Решение динамической задачи для трехслойной среды с трещинами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

РЕШЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТРЕХСЛОЙНОЙ СРЕДЫ С ТРЕЩИНАМИ

©2004 г. И.В. Кардовский, О.Д. Пряхина, А.В. Смирнова

The effective method for solving dynamic and mixed problems for multilayer media containing the aggregate of defects is applied to study the problem about three-layer medium vibrations with cracks on interfaces.

The work gives a description of the properties of elements and determinant matrix-symbols of kernels of integral equation systems, caused by the above problems. Certain typical results of numerical analysis are adduced.

Метод построения решения динамических смешанных задач для многослойных сред, содержащих совокупность дефектов, предложенный ранее в работах [1, 2], применяется к исследованию колебаний трехслойной среды с трещинами на стыках слоев.

Описываются свойства элементов и определителей матриц-символов ядер систем интегральных уравнений, порождаемых указанными задачами. Приводятся некоторые характерные результаты численного анализа.

Другие подходы к исследованию динамических процессов в средах с неоднородностями представлены в [3-12]. Условия локализации вибрационного процесса системой трещин и (или) включений установлены в [5-6].

Рассматривается задача о колебаниях пакета из трех плоскопараллельных слоев толщиной H = 2// + 2h2 + 2/ъ с жестко защемленной нижней

гранью (-Н < z < 0, -ю< ху <+да; / - полу’ */ К

толщина К-го слоя). На стыках слоев имеются этажно расположенные трещины, занимающие плоские области о1, □ Характеристиками К-го

слоя являются рк,^,ук - плотность, модуль сдвига и коэффициент Пуассона (к = 1,2,3).

Имеют место смешанные z = 0:

^ (х, у )е~1(01, (х, у )еОо’ (1)

1* о = 0 (х У )^Ч’

* = *р(х’у)е~1М, (ху)е°р

Z = -2£ h : i=1

Aw = Q, (x, y )gn p

для перемещений их решение в трансформантах Фурье будет определяться выражениями [1, 2]

^ (к ) = -L [В+(к )Тк-1 + В-(к )Тк

zk < hk

(3)

к = 1,2,3,

где Т°=^°; Тк=ггк; Wк = Fwк; $к = ^Awк; при этом ^ - оператор двумерного преобразования Фурье по переменным х, у; *к, wк - трехмерные векторы напряжений и смещений точек К-го слоя.

Матрицы-функции в ± (z) для упругой среды имеют структуру

В±(z)=

^а2т± + в*n± ав(т± - n±) ± iam± ^

ав(т1± -n±) в1 m[+a2n± ±iвmі

- i akl

V

m± = M- ± M+,

- iвkl± = N- ± N +;

■ р у--,; , ~—р

р = 1,2 (2) и однородные граничные условия

z = -Н : w = 0, -да< х,у <да.

Здесь *0 - вектор напряжений; Wl - вектор перемещений, заданный в области ^°; * = *+ = *- -

р р р

векторы напряжений, заданные в областях 0.р; AW = W + - ^ - скачки векторов перемещений; 1

р р р

- время; о -частота колебаний. В дальнейшем

- I О 1

временной множитель е всюду опущен, рас-

сматриваются амплитудные значения перемещений и напряжений.

Перемещения среды описываются уравнениями Ляме [13]. В случае разрывных граничных условий

к±= к-± к+, /■ = 1,2

Функции К +, М~+, N + отвечают симметричной задаче для одного слоя, к-, М-, N- - кососимметричной. В частном случае изотропной среды их явное представление дано в [1,14]. Элементы матриц-функций в± ) зависят от параметров

преобразования Фурье а,в, частоты гармонических колебаний о, механических и геометрических параметров К-го слоя ^,р ^ ,/. Здесь и

далее с целью сокращения записи в функциональных зависимостях будем указывать только аргумент, обеспечивающий однозначное толкование функций.

Из условия жесткой заделки пакета слоев на нижней грани Wз(-hз)=0 и из равенства перемещений на стыках слоев

^ К ) = ^+1 (\+1) + Ч, к = !>2 найдем Т1 = Р1-1(С1Т0 + Б^2^2 + М),

Т2 = Р2ХС2Т1 +^2Г211-2, (4)

Т3 = Г3-1С3Т2.

