 - 1)-2(*+1) т=п+1 \г=1 г=1

те

+ 22(^ £ т-2 £ /-2(*+1) + - I + 1)-2(*+1)

т=п+1 \г=1 г=1

/ „ „ ЧЧ 2

+ £ т-2 £/-2(*+1) - £ ( т + + 1)

т=п+1 \г=1 г=1

1

1те

^ 1 \\«IIнр+1 \ \ хп \ \ н-1 22(*+1)(п +1)-2 + 24(*+1)((2в + 2) £

т= п+

те те \ 2

+ 22*+3С(2 в+ 2) ^ т-2 + ((2в + 2) ^ т-2

т=п+1 т=п+1 /

^ 1 \ \ «II н8+1 \ \ хп \ \ н8+1 (22(*+1) + (22(*+1) + 1)2С (2 в + 2))2п-2. 16 н н

Окончательно имеем

1

\ \ Ахп - QпАхп\\Y ^ 4\\а||нг+1 \\хIIн+ (22(*+1) + (22(*+1) + 1)2((а2 + 2))п-1.

Квадрат нормы второго слагаемого правой части равенства (6,2) представим следующим образом:

\ \ Вхп -QпВхп\\2г = 4 £ т2* I / д(т) ь(к, - Л Хп (I, - 2) Тк (тЩ (т)ит(т)с1т

п т=п+1 у^ кем0 г=1 ^ ' ^ '

74Т £ т2* (££ ь(к} - 2)3п(1, - 2) [я(т)Тк (г)и1(г)ит(г)аг т=п+1 укем0 г=1 ^ ' ^ ' -1

Дважды применяя к суммам неравенство Коши - Буняковекого, найдем

\ \ Вхп -QпВхп\\2у <4 £ т2* £ к2(*+1)Ь2(к, -2)

т=п+1 кем0 ^ 7

£ 1 2(*+1)-п( 1, -1) ££ к-2(*+1) I -2(*+1)

=1 2 кем0 =1

2

Г д(т)Тк(тШт)ит(т)С1Т | (6.4)

2

4те

.+1 \\ хп \\ ^ Е ^Г2^-2("1)

т=п+1 йемо 1=1

1 \2 [я(т)Тк(т)и1(т)ит(т)<!т I .

Интегралы 1

J д(т)Тк (т)иг(т)ит(т)(1т, к £ К0, 1 = 1, 2,...,п, т = п +1,п + 2,..., -1

также вычислены при доказательстве теоремы 5,1, Они равны ж при

т = п + 1, п + 2, . . . , = 1, 2, . . . , п, к = т - ;

и равны - 4 при

т = п + 1, п + 2, . . . , = 1 , 2, . . . , п, = т + .

к, т

оценка (6,4) будет иметь вид

те п

\ \ Вхп -QnВxn\£ ^Г\\Ь||^+1\\хп\\^+1 £ т2 £ /2(5+1)(т - /)-2(^+1)

\т=п+1 1=1

п

+ £ т2* £/-2(5+1)(т + /)-2(*+1)

т=п+1 1=1 /

(п

Е т-2 £

т,=п+1 ¿=1

+ Е т-2Е

т

т=п+1 1=1

1,„„о ,, „о / ^ о А т2(^+1)

^ 4 \ \ ^Ия-1 \ \ хп \ \ Н.+1 Е т^/2(.+ 1)(т_ П2(в+1)

-

2

те п т2(.+1)

I 2( 5+1)(т + /)2( 5+1)

т=п+1 ¿=1 4 '

(те / п п \

2-+1 £ т2 £ /-2(^+1) + £(т - /)-2(^+1)

т=п+1 \г=1 г=1 )

те п п

£ т-2 £/-2(^+1) - £(т + /)-

1=п+1 \ I=1 г=1

2

)-2( +1)

^ 4 \ \ ь 11^+1 \ \ хп \ \ ^+1 (22(^+1))п-1С (2 ^ + 2) + п-1С (25 + 2))2

-1 \ \ Ь 11я-1 \ \ хп \ \ ^+1 (22(5+1) + 1)2п-2(2(2в + 2).

