Свойства элементов и определителей матриц-символов динамических задач для многослойных сред с включениями Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

свойства элементов и определителем матриц-символов динамических задач для многослойных сред с включениями

© 2005 г. О.Д. Пряхина, А.В. Смирнова, Д.В. Борисов, В.А. Мазин

A new method for solving dynamic problems for layered media containing multiple defects in the interface planes or within the layers has been applied in the work to determine dynamic characteristics of multi-layered half-limited media. Properties of the Green's matrixsymbols of the systems developed have been stated in various models. These properties include new ones, which are not found in other works on the above topic.

В работах [1, 2] предложен новый метод построения решения динамических задач для слоистых сред, содержащих в плоскостях раздела или внутри слоев множественные дефекты типа трещин-полостей или жестких включений. С помощью этого подхода краевые задачи со смешанными граничными условиями на поверхности среды и в плоскостях расположения дефектов сведены к системам интегральных уравнений (СИУ) относительно контактных напряжений, скачков векторов перемещений на берегах трещин и (или) скачков векторов напряжений на границах включений, дальнейшее решение которых предполагает использование метода фиктивного поглощения [3].

В настоящей работе приводятся свойства матриц-символов Грина СИУ для сред с включениями, в том числе новые, не встречавшиеся авторам в других работах, посвященных указанной тематике [4-8].

Рассмотрим задачу о колебаниях пакета из N параллельных слоев толщиной Н = 2к1 + 2к2 +... + 2hN в условиях неидеального контакта между ними. Каждый слой имеет свои характеристики: полутолщину hk, плотность рк, модуль сдвига /ик и коэффициент Пуассона ук . Нижняя грань пакета жестко сцеплена с недеформируемым основанием, а поверхность среды подвержена гармонической нагрузке. В плоскостях раздела слоев имеются включения, занимающие плоские области 0.т

(т = 1,2, к N -1), на границе которых вектор напряжений претерпевает разрыв.

Система функционально-матричных соотношений, связывающих в трансформантах Фурье перемещения на верхней грани к -го слоя (к = 1,2, к N), скачки напряжений з т (т = 1,2, к N -1) на границах включений и напряжения на поверхности среды Т0 методом работ [1,2] получена в форме

ки = V, (1)

V = (^), и = (Т,зрззN-1), где элементами блочной матрицы К = ( К ^, к.т = 1,..., N являются матрицы-функции, причем

Кп = К N (V - К N К Ь

K km -

R л

Ä )П DsPm +

+B- h )P(k+1)m ) Lm( k < m ) h ) (П Dks Psm Lm-1 + Dkm

Kkm R N -k+1

(2) (k > m ),

D,,

p

П F. G,, k > m,

i-k-1 ,

I, k - m,

m-1

km -П Si-1 - (hiу

i - k

- gm F.-1R л

,( hm + 1)

Fk (hi .... , hN - B- (-hk) - g

k -1,2,.... N-1, Fn h) - B- (-hw), .

k RN-k h

, hN ) =

R

Gk --B+ (-hk X

-k+1 ( hk ) = R N - k+1(hk , hk+1,

Мк+1

к = 1, N, •, hN) - матрицы-симво -

лы Грина пакета к слоев без дефектов, определяемые по формуле [3]

К N -к+1 (К )= В+ ^к ) + В+ ^к ^кЧ .

Базовые матрицы в± (h) имеют структуру

B±(h)-

Их элементы зависят от параметров конкретного слоя толщиной 2h и представимы в виде отношения целых функций

b±1 b±2 ±b±3

b2±1 b2±2 ±lb± — 13 a

-b1±3 ß ab13 ±b±3 /

b„ -

b22 -

2 о2

а ± ß m10 + TJ—

гд

ß г д

10

г4 д„

m +

г4 д„

и± и± aß

b12 - b21 -Г

V 10

b„ -

г2 д,

-m„,

k ±

b3±3 - -2033 д,„

Здесь m10 - -ct2Q (у c2 s1 -Г ст1 и2 c1 s2), m10 - Ст2Q2 (Y2 s1 - Г°~1 s2) ,

s-2

К = -^V c s2 -XVj a2 c2 Sj),

k-o = (Y2 S2 - XVj CT2 Sj) ,

+ Х )(Ci C2 - l)"2 ( ) S1 S 2

mo = Q2Y^l ^2 (Cl " C2 ) > «0+ = C2 ' n0 = - l> A10 = 4( ) Sj S2 -8o"i ^2Y2^2(Cj C2 -l),

k32 =-k23 = iM -2Sin^, k33 = M 0

m20 =

A20 = S2 •

В последних формулах X2 = а2 + р1; ^ = А2 -0,5o2; ст22 = X2-О2; ст22 = X2-sO2; s = (1 -2v)/(2-2v); c. = ch(2ha.), s. = sh(2ho".); <г - корни характеристического уравнения задачи для слоя, занимающего область (|z| < h, х, >> ); О- безразмерная частота колебаний; v - коэффициент Пуассона; а, в - параметры преобразования Фурье.

Соотношения (1), (2) являются искомыми функционально-матричными при моделировании основания пакетом N слоев с включениями на их стыках.

