Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

УДК 517.392

И. В. Бойков, А. И. Бойкова, М. А. Сёмов

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА

Аннотация.

Актуальность и цели. Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений являются активно развивающимся направлением вычислительной математики. Это связано с многочисленными приложениями гиперсингулярных интегральных уравнений в аэродинамике, электродинамике, физике и с тем обстоятельством, что аналитические решения гиперсингулярных интегральных уравнений возможны лишь в исключительных случаях. Помимо непосредственных приложений в физике и технике, гиперсингулярные интегральные уравнения первого рода возникают при приближенном решении граничных задач математической физики. В настоящее время отсутствуют обоснования численных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений при различных особенностях на концах сегмента [-1,1], на котором задано уравнение. В данной работе предложен и обоснован метод механических квадратур решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода при всех возможных особенностях на концах сегмента [-1,1].

Материалы и методы. В работе используются методы функционального анализа и теории приближения. Рассмотрены три известные класса решений гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода: класс решений, обращающихся в нуль на обоих концах сегмента [-1,1]; класс решений, обращающихся в бесконечность на обоих концах сегмента [-1,1]; класс решений обращающийся в нуль на одном конце сегмента [-1,1] и в бесконечность на другом. Приближенные решения уравнений ищутся в виде полиномов Чебышева первого и второго рода, а обоснование метода механических квадратур проводится на основе общей теории приближенных методов.

Результаты. Построены три вычислительные схемы решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода. Каждая вычислительная схема предназначена для решения гиперсингулярного интегрального уравнения с заранее заданными особенностями решений на концах сегмента [-1,1]. В работе получены оценки быстроты сходимости и погрешности методов.

Выводы. Построены и обоснованы вычислительные схемы приближенного решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода, определенных на сегменте [-1,1]. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач аэродинамики (уравнение конечного крыла), электродинамики (дифракция на различных экранах), гидродинамики (теория подводного крыла), при решении уравнений математической физики методом граничных интегральных уравнений.

Ключевые слова: гиперсингулярные интегральные уравнения первого рода, метод механических квадратур.

I. V. Boykov, A. I. Boykova, M. A. Semov

APPROXIMATE SOLUTION OF HYPERSINGULAR INTEGRAL EQUATIONS OF FIRST KIND

Abstract.

Background. Approximate methods of hypersingular integral equations solution are an actively developing field of calculus mathematics. It is associated with multi-

Physical and mathematical sciences. Mathematics

11

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

ple applications of hypersingular integral equations in aerodynamics, electrodynamics, physics and with a circumstance, when analytical solutions of hypersingular integral equations are possible only in exceptional cases. Besides direct applications in physics and engineering, hypersingular integral equations of first kind occur at approximate solution of boundary problems of mathematical physics. At the present time there are no substantiations of numerical methods of hypersingular integral equations solution at various features on ends of a segment, on which an equation is set up. The present work suggests and substantiates a method of mechanical quadratures of solution of hypersingular integral equations of first kind at all possible features on ends of the segment [-1,1].

Materials and methods. The research included the methods of functional analysis and approximation theory. The authors considered three known classes of solution of hypersingular integral equations of first kind: a class of solutions that turn to zero on both ends of the segment [-1,1]; a class of solutions that turn to infinity on both ends of the segment [-1,1]; a class of solutions that turn to zero on one end of the segment [-1,1] and to infinity on another. Approximate solutions of equations are sought in the forms of Chebyshev’s polynomials of first and second kinds, and the method of mechanical quadratures is substantiated on the basis of the general theory of approximate methods.

Results. The authors have built three computing circuits for solving hypersingular integral equations of first kind. Each computing circuit has been designed for solving hypersingular integral equations with preset features of solutions on ends of the segment [-1,1]. The work describes estimates of the methods’ rapidity of con-veregence and errors.

Conclusions. The authors have built and substantiated computing circuits for approximate solution of hypersingular integral equations of first kind, determined on the segment [-1,1]. The obtained results may be used in solving problems of aerodynamics (finite wing equations), electrodynamics (diffraction on various screens), hydrodynamics (hydrofoil theory), in solving mathematical physics equations by the method of boundary integral equations.

Key words: hypersingular integral equations of first kind, method of mechanical quadratures.

Методы конечных и граничных элементов являются наиболее широко используемыми методами в механике, аэродинамике и других областях физики и техники. Альтернативой этим методам является метод граничных интегральных уравнений, позволяющий на порядок уменьшить размерность исходной задачи. Применение метода граничных интегральных уравнений к задачам механики разрушения, механики композитных материалов, аэродинамики, электродинамики [1-15] приводит к гиперсингулярным интегральным уравнениям первого рода:

Здесь h(t,т) - известное ядро, f (t) - известная правая часть. Неизвестная функция x(t) подлежит определению.