Окончательно имеем

\ \ Вхп - QnВxn||y ^ Г\\Ь||н.+1\\хп\\н.+1 (22(5+1) + 1)С(2в + 2)п-1. Для оценки третьего слагаемого правой части (6,2) заметим, что разложение

¡1(1, г) = £ Щ и к, -2) Тк(г), (I, г) £ (-1, 1)2,

йемо ^ '

2

позволяет представить функцию Скхп в виде двойного ряда

ахп(г) = £ £¡{к,-1,1,-1)хп(¡,-2)Тс(ь), 1£ (-1,1). &емо 1=1 ^ / V /

Теперь квадрат нормы третьего слагаемого правой части (6,2) можно оценить

2'

_^ ———————2 1

\ \ Огхп^пОгхп\\у = £ т2Огхп (т,1)

т=п+1

= 4 Е т28 ( / д(т) Щ (к, -1,1, -1) хп (/, -1 (т)ит(т)ёт

" т=п+1 у-1 йемо 1=1 ^ / V /

= 4 £ т2* (ЕЕ Щ (к, -1 Л -1 )хп (г, -1) / 5(г)Тк(т)М^т

" т=п+1 уемо 1=1 ^ ' ^ 7 -1

<"42 £ т.2- £ ^«хп2 -1 Г2(«) £ (к, -1,1, -1)

т=п+1 г=1 ^ 7 г=1 &емо ^ 7

(1 N 2

[ д(т)Тк(т)ит(т)йт 1

^"42\\хп\\яИ\Щ\\я2+р1-+1 Е Е к-2<8+1) (К(г)Тк(т)ит(т)йт

' т=п+1йемо \_1

Интегралы

1

У д(т)Тк (т)ит(т)с1т, к £ К0, т = п + 1, п + 2,..., -1

вычислены при доказательстве теоремы 5,1, Они равны ж при т = п+1, п+2,..., к = т-1, и равны - ж при т = п + 1, п + 2,..., к = т + 1 При остальных значениях индексов к т

1те

\ \ Скхп -QnGhxn\& ^ 1\\хп\\^+1\\Щ\Е т2(т - 1)-2(*+1)

\т=п+1

2

+ £ т2*(т + 1)-2(*+1)

т=п+1

1 ( ^ / т ^2('+1) ^1 \\ хп \\ 2я.+1\\Щ\\2„.+1,+Л V т-2' т

I ^те -2 ^ т \

4 йр,р \ ' \т— 1)

\т=п+1 ^ 7

те / ч2(«+1)\;

=-+1т V т + 1) )

(=п+1 /

2( +1) 2

2 т + > . т~2 ,

т + 1

1

Окончательно имеем

^ 4 \\ хп \\ ^.+1 \\ Щ\\ ^.+р1..+1 ( 22(^+1) + 1)2п"2.

\ \ Огхп - QnGhХnW\Y ^ 1\\Щ\\я^1;+1\\хп\\яг+1 (в2(5+1) + 1)п"1

2

Собирая вместе полученные оценки, найдем

1

\ \ Кхп - Кпхп\\у ^ 1\\а11 нг+1 (22(*+1) + (22(*+1) + 1)2С(28 + 2))

+ 1 \\ъ||нр+1 (22(*+1) + 1)((28 + 2) + 2\\к\\нй1.8+1 (22(*+1)^ п-1\\хп\\х.

Это означает, что операторы Кп при п ^ го равномерно сходятся к оператору К с оценкой

^п\\Хп^Г ^ 4\\аИн8

\\К - Кп\\х^у ^ 1\И нг+1 (22(*+1) + (22(*+1) + 1)2С(25 + 2))

+1 (22(*+1) + 1)((2а + 2) + 2\\к\\н+1,8+1 (22(*+1)^ п-1.

