К расчету динамических характеристик гексагональных пьезоэлектриков Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

К РАСЧЕТУ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ГЕКСАГОНАЛЬНЫХ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКОВ

© 2009 г. О.Д. Пряхина, А.В. Смирнова, Н.С. Березин, Д.Л. Качко

Кубанский государственный университет, Kuban State University,

ул. Ставропольская, 149, г. Краснодар, 355040, Stavropolskaja St., 149, Krasnodar, 355040,

rector@kubsu.ru rector@kubsu.ru

Описан метод построения интегральных уравнений динамических задач для биморфных пьезоэлектриков, содержащих неоднородности типа заглубленной трещины или внутреннего электрода. Приводятся результаты численного анализа решений интегральных уравнений, построенных методом фиктивного поглощения.

Ключевые слова: составные пьезоэлектрики, разрывные граничные условия, матрично-функциональные уравнения, интегральные уравнения.

The work describes the method which makes it possible to develop integral equations of dynamic problems for bimorph piezoelectric materials containing inhomogeneities, such as a subsurface fracture or an internal electrode. The results of numerical analysis are given for the solutions of integral equations developed by the method of fictive absorption.

Keywords: сomposite piezoelectric materials, discontinuous boundary conditions, matrix-functional equations, integral equations.

В работе рассматривается связанная динамическая антиплоская задача электроупругости для биморфного пьезоэлектрика, моделируемого пакетом из двух слоев, занимающим область —оо<х,г<+оо, —Н<у< О

(Н = 2/?! + 2й2 , % - полутолщина к-то слоя). Поверхность среды электродирована и подвержена гармонической электрической и сдвиговой механической нагрузке. Нижняя грань пакета жестко сцеплена с не-деформируемым основанием, металлизирована и закорочена. На границе между слоями на глубине у = -21ц находится либо дефект - трещина, которая моделируется математическим разрезом ширины 2а (задача 1), либо внутренний электрод - включение шириной 2а (задача 2).

В качестве материала электроупругих слоев рассматривается гексагональная пьезокерамика класса 6тт, поляризованная вдоль оси г . В этом случае колебания пакета будут описываться системой дифференциальных уравнений в частных производных относительно амплитуд электрического потенциала и механического сдвигового смещения.

Предварительно вводятся локальные системы координат У1=У + }у2=у + 2к1+2к2,-кк<ук<кк, к~ 1,2 и строятся решения для каждого слоя отдельно [1], а затем, используя разрывные граничные условия задачи, производится сшивка решений на границе раздела слоев, где имеет место скачок перемещений и электрического потенциала (задача 1) или скачок сдвигового напряжения и нормальной компоненты вектора электрической индукции (задача 2).

В результате приходим к системе матрично-функциональных уравнений (МФУ) вида [1,2]. КУ = и. (1)

При наличии трещины векторы V = /)0./\(Г. ЛФ . и = .Ф, ,7|. 1)\ ^ имеют своими компонентами трансформанты Фурье амплитуд следующих динамических

характеристик: сдвиговых напряжений т0 С' и нормальной составляющей вектора электрической индукции

действующих на поверхности среды;

А?о^

- скачки сдвиговых перемещений и электрического потенциала при переходе через трещину; Щ ("• 1ц 2>(Р\ ~~ сдвиговые перемещения и электри-

ческий потенциал на верхней грани пакета; 4; , С ~ сдвиговые напряжения и электрическая индукция, характеризующие взаимодействие мслсду слоями.

Компонентами векторов V = . /)(). АТ, АЛ , и - ,Ф] .^2-(1)2 в случае внутреннего электрода являются трансформанты Фурье амплитудных функций сдвиговых напряжений и нормальной составляющей вектора электрической индукции скачков сдвиговых напряжений и электрической индукции А/ ^ . Ас/ 4 , при переходе через электрод, сдвиговых перемещений и электрического потенциала на верхней грани к-то слоя м>к к = 1,2.

У <7=1,2

- блочная матрица-символ Грина.

K =

Для двухслойной среды с дефектом - трещиной

V 1с1 1 у

Для двухслойной среды с внутренним электродом

( и 2 <гь ^ -£1®-£1*1 Ог1^! -ЯьМгЗ^В^/О'

Здесь ^ - В 4/ц > И! <2 И! <2 > В+ {¡2 > + В_ <2 $2" 1С2 , ¥2 = В_ (Й2 ^ = -В+ ( /ц (^2 = В | (И2 . И1 С2 ~~ матрица-символ Грина для одного слоя толщиной 2^2 с жестко защемленной

K =

нижней границей; - матрица-символ Грина

для двухслойной среды без дефекта.

Матрицы В± имеют размерность 2x2, их элементы зависят от параметра преобразования Фурье а , частоты колебаний О и физико-механических параметров среды. Элементы этих матриц приведены в [1].

Полученные МФУ (1) служат основой для построения системы интегральных уравнений (СИУ) динамической смешанной задачи. Дальнейшее решение СИУ строится методом фиктивного поглощения [3, 4].

Предположим, что поверхность среды свободна от механических усилий и является непроводящей Со - 0. Д) - 0 . Колебания среды вызываются вибрацией внутренних неоднородностей (трещины, электрода). Тогда имеем одно матричное уравнение Г1~1Л\¥ = Т, д\¥- ЛФ . 1! = Сь А ^ (задача 1); (2) ЬАТ = \¥2 <?2 3 Ь = я^] <2 |Г'В С 1\ , (задача 2), (3) АТ = ■ А/^. W2 = Ф2

Для однородной среды (слой толщиной Н с трещиной, расположенной на глубине у = -21ц ) элемен->

ты матрицы 1 - 9 представимы в форме

~k0F2 ~F\-

F\2 =FI\= -eF

21

F22 ~ eF2

F, =

er (frQ sji 4,(7 h\

а вИ ^.а }\ Зи ^а 1г2

Д2С0

Элементы матрицы Ь =

f2=-

12 ПРИ наличии внутреннего электрода даются соотношениями

L\ 1 - h

l\2~l2\-—h-£

L22 ~

oh ~L2

_ eil 4<Cjh\ jll K(jli2 1 ~ 7-2 л s >

i9 =-

ch jh ^«/ь

Здесь

A| (¿У ch \criii +h

V

Д2 C'1 +

2^ >

а =

а2-

4

e

E

Безразмерные параметры ,<,']. е. е характеризуют упругие, пьезоэлектрические и диэлектрические свойства среды [1].

Для построения решений интегральных уравнений (ИУ) методом фиктивного поглощения необходимо

знатб' поведение нулей и полюсов элементов матриц Г] 1 и Ь . Очевидно, элементы /'12--^'21 - ^'22 матрицы Г| 1 не имеют вещественных нулей и полюсов. Результаты вычисления нулей, полюсов функции 1<\ | О представлены на рис. 1. На рис. 2 - аналогичные кривые для функции />22 Для расчетов в качестве параметров среды использовались характеристики ти-таната бария (е = 2.7. е = 25,99). Глубина залегания трещины или электрода у = -21ц = -0,5 . Безразмерная толщина пакета Н = 1,5. Нули функций обозначены сплошными линиями, полюса - пунктирными.

Рис. 1

Рис. 2

Предположим, что в задаче 1 поверхность трещины неэлектродирована. Тогда должны выполняться условия непрерывности электрического потенциала и нормальной составляющей вектора электрической индукции при переходе через трещину. Это означает, что в МФУ (2) следует положить АФ = 0. В результате имеем одно уравнение

^^П^О^С- (4)

После обращения преобразования Фурье в (4) получаем ИУ смешанной задачи

Ы < а.

(5)

к0 — Ji^! e iaxda относительно неизвест-

2 ns

ной функции Ам'^^ при заданном значении сдвигового напряжения ^ ^ _ в области |х| < а .

a

В задаче 2 вследствие микронной толщины электродов можно считать, что механические характеристики (перемещения и напряжения) не претерпевают разрывов при переходе через внутренний электрод, хотя напряжения могут иметь особенности на его концах. Электрический потенциал будет непрерывной функцией во всем объеме среды. При переходе через электрод только нормальная составляющая вектора электрической индукции терпит разрыв. В этом случае ЛТ = 0 и от системы уравнений (3) переходим к одному уравнению

Х22<^>)0Ф2С- (6)

Применяя обратное преобразование Фурье к (6), получаем ИУ

¡к0 f ^ = (р2 {

Ы < а

(7)

с ядром А'о — I/-22 -^ 5 с!а относительно

2 К 3

неизвестной функции Ас1 ^ ^ при заданном значении электрического потенциала ср2 С, в области |х| < а .

Решения ИУ (5), (7) построены методом фиктивного поглощения для правой части ^ 1

-irjx

-ir/x , _

(t] = const) в [3, 4].

На рис. 3, 4 представлены графики реальных частей амплитуд скачка перемещений Аи'^ для случая трещины (рис. 3) и скачка электрической индукции Аб/^ (рис. 4) при наличии внутреннего электрода (параметр /7 = 0). В качестве пьезоактивного материала выбран титанат бария (е = 2,7, s = 25,99), 2//, = 0,5 , 2h2 = 0,5 , ¿7 = 1. Графикам, построенным точками, соответствует приведенная частота колебаний Q = 3, пунктирной и сплошной линиями - Q = 7,10 соответственно.

Re Aw х

Re Ad x

0.2 Olfc 0.12 0.05 0 04 Vi

V? -Od -0.2 0 \Js -0.05 -O.lS4 ■Ii 2 zr^i / "ч \ f /

Рис. 3

Рис. 4

—a

X

X

На графиках видно увеличение осцилляции динамических характеристик с ростом частоты колебаний, равенство нулю амплитуды скачка перемещений на краях трещины и неограниченный рост амплитуды скачка электрической индукции на концах электрода, что подтверждает правильность полученных результатов.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (08-0800144, 09-01-96501, 09-01-96502), Рособразования (проект 1.7.08), гранта Президента РФ (НШ-2298.2008.1).

Литература

1. Пряхина О.Д., Смирнова А.В. Динамические задачи для составных пьезоэлектриков с системой электродов

// Экол. вестн. науч. центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. № 1. С. 59-65.

2. Пряхина О.Д., Смирнова А.В. К исследованию динамики

пакета упругих слоев с совокупностью жестких включений // Докл. АН. 2006. Т. 411, № 3. С. 330-333.

3. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика

массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М., 1999. 246 с.

4. Кардовский И.В., Пряхина О.Д. Метод фиктивного по-

глощения для плоских задач об интерфейсных трещинах // Докл. АН. 2006. Т. 410, № 6. С. 759-762.

Поступила в редакцию

29 июня 2009 г.