Приближенным методам решения уравнений вида (1) посвящено большое число работ, в которых предлагаются и исследуются различные методы.

Введение

(1)

12

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

В работах [1, 4, 8, 11-14, 16] рассмотрено применение проекционных методов к приближенному решению уравнений вида (1) в предположении, что х( ±1) = 0.

В данной работе предложены вычислительные схемы приближенного решения уравнений вида (1) в предположении, что:

а) х(±1) = 0;

б) х(±1) = га;

в) х(1) = га , х(-1) = 0 или х(-1) = га, х(1) = 0, и дано их обоснование в весовых пространствах.

1. Приближенный метод решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода на классе функций, обращающихся в нуль на концах интервала интегрирования

Рассмотрим уравнение

Кх = Г1 х(Т). dT + Г1 h(t,т)х(T)dт = f (t). (2)

J-1(x-t )2 J-1

Рассмотрим случай, когда решение уравнения (2) ищется в классе функций, обращающихся в нуль на концах сегмента [-1,1].

Приближенное решение уравнения (2) будем искать в виде функции ,------------------- N N

хм(t) = V1 -12 Zхк(Y-1 Z(i + 1)-lUi(Vk)Ui(t)), (3)

k=0 i=0

где Ui (t) - ортонормированные с весом л/1 -12 полиномы Чебышева второго рода степени i; хк - неизвестные значения; Vk - узлы полинома Un+1(t);

Yk = Z^cU^Vk).

Аппроксимируем функцию f (t) интерполяционным полиномом [11]

N

fN (t )= Z f (Vk )(Y -1 ZU (Vk )U (t))

N

k=0

i=0

Подставляя XN (t) и fN (t) в уравнение (2) и применяя к нему метод коллокации по узлам Vj, приходим к следующей системе линейных алгебраических уравнений:

N ( 1 N ^ 1 ----- , N 1

ZXk -п— ZPi(Vk)Ui(Vj) + Г 1h(Vj,TW1 -t2 — Ui(Vk)Ui(T)dT

k=0 l Yki=0 j J-1 j Yki=0i +1

N 1 N

= Z f (Vk)—ZUi (Vk)U(Vj), j = 0,1,...,N. (4)

k=0 Y k i=0

Регулярный интеграл в формуле (4) вычисляем по квадратурной формуле Гаусса.

Physical and mathematical sciences. Mathematics

13

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

В результате получаем вычислительную схему метода механических квадратур:

N N N i ^

-nxj + 2alh(Vj,Vl)2“Z“-r(Vk№l = /(VjX j = 0,1,^,N. (5)

l=0 k=0 Y ki=0? + 1

Обозначим через X пространство функций вида x(t) = 1 -12 9(t), где 9(t) - функции, имеющие производные первого порядка, удовлетворяющие условию Гельдера Hа, 0<a<1. Норма в пространстве X определяется формулой

||x(t)|| = ||9(t)|Cr-1.11 +\\d9(t)/dt||Cr-1.11 + sup 1 ф (tl) ф в2)|, 0<p< a. (6)

t1 *t2 \11 -12 Г

Через Xn обозначим подпространство пространства X, состоящее из функций Xn (t) = Vl -12 ф n (t), где ф n (t ) = 2 N=0aktk - множество

полиномов до N-го порядка. Норма в пространстве Xn определяется формулой (6).

Через Y обозначим пространство непрерывных функций, определенных на сегменте [-1; 1], с нормой

Ц| = max |y(t^ + sup J-У-1)—У(„2) |, 0< P < a.

-1<t<1 t1 ^2 \11 -12 lP

N

Через YN обозначим пространство полиномов вида yN (t) = 2 akt

k=0

с нормой

Hn (t )||

max |yN(t^ + suP?1 *t2 -1<t<1 1 2

\ yN(t1) - yN(t2)\

0 < в < a.

Через Pn обозначим проектор, действующий из Y в Yn по формуле yN (t ) = Pn [ y(t )1, а из пространства X в Xn - по формуле

Pn [ x(t )]= Р]

N

л/ъ

■t2 ф(t)

Vi

t2 Pn [ф(0]. Здесь Pn [ y (t)] - оператор

проектирования на множество интерполяционных полиномов степени N по узлам полиномов Чебышева второго рода.

Нетрудно видеть, что оператор K действует из пространства X в пространство Y .

Известно [17], что ||Pn|| < CN, где C = const.

Будем считать, что существует линейный обратный оператор K 1, действующий из Y в X . Отметим, что для дальнейшего построения теории достаточно существование левого или правого обратного оператора.

