CC BY
8UO'T 378; 513: 371.3
MUNTAZAM VA YARIM MUNTAZAM KO'PYOQLIKLAR
Xamrakulov, Abduraxmat Karimovich Namangan muhandislik qurilish instituti hamkar1@umail.uz
Annotatsiya: Ushbu maqolada muntazam va yarim muntazam ko'pyoqlar, ularni yartilishi, xususiyatlari hamda arxitekturada qo'llanilishi haqidagi ma'lumotlar keltirilgan.
Аннотация: В данной статье приведена информация о правильных и полуправильных многогранниках, их истории, создание и использовании в архитектуре.
Annotation: In this state there is information about regular and semi-regular multi-level, history, design and use and architecture.
Kalit so'zlar: geometriya, ko'pyoq, muntazam va yarim muntazam ko'pyoqlar, Platon jismlari, Arximed jismlari, prizma, antiprizma.
Ключевые слова: геометрия, многогранники, правильные и полуправильные многогранники, тела Платона, тела Архимеда, призма, антипризма.
Key words: geometry, polynomials, regular and semi-regular polynomials, Platon body, Archimed body, prism, antiprism.
Hozirgi kunga kelib fan, texnika va texnologiyalarni rivojlanishi natijasida shaharsozlik va arxitekturada zamonaviy bino va inshootlar oddiy holga aylanib qolmoqda. Binolarning ko'rinishi turli utjmetrik qattiq jismlar ko'rinishlarini olmoqda. Shu sababli bino va inshootlar qurilishida ko'pyoqlarni qo'llanilishi yana bir bor ko'pyoqlarni o'rganishga majbur etmoqda. Qadimgi yunonistonda geometriyaga qiziqish katta bolgan. Umuman olganda atiga 6 xil platon jismlari yasash mumkinligini ham eramizdan avvalgi Yunoniston matematiklari allaqachon isbotlab qo'yishgan.
Taxminan, eramizdan avvalgi 428-348 yillarda yashab o'tgan yunon olimi Platon o'zining «Timey» nomli asarida ushbu muntazam ko'pyoqlardan beshtasining yasalishi haqida batafsil to'xtalgan[1]. Platon ushbu jismlarning simmetriyasi hamda, matematik jozibasiga lol qolish bilan birga, ushbu shakllar koinotni tashkil qiluvchi to'rt asosiy unsurlarning mohiyat shamoyilini ham belgilaydi deb hisoblagan. Xususan, olov tetraedr shaklidagi zarralardan tashkil topadi deb o'ylagan bo'lsa, havoni u oktaedr ko'rinishidagi zarralardan iborat deb hisoblagan. Suv esa, platon jismlari orasida eng «silliqrog'i» bo'lgan ikosaedrlardan tashkil topgan deb qabul qilingan. Yerni, ya'ni, tuproqni esa Platon eng mustahkam va barqaror ko'pyoq - kublardan tuzilgan deb ta'kidlagan. Beshinchi shakl - dodakaedr samo bo'ylab yulduzlarning joylashtirilishida ahamiyat kasb etgan deb ishonilgan.
Samoslik Pifagor taxminan eramizdan 550 yil muqaddam, ya'ni, Budda va Konfutsiy zamonasida yashab o'tgan bo'lib, uning asarlarida ushbu muntazam ko'pyoqlardan uchtasi -kub, tetraedr va dodakaedr haqida qayd etiladi. Lekin, platon jismlarini toshdan yo'nib yasashga bo'lgan urinishlar Platondan ