К постановке динамических смешанных задач для слоистых сред с дефектами Текст научной статьи по специальности «Физика»

Подставив (13) в (1), получим систему нелинейных уравнений (2), которые решались численно методом скорейшего спуска с дополнительным уточнением шага.

Разрешающие уравнения ввиду их громоздкости здесь не приведены. Решения их получены при раздельном нагружении осевым сжатием и внешним давлением, неравномерно распределенным по кольцу

Рис. 1. Зависимость оптимальных параметров от радиуса оболочки

При расчете предполагалось, что в докритическом состоянии связь между слоями не разрушалась; это предположение основано на результатах испытаний, проведенных С.И.Тимофеевым и его учениками [2, 3].

Ростовский военный институт ракетных войск

q = qa (0,5 + cos2 (р) и постоянным по длине оболочки с ортотропным наружным несущем слоем, внутренним из Д16АТ и сотовым заполнителем из стеклопластика. Оптимальные соотношения толщины слоев для оболочек с различными радиусами и удлинениями показаны на рис. 1,2.

Рис. 2. Влияние удлинения на оптимальные параметры Литература

1. Тимофеев С.И. О применении метода Ритца к исследованию устойчивости трехслойных оболочек: Сб. Механика анизотропных конструкций. М., 1979.

2. Тимофеев С.И. Строительная механика баллистических ракет. Ростов н/Д, 1995.

3. Кобелев В.Н., Коварстй Л.М., Тимофеев С.И. Расчет трехслойных конструкций: Справочник. М., 1984.

______________________________________18 января 2002 г.

УДК 539.3

К ПОСТАНОВКЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОИСТЫХ СРЕД С ДЕФЕКТАМИ

© 2003 г. О.Д. Пряхина, А.В. Смирнова

In the present work the new method is offered for the decision of dynamical tasks for flaky media with defects.

В работе [1] получены функционально-матричные соотношения, описывающие зависимость между перемещениями и напряжениями и являющиеся определяющими при математическом моделировании динамических процессов, происходящих в геологических средах, с учетом их неоднородности. В настоящей работе предлагается новая форма представления этих решений, удобная при исследовании динамических смешанных« задач для многослойных сред с дефектами типа трещин у полостей ^ на линиях раздела слоев, позволяющая.легко выписать систему интегральных уравнений (СИУ), связывающую скачки перемещений и напряжений на берегах трещин. На примере задачи

о колебаниях'двухслойногб1 основания при наличии системы трещин на стыке' слоев- построёйы СИУ и исследованы асимптотические свойства подынтегральных матриц-функций ядер этих СИУ, необходи-

мые при построении решений рассматриваемых систем методом фиктивного поглощения.

Пусть среда представляет собой пакет из N плос-

N

копараллельных слоев толщины Н = 2^Ьк с жестко

*=1

защемленной нижней гранью и занимает область -Я<г50, -°о<х,у< +°° {кк- полутолщина к-то слоя).

Предположим, что на линиях раздела слоев выполняются условия неидеального контакта: имеет место скачок вектора перемещений Ду/(х,у) е'“* . Поверхность среды подвергается некоторому динамическому воздействию (х, у) е~‘ш .

Новые функционально-матричные соотношения, полученные из формул (4), (5) работы [1], описывающие напряжения на линиях раздела слоев имеют вид:

Т* — + <5lmG,T0], к —1,2,...,N.

ff!=I

Здесь

(1)

Цы,=

Ма , т = У,

L*{—oDm + Mfa.. т-к<

Lt(m-l)Dm. тп> к,

l=k

G*=-B+K).

Fлг =B_(-/iw),

F* = B.(— ht)- gJl+{hM)— J?tB-(^*+i)Fi+iGt+1,

¿?*= —. k = l,..,N-í Mt+i

1 ,m = l -символКронекера.

О ,тФ\

В этих формулах индекс т отвечает т-й трещи-

Используя (1), (2), выпишем для наглядности матрично-функциональные уравнения для пакета из двух слоев:

^(/*)=К1Д+К12Г„ г = 0{г1 = к1\ (3)

— = К2!—+К22Г, >, г = -2А1(г1 =-Л1илиг2 = Здесь

к.^вДй.ЬвД/ь^г'вД-й,),

к21=-гг,в+(-/11) к22=г1-1.

^.ТоТ^У^- преобразования Фурье от вектор-функций соответственно по перемен-

ным д:, у.

СИУ для системы М трещин, занимающих пло-

(4)

не, а индекс к отвечает напряжениям на линии раз- ские области на линии раздела слоев, на основании

(®+(zi)"*"®-(zi)Fi G,)r0 +B_(zj)¿Llm^mf,

m=l

дела к-го и к+1-го слоев.

Перемещения в изотропной среде определяются выражениями •

™,(г1)=

= _1_

Л

(2)

= ~~~ 2 + (г* Ж*(*-1>п +В-(г* Х'ы '^Р-т^т +^1т^1Т0) ,

Н’к т~^

к = 2, 3,...,Ы-1,

wлЫ=

= (®+(гЛ')"*"®-(гЛГ ^(Мп^т + »

/Лдг т=1

к-\

гк = г + 2£й, +Нк, Ц] - модуль сдвига у-го слоя. 1=\

Заметим, что Ьп =МП = Р,~|.

