CC BY
2UO'T 378; 513: 371.3
РЕШЕНИЕ БИЛЬЯРДНОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДАМИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ПОСТРОЕНИЙ
Абдурахмонов Шерзоджон
канд. пед. наук., доц. НамИСИ
Тураев, Носиржон Собиржонович, НамИСИ, т.ф.ф.д, (PhD) доцент nosirjonturayev1986@gmail.com
Солиев Дониёр Зокиржонович НамИСИ, doniyorsoliyev 1978@gmail. com
В ходе выполнения графической части проектных работ, особенно по оптике, акустике и аэродинамике весьма часто приходится решать задачи, связанные с необходимостью изображения точки отражения от поверхности прямой линии, выступающей в качестве струи светового, звукового или воздушного течения. Задачи такого типа, будучи очень разнообразными, в математике имеют общее название, как «бильярдные».
Условие бильярдной задачи содержит три компонента: 1) место исхода или направление течения струи, 2) геометрический образ, с которым предстоит сталкиваться этой струе, 3) место, куда должна попадать струя после отражения от поверхности геометрического образа. Искомым решением задачи является, при этом, место падения и отражения струи на поверхности заданного геометрического образа.
S
Рис. 1.
Рис. 2.
Древнейшим примером графического решения бильярдной задачи, связанной с определением места отражения T светового луча, исходящего из источника света S от прямой линии t для места взгляда P (Рис. 1), служит чертеж, выполненный древнегреческим ученым Героном. Теоретической основой решения этой задачи является закон о том, что световой луч всегда проходит сквозь пространство, находя себе наикратчайший путь, что значит, в однородном пространстве - по прямой линии. На рис.1 точка T найдена как место пересечения прямых линий SPi и t, где ISPi\ = \ST\ +\TP\. Это равенство на чертеже обеспечено приравниванием углов а, ß и ßi, как противолежащих и соседних, где углы а и ß называются углами падения и отражения.
В бильярдной задаче путь, преодолеваемый струей, остается всегда прямолинейным, а геометрический образ, от поверхности которого она рикошетирует, может иметь какую
Qurilish va Ta 'lim ilmiy jurnali
https://jurnal.qurilishtalim.uz
SAONAT CHIZMACHILIGI
угодно форму. Для первого случая, на чертеже, приведенном на рис. 1, прямую линию от которой отражается световой луч, заменим окружностью £ и допустим, что все действие будет происходить на плоскости этой окружности (Рис. 2).
В начале считаем, что искомая точка Т найдена (Рис. 2), а нам остается только выявить наиболее важные свойства этой точки:
- точка Т расположившись на окружности £, также лежит и на касательной линии 11 к этой окружности в точке касания, из чего следует, что она лежит также и на диагонали 001 ромба ОРО1Р1, которая служит также и нормалью касательной линии £1, совпадая с радиусом окружности;
- из найденной точки Т, отрезки прямых линий |ОР| и |ОЗ| видны под равными углами, т. е., АОРТ = АОЗТ, где точка О - центр окружности £.
Историческая справка. На самом же деле нахождение точки Т графическим путем, даже в таком простом случае, где в качестве отражателя выступает всего лишь окружность, представляет собой некоторую трудность. При нахождении такой точки Леонардо да Винчи воспользовался придуманным им специальным чертежным прибором. В XVII -XVIII вв. такие ученые, как Снеллиус, Коллинз и Потено, решая подобные задачи из области навигации, выполнили определенную исследовательскую работу над их решением.
Современная математика предлагает построение эллипса с фокусами в точках взгляда и источника света, который касается отражающей кривой линии, где точка касания является искомой. В отдельных случаях этот эллипс рекомендуют заменить гиперболой с теми же фокусами. Эти способы, оставаясь весьма заманчивыми требуют, однако каждый раз построения по нескольким софокусным эллипсам или гиперболам до тех пор, пока один или одна из них не начнет удовлетворять условию задачи, причем приближенно.
Авторы считают, что в данной работе новыми являются следующие положения и результаты.