Принятые обозначения:

Г3 = В -(-/3); Б = Я1В - (й2)Г2-1;

Р = в_ (-/) - Як (в+ /+1) + В- /+1)^+1^к+1;

С к =-в+ (-/к);

gk

Vk vk+1

n

Подставив выражения для векторов усилий (4) в (3) и проведя несложные преобразования, определим смещение в произвольной точке среды

^ ^ ) = —(Я3 (^ )Т0 + В_ ^ )Г- (Б—22 + —2)},

W2 (2 ) = (И2 (^ )Р1 (1Т0 + Б—222 + —121 ) + '

—2

+ В- (z2 )р2 —^ } ,

W3 (zз )= — К1( Zз)F2-1 (С2 Р1-1 ( + —2 +—1) + —222 } .

К = 1,2,3.

к-1

Ч = z + 2 X + /к,

г=1

Здесь

Р1(/1, /2, /3) = В- (-/1) - Я1Я2 (/2 ) ,

Р2(/2,/3) = В- (-/2) - Я2И1 (/3) ,

И (/3) = К (/3) , Я 2 (/2) = К (/2, /3) ,

И3 (/) = К(/1, /2, /,)- матрицы-символы Грина

соответственно одно-, двух-, трехслойной среды без дефектов. Их элементы несложно получить по формуле

И 4 - К (*,) = в+ () + в- (*,) Р-‘С к, к =!.2-3.

На поверхности среды и на стыке слоев выполняются матрично-функциональные соотношения

К11Т0 + К 12—121 + К13 ^122 <Ы1WГ

К 21Т0 + К 22—1 + К 23—22 =Т1, (6)

К31Т0 + К32—121 + К33—122 =Т2 .

Согласно (5), матрицы-функции К, имеют вид

К 11 = И3 (/ ) , К12 = В-(/1)р1-1,

К13 = К12В- (/2 )Р2-1,

к 21 = ^ 1, К = р,“ 1

К 23 = РГ1В-( / ) Р2-1

■ 22

(7)

К31 = 2К 21,

К33 = Р21С2К 23 + яЛ-1.

к = р-1с р-1,

32 2 2 1

Между элементами матриц Ку и К,-,- (,' ф /) выявлена простая взаимосвязь. Например, для задачи

в плоской постановке, если

К, =

с 21 ■ 1 ^

а к11 -1ак12

гак,,,

V 21

то К/, =

С 2/

а к.

'"22

11

-гак.

21

гак.

12

к,

22 У

Функционально-матричные соотношения для модели однородной полуограниченной среды, например для слоя, жестко сцепленного с недефор-мируемым основанием и содержащим этажно расположенные параллельно-ориентированные трещины, получаются из (6), (7) если положить физико-механические параметры трех слоев равными.

Переход к трехслойному полупространству в (4) - (6) осуществляется аналогично изложенному в [1].

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Для трехслойной среды без дефектов имеем одно матричное уравнение

Кп = W1(h1).

—

(8)

(5)

К 222 = ~

2. Если в трехслойной среде на границе между первым и вторым слоем имеется дефект-трещина, а внешнее воздействие отсутствует, то

Т1 . (9)

Ъ

3. Если трещина находится на стыке второго и третьего слоев, получим

К 2 = Т2. (10)

33 _

Ъ

4. Если трещина расположена между первым и вторым слоем, а Т0 Ф 0, то

(11)

К 11 Т0 + К 1 2 Ъ121 Ъ1W^

К 21Т0 + К 22 Ъ121 = Т1 .

5. В случае двух трещин, расположенных на стыках слоев

К 22—1 + К 23М^2 = Т , (12)

К 3 2 —121 + К 3 3 Ъ12 2 = Т 2.

Уравнения (6) являются искомыми функционально-матричными соотношениями рассматриваемой задачи со смешанными граничными условиями (1), (2) и позволяют построить систему интегральных уравнений

(x, у

К101 — + к12Aw1 + K23Aw 2 = w1,

Ъ

К21 — + К22Awl + К2^2 = — (ху) е Ц,

Ъ —1

(13) *

К 31 + К32 Aw1 + К 23Aw 2 = — — (х, у )еП 2

—1 —

где КЯ = {{к(ху-С)Я, (£,£)-

матричный интегральный оператор.