1,„„ _____ 1

2

п

'4 \ \ «Ь8

ип =\\К-1\4\\а Инг+1 (22(*+1) + (22(*+1) + 1)2С (25 + 2))

+ 1 \ \ ЪЦн^+1 (22(*+1) + 1)((2* + 2) + 2 \\к\\н^1,8+1 (22(*+1)^ п-1 < 1

система уравнений (6,1) имеет единственное решение {хЩ* (I, -1) при любой правой части уп еУп, и приближенные решения

п е п

п

х*п^) = £хп* (I, - 1)Тг№ е (-1,1),

сходятся к точному решению X* задачи (4,1), (4,2) с оценкой

\ \ х* -хп\\х < \\К\-1\^^(Еп(у)1 + ип\\у\\у)

1 и

п

Теорема 6,1 доказана, □

7. Метод коллокаций

Вновь зафиксируем п е N. Приближенное решение задачи (4,1), (4,2), как и по методу Галеркина, будем искать в виде отрезка ряда Фурье

¿^1,- 2) г=1 4 у

хп(^ = }]хп[ I, -2) Т(г), ге (-1,1),

но его неизвестные коэффициенты {х^^I, -1) }п=1 найдем теперь по методу коллокаций из системы уравнений

Кхп(Ь к )=у(Ь к), к =1, 2,... ,п,

по узлам (2,4),

Обозначая т = Кхп - у, можно метод Галеркина записать в виде системы уравнений

1

2 У д(т)т(т)иг(т)(1т = 0, 1 = 1, 2,...,п, (7.1)

-1

а метод коллокаций в виде системы уравнений

т(г к ) = 0, к =1, 2,...,п. (7.2)

Аппроксимируем интегралы (7,1) интерполяционными квадратурными суммами 1 п

2 г 2 v^ пк

- q(r)Pnw(r)Ui (r)dr к )U( к) sin2—-, 1 = 1, 2,...,п,

п J п + 1 f—^ п +1

-1

и обозначим

_1 к=1

1 п

2 г 2 пк

П = - д(т)т(тЩ (т)йт--щ (4 )8т2^—, 1 = 1, 2,... ,п,

п ] п +1 п +1

остаточные члены этих квадратурных сумм. Из чисел {гг)П=1 образуем полином

п

Пп1»(1) = ^г1и1(1), 1е (-1,1). 1=1

Теперь запишем систему уравнений метода Галеркина для функции т — Япт

1

2! д(т)(т — Ппт)(т)иг (т)с1т = 0, 1 = 1, 2,...,п. (7.3)

-1

Систему уравнений (7.3) назовем модифицированным методом Галеркина для задачи (4.1), (4.2).

Лемма 7.1. Метод коллокаций (1-2) и модифицированный метод Галеркина (7.3) эквивалентны в том смысле, что равенства (1.2) выполняются тогда и только тогда, когда выполняются равенства (7.3).

Доказательство. Равенства (7.3) представим в виде

1 п

2 Г 2 пк

- я(т)(т — Кпт)(т)иг(^т = к Щ (I к )8\п2—-, 1 = 1, 2,..., п.

п ] п + 1 к= п +1

Теперь равенства (7.3) следуют из равенств (7.2) тривиально.

Пусть выполнены равенства (7.3). Полиномы Щ, I = 0,1,...,п, линейно независимы. Каждый из них однозначно определяется своими значениями в точках Ьк, к = 0,1,... ,п, поэтому векторы и](Ьк), к = 0,1,... ,п, 1 = 0,1,... ,п, образуют линейно независимую систему векторов, что означает невырожденность матрицы ( и(Ьк))Пк=1; поэтому однородная система уравнений

Y>(íк)Ui(tк) sin2 = 0, 1 = 1, 2,... ,п,

¿—' гп 4-

к=1 П +1 имеет только нулевое решение

, , 2 пк

w( Ьк) sin -= 0, к = 1, 2,...,п.

п + 1

Так как

sin2^^ = 0, к=1, 2,... ,п, п + 1

то

w(t к ) = 0, к =1, 2,...,п. Лемма 7.1 доказана. □

Теорема 7.1. Пусть оператор К : X ^ У задачи (4-1), (4-2) обратим и обратный оператор ограничен. Тогда, для всех п € N 'таких, что

1

ип = --- < -

1 — ип 2

система уравнений метода коллокаций (7.2) имеет единственное решение {ХП* (I, — 1) }П=1? и приближенные решения

± Е*(I-

<т = > ;хп*[ I, - 1)г,(«), t€ (-1, i),

сходятся, к точному решению х* задачи, (4-1), (4-Ю со скоростью

211 К-1 II

I I х* - хЩ* ^ 11 , (Еп(у)1 + un\\y\\Y).