Для модели однородной полуограниченной среды, например, для слоя, жёстко сцеплённого с неде-формируемым основанием и содержащего N -1 плоских, параллельно ориентированных включений, они получаются из (1), (2), если положить физико-механические параметры слоев равными для всех к (k=1, 2,..., N).

Переход к слоистому полупространству в (1), (2) осуществляется аналогично изложенному в [1].

Другие подходы к построению систем (1) предложены в [4-8].

На основе соотношений (1) легко выписываются СИУ динамической смешанной задачи относительно неизвестных скачков напряжений на границах включений и контактных давлений под штампом [9,10].

Метод фиктивного поглощения, выбранный для построения решения СИУ, требует знания асимптотического поведения и особенностей элементов и определителей подынтегральных матриц-функций K j, а также определителя системы (1). Для перечисленных функций получены новые представления, удобные для численного анализа.

При исследовании асимптотических свойств матриц-функций Kj установлено экспоненциальное

убывание элементов K j, (i Ф j) при |X| ^ да, а главные члены асимптотических разложений матриц K jj представимы в виде Kjj = K j (1 + O (X~2)), где

матрицы K0 = Ijj имеют следующую структуру (a=Xcosp, e = Xsinp):

ku = M0 cos2 p + N° sin2 p, k22 = M"j sin2 p + N° cos2 p, к12 = k21 = sinpcosp(M 1 - N°), к31 = -k13 = iM °2 cosp,

Mil =1

w

M° =1 - V

2X

i

bi

N = — M =-

1 X' jl X(ki2 - k2)

M 02 =

b2

№ =-l—

j \X\K

X(k2 - k22):

bi =(j-^j-i )(3 - V ) gj-i + ()(3 - V-i).

b2 =( 2-Vj-i )(3 - V )-i2-Vj )(3 - V-0. ki =(j-Vj-i) + gj-i (j-Vj ) .

k2 =I-V,-1 + т|-

Sj-iI-Vj+i

k3 = 1 + gj-i =

] = 2,..., N.

Для формирования условий локализации вибрационного процесса [6] особый интерес представляет поиск нулей определителя системы (1).

Впервые установлено, что для пакета из N слоев, жестко сцепленного с недеформируемым основанием, при наличии штампа на поверхности среды и включений на стыках слоев, определитель системы (с точностью до постоянного множителя) имеет вид

¿еХ К = П(¿еХ ¿еХ В_(~Ик))хД ¿еХВД). (3)

к=1 к=1

Если внешнее воздействие Т0 отсутствует, то

размерность системы (1) понижается на единицу и ее определитель равен

N-1 / \ N

¿еХ К = П (еХ Г-1 ¿еХ В_ (-Ик)) хП¿еХ(\). (4)

к=1 к=2

Заметим, что при Х = а, в = 0 система (1) распадается на две независимые, отвечающие плоской задаче с блочной матрицей К = К1 и антиплоской с матрицей К = К2. В пространственном случае несложно показать, что определители (3) и (4) представимы в виде произведения ¿еХ К = ¿еХ К1 ¿е X К2.

Для ¿еХ Кр (р=1,2) получены новые соотношения, позволяющие эффективно проводить численный анализ нулей и полюсов в плоскости (Х, О) и изучать поведение дисперсионных кривых при различных значениях параметров задачи и произвольном количестве слоев. Определители системы (1) представимы в виде отношения целых функций

¿еХ Кр =■ 1

(5)

Д N ^ hN)

ПЗД), То * 0,

к =1

х 1

Д pl(hl)П ), Т0 = 0.

к=2

В этих формулах Д , ДрЫ, р = 1,2 - знаменатели определителей и элементов матриц-символов

Грина соответственно для однослойной и Н-слойной среды без дефектов с жестко защемленной нижней границей; Dpl - числитель определителя и

знаменатель элементов обратной матрицы Грина однослойной среды с жестко защемленной нижней границей. Из (5) следует, что нули изучаемого определителя det К системы (1) в случае Т0 Ф 0 являются совокупностью нулей определителей матриц- символов Грина однослойных сред Dp1(hk), а

при Т0 = 0 также полюсов определителя матрицы-символа Грина Д1(И1) одного слоя толщиной 2/ с защемленной нижней границей. Функции Д (И), D (и) имеют вид

д„ =

4 п 4-(y^ )2

+1- Q 2 +

4 , ( + Л))С1С2 ( )s1s2!

D,i(h) = — s,

A21 = С2 -

с. = сЬ(2Иа.), 8. = &Ь(2Иа.).

Таким образом, каждый из сомножителей, входящих в (5), зависит от геометрических и механических параметров только одного слоя. Подбором этих параметров можно управлять волновыми, в том числе и резонансными свойствами изучаемых объектов [6].

В случае идеальной среды или наличия включений не на всех стыках слоев формулы (5) имеют другую структуру.

Рассмотрим плоскую задачу для пакета из N слоев при отсутствии включений или наличии только одного включения.

