CC BY
13
,Нт В+(- Ик)=0, Ит В_(кк)=О, то получим
|А|-»оо
,!}тК.1=|1}т в* (а,),
1ЯЬ~ 1я1-~
|1^к“=0’
Ит К22 = Ит Г,*1 = 1}т[В_(-/г1)-£1В+(/!2)]'1
|А|-»<*» [А]-**» |А|-*»
(0 -нуль-матрица).
Выделяя главные элементы асимптотических разложений матриц К п, К 22, получим
к.^к^а+оа-2)), к22=к22 (1+о(л~2 )>,
где матрицы К®,*, К22 имеют следующую
Если ^ = Ц2(У1 = У2), то имеем однородный слой, содержащий систему трещин. В этом случае = 1,
С 1
1 , с2 = 2, с3 = 0, а элементы матрицы
J- „2 С1 сз
_ И 2
1-v,
cos у + sin у
1-v,
—1
sin у cos у О
\
1-V,
—1
sin у cosy
* sin2 у + cos2 у
1-v,
0
1
структуру:
f М° cos2 у + № sin2 у sin у cos у
<=
W
W
(л/,° - А^°)
iM° cosy
sin у cos у ^0 ^0 j М° sin2 у + № cos2 у iM\ sin у
-іМ\ cosy А
M[
W
Мйх =\-vb №=h
1_У‘
полностью совпадают с асимптотикой соответствующих элементов матриц для трещины в однородном слое и в пространстве, приведенных в [2,' 3].
Авторы благодарят В.А. Бабешко за внимание к работе.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (№ 03-01-96645, 03-01-96537, 03-01-00694), ’ Минобразования
России (Е-02-4.0-191), ФЦП «Интеграция».
К°и=-|
|A|(ii?, cos2 y+Nsin2 у) JA| sin у cosy(M,-N) iX cosyM |A| sin у cos y(M, -N) \X\(M, sin2 у + N cos2 у) iX sin yM
\
2
-lAcosyMj
-/A sin yM2
№
Mx =
cf -c2
,M2=-^lt,N = —
3 Cl C3 C2
c^a-vj+g^i-vj, c2 =1 + ^1,
C} =(v, -1/2)-gl(y2 -1/2).
Литература
1. Бабешко В.А., Пряхина ОД., Смирнова А.В.Н Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Юбилейный выпуск. 2002. С. 80-82.
2. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М., 1999.
3. Глушков Е.В., Глушкова Н.ВЛ ПММ. 1996. Т. 60. Вып.2. С. 282-289.
Кубанский государственный университет
1 марта 2003 г.
УДК 532.593
ОТРАЖЕНИЕ И ПРОПУСКАНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ ВЕРТИКАЛЬНЫМ ПРЕПЯТСТВИЕМ В УЗКОМ КАНАЛЕ
© 2003 z. B.B. Tpenauee
Received the relation between amplitude coefficients of reflection and capacity effects for a plane harmonic wave in a narrow channel in the case of an arbitrary form of a cylindrical obstacle. The relation have got a sense of a preservation low for an energy.
Рассматривается задача о дифракции плоской поверхностной гармонической волны в канале постоянной ширины 2Ь и глубины Л на жестком неподвижном цилиндре. Частные случаи препятствий в виде кругового цилиндра и пластины изучались в [1 - 3]. Образующая цилиндра параллельна вертикальной оси; направляющая представляет собой плоскую замкнутую кривую ограниченной кривизны, расположенную в горизонтальной плоскости, что позволяет применить теорию Фредгольма [4] к интегральному уравнению задачи дифракции на препятствии.
Боковая поверхность цилиндра пересекает свободную поверхность жидкости. Канал заполнен идеальной несжимаемой жидкостью, влияние диссипации энергии не учитывается. На цилиндр падает плоская гармоническая поверхностная волна, которая частично отражается от него. Длина падающей волны удовлетворяет неравенству теории узких каналов А > 2Ь . В этом случае в канале возникают плоская отраженная волна, плоская преломленная волна, а также счетное множество не распространяющихся волн, которые
затухают по экспоненциальному закону в направлении от цилиндра [1 - 3].
Потенциал скорости жидкости описывается плоскими волнами в дальней зоне по отношению к препятствию
<р, = -cd(z)[sin(ft) t - kx)+|Л| sin(w t + кх+Yi)],
-я/Я »1; q>2 = -cd(z)\P\ sin (со t - kx+y2).
,, , . chk(z + h)
x!X »1; d(z) = a--------t-~- , (1)
sh kh
где a, c = co/k- амплитуда и фазовая скорость падающей волны; к = 2я/Л - волновое число; |i?|, |р| -амплитуды коэффициентов отражения и пропускания; у, и уг - фазовые сдвиги отраженной и прошедшей за препятствие волн.
Пусть препятствие находится в некоторой окрестности начала координат. Выделим объем жидкости с помощью сечений х = +1, находящихся в дальней зоне. Движение периодично, поэтому изменение кинетической энергии в выделенном объеме обращается в ноль на промежутке времени, равном периоду
Т = 2л/а. Работа сил давления в сечениях канала находится из соотношений
А1Л=ШР){\^т, х = +1, (2)
о о/ ах
где р - плотность жидкости. Подставив (1) в (2), найдем Д и Аг. Из теоремы об изменении кинетической энергии, примененной к выделенному объему жидкости на промежутке времени, равном периоду Т, следует, что Л, + Аг = 0. После преобразований получим
И2+И2=1. (3)
Соотношение (3) имеет смысл закона сохранения энергии плоских волн в узком канале, оно не зависит от формы поперечного сечения вертикального цилиндрического препятствия, что дополняет результаты [1-3].
Литература
1. Ламб Г. Гидродинамика. М., 1947.
2. Трепачев В.В. II Колебания, волны в жидкости и газе. Горький, 1990. С. 85 - 89.
3. Трепачев В.В. II Изв. вузов. Сев.- Кавк. регион. Естеств. науки. 2002. № 2. С. 38 - 40.
4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1972.
Ростовская-на-Дону государственная академия сельскохозяйственного машиностроения
8 июля 2002 г.
