Решение гипергеометрического дифференциального уравнения в вырожденном случае Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С. М. КИРОВА

Том 226 1976

РЕШЕНИЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ВЫРОЖДЕННОМ СЛУЧАЕ

В. Е. КОРНИЛОВ (Представлена кафедрой высшей математики) Гипергеометрическое дифференциальное уравнение

, г(1-г)р±+[е-(а + Ь+1)г]%*-аЬи~0 (1)

аг2 ах

относится к вырожденному случаю тогда, когда одно из чисел а, Ь, с — а, с — Ь — целое [1]» стр. 99.

Сводка полных решений уравнения (1) в вырожденном случае дана в справочной математической литературе [1], стр. 82—85, где в сводной таблице приведено 29 случаев, когда вырожденное решение является рациональной функцией или функцией вида

й1(г) = ^х(1 -*)»Ра(г), (2)

где рп(г) — многочлен степени п такой, что рп{0)^0 и/?„(1)=^0 ([1], стр. 81.)

В случаях 1—4 упомянутой таблицы второе линейно-независимое решение представлено функцией вида

их = Р (1 + т, Ь\ с; г), с ф 0, — 1,... (3)

В настоящей статье изучается вопрос о представлении функции вида (3) посредством комбинаций рациональной функции и функции вида (2) с неполной бета-функцией [2], стр. 308:

/41 -М, Ь; с; г) =

г

/41, Ь + т; с\ г) = ~ 1) Г г2 (1 - с > 1. (4)

0

Ввиду того, что в остальных случаях 5—29 приведенной в справочнике [1] таблицы вторыми решениями являются частные случаи функции типа (3), то и вообще второе решение дифференциального уравнения (1) является комбинацией функции (4) с рациональной функцией и функцией вида (2) или решением будет одна из этих функции. При аналитическом продолжении некоторые решения содержат логарифмы, такие решения также могут быть получены путем вычисления интегралов вида (4).

1. В статье [3] получена следующая формула: F ( 1 + m, b; с\ z) —

С-1&, Г^1 (Ь-К)т+Р

2(-1 Г-1 Cm 2

(1 -z)"

+

(1 LPû (Ь-с + т~к+\)р+г

УЦт F (-m, 1—6; c-b — m- 1 — z)-JP(l, b + m; c\ z);

с — Ьф1,...,т. (5)

Применяя к последней функции равенства (5) формулу (4), по-

лучим:

F(1 + да, b-, с\ г) =

m

^(-D^C V

-к-1

(.b — к)т+р

(Um^i" ^о (Ь-с + т~к+\)р+1

(Ь)я(с-1)г*~<

(1 -zy

+

_l--v/mv--LLi--Fi—m, 1 -b\ с — b — m; 1 — z)X

^ (l)m (1- 2)^+1-г

X —t)b+m-°dt\ с — ¿?¥= 1,...,/и; c> 1.

(6)

Полученное равенство (6) является представлением функции (3) посредством неполной бета-функции.

Если с—6 = р=1,. ..,т; то ввиду [1], стр. 113, (2) исходная функция будет следующей:

+ 6; г) -(1 - г)'-«-1(р, &+/>-!»-1; г), (7)

и к функции, расположенной в правой части равенства (7), уже применимы формулы (5) и (6).

Если с = сх—р, 1<СС\С2, р= 1, 2,... то функция (4) или последняя функция равенства (5) сначала преобразуется согласно следующей формуле [4], стр. 17, (6):

р- 1

{Ci-P)K \1 -Z]

+ (-1У

(Ci — p — b — m\ (Ci - P)p

F{ 1, b + m; z),

(8)

a затем к последней функции равенства (8) можно применить формулы (4) и (6). В случае с=р= 1,..., т+1 функция (3) ввиду равенства (7) будет функцией вида (2),

Наконец в том случае, когда функция (4) имеет параметр с = = 1 +р = m + 2,..., то ввиду равенства (8) и очевидного равенства Z7 (1, ft + 'm; 1; z) = (1 — z)~b~m окончательно получим:

F( 1, 6 +m; 1+/?; *) = (-!)* (1)" ^ ~

1 Р-1

-ГгД«-1)

«(1

(1 -Ь-т)р т)к ( z

1-2

1 _ (1 -г)Ь+т

-, р = т+ 1,... (9)

к=0 (^)к

2. Для аналитического продолжения интегралов типа (4) и (6) необходимо их сначала преобразовать к интегралам с наименьшими по абсолютной величине показателями степени подынтегральных функций. Такие преобразования в общем случае сделаны в статье [41 формулы (9) — (14).

7*.

99

Аналитическое продолжение при условии 0 < 8 < 1, 0 < с < 1, ввиду [1], стр. 115, (33), (34) следующее:

г 1 г

/ = — = с.) + \ {\ - ty~Ыt ~

о 1

• ' г

= -р7)Гв(е' 1-0-?)+ л. (Ю)

00 .

