Представление функции Гаусса в частном случае элементарными функциями Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С. М. КИРОВА

Том 249 Г973

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ГАУССА В ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

В. Е. КОРНИЛОВ

(Представлена кафедрой высшей математики) В статье изучены случаи представления функции Гаусса

со

F (а, Ь; с; г) = 2 | « I < 1,

к=0 К\(С)К

Сф О, -1,...; (а)к = а(а+1)...(а + к-\) (1)

элементарными функциями.

Теорема. Гипергеометрический ряд (1) представляет собой элементарные функции в следующих случаях:

1. Для комплексных параметров а, Ь, с таких, что

1) а,Ъ, с—а или с—Ь = 0, — 1,

2) а,с= 1,2, ...

функция (1) является элементарной.

2. Если комплексные параметры а, 6, с таковы, что два из трех

чисел — — с, а — b — -i- , а + 6 — с--- = 0, ± 1,... , то ряд (1) пред-

2 2 2 ставляет собой элементарные функции.

3. Если параметр а= 1, 2, ... и остальные с принимают рациональные значения такие, что с—b или 6 = 1,2, то и в этом случае функция (1) будет элементарной.

Доказательство. 1. 1) На основании равенств

F (— п, Ь; с; = г«, (2)

S Kl (с)к

F (a, b; с\ z) = ( \ — z)~aF(a, с — b, с; —(3)

теорема справедлива, если a, b, с — а или с — Ь = 0, — 1,...

2) Для а = т, с= 1,..., m на основании равенства (3) мы получаем элементарные функции. Если а = т\ с — m -f- 1, m + 2,... то в силу следующих равенств

т—\

у

к= 1

F(m, Ъ; с; г) = У (-1)^-', + 1 ~ х

ТП — /с — 1

У (£

те

K)jYm

-

(1-2)7 + 1

X

X/=■(!-да, 6-С+1; l-i-6—яг;

1 -г

(1 -¿>)m_i (1)™-.

•^(l, b-c- z),

J (1 — \ г

с — 1

X

(1-z)'

1 - 2 /V'! v 1 - z

(4)

(5)

функция Гаусса представляется элементарными функциями.

2. Пусть, в частности, — с =* а — Ь--— = 0, тогда с = —,

2 2 2

а = +

1

и ряд (1) на основании ([1], стр. 110 (5)) следующий:

F [ b* b ~——

' 2

Если а — b —-2

\ 1 _ —2 Ь 1

V z)-

■2Ь

а + b — с —- = 0, то а = Ь-т—>c = 2b 2 2

и ряд (1) следующий ([1], стр. 110(6)):

\ 2 У V1 - г V 2 2

В общем случае, если

1-2 6

1

--с

9

= — т.

(6)

(7)

значения параметров с, а в зависимости от случая можно повысить или понизить на целое число согласно рекуррентных формул ([1], стр. 110 (20) — (27)). Таким образом, функция (1) преобразуется к сумме многочлена и произведения многочлена на функцию (6). Аналогично упомянутые выше формулы применяются и для случая

а-ЬА-

— — ± к, а-\- b — с--- — ± т(т, к = 1,2,...).

2 2

Функция (1) преобразуется к сумме многочлена и произведению многочлена на функцию (7). В последнем случае, когда

2 _ _ о

к

а

= ±(т1 1,2,...).

G6

Здесь применяется также формула (3) и функция (1) приводится к сумме многочлена и произведению многочлена, степенной функции и функции (6).

3. Более общим случаем равенства (4) является равенство [2]

Г(1 +т9 Ь; с; г) = У (-1 )' С*"1 (Ь 1 ~ к)т X

т\

(\-Ь)т(с-1)х (1 +

гх~с I 1 \ Г сИ

о

Если с—Ъ или Ь== 1, 2, то при рациональных с и Ь интеграл в правой части равенства (8) представляется элементарными функциями [2]. Теорема доказана.

Доказательство равенства (8) аналогично тому, которое изложено в статье ([3], стр. 17 (14)).

ЛИТЕРАТУРА

1. Г. Бейтмен и А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. М., Физмат-гиз, 1965.

2. В. Е. Корнилов. Выделение алгебраической части интегралов от бинохмных дифференциалов. Изв. ТПИ. Т. 131, 1965.

3. В. Е. Корнилов. Преобразование в цепные дроби некоторых степенных рядов. Изв. ТПИ. Т. 154, 1967.

т-

х

2

(с — Ь — т — 1 + к)} с — 1 (-6- -т + к)ш(1 -*)'+■