Ядра (13) определяются выражениями

1

к, ( у) = ТТ Л К, (а’в)

-,ах - гву

4П 88

Л айв7

а подынтегральные матрицы-функции

К, (а, в) - формулами (7).

Контуры интегрирования , 82 выбираются в

соответствии с принципом предельного поглощения [13].

Если учесть, что смещения Wl и напряжения *1, *2 известны, то соотношения (13) представляют собой систему девяти интегральных уравнений относительно компонент векторов *0, AWl, Aw2 в областях ^0, ^1, ^2 соответственно, ее дальнейшее решение предполагает использование аналитических или численных методов [13 - 15].

Рассмотрим интегральные уравнения, соответствующие частному случаю 2. Пусть имеется М трещин, расположенных в сечении z2=h2, тогда с учетом (9) система (13) упрощается

M

I Ц k(x-у-^)Awm (n)d^dn =

m=1Q,m

ln

(14)

(x, y) є Q

ln

n = 1,2,..., M,

—1

поскольку

M

f (a.в)= I j j Awm (x> У )e

m=1 Qlm

i (ax+

Для плоской задачи (14) преобразуется к виду

М а2т *

X | к (х-#^т =— И = 1,2,..., М;

Ъ

m=1a

1

k (x )=ПК 22 а)

-iax і

e da’

x Є [a2n-1» a2n ] = Q1n >

Элементы

K 22 = F1 =

11 -iaF,

12

12

F

22 У

жениями

Fll =-

m+ (h,) + glrn(h2, A3)

4

a A

F12 =-

m+( h )+ Я1Г12 ( К h3 ) ,

a2 A

F =-

22

k2 (h1)+ glr22 (h2>h3 )

(15)

A

R = Г11Г22 Г12

D = m, k2 - I

K(a,o) = R 2 (h2, h3) =

( 2 а г±± -iar12

A

iar,n

V 12

22 У

«+ (h1) =

a2 Aq

(hl) =^f0, k+ (hl) =

2Q

Г,,( h2’ h3) =

a2 A,

Г12 (h2 ’ h3)

A

A2

k.

Г22 (h2, h3) = ^

R=

D2(h2,h3)

2

a A2(h2,h3)

A з (h,, h2, /з)

2

a A Q(h, ) A 2(h2, h3)

A,(h,) получим

D=

a AQ(A,)

F

F =- F±± 1 1

a2 A,

F 0

F = -122_ , ^22 A

^3

f±2

F =_________^

Fl2 A

3

матрицы описываются выра-

(т2) ,

A = Я2Я + § (( Г22 “ 2т+ Г12 + К+ Г11) + ° .

В этих соотношениях функции Г11’ Г12’ Г22 являются элементами матрицы Грина

динамической задачи о колебаниях двуслойного пакета толщиной 2/ + 2/ с параметрами р2, ц2, у2

и р3, ,м3, у3 , жестко сцепленного с недеформируе-мым основанием, а функции т+, т+, к+ содержат

параметры р1, ,мь у1 только верхнего слоя толщины 2/ [14].

Выражая в (15) элементы в виде отношения целых функций

^11 = К20 (/1 )A 2 (/2, /3 ) + §1К22 (2 , /3 )A0 (/1 ) ,

^22 = т10 (/1 )A2 (/2, /3 ) + §1т12 (2’ /3 )'^0 (/1 ) ,

^12 = т20 (/1) A2 (/2,/3) + §1т22 (/2,/3)A0 (/1) ,

Й2, /3) = Я2 ^2(/2, /3) + A1(h1)A 2(/2, К) +

+ §1 (тю (/1 )К22 (/2, /3 ) - 2а т20 (/1 )т22 (/2’ /3 ) +

+ к20 ( /1) т12( К2 = /3)).

Полагая параметры слоев равными и /2=/3, можно получить решение динамической задачи о колебаниях системы трещин, расположенных на расстоянии z = -2/ от его верхней границы, в однородном слое толщиной н = 2// + 4й2.