Если О<0<1, 0<;< 1 и 1 <8 + <;<2, то ввиду [4] аналитическое продолжение интеграла / в смежности с бесконечностью следующее:

г г

/ = ^¿^(i-t^dt

2е ,1 ç —1 Г ¿Mdt

e + ç-i & + <;— ! J (1 -

о о

2Г

'•O-^+t-i^B.cï.iAfl^).- ^ Г

0 + ç—I в + ç-l J (1-i)2^

о

(И)

Далее, наряду с общепринятым аналитическим продолжением непосредственно гипергеометрического ряда (3), проще осуществить аналитическое продолжение последних функций в равенствах (.5) и (8), это равнозначно вычислению интегралов типа (4) и (6) в смежности с точками О, 1 и оо.

Подробно рассмотрим три случая.

1) Параметры Ь> с и с—Ь не являются целыми величинами, тогда ввиду (10), получим:

z

/ = j (J _ ty+m-c dt = B(c—ly b + m+с) + 1

+ §tc~2(l-tjb+m~cdt; c>\% b + m±2-c>l; (12)

0 ' z ■

/ = §-t*-*(i~t)*+«-*dt=±(-.iy-c.B(c—l9 1 -b-m) +

о . ~ ■ ■ ■ ,

'.'''. z .v ..

-f- j tc~2(\ - ty±m-edt\ с2 — b — m> (13)

00 . ч ■ ' ,

Согласно равенств (4), (12) и (13) получим также зависимость между вторыми интегралами равенств (12) и (13) и гипергеометрическими рядами:

• : У •' Ч; '

00

F(\, Ь + т; Ь + т + 2 - с; 1 — z) = (сb — m— 1) (1 — гу-ь-т-1 X

- ' z "

X zl-c jtc~2( 1 - t)b+m~c dt\ b -{- m - 2 — с > 1, . j (14) F(l, 2 - c\ 2 - b - m; 1 : z) = —(b + m- 1) (1 - гу-ь-т-1 x

Xz2^c jic-2(l ^2 — b-m>\. (15)

00

loo 1 ' v ^ ,

Если параметры с, 6+т+2—с или 2—6—т< 1, то к функциям (4), (14) и (15) применяется формула (8) с целью повышения величии этих параметров.

2) Кроме целого положительного а= 1, 2,... одно из чисел 6, с или с—6=0, ±1,... Здесь второй случай распадается на случаи а) и б) следующие:

а) если с, 6—с+1 или 1—6=1, 2,...; то ввиду равенств (3), (7) и (9) вторым решением уравнения (1) будет рациональная функция или функция вида (2) и аналитическое продолжение конечных многочленов приведет также к конечным многочленам.

б) Если 1-е, с—6 или 6=1, 2,...; то соответственно функции (4), (14) или (15) относятся к логарифмическому случаю. Пусть с—Ь — =т+1, для с—6=1,..., т функция (3) преобразуется согласно равенству (7), тогда получим следующее аналитическое продолжение интегралов вида (4) и (6):

Z

/ = j ¿'-2(1 - t)-1 dt - ln (1 - z) + 2 (2K 1 C)k [(1 - 2)" - 1 ] =■

1 ^ Г tc~2 — 1 P — 1

==ln(l_2)+ (16)

0 1 a также ввиду (13) и [1], стр. 18, (6)

'-ff^-TT^ + f^1^2- <17>

J 1 — / Sin (тге — 7Г) J 1 — t

О oo

В заключение случая 26) следует отметить, что при рациональном значении третьего параметра интегралы вида (16) и (17) и другие интегралы, относящиеся к этому случаю, выражаются в элементарных функциях [4].

3) Все параметры а, 6 и с=0, ±1,... В этом случае, если с= 1, 2,...; то функция (3) ввиду (7) и (9) будет функцией вида (2). Если с=—р=0, —1,...; то имеем логарифмический случай в смежности с любой из трех точек 0, 1 и oo. А именно, функция (15) преобразуется ввиду [4], стр. 19, (12) следующим путем:

z-p~2 п/, ^ , о 1

/7+2

F^U 2 + р; 3 + р; 1Л e ft-P-*(\-t)-idt =

00

z

Аналитическое продолжение второго интеграла равенства (18) будет следующим:

í-TTrbr—^-^íf-^—írb-

(19)

После замены интегралов равенства (19) гипергеометрическимн функциями получим также

/, = -^(1,' 1; 1; 2; 1 — г)

+ + 1; 2; г). (20)

ЛИТЕРАТУРА

1. Г. Бейтман и А. Э рдей и. Высшие трансцендентные функции (гипергео-тиед-рическая функция, функции Лежандра). М., Физматгиз, 1965.

2. И. М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.—Л., Г.ос-техиздат,

3: В. Е. Корнилов. Преобразование в цепные дроби некоторых степенных рядов. Изв. ТПИ, т. 154, 1967.

4. В. Е. Корнилов. Выделение алгебраической части интегралов от биномных дифференциалов. Изв. ТПИ, т. 131, 1965.