CC BY
14
А)
элемент, например, £ = —, где А0 - амплитуда про-
А)
стого спектра первой оборотной гармоники; Ац - соответственно амплитуда к - й гармоники с частотой
со® исследуемой субдетали.
Виброграмма может сниматься не обязательно прямо с ротора или субдетали (что конструктивно невозможно), а с деталей, как можно более тесно связанные с указанными (например, с корпусов опорных узлов).
Литература
1. Бидермап B.JI. Прикладная теория механических колебаний. М., 1972.
2. Блехман ИИ. Вибрационная механика. М., 1994. Ъ.Диментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. М., 1980.
А.Кунина П.С., Павленко П.П. Диагностика газоперекачивающих агрегатов с центробежными нагнетателями. Ростов н/Д, 2001.
5 .Кунина П. С., Бунякин A.B. Методы анализа спектров вибрации. Ростов н/Д, 2001.
' 6. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М., 1969.
Кубанский государственный технологический университет_____________________________________26 ноября 2002 г.
УДК 539.3
ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТРЕХСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕК
© 2003 г. А. А. Татаринов, Г. С. Тимофеев
One of the problems of optimum designing is the maintenance of a minimum structure weight at maintenance of an indispensable carrier level of ability. Often the carrier ability of sandwich cylindrical shells is determined by their stability. The solution of a problem of optimum designing of a sandwich cylindrical shell with mild filler of the loaded axial compressing force and (or) external pressure by a method of Lagrange multiplicities is considered.
Рассмотрен пример инженерной методики определения параметров трехслойных цилиндрических оболочек (ТЦО) на основе теории устойчивости [1].
Одной из задач оптимального проектирования является обеспечение минимального веса конструкции при необходимом уровне несущей способности, которая часто для ТЦО определяется их устойчивостью. Рассмотрим задачу оптимального проектирования ТЦО с легким заполнителем, нагруженной осевой сжимающей силой. Аналогично решаются задачи при других нагрузках.
Как правило, геометрические размеры, материалы несущих слоев и заполнителя выбираются-в зависимости от назначения самой конструкции, выигрыш в весе при этом может быть получен только при рациональном выборе относительных толщин слоев:
<5=/2/Я; /=^//2; Л, =й/г2.
Здесь Г/, ¡2, Л - толщины внутреннего и внешнего несущих слоев, слоя заполнителя соответственно; 7?-радиус срединной поверхности цилиндрической оболочки.
При значительных геометрических размерах можно пренебречь разницей в радиусах слоев и положить
= Кср = К. Общий вес оболочки в этом случае
можно представить в виде суммы
(2 = 2лНг1д{{2+У1Х + 2уъ111'), где у, - удельный вес
материала слоев; I - длина оболочки.
Физические характеристики каждого из слоев оболочки будем полагать заданными. Остальные проектные параметры входят в решения нелинейных задач устойчивости [1] и могут быть найдены способом множителей Лагранжа.
Составим функцию
F =0 + Яі^- + Я;
ЭЭ . ЭЭ 2 ду+ гдп'
- 4Э {l-ßl2ßy2) где Э=•
% R 15
Ех2 h
безразмерная энергия
оболочки; X], Хг, Х3 — неопределенные множители Лагранжа.
Приравняем нулю частные производные от этой функции по проектным параметрам / , д, Ь„ безразмерным амплитудам прогибов Сиу/, параметру волнообразования г], а также множителям Лагранжа А,-. Получим систему уравнений задачи оптимального проектирования:
|^ = 0; у=1,6; ' (2)
9 Г,
У1=Г; у2=5; Уз У4=С; /5=^; Гб
dF
ЭЯ,-
= 0; i=l,2,3.
Полная энергия системы Э = £/ - А, где С/иА-потенциальная энергия (ПЭ) и работа внешних сил,
и=и1+и2+и1.
Здесь 1 и 2 - индексы несущих слоев, внешнего и внутреннего, 3 - заполнителя.
и, = ии +ии1, где ис, и„- ПЭ деформации срединной поверхности и изгиба.
При определении ПЭ деформации изгиба от действия момента, возникающего за счет разнесения несущих слоев, учтем влияние поперечных сил в заполнителе на изменение кривизны и то, что они удовлетворяют гипотезе прямой линии для заполнителя.
А
В ПЭ деформации срединной поверхности орто-тропных несущих слоев
I 2л
IV
■о о
хех +ауЕу +
*xyYxy
'jdxdy
деформации связаны с напряжениями известными зависимостями:
Єх=~Ру-
У а X
Єу =і Мх!Г’ Y
L‘x
ХУ
(3)
‘-X '-‘у ‘-'У X '-’ху
Обычным образом введем функцию напряжений
ах - Фуу •
Оу=Фхх,
*х=Фху-
(4)
Здесь и далее индексы координат у функции напряжений Ф или перемещений и, V, означают частные производные по этим координатам.
Учтя (3) и (4), выражение для ПЭ срединной поверхности несущего слоя представим в виде:
I 2 кг
'О О JU •+— Er Е
ф —Lф
F уу Е ™ с.х
-\ '\ Ф Ф Л-------------—Ф ^
XX ^ уу т ^ ^ху ^ ху
dxdy. (5)
Функцию напряжений найдем из уравнения совместности деформаций для ортотропной оболочки [2]:
/
_1_
Ег
Фып,+ — Фгггг+ 2
Gxy Ех Еу
Ф =
гх\уу
2 1
= ыху +™ххюуу+ — ыхх .
Прогиб примем, следуя [1], в виде функции, полученной на основе прямых измерений перемещений в докритическом состоянии и скоростной киносъемкой при потере устойчивости
м> = /„ +/^тахьт/Зу +/28т2 ах, ' (6)
и подставим в уравнение совместности деформаций (6). Интегрирование последнего даст функцию напряжений '
Ф = е, со&2ах+ г, соэ2Ву +
, (7)
+ £3 зтЗсигвш/З.уч^ sm.ax5m.Py-ру /2, '
где а=тп/1, Р=п/Я - параметры волнообразования; т, п - число полуволн соответственно по образующей и по кольцу;
S\ =
32а2 8i =
-7л
2д2
azß
2а4 IEV+162ß*/EX+18GI а
„ -Е*а fi. 52 ■ /і/г >'
gA ,4/r , й4
у ' *““í- • “jr ■ *”“0
2 f /і
а ІЕу+Р ІЕХ + 2Є0 О0=а2{32 (іІСху-цхІЕх-цуІЕу).
Составляющую прогиба /0 определим из условия замкнутости
2 JtR
¡Vydy = 0,
о
используя известные уравнения
(8)
£у-',у + 2™ ^ £ ^Рхх ~ №хФуу)' (9)
Из (8), учтя (9), найдем
/о=|/2-^2/,2+М^.
Подставив значение функций напряжений (7) в (5) и проинтегрировав, получим г /
U. =—7i Rit 4
32 04 2
*Tß *, +
32 4 2 ~Га Si +
ЕУ
81
1
—а4+—ß*+2G0
8з2 +
ПЭ изгиба несущего слоя определим следующим образом:
1 12яй 2 / \
ии =~\ / / Кие» + о>еу« + +
0 0 _1 2
й + ті/ w« + °xxwyy + 20xywxy )dxdy ■
¿ Jo О
1 Г
+—г
2
Здесь первый интеграл - ПЭ изгиба за счет собственной изгибной жесткости слоя, второй - энергия изгиба относительно центральной поверхности. Так как для несущих слоев принята гипотеза прямых нормалей, деформации изгиба определяются соотношениями £ш = ; £уи = -гмуу; ухи = -2г'^ху, вос-
пользовавшись которыми с учетом обобщенного закона Гука для плоского напряженного состояния, получим для ПЭ изгиба несущего слоя выражение
1 12пК1
и и =~/ I \рх™хх +ВуМуу +
О о
+ {Dxßx +Dxtxy\vxxwyy +4DkWxy2 +
\
{фуу^ + фя W„ + 2ф^ ) dxdy,
ґ і 1 4 /ї + —
2
Е Г
У
; Dt=G^í3/12.