Для исследования условий локализации вибрационного процесса [5] необходимо знание вещественных нулей определителей функциональноматричных систем (6), (8)-(12).

Установлено, что определители указанных систем представимы в виде отношения целых функций, связанных с определителями матриц-символов Грина одно-, дву-, трехслойной среды без дефектов.

В частности, для трехслойной среды без дефектов

^к = ^^.

Д3(/1, /2, /3)

Для трехслойной среды с трещиной на стыке первого и второго слоев

^ К 22 = А0(/1)Л2(/21К3).

A3 (/5К2’/3)

Если трещина находится на стыке второго и третьего слоев, то определитель системы (10)

ае1 к 33 =

A3 (/15 К2 ’ /3)

^ ^ (/1) A0 (К2 ) + §1 \_т10 (/1)к20 (/2 ) +

+ т10(/2) к 20 (/1) + 2а2 т 20(/1) т 20(/2)

+ gl2Л1(h2)Л0(h1) .

В этих формулах Л1, A2, A3 - знаменатели определителей матриц-символов Грина соответственно для одно-, дву- и трехслойной среды без дефектов.

Таким образом, нулями определителя системы (9) являются полюса определителя матрицы Грина для двуслойной среды толщиной Н = 2/2 + 2/3 и

полюса функций т10(/1),т20(/1),к20(/1):

Л 2(/2, /3) = 0, A0(h1) = 0.

Нулями определителя системы (10) являются полюса определителя матрицы Грина для одного слоя толщиной Н = 2/3 и нули определителя

матрицы в = в- (-/) - Я1В+ (/2):

m

10

0

m

m

22

det K — —

А3 (h1, h2 , h3 )

А*(А1, к2) = 0, А1(Л3) = 0.

В случае трещины отрыва, расположенной на стыке между первым и вторым слоем и

т0 _{0, Т}

det К =--------1-(А, (к )А2 (к2, к3) +

Аз(^,к2,кзУ ^ 2’ 3'

+ &1 ^20 (к1 )т12 (к2 , к3) +

+ 4а2М +(к1)М2 (к1)А2(к2,к3)).

При наличии двух трещин отрыва, расположенных на границах раздела слоев

"к к~) {^1 тЮ(к1) I- т10(к2)А1(к3) + | + g2 т11(к3)А0(к2)] + 4 М+ (к2)М7 (к2) Ао (к1) А1 (кз) +

+ g2А0(к1)т10(к2)т11(к3)} '

При наличии двух трещин продольного сдвига

^1;К = А (к к к~) {gl ^20 (к1 ) [ к20(к2)А1(к3) +

1 + g2к21(к3)А0(к2)] + 4К2 (к2)К2 (к2)А0(к1)А1(к3) +'

+ g2А0(к1)к20 (к2)к21(к3)| .

Приведенные выше определители выписаны для задач в плоской постановке.

Несмотря на наличие в (7) матричных произведений, конечные формулы для элементов матриц Ку имеют один и тот же знаменатель А3(к1,к2,к3),

совпадающий со знаменателем элементов матрицы Грина трехслойной среды без дефектов. Указанное свойство распространяется и на случай дефектов в виде включений [1]. Для определителей систем матрично-функциональных уравнений данное свойство также имеет место.

Для построения решения систем интегральных уравнений необходимо знание вещественных особенностей элементов подынтегральных матриц-функций Ку, К] и их определителей. С этой

целью проведен численный анализ нулей, полюсов (дисперсионных кривых) элементов матриц и определителей систем для трехслойной среды в зависимости от приведенной частоты „_ р1 (а-

^2 — I ^о а

некоторая линейная величина), механических и геометрических параметров задачи. Чередование нулей и полюсов наблюдается только для диагональных элементов матриц К,-,- и к-1, для их оп-

]]

ределителей - нет.

На рис. 1 представлены характерные графики нулей и полюсов detKзз, что отвечает случаю расположения трещины между вторым и третьим слоем.

При наличии двух трещин, расположенных на границах раздела слоев, графики нулей и полюсов det К представлены на рис. 2 (трещины отрыва) и рис. 3 (трещины сдвига).