Ключ более точного решения бильярдной задачи приводимого выше типа, находится в свойстве искомой точки, заключающееся в том, что с нее пара отрезков прямых линий таких, как ОР и ОЗ видны под одинаковыми углами (Рис. 2). Значит, искомой является точка, общая для заданной окружности и кривой линии, представляющей собой множество точек, с каждой из которых отрезки ОР и ОЗ видны под одинаковыми углами.
На рис. 3, приведен компьютерный вариант построения комплекса линий,
Рис. 3.
Qurilish va Ta 'lim ilmiy jurnali
состоящего из прямых и кривых, названного нами бликианой (имеется в виду, что «блик» есть точка, из которой расстояния из источника света и точки взгляда до центра окружности, являющейся отражателем, видны под одинаковыми углами). При получении такого результата использовано равенство:
(РТ2 + ОТ2- ОР2): РТ = (ЗТ2 + ОТ2 - О?2): ЗТ.
Интересные результаты дает изучение этого комплекса последовательно, традиционными геометрическими построениями.
Пусть дана пара отрезков ОР и ОЭ с одним и тем же началом в точке О, где Р - точка взгляда, Э - источник света и О - центр окружности, от которой отражается световой луч (Рис. 4; окружность с центром в точке О пока изображать на рисунке не обязательно). Одна из искомых точек, например Т, строится следующим образом. Построим на отрезке ОР ромб ОРО1Р1. В точке пересечения прямой линии ЭР1 с диагональю ОО1, находим искомую точку Т (Рис. 4). Это же действие повторяем, изменяя размер другой диагонали ромба, несколько раз. То же самое желательно выполнить и с ромбом ЭО81О2. В итоге получим кривую линию, напоминающую своей формой офиуриду (плоскую кривую линию, определяемую как подера параболы относительно какой-либо точки лежащей на касательной в вершине этой параболы. Подера - геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из какой-либо выбранной точки на касательные заданной кривой линии), состоящую из таких звеньев, как 1 (2, (б и прямую линию, состоящую из звеньев (з, 4 (б.
Несмотря на свою неполноту, полученные выше результаты позволяют сделать ряд важных выводов:
- бликиана обеспечивает точное опре-деление места, где отражается источник света для точки взгляда от окружности, если ее центр рас
расположен в узловой точке этой кривой линии, т. е. в точке О;
дипИ,?И уа Та Ит йт1у]итаИ 3-рМ, 1-&оп https://jurnal.qurilishtalim.uz
86
- при этом отражение следует делить на два типа: на отражение от внутренней и на отражение от внешней кромки окружности;
- не все точки бликианы могут служить точками отражения источника света для точки взгляда. Такими являются лишь точки, найденные с помощью вспо-могательных ромбов, площади которых расположены целиком вне площади треугольника PQS;
- естественно, что окружность не всякого радиуса с центром в узловой точке имеет точку (точки) отражения источника света для точки взгляда, а имеют ее только те окружности, которые пересекаются с бликианой в звеньях, обведенных на рис. 4 жирной линией;
- точки Р и 8, хотя лежат на определяющей части бликианы, но ни одна из них не может служить точкой отражения;
- когда расстояния |QP| и |QS\ равны, криволинейная часть бликианы приобретет вид дуги окружности с радиусом, равным ^Р\ и При этом во внутренней кромке некоторых окружностей, центры которых расположены в точке Q, увидим не один, как обычно, а пару бликов;
- оставляя точки Р и 8 на прежних местах, точку Q можно удалять в бесконечность, тогда криволинейная часть бликианы приобретет вид, по форме напоминающий пару ветвей гиперболы. Этот вид бликианы, служит определителем отражения источника света от прямых линий, расположенных перпендикулярно к направлению удаления точки Q;
- оставляя точки Р и Q на прежних местах, точку 8 можно удалять в бесконечность, тогда криволинейная часть бликианы приобретет вид, по форме напоминающий циссоиду Диокла;
- также можно уделять внимание и на другие случаи взаимного расположения точек Q, Р и 8, и обнаружить еще какие-нибудь важные свойства бликианы.