14

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

Вначале применим к уравнению (2) метод коллокации:

f\ XN (Т)2 dт + \Xmj, т) xN (%)d т = f(Vj), j = 0,1,..., N, (7)

J-l(T-^- )2 J-1

где p j - узлы полинома Чебышева второго рода Un+i(t),

N ( N

Xn (t ) = 'l1 -t2 ¥ N (t), ¥n (t) = Z X* Y-1Z (i +1) lUi (^k )Ui(t)

k=0 V i=0

Представим систему (7) в операторной форме:

Л

Р

N

(т-t)

Используя формулу [4]

f1 Xn(т2 dт+ f1 h(t,т)xn(T)dт

J-1( т — t)2 J-1

= Pn [ f (t)].

(8)

j-1UUN^dт = -n(n + 1)UN (t), n > 0,

(т-t)

перепишем систему (8) в следующем виде:

KnXn = f , XN (т2 dт + Pn f h(t,т)Xn (т)dт J-1( т-t)2 J-1

Оценим норму разности

= Pn [ f (t)].

(9)

f (h(t, т) - hN (t, т)) X^)d т

-1

, где hN (t, т) -

полином наилучшего равномерного приближения степени N функции h(t,т) по переменной t.

Очевидно,

f-1(h(t, т) - hN (t, т)) x(т)dт

<

< 2max

h(t,т) - hN (t^)

max

C[-1,1]

T?t

\x(т)| < 2EN (h(t,

где EN (h(t, т))= sup EN (h(t,т)), EN (h(t,т)) - наилучшее равномерное

-1<т<1

приближение функции h(t,т) (при фиксированном т) по переменной t полиномами N степени.

Повторяя ход доказательства обратной теоремы Бернштейна [18], можно показать, что

f-1(h(t, т) - hN (t, т)) x(^dт

<

< 2 max

h(t, т) - hN (t, т)

max

|x (т)|

< CNвEN (h(t,

Physical and mathematical sciences. Mathematics

15

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Здесь через С обозначены константы, не зависящие от N.

Из общей теории приближенных методов [19] следует, что при N

таких, что q

= CNв

K

-1

eN (h(t,т))Лn < 1, система уравнений (9) однозначно

разрешима, оператор Kn непрерывно обратим и справедлива оценка

* * X - Xn

<

CNР| K-1| (EN (h(t,т)))Лn,

(10)

* * л II II

где x и xn - решения уравнений (2) и (9) соответственно, Лn = Pn -константа Лебега.

Метод механических квадратур решения гиперсингулярного интегрального уравнения (2) в операторной форме имеет вид

P

N

f1. Xn(Т)2 dт + f1 V1 -т2PN [h(t,t)^n(т)]

J-1(T-t )2 J-1

= Pn [f (t)]. (11)

Так как интеграл f %N (т) dт является полиномом степени N, то J-1( т-t)2

P

N

f1 -XN^r) d т = f1

^-1(т- )2 •'-1(т-

Xn (т)

d т.

(т-t)

Воспользовавшись этим тождеством и свойствами квадратурных формул Гаусса, уравнение (11) представим в виде

KnXn = f\ Xn (т2 dт+Pn f\V1 -т2Pn [h(t,т)]n (т)dт ^(т- )2 J-1

= Pn [ f (t)].

Оценим норму разности операторов KnXn и KNxN в пространстве yn :

||KNxN -KNXn||c[-11] = PN |-У1-т2 (h(t,т)-Pv[h(t,т)])^(т)dт

<

С[-1,1]

< max

h(t, т) - PN [h(t, т)

41-

-1

< max

■т2 у N (^d т

/т <

<

< 2max

h(t, т) - PN [h(t, т)] f-1|yn (т)|d 1 h(t, т) - pN [h(t, т)] ]y nIC[-1-1] < CEN(h(t, т))(1+Л n xn||.

Так как KnXn - KnXn является полином N-го порядка, то из обратной теоремы Бернштейна [18] следует, что

||KNxN - KNXn|| < CEN(h(t,т))(1 + ЛN)Nв||Xn|I.

16

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

Из теоремы Банаха [20]

Я\~ C К 1 Ecn (h(t, т) )(1 + ^ N )<1,

следует,

оператор

что при N таких, что К^ непрерывно обратим и

справедлива оценка

* ___*

xN - xN

< CNв EN (h(t, т))Х n ,

(12)

где Xn - решение уравнения (10).

Из оценок (10) и (12) следует, что

x - xn

< C

К

-1

(eN (h(t,т)) + EN (h(t,т)))N 1+в.