а

/ / і 1 і \ \ ч \ •Ч / /і // // // / /

1 / / / / / / / / / . / / 1 /

/ / / / '' і 1 1 1 1 / / / / / / / / у / і/* / р'’

/ / / / / / 1 У ) і / У''у '/У/ / у J ^7

/ !'''1 \/ -if' /V / 1 І ( 1 11 / У

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4 иллюстрирует поведение дисперсионных кривых для элемента ^22 матрицы К22.

а

Рис. 4

На рис. 1, 3 соотношение модулей упругости

М1 _ _ 25 ; М2 _ _ 5 ; на рис. 2, 4 -

М1 М1

и М3

М1 _ _ 5; М2 _ — _ 0,2 , при этом на рис. 2 без-

1 и и

размерные параметры к1=0,125, к2=0,5, к3=0,125, а на остальных рисунках к1 _ к2 _ к3 _ 0,25. На графиках ^ _ V, _ ^ _ 0,333, р1 _ р2 _ р3 _ 1. Сплошными линиями обозначены полюса функции, а пунктирными - нули.

Проведенный анализ показал, что при фиксированных толщине пакета и соотношении модулей упругости слоев (м2>м1) увеличение расстояния

2к2 между двумя трещинами приводит к уменьшению числа нулей, полюсов на фиксированной

частоте. Аналогичные выводы можно сделать при увеличении расстояния 2к1 от поверхности среды

до трещины при фиксированных значениях остальных параметров.

Соотношение модулей упругости слоев существенно влияет на характер поведения дисперсионных кривых и их количество. В частности, увеличение жесткости среднего слоя при фиксированных значениях ^1 и ^3 верхнего и нижнего слоя приводит к уменьшению нулей, полюсов на фиксированной частоте. Аналогичные выводы можно сделать при увеличении жесткости нижнего слоя и фиксированных значениях ^1 и ^2 верхнего и среднего слоев. Если жесткость верхнего слоя меньше жесткости среднего слоя, а жесткость нижнего превосходит жесткость верхнего, наблюдаются характерные изгибы дисперсионных кривых. Изменение количества дисперсионных кривых в фиксированном диапазоне частот обратно пропорционально увеличению с глубиной относительной жесткости слоев.

Численными исследованиями установлено, что данная закономерность справедлива для всех диагональных элементов матриц К22 , К33.

Авторы благодарят академика В.А. Бабешко, инициировавшего данную работу, за полезное обсуждение и помощь при ее выполнении.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (03-01-00694, 03-01-96537, 03-01-96645), Минобразования и науки России (Е-02-4.0-191), Федеральной целевой программы «Интеграция» (Б0121), гранта Президента РФ (НШ-2107.2003Л). Литература

1. Пряхина О.Д., Смирнова А. В. // ПММ. 2004. Т. 68. Вып. 3. С. 500-507.

2. Пряхина О.Д., Смирнова А.В. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. № 2. С. 29-31.

3. Александров В.М. и др. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М., 1993.

4. Александров В.М., Пожарский Д.А. // Изв. РАН. МТТ. 2001. № 1. С. 86-93.

5. Бабешко В.А. // Изв. РАН. МТТ. 2000. № 3. С. 5-9.

6. Бабешко В.А. // Докл. АН СССР. 1989. Т. 207. № 2. С. 324-327.

7. Бабешко В.А. и др. // Докл. АН СССР. 2002. Т. 382. № 5. С. 625-628.

8. Глушков Е.В. и др. // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 1. С. 147-156.

9. Кит Г.С. и др. // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 5. С. 855-863.

10. Тихомиров В.В // Изв. РАН. ММТ. 1999. № 1. С. 108-114.

11. Гольдштейн Р.В., Житников Ю.В. // Изв. РАН. ММТ. 1998. № 6. С. 38-48.

12. Ватульян А.О. и др. // Дефектоскопия. 2001. № 10. С. 48-52.

13. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М., 1984.

14. Ворович И.И. и др. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М., 1999.

15. Сеймов В.М. и др. Колебания и волны в слоистых 16. Бабешко В.А. и др. Динамика неоднородных линей-средах. Киев, 1990. но-упругих сред. М., 1989.

Кубанский государственный университет_____________________________________________30 июня 2004 г.