(3) имеет вид

Якп (x-^y-n)—(^v)d^dt]-

£2q

Pt

(5)

(6)

+ I Я к12 (* - & У - ¿Г] = (х, у)

*-1 Пц

(х,у)е £20,г = О ,

Дк21 (* - §, у - 7])^(|,77)^77 +

Со /^1

+ 2 Я к22(д:-|, у-77^(1,77)^¿п =>

(х,у)е £11т,г = -2\,т = 1,2,...,м , причем размерность этой СИУ Зх(М+1), а £21т - области, занимаемые трещинами (/и = 1,...,М); £20 -область действия поверхностной нагрузки ^(х.у); 11т - напряжения на берегах трещин (¡11т =1* =1" );

=<-'<, = VI,(х,у,-А,)-уу;т{х,уЛ) “ скач-

Матрицы В±(г4) для различных типов сред ки перемещений на берегах трещин; \у^_ смещения

(изотропных, электроупругих, анизотропных, тер- _ _

ч ГЛ1 точек поверхности среды в области £2п .

моупругих, термоэлектроупругих) приведены в [2]. ^

Отметим, что в случае гармонической задачи элементы этих матриц зависят от со - частоты колебаний и а, [} - параметров преобразования Фурье по переменным х, у.

Применив обратное преобразование Фурье к (2), получим интегральное представление решения для гармонической задачи (множитель е~1ш1 опущен):

*(х,у,г,<о)я-±-1 / Щг)е-1ах+^^ас1р,

4тг д, г2

\У(г) = \У(а,/3, а правила выбора контуров интегрирования 81г82 приведены в [2].

Ядра СИУ определяются выражениями

kwM“AflKwM>^Aaí/? ,

471 s,s2

а матрицы-функции КДа,/3) - формулами (4).

Введем полярную систему координат а =^А| eos у, /3 = |А| sin у. Для дальнейших исследований самостоятельный интерес представляют главные части интегральных операторов СИУ (5), (6) при |А| —> со в

Поскольку из свойств элементов матриц В±(±й*) И вытекает, что

lim В+(- hk)=0, lim В_ (hk)=О, то получим

|А|-»оо

,!}mK.i=|i}m в+(й,),

1ЯЬ~

115“к«=°- !^К^=0’

lim К22 = lim F,'1 = lim[B_(-/i1)-£,B+(/i2)]'1

|Я|—>«<» [А]-**» |А|-*»

(0 -нуль-матрица).

Выделяя главные элементы асимптотических разложений матриц К u, К 22, получим

K.^Kj’.d + OiA-2)), К22 = К22(1 + 0(Л~2)),

где матрицы К®,*, К22 имеют следующую

Если = Ц2(У1 = У2), то имеем однородный слой, содержащий систему трещин. В этом случае = 1,

С 1

1 , с2 = 2, с3 = 0, а элементы матрицы

„2 „2 ci сз

- И 2

1-v,

cos у + sin у

1-v,

—1

sin у cos у О

\

1-V,

—1

sin у cosy

* sin2 у + cos2 у

1-v,

0

1

структуру:

f М° cos2 у + № sin2 у sin у cos у

<=

W

W

(л/j0 -N0)

iM° cosy

sin у cos у ^0 j M° sin2 у + № cos2 у iM\ sin у

-/M; cosy Ä

w

sin у

А/,

w

Aff-l-v,, A/2°=v,-|, ЛГ°=1.

1-у1

полностью совпадают с асимптотикой соответствующих элементов матриц для трещины в однородном слое и в пространстве, приведенных в [2,' 3].

Авторы благодарят В.А. Бабешко за внимание к работе.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (№ 03-01-96645, 03-01-96537, 03-01-00694), ’ Минобразования

России (Е-02-4.0-191), ФЦП «Интеграция».

К°и=-|

cos2 y+Nsin2 у) JA| sin у cosy(M,-N) iX cosyM |A| sin у cos y(M, -N) \X\(M, sin2 у + N cos2 у) iX sin yM

r, \ 2

-lAcosyMj

- /A sin yM2

|A|M,

cf -c2

,m2=-^lt,n=—

3 C1 C3 C2

c^a-vj+g^i-vj, c2 =1 + ^1,

Ci =(v, -1/2)-gl(y2 -1/2).

Литература

1. Бабешко В.А., Пряхина ОД., Смирнова А.В.И Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Юбилейный выпуск. 2002. С. 80-82.

2. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М., 1999.

3. Глушков Е.В., Глушкова Н.ВЛ ПММ. 1996. Т. 60. Вып.2. С. 282-289.

Кубанский государственный университет

1 марта 2003 г.

УДК 532.593

ОТРАЖЕНИЕ И ПРОПУСКАНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ ВЕРТИКАЛЬНЫМ ПРЕПЯТСТВИЕМ В УЗКОМ КАНАЛЕ

© 2003 z. B.B. Tpenauee

Received the relation between amplitude coefficients of reflection and capacity effects for a plane harmonic wave in a narrow channel in the case of an arbitrary form of a cylindrical obstacle. The relation have got a sense of a preservation low for an energy.

Рассматривается задача о дифракции плоской поверхностной гармонической волны в канале постоянной ширины 2Ь и глубины Л на жестком неподвижном цилиндре. Частные случаи препятствий в виде кругового цилиндра и пластины изучались в [1 - 3]. Образующая цилиндра параллельна вертикальной оси; направляющая представляет собой плоскую замкнутую кривую ограниченной кривизны, расположенную в горизонтальной плоскости, что позволяет применить теорию Фредгольма [4] к интегральному уравнению задачи дифракции на препятствии.

Боковая поверхность цилиндра пересекает свободную поверхность жидкости. Канал заполнен идеальной несжимаемой жидкостью, влияние диссипации энергии не учитывается. На цилиндр падает плоская гармоническая поверхностная волна, которая частично отражается от него. Длина падающей волны удовлетворяет неравенству теории узких каналов А > 2Ь . В этом случае в канале возникают плоская отраженная волна, плоская преломленная волна, а также счетное множество не распространяющихся волн, которые