где Ог, Е)у, - собственные изгибные и крутильная жесткости слоя.
£ г3 17 *3
Я=-тт-^--------1; £>,=■
ПЭ заполнителя:
^ I 2лЯ й / ,
^3=т/ I /(гхгГ^ + (10)
/0 О -Л
Углы поперечного сдвига и перемещения заполнителя в направлении осей X п у соответственно определяются из [1]:
УХ1=иг+ и>Л; ууг=уг+Ку, (11)
где перемещения заполнителя [2]
«г =\(и2 + И|) + ^(*2 -'.Кг +
^=|^2+^)+^(г2-Г,К +
Из (10) - (12) получим
+—
h
+ Pi t¡ fa Pi ¡ Ex¡+a2[f\2 + 2/г 2 )/ 2)] +
А+^.^за^ОД^Чо.г/.^+ОДРС^/З2/,2)
(12)
где С0/ = (1 / - Цх1 / Еа - Цу1 / £,,•) а2 02.
— Е Е,
Введем обозначения: Е = ——, ' К, = —^,
Е, 2 ^
Еуг
К2 = —— - относительные модули упругости несу-Ех 2 •
1 / 2лЯ
2/t о о
т(М2 ~«l)2 +y2w/ + /(M2 -«lK
. G
+ щих слоев; Gj = ——, G2 =
G
>у2
относительные
+ G* ((v2 -V,)2 /4 + y2w2 + y(v2 - V, V, ]jdxety, y=A + (f,+f2)/4 .
xl
^2
С17 ^уг
модули сдвига несущих слоев; их =——, оу =-------------
£*2 Ех2
Зададим полуразности смещений в виде функций: относительные модули сдвига слоя заполнителя;
— (и2 /3 cos3a.xsin3 ßy + /4 sin3 2a д: ;
1
—(v2-v,)= /5 sin3 axcos3 ß y.
В = £ф0, И = ЕТ ц0 - жесткости на растяжение и изгиб несущих слоев, где ¡х0 =---"Цд'^у1— коэффи-
^х7^у2
Амплитуды смещений /з,/4,/5 можно выразить че- циент поперечной деформации; с, ц, Ьк- параметры
волнообразования, к = 1, 4; с = т2л2К2Г2; Т] - п28 ;
=с2К^1 +г]2 +2Г,; Ь2 = с2 К;1 +Г12 +2Г2-
Ь2 = 81с2ЛГ,"1 +Г)2 +9Г,; Ь4 = 81с2^2'!+гу2+9Г2,
Выражение для безразмерной энергии можно представить следующим образом:
Э=^К1Ё + К2)^2-4Ч^ +
э«э
рез /у и/2, решив уравнения —— = 0, у =3,4,5. Решение их дает /. =у В_/ = 3,4,5,
В,»—«/,; В2=-|а/2;
Работа сжимающей осевой силы -
о о
Если выразить их через прогиб и относительную деформацию срединной поверхности несущего слоя, а последнюю - через функцию напряжений, получим 1 , х 1 -Л
— \Фуу - Рх1фхх )--™х <МУ ■
+^2{tE + î)c2S2;4 +
Api=Pih) î
о о
Л"’
t_E_ 1_
h + К
82^2\¡f2r¡2c2 +
Долю осевой силы, воспринимаемой каждым слоем, можно считать пропорциональной его модулю
Е . ■
упругости Е„: р1 = ——/?;г = 1,2..