Исследование комплекса линий, названного нами здесь бликианой, этим не кончается. Мы рассматривали его только как множество точек, принадлежащих лишь к плоскости отражательной окружности. На самом же деле точки, отвечающие условию о том, что с них пара отрезков с одной общей вершиной, видна под одним и тем же углом, могут распологатсья и вне плоскости этих отрезков. Тогда такой геометрический образ, примет название «бликоид», и должно быть, будет обладать не менее интересными свойствами по сравнению с бликианой.
ЛИТЕРАТУРА
1. Абдурахманов Ш., Кучкарова Д.Ф. Геометрические ключи решения "бильярдной задачи" графическим путем. - Материалы V Всесибирского конгресса женщин-математиков. - Красноярск: РИО СФУ, 2008. - С.: 5 - 9.
2. Абдурахмонов Ш., Алимов И., Бахриддинов С. «Бликоид» номли геометрик образ чизмасини компьютерда хосил килиш масаласи. - УзР киберне-тика института «Алгоритмлаш ва дастурлашнинг замонавий муаммолари» илмий конференцияси маърузалари. - Т., 2001. - 486 - 487-бб.
3. Абдурахмонов Ш., Бахриддинов С. «Бликиана» номли геометрик об-разнинг тасвирини компьютерда хосил килиш масаласи. - УзР кибернетика институти «Алгоритмик программалаш муаммолари» илмий конференцияси маърузалари. - Т., 2000. - 10 - 11-бб.
4. Абдурахманов Ш. «Бликоид» номли геометрик образнинг график тасвирини хосил килиш масаласи. - НСТИ нинг илмий ишлари, 4-туплам. - Наман-ган, 1995. - 74 -76-бб.
Qurilish va Ta'lim ilmiy jurnali 3-jild, 1-son https://iurnal.qurilishtalim.uz
87
5. Абдурахманов Ш. О месте блика - отражения источника света в перспективных изображениях сферы. - Ученые записки Наманганского филиала ТашПИ. Вып.З. -Наманган, 1986. - С.: 38 - 48.
6. https://scholar.google.com/citationsPview op=view citation&hl=ru&user=iYeGi TMAAAAJ&citation for view=iYeGiTMAAAAJ:7PzlFSSx8tAC
7. https://scholar.google.com/citationsPview op=view citation&hl=ru&user=iYeGi TMAAAAJ&citation for view=iYeGiTMAAAAJ:a0OBvERweLwC
8. https://scholar.google.com/citationsPview op=view citation&hl=ru&user=iYeGi TMAAAAJ&citation for view=iYeGiTMAAAAJ:4TOpqqG69KYC
9. https://scholar.google.com/citationsPview op=view citation&hl=ru&user=iYeGi TMAAAAJ&citation for view=iYeGiTMAAAAJ:QIV2ME 5wuYC
10. https://scholar.google.com/citationsPview op=view citation&hl=ru&user=iYeGi TMAAAAJ&citation for view=iYeGiTMAAAAJ:mVmsd5A6BfQC
11. https://scholar.google.com/citationsPview op=view citation&hl=ru&user=iYeGi TMAAAAJ&citation for view=iYeGiTMAAAAJ:eQOLeE2rZwMC
12. https://scholar.google.com/citationsPview op=view citation&hl=ru&user=iYeGi TMAAAAJ&cstart=20&pagesize=80&citation for view=iYeGiTMAAAAJ:hqOjcs7Dif8C
13. https://scholar.google.com/citationsPview op=view citation&hl=ru&user=iYeGi TMAAAAJ&cstart=20&pagesize=80&citation for view=iYeGiTMAAAAJ:roLk4NBRz8UC
14. https://scholar.google.com/citationsPview op=view citation&hl=ru&user=iYeGi TMAAAAJ&cstart=20&pagesize=80&citation for view=iYeGiTMAAAAJ:LkGwnXOMwfcC
15. https://scholar.google.com/citationsPview op=view citation&hl=ru&user=iYeGi TMAAAAJ&cstart=20&pagesize=80&citation for view=iYeGiTMAAAAJ: FxGoFyzp5QC
Qurilish va Ta 'lim ilmiy jurnali
https://jurnal.qurilishtalim.uz