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 2.1. Пусть оператор К непрерывно обратим, функция h(t,т) непрерывно дифференцируема по обеим переменным, функция f (t) непрерывна. Тогда при N таких, что

C

(eN (h(t,т)) + eN (h(t,т)))N 1+в <1,

система уравнений (11) имеет единственное решение и справедлива оценка

'xN

< C

К

-1

(eN (h(t,т)) + eN (h(t,т)))N 1+в,

* ___*

где x и Xn - решения уравнений (2) и (11).

Рассмотрим еще одну вычислительную схему приближенного решения уравнения (2) на классе функций, обращающихся в нуль на концах сегмента [-1,1].

Приближенное решение будем искать в виде функции

N-1

xn(t) = ^1 -12фn(t)^1 -12 ^XkUk(t)

k=0

Коэффициенты { Xk}, k = 0,1,..., N -1, определяются из системы алгебраических уравнений, которая в операторной форме имеет вид

xn (т) (т-t)2

d т +

т2 PN [h(^, т^ (т)]d т

Pn [ f (t)],

(13)

где Pn - оператор проектирования из пространства C[— 1,1] непрерывных функций на множество интерполяционных полиномов степени N по узлам полиномов Чебышева второго рода. Верхний индекс у оператора Р^ означает, что интерполяция проводится по переменной т .

Повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 2.1, приходим к следующему утверждению.

Теорема 2.2. Пусть оператор К непрерывно обратим, функция h(t,т) непрерывно дифференцируема по обеим переменным, функция f (t) непрерывно дифференцируема. Тогда при N таких, что

Physical and mathematical sciences. Mathematics

17

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

C

Nв (ЁТ(h(t,т)) + ЁN(h(t,т)))lnN < 1,

система уравнений (13) однозначно разрешима и справедлива оценка

* __*

x - Xn

< C

K

-1

Nв (ЁТ )(h(t, т)) + EN )(h(t, т))) ln N,

где x и Xn - решения уравнений (2) и (13).

2. Приближенный метод решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода на классе функций, обращающихся в бесконечность на концах интервала интегрирования

Рассмотрим приближенное решение гиперсингулярного интегрального уравнения (2) в предположении, что ищется решение, обращающееся в бесконечность на концах интервала интегрирования.

Обозначим через X пространство функций вида x(t) =

1

Vl -1

^(t).

Функции 9(t) имеют непрерывные производные на [-1,1], удовлетворяющие условию Гельдера На с показателем а,0 < а < 1. Норма в пространстве X определяется формулой

|ф^1) -Ф^2)|

llx(t)ll lb(t)l C[-1;1] +№(t)llc [-1;1] + sup

t1 ±t2 111 - t2 |в

0 < в < a.

1

Через Y обозначим пространство функций вида y(t) =---------т-y(t)

1 -12

с нормой

(t )|| = | l¥(t)

C [-1,1]

+¥ (t

C[-1,1] + supt1 *t2

l¥ (t1)-¥ (t2)l

1 t1 - t2

в

0 < в < a.

Через Xn обозначим пространство функций вида

Vi-

1 N-1

Xn(t) = I 2 ФN(t), ФN(t)= ^aktk, с нормой

k=0

||xN (t)|| = ||xN (t)|C[-1,1] 41 xN (t)|C[-1,1] + Supt1

l x'n(tj) - x'N(t2) ^2 |t1 -12 |в

, 0 < в < a.

1

Через yn обозначим пространство функций вида yN (t) =----2¥n (t),

1 -1

N-1

¥ n (t )= ^ aktk, с нормой

k=0

||yN (t )\\ = \ |V N (t ^ C[-1,1] + SuP?1

Фи

| ¥ N (t1)-¥ N (t2)l

| t1 -12

в

0 < в < a.

18

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

Будем считать, что оператор K действует из пространства X в Г и имеет правый ограниченный обратный оператор Kr 1 действующий из Y в X.

Обозначим через LN оператор, проектирующий пространство Y на пространство YN по формуле

LN [У(t)]= ln

Ln [y(t)],

1 -1

где y(t) е С[-1,1]; Ln [y(t)] - оператор, проектирующий непрерывные функции на множество интерполяционных полиномов степени N по узлам полиномов Чебышева первого рода.

Известно [18], что |Pn|| ^ C ln N.

Приближенное решение уравнения (2) будем искать в виде функции

Xn (t)

I 2 ФN (t)

V1 -12

N-1

£ (t),

k=0

где T’k (t) - ортонормированные с весом 1^1-12 полиномы Чебышева первого рода.