1 - Un У

Доказательство. Систему уравнений метода коллокаций (7,2) запишем, следуя лемме 7,1, в виде системы уравнений (7,3) модифицированного метода Галеркина, В операторной форме система уравнений (7,3) будет иметь вид Qnw = QnRnw. Делая обратную замену w = Kxn - у, получим уравнение

QnKxn = Qn(y + Rnw)

метода Галеркина для уравнения

Кх = у + Rnw. (7,4)

По теореме 6,1 оператор Kn = QnK обратим в паре пространств (Xn,Yn), и погрешность приближенного решения хП уравнения (7,4) по методу Галеркина, а, следовательно, и задачи (4,1), (4,2) по методу коллокаций, оценивается неравенством

I I х* - хПНх ^ IIK 11 (Еп(у + Rnw)sq + Un||у + Rnw\Iy), w = КхП - у. (7.5)

n 1 - un n

Так как Rnw есть полином степени не выше п - 1 то Е(у + Rnw)q = En(y)sq. Коэффициенты п, I = 1,2,... ,п — это первые п коэффициентов Фурье функции w - Pnw, поэтому Rnw = Qn(w -Pnw), Но Pnw = 0 значит Rnw = Qnw. Теперь оценку (7.5) можно записать в виде

I I х* - хПИ* ^ (En(y)q + UnbIIY ) + ЕУ^ UnI ^п(КхП - у)\\y

1 Un 1 un

^(En(y)q + UnbIIY) + \\^-1\Iy^UnI\К\\^y\\хП - х*\\x. 1 - Un 1 - U

п

I I К-1 11 Y^x 11 К 11 M ^ 1

получим оценку

Un = -:-

1 Un 2

1 11 х* - хп\\х ^ \u(En(y)q + UnbIIY).

2 1 Un

И окончательно найдем

2 11 К-1 11 y

I I х* - хП\\х ^ '' ^ (En(y)q + UnbIIY). n 1 - Un

Теорема 7.1 доказана. □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. J. Frankel. A Galerkin solution to a regularized Cauchy singular integro-differential equation // Quart. Appl. Math. 2, 245-258 (1995).

2. A.A. Badr. Intgro-differential equation with Cauchy kernel // J. Сотр. Appl. Math. 134, 191-199 (2001).

3. M.R. Capobianco, G. Criscuolo, P. Junghanns. A fast algorithm for Prandl's integro-differential equation //J. Сотр. Appl. Math. 77, 103-128 (1997).

4. A.I. Fedotov. Justification of a Galerkin method for regularized Cauchy singular integro-differential euations // Quart. Appl. Math. 3, 541-552 (2009).

5. A.I. Fedotov. Justification of the Galerkin method for one class of singular integro-differential equations on the interval // Lobachevskii J. Math. 29:2, 73-81 (2008).

6. А.И. Федотов. Об асимптотической сходимости полиномиального метода коллокаций для одного класса сингулярных интегро-дифференциалъных уравнений // Уфимск. матем. журн. 12:1, 43-55 (2020).

7. A.I. Fedotov. On the asymptotic convergence of the polynomial collocation method for singular integral equations and periaodic pseudodifferential equations // Archivum mathematicum (Brno). 38, 1-13 (2002).

8. И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Мир, Москва (1985).

9. A.I. Fedotov. Convergence of the quadrature-differences method for singular integro-differential equations on the interval // Mathematics. 2, 53-67 (2014).

10. Б.Г. Габдулхаев. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Изд-во Казан, унта, Казань (1980).

11. D.N. Arnold, W.L. Wendland. On the asymptotic convergence of collocation methods // Math, of Сотр. 41:164, 349-381 (1983).

12. М.Тейлор. Псевдодифференциальные операторы. Мир, Москва (1984).

13. М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко, Я.Б. Рутицкий, В.Я. Стеценко. Приближенное решение операторных уравнений. Наука, Москва (1969).

Александр Иванович Федотов,

Казанский национальный исследовательский

технический университет им. А.И. Туполева,

ул. Карла Маркса, 15,

420111, г. Казань, Россия

E-mail: fedotovkazan@mail.ru