1. Пусть среда без дефектов, внешняя нагрузка отлична от нуля (Т0 Ф 0), тогда система (1) эквивалентна одному матричному уравнению К11Т0 = ',

Цм (И,, И,,..., Им) detК - detКп = 1 2 ы'.

11 Ю

2. Когда включение расположено между первым и вторым слоем и Т0 Ф 0, имеем систему двух матрич-

ных уравнений

КПТ0 + з 1 = W1, К 21Т0 + К 22 з 1 =W2,

определитель которой det К =

D11 (h1 )D1N -A-, hN )

^ Ин )

3. Если в условиях п.2 принять Т0 = 0, то имеем одно матричное уравнение К22 з 1 = '2 с определи-

-1 (И2 , • • •, К )

телем det К = det К__ =

A1N (h1, h2,-., hN )

4. Если Т0 = 0 и включение расположено между вторым и третьим слоем, то также имеем систему

двух уравнений

К 22 Т0 + К23 3 1 = W2' К 32 Т0 + К33 3 1 =W3,

A12 (h1- h2 ) D1(N-2)(h3--, hN )

с определителем det К =

^ (h',к, Ин )

5. Если включение находится на границе между т и т +1 слоем (т = 1,2,..., N -1), то

detК =-1-хД1 (И И Щ.„ .(И „•..,Иы).

д 1 \ 1т 4 Р > т7 1(Ы-т)у т+1 > Ы'

Д'N (И|,K, % )

Здесь Б1т (Ик) - числители, а Д1т (Ик) - знаменатели определителей матриц-символов Грина т -слойной среды без дефектов.

Из соотношений (3)-(5) можно сделать ряд важных заключений, даже не прибегая к численному анализу, что также является их достоинством. Например, в [3] изучены условия существования изолированных низкочастотных резонансов (В-резонансов) системы «массивный штамп - пакет слоев без дефектов, жестко сцепленный с недефор-мируемым основанием». Показано, что точек дискретного спектра всегда конечное число, и они лежат в диапазоне частот 0 <О<О Ф 0. Если

кр

Окр = 0, то рассматриваемая система не имеет низкочастотных резонансов. Из (3)-(5) с учетом вышесказанного следует, что при неидеальном контакте между слоями при наличии включений определитель det К (Л, О) матрично-функциональной системы (1) имеет вещественные нули и полюса, начиная с некоторого значения О = О* > 0 и могут иметь место В-резонансы в средах, содержащих множественные дефекты типа жестких включений. Детальный численный анализ дисперсионных кривых элементов и определителей матриц К1 и К2 для двух- и трехслойной среды с включениями приведен в [П-15].

Работа выполнена при поддержке РФФИ (03-01-00694, 03-01-96537, 03-01-96645), ФЦП «Интеграция» Б0121, гранта Президента РФ (НШ-2107-2003.1).

Литература

1. Бабешко В. А., Пряхина О.Д., Смирнова А.В. // Прикладная механика. 2004. № 2. С. 3-10.

2. Пряхина О.Д., Смирнова А.В. // ПММ. 2004. Т. 68. Вып 3. С. 499-506.

3. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М., 1999.

4. Бабешко В.А. Обобщённый метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М., 1984.

5. Бабешко В.А. // Докл. АН СССР. 1989. Т. 304. № 2. С. 317-321.

6. Бабешко В.А. // Изв. РАН. МТТ. 2000. № 3. С. 5-9.

7. Бабешко В.А. и др. // Докл. РАН. 2002. Т. 382. № 5. С. 625 - 628.

CT

2

8. Бабешко В.А., Павлова А.В., Ратнер С.В. К задаче о вибрации полупространства с совокупностью внутренних трещин // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. 2002. № 3. С. 36-38.

9. Бабешко В. А., Пряхина О.Д., Смирнова А.В. // Мат. моделирование, вычислительная механика и геофизика: Материалы II школы-семинара молодых ученых Юга России. Краснодар, 2004.С.5-21.

10. Пряхина О.Д., Смирнова А.В. // Изв. вузов. Сев.- Кавк. регион. Естеств. науки. Спецвып.: Нелинейные проблемы механики сплошной среды. 2003. С. 279-284.

11. Пряхина О.Д., Смирнова А.В. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Спецвып. 2004. С. 89-93.

12. Борисов Д.В, Пряхина О.Д., Смирнова А.В. // Экологический вестн. науч. центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. № 2. С. 8-13.

13. Пряхина О.Д., Борисов Д.В. // Экологический вестн. науч. центров Черноморского экономического сотрудничества. Матем. моделирование, вычислительная механика и геофизика: Материалы II школы-семинара молодых ученых Юга России. Краснодар, 2004. С.147-151.

14. Борисов Д.В, Пряхина О.Д., Смирнова А.В. // Матем. моделирование, вычислительная механика и геофизика: Тр. III школы-семинара. Ростов н/Д, 2004. С. 47-49.

15. Пряхина О.Д., Смирнова А.В., Мазин В.А. // Матем. моделирование, вычислительная механика и геофизика: Тр. III школы-семинара. Ростов н/Д, 2004. С. 22-27.

Кубанский государственный университет_4 марта 2005 г.