Коэффициенты {ak} определяются из системы линейных алгебраических уравнений, представленной в операторной форме уравнением ( 11 У

f dx+ \-r^ LN [h(t, т)ф n (T)]dT

,-> -t )2 -W1 -12 У

L

N

(1 -12)

= Ln [(1 -12) f (t)],

(14)

где Ln [y(t)], y(t) е C[-1,1] - оператор проектирования на множество интерполяционных полиномов степени N по узлам полиномов Чебышева первого рода.

Воспользовавшись следующей формулой [4, 8]:

Г T’n (T)dT

-1 (т -t )2лД - т2

= <

п

и -1

2

0, N = 0,1;

n -1 - . . n +1 - . .

UN (t) + —— UN-2(t)

N = 2,3,..

и квадратурной формулой Гаусса, уравнение (14) можно представить в виде 1 ( 1 ^ KnXn = (1 -12) f ^2 + LtN (1 -12) f-T^=LN[h(t,T)]0N(T)dT

-i(T -t )2 I -iV^ ,

= Ln [(1 -12) f (t)].

(15)

Покажем, что при N таких, что

q = C

Nв(EN (h(t,t)) + EN(h(t,T)))lnN <1,

Physical and mathematical sciences. Mathematics

19

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

система уравнений (15) имеет единственное решение xn и справедлива оценка

x (t) - xN

< cv

в

K-1

( eN (h(t, t)) + EN (h(t, t)) ) ln N,

где x (t) - решение уравнения (2).

Вначале проведем обоснование метода коллокации для уравнения (2). Метод коллокации в операторной форме имеет вид

KNxN = (1 -12) f —N 2 dT +

-1 (т-t )2

+I

N

(1 -12) f h(t, t) xN (T)d t

-1

= IN [(1 -12) f (t)].

(16)

Оценим норму разности 1

||KxN - KNxn||

(1 -12) f h(t, t) xN (T)d t-

L

IN

-1

(1 -12) f h(t, t) xN (T)d t

<

-1

<

1

(1 -12) f (h(t, t) - hN (t, t)) xN (T)d t

-1

+

+

it

ln

1

(1 -12) f (h(t, t) - hN (t, t)) xn (T)d t

-1

-11 +12,

где hN (t, T) - полином наилучшего равномерного приближения степени (N - 2) по переменной t к функции h(t,т).

Нетрудно видеть, что

I1 < CN в EN-2(h(t, т))|| xn| |;

12 < CNв|\In\\EN-2(h(t,т))||xN|,

и, следовательно,

\\KxN - KNxv|| < CN^\I^EtN-2(h(t,t))||xN I^

здесь EN (h(t, t))- max EN (h(t, t)).

1<t<1

Из последнего неравенства и общей теории приближенных методов для обратимых справа операторов [21] следует, что при N таких, что q <1,

, ,, K-1

существует правый обратный оператор Kn r с нормой

KN,r

< Kr . Здесь 1-q

20

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

q = CNв Krl\ Ln||eN-2(h(t, т)) Так как оператор KN - конечномерный, то существует линейный обратный оператор KN с той же нормой.

Оценим норму разности ||Kn - Kn 11.

Очевидно,

||KNxN - KNXn||

тt LN

1

(1 -12) f (h(t, т) - ZN [h (t, т]) xn (T)d т

-1

<

< CN^ZNHn (h(t, т))| Xn| |, (17)

где EN = max Ejv(h(t, т)).

-1<t<1

Пусть существует такое N**, что при N > N** неравенство

CN в

KN

\\Ln\\eN (h(t, т))<1.

выполняется

Из теоремы Банаха [20] следует, что

*

x

xN

< CNв(|Ln\\EN(h(t,т)) +1\Ln\\EN(h(t,т)),

где x и Xn - решения уравнений (2) и (15) соответственно.

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 3.1. Пусть оператор K обратим справа, функция h(t,т) непрерывна по обеим переменным, функция f (t) непрерывна. Тогда при N таких, что

CN в

K

-1

(ExN(h(t, т)) + ExN(h(t, т))) ln N <1,

система уравнений (14) имеет единственное решение и справедлива оценка

* ___*

xN - xN

< CN

K

-1

(EN (h(t, т)) + EN (h(t, т))) ln N,

где x и Xn - решения уравнений (2) и (14). Замечание. Так как

г тк d т

_f1V1 -т2 (т-t)2

= 0, к = 0,1,

то при решении уравнения

г x(тdт ^(т-t )2

f (t), -1< t <1,

необходимо располагать дополнительной информацией в виде двух функционалов от решения.

Physical and mathematical sciences. Mathematics

21

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

3. Приближенный метод решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода на классе функций

1/2

с весовым коэффициентом ((1 ± t) / (1 +1))

В данном разделе исследуется приближенный метод решения гиперсингулярных интегральных уравнений вида (2) в предположении, что решение ищется в классе функций, имеющих весовые множители

ffl(t ) = ((1 ± t )/(1 +1 ))1/2.

1/2

Для определенности будем считать, что ffl(t) = ((1 -1) / (1 +1)) .

Приближенное решение уравнения (2) будем искать в виде функции

xN (t)

■Л-7

V1+7

N

Z XkTk (tX

k=0

где Tk (t), k = 0,1,..,N, - полиномы Чебышева первого рода,

ортонормированные с весом (1 — x2) 1/2.

Прежде чем приступать к построению вычислительной схемы, преобразуем интеграл

1 -т Тп(т)

1 + т (T-t)2

d т.

Обозначим через Tn (t) полиномы Чебышева первого рода

Tn(t) = cosn(arccost).

Известна [22] следующая рекуррентная формула

Tn+1 (t) = 2tTn (t) - Tn-1(t), n = 1,2,., где T)(t ) = 1, T1(t ) = t.

Полиномы Tn (t) и Tn (t) связаны формулами [22]:

Tn(t) = \/-Tn(t), n = 1,2,.;

V n

To(t) = -lr To(t ) = -^, vn vn

отсюда

Tn+1 (t) = 2tTn (t) - Tn-1 (t), n = 2,3,., T2(t ) = 2tT1(t)-4iTo(t),

тогда

1 fT-~ N

jv ^( z xkTk(т))

-r 1+ T k=0

d т

(т-t )2

1 1 - N

J-j—M Z XkTk (т))

-^/1 -т2 k=0

d т

(т-t )2

22

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

1 1 N , 1

|-г4< I (х))г^ - S 1~Ч

-n/l-Т2 *=0 (т-0 _п/1 -т2

N 1

л 'г т (

d т

k=0

N 1

г 1 * (Т) dT 1^2x f 1

Ixk \ I 2Tk(т) , ч2 2 ^IXk \ I 2 Jk+1VV, .

к=0 -W1 -т1 2 (т- )2 2 к=1 -iV1 -т2 (т—)

Tk+1(т)

N1

- j I Хк\-j-5 Tk-1( т)

d т

k=2 -

xi /2 ^"“2 То(т)

d т

(т-t)2 4/2 J^/T

(т-t )2

x0

J

d т

^-^1 -т2 (т-t)2'

Известны [4, 8] формулы:

J

T« (^d т

п/1 -т2( т-t)2

J

0, и = 1,2,.

? • • • ?

= 1 л Г и -1

и + L

2 I 2 Un (t) + ~^“Un-2 (t) |,и ^А-. 1 -t2 v 2 2

2d т

1 л/i-т2( т -1 )2

0, и = 0,1,.;

n-2

п Zentk ,к = 2,3,., l=0

где

0, и - к = 2га +1

и - к -1

el = 1 (к +1)

л/л г Г и - к

и - к = 2га,

га = 1,2,.,Г() - гамма-функция. Следовательно,

I (t ) = ■

1

1-t

N

I Хк

к=2

к -1

2 г?*-(t)+~+— и^к-2 (t)

1 N Г к ? к + 2 ?

2 Iх* I -2Uк+1(t) + _^_Uк-1(t)

'к=1

N

•к=3

-11Хк I -^U?k-1(t) + 2г?к-3(t)

1-t

I1(t).

21

Таким образом, ^(t) является полиномом (N +1) степени, зависящим от N неизвестных параметров х*, к = 1,.,N.

Physical and mathematical sciences. Mathematics

23

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Подставим функцию xn (t) в уравнение (2), приравняем левые и правые части в N узле , k = \ ,2,..,N +1, являющемся корнями полинома Чебышева первого рода степени (N +1) и вычислим регулярный интеграл по квадратурной формуле Гаусса.

В результате получаем следующую систему уравнений:

N N

I(Vk) + Yaih(Vk, Vi) 2 XjTj (v ) = f(Vk ),k = 1,., N +1. (18)

i=0 j=0

Здесь аг- и Vi, i = 1,..,N +1, - коэффициенты и узлы квадратурной формулы Гаусса с весом ->/(1 -1)/(1 +1).

Замечание. Корни полинома Чебышева первого рода выбраны в качестве узлов метода коллокации, так как они имеют наименьшую константу Лебега.

Система (18) имеет размерность (N +1) х (N +1), для ее решения применим стандартные численные методы.

Рассмотрим случай характеристического уравнения, моделирующего ряд задач аэродинамики [1]:

1

п

j

-1

x( т)

(т-t )2

d т = f (t).

(19)

Решение уравнения будем искать в виде функции

XN (t 2 XkT k (t).

k=0

Подставив функцию Xn (t) в левую часть уравнения (19), имеем

1 f xN (т)

П j

п-1( т-t У

d т = I (t) = •

1 -t2

-I1(t),

I1 (t) является полиномом (N +1) степени, зависящим от N неизвестных коэффициентов Xk, k = 1,2,...,N, причем слагаемые с коэффициентом Хо в выражение I1 (t) не входят. Для нахождения коэффициента Xo необходимо ввести дополнительное условие на решение. В качестве дополнительного условия можно положить

1

j | x(t) | dт = у, у = const.

-1

Тогда метод коллокации для решения уравнения (19) имеет вид

N N

I(Н ) + 2aih(^k,vi) 2XjTj(vi) = f (^k ), k = 1,.,N;

i=0 j=0

24

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

1

J | xN (т)| dт = у. (20)

-1

Система (20) имеет размерность (N +1) X (N +1) и к ней применимы

стандартные численные методы.

Список литературы

1. Лифанов, И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент / И. К. Лифанов. - М. : Янус, 1995. - 520 с.

2. Вайникко, Г. М. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения / Г. М. Вайникко, И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский. -М. : Янус-К, 2001. - 508 с.

3. Erdogan, F. Numerical solution of singular integral equations / F. Erdogan,

G. D. Gupta, T. S. Cook // Mechanics of Noordhoff / G. G. Sih (Ed.). - 1973. -Vol. 1. - P. 368-425.

4. Kaya, A. C. On the solution of integral equations with strongly singular kernels / A. C. Kaya, F. Erdogan // Quart. Appl. Math. - 1987. - Vol. 45 (1). - Р. 105-122.

5. Martin, P. A. On boundary integral equations for crack problems / P. A. Martin, F. J. Rizzo // Proc. R. Soc. A421. - 5th ed. - London, 1989. - P. 341-355.

6. Martin P. A. End - point behaviur of solutions to hypersingular integral equations / P. A. Martin // Proc. R. Soc. A432. - London, 1991. - Р. 301-320.

7. Schulze, G. W. Periodic cracking of elastic coatings / G. W. Schulze, F. Erdogan //

J. Solids. Struct. - 1998. - Vol. 35(28-29). - Р. 3615-3634.

8. Chan, Y.-S. Integral equations with hypersingular kernels-theory and applications to fracture mechanics / Y.-S. Chan, A. C. Fannjiang, G. H. Paulino // International Journal of Engineering Science. - 2003. - Vol. 41. - P. 683-720.

9. Gil, A. On a hypersingular equations of a problem for a crack in elastic media / A. Gil, S. Samko // Fraction Calculus and Applied Analysis. - 2010. - Vol. 13, № 1. -P. 1-8.

10. Samko, S. On a 3D-Hypersingular equation of a problem for a crack / S. Samko // Fraction Calculus and Applied Analysis. - 2011. - Vol. 14, № 1. - P. 20-32.

11. Бойкова, А. И. Об одном классе интерполяционных полиномов / А. И. Бойкова // Оптимальные методы вычислений и их применение. - Пенза : Изд-во ПензГТУ, 1996. - С. 141-148.

12. Mahiub, M. A. Numerical solution of hypersingular integral equations / M. A. Mahiub, N. M. A. Nik Long, Z. K. Eshkuvatov // International Journal of Pure and Applied Mathematics. - 2011. - Vol. 69, № 3. - P. 265-274.

13. Mandal, B. N. Applied Singular Integral Equations / B. N. Mandal, A. Chalrabarti // CRC Press. Science Publishers. - Enfield : New Hampshire, USA, 2011. - 264 p.

14. Feng, H. Numerical solution of a certain hypersingular equation of the first kind /

H. Feng, X. Zhang, J. Li // BIT Numer. Math. - 2011. - Vol. 51. - P. 609-630.

15. Сизиков, В. С. Обобщенный метод квадратур решения сингулярного интегрального уравнения и вычисления сингулярных интегралов / В. С. Сизиков // Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем : сб. ст. IX Междунар. конф. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2014. - С. 48-54.

16. Хубеджи, Ш. С. О численном решении гиперсингулярного интегрального уравнения первого рода / Ш. С. Хубеджи // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем (20-22 мая 2015 г.) : сб. ст. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2015. - С. 134-138.

17. Сеге, Г. Ортогональные многочлены / Г. Сеге. - М. : ГИФМЛ, 1962. - 500 с.

Physical and mathematical sciences. Mathematics

25

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

18. Натансон, И. П. Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. - М. ; Л. : ГИФМЛ, 1949. - 688 с.

19. Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. -М. : Наука, 1984. - 750 с.

20. Люстерник, Л. А. Элементы функционального анализа / Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. - М. : Наука, 1965. - 540 с.

21. Бойков, И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2004. - 316 с.

22. Суетин, П. К. Классические ортогональные многочлены / П. К. Суетин. - М. : Наука, 1976. - 382 с.

References

1. Lifanov I. K. Metod singulyarnykh integral’nykh uravneniy i chislennyy eksperiment [Method of singular integral equations and numerical experiment]. Moscow: Yanus, 1995, 520 p.

2. Vaynikko G. M., Lifanov I. K., Poltavskiy L. N. Chislennye metody v gipersingulyarnykh integral’nykh uravneniyakh i ikh prilozheniya [Numerical methods in hypersingular integral equations and applications thereof]. Moscow: Yanus-K, 2001, 508 p.

3. Erdogan F., Gupta G. D., Cook T. S. Mechanics of Noordhoff 1973, vol. 1, pp. 368425.

4. Kaya A. C., Erdogan F. Quart. Appl. Math. 1987, vol. 45 (1), pp. 105-122.

5. Martin P. A., Rizzo F. J. Proc. R. Soc. A421. 5th ed. London, 1989, pp. 341-355.

6. Martin P. A. Proc. R. Soc. A432. London, 1991, pp. 301-320.

7. Schulze G. W., Erdogan F. J. Solids. Struct. 1998, vol. 35 (28-29), pp. 3615-3634.

8. Chan Y.-S., Fannjiang A. C., Paulino G. H. International Journal of Engineering Science. 2003, vol. 41, pp. 683-720.

9. Gil A., Samko S. Fraction Calculus and Applied Analysis. 2010, vol. 13, no. 1, pp. 1-8.

10. Samko S. Fraction Calculus and Applied Analysis. 2011, vol. 14, no. 1, pp. 20-32.

11. Boykova A. I. Optimal'nye metody vychisleniy i ikh primenenie [Optimal methods of calculation and application thereof]. Penza: Izd-vo PenzGTU, 1996, pp. 141-148.

12. Mahiub M. A., N. M. A. Nik Long, Eshkuvatov Z. K. International Journal of Pure and Applied Mathematics. 2011, vol. 69, no. 3, pp. 265-274.

13. Mandal B. N., Chalrabarti A. CRC Press. Science Publishers. Enfield: New Hampshire, USA, 2011, 264 p.

14. Feng H., Zhang X., Li J. BITNumer. Math. 2011, vol. 51, pp. 609-630.

15. Sizikov V. S. Analiticheskie i chislennye metody modelirovaniya estestvennonauchnykh i sotsial’nykh problem: sb. st. IX Mezhdunar. konf [Analytical and numerical methods of modeling natural-scientific and social problems: proceedings of IX International conference]. Penza: Izd-vo PGU, 2014, pp. 48-54.

16. Khubedzhi Sh. S. Matematicheskoe i komp’yuternoe modelirovanie estestvennonauchnykh i sotsial’nykh problem (20-22 maya 2015 g.): sb. st. [Mathematical and computer modeling of natural-scientific and social problems (20-22 May 2015): collected articles]. Penza: Izd-vo PGU, 2015, pp. 134-138.

17. Sege G. Ortogonal’nye mnogochleny [Orthogonal polynomials]. Moscow: GIFML, 1962, 500 p.

18. Natanson I. P. Konstruktivnaya teoriya funktsiy [Constructive theory of functions]. Moscow; Leningrad: GIFML, 1949, 688 p.

19. Kantorovich L. V., Akilov G. P. Funktsianal’nyy analiz [Functional analysis]. Moscow: Nauka, 1984, 750 p.

20. Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elementy funktsional’nogo analiza [Elements of functional analysis]. Moscow: Nauka, 1965, 540 p.

26

University proceedings. Volga region

№ 3 (35), 2015

Физико-математические науки. Математика

21. Boykov I. V. Priblizhennoe reshenie singulyarnykh integral'nykh uravneniy [Approximate solutions of singular integral equations]. Penza: Izd-vo PGU, 2004, 316 p.

22. Suetin P. K. Klassicheskie ortogonal'nye mnogochleny [Classical orthogonal polynomials]. Moscow: Nauka, 1976, 382 p.

Бойков Илья Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Бойкова Алла Ильинична кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Сёмов Михаил Александрович аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Boykov Il'ya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street,

Penza, Russia)

Boykova Alla Il'inichna

Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Semov Mikhail Aleksandrovich Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

УДК 517.392 Бойков, И. В.

Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода / И. В. Бойков, А. И. Бойкова, М. А. Семов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. - № 3 (35). - С. 11-27.

Physical and mathematical sciences. Mathematics

27