f— + — by b2
с282£2(2-гщ/Ь'У +
Ех\+Ех1
Полная энергия системы
+ 2ht2\h,+±
rtE_+2¡_ bt b2
c2r¡82[2-/i(7JI^2)h
3=-яй|і 4 .=i
1
32EJ, a+ 4{ß* iEx¡+S]a* i
, a4f2(2/R-f2ß2) ,
«4i84/,2/22
+ 32 Ey‘
+ +^2С2К + к2)+
іб
pjtE + l)
+ 2&1 + ЯД52&.+ЯЛ)
+ й,(С2+2^2)
^ J ß* /+CC4/Ey¡ +G0¡ 1
+-^-P,2 + 0ла4(8/22 + /,2)+ Dyß4f2 +
xi
+ + 4Dtt)a2ß2f2 +
2t,
+—Кгс282 (d + \fe\¡r2 + с2 )+
+ h,
Ґ t Л h + ± 2
ht +~]f G,c(o,19C2 +0,2va2)+0,19^-Ç2
1 , 2/тГі
^4/,2||-/2^2
fi*/Exl+a*/Ey¡+Gn¡
+цх2 +K2py2 +4PGlE+4G1)cT]5C2. (13)
Подставив (13) в (1), получим систему нелинейных уравнений (2), которые решались численно методом скорейшего спуска с дополнительным уточнением шага.
Разрешающие уравнения ввиду их громоздкости здесь не приведены. Решения их получены при раздельном нагружении осевым сжатием и внешним давлением, неравномерно распределенным по кольцу
Рис. 1. Зависимость оптимальных параметров от радиуса оболочки
При расчете предполагалось, что в докритическом состоянии связь между слоями не разрушалась; это предположение основано на результатах испытаний, проведенных С.И.Тимофеевым и его учениками [2, 3].
Ростовский военный институт ракетных войск
q = qa (0,5 + cos2 (р) и постоянным по длине оболочки с ортотропным наружным несущем слоем, внутренним из Д16АТ и сотовым заполнителем из стеклопластика. Оптимальные соотношения толщины слоев для оболочек с различными радиусами и удлинениями показаны на рис. 1,2.
Рис. 2. Влияние удлинения на оптимальные параметры Литература
1. Тимофеев С.И. О применении метода Ритца к исследованию устойчивости трехслойных оболочек: Сб. Механика анизотропных конструкций. М., 1979.
2. Тимофеев С.И. Строительная механика баллистических ракет. Ростов н/Д, 1995.
3. Кобелев В.Н., Коварстй Л.М., Тимофеев С.И. Расчет трехслойных конструкций: Справочник. М., 1984.
______________________________________18 января 2002 г.
УДК 539.3
К ПОСТАНОВКЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОИСТЫХ СРЕД С ДЕФЕКТАМИ
© 2003 г. О.Д. Пряхина, А.В. Смирнова
In the present work the new method is offered for the decision of dynamical tasks for flaky media with defects.
В работе [1] получены функционально-матричные соотношения, описывающие зависимость между перемещениями и напряжениями и являющиеся определяющими при математическом моделировании динамических процессов, происходящих в геологических средах, с учетом их неоднородности. В настоящей работе предлагается новая форма представления этих решений, удобная при исследовании динамических смешанных« задач для многослойных сред с дефектами типа трещин у полостей ^ на линиях раздела слоев, позволяющая.легко выписать систему интегральных уравнений (СИУ), связывающую скачки перемещений и напряжений на берегах трещин. На примере задачи о колебаниях'двухслойногб1 основания при наличии системы трещин на стыке' слоев- построёйы СИУ и исследованы асимптотические свойства подынтегральных матриц-функций ядер этих СИУ, необходи-
мые при построении решений рассматриваемых систем методом фиктивного поглощения.
Пусть среда представляет собой пакет из N плос-
N
непараллельных слоев толщины Н = 2^Ьк с жестко
*=1
защемленной нижней гранью и занимает область -Я<г50, -°о<х,у< +«> (А*- полутолщина к-го слоя).
Предположим, что на линиях раздела слоев выполняются условия неидеального контакта: имеет место скачок вектора перемещений Ау/(х,у) е~‘°*. Поверхность среды подвергается некоторому динамическому воздействию (х, у) е~‘ш .
Новые функционально-матричные соотношения, полученные из формул (4), (5) работы [1], описывающие напряжения на линиях раздела слоев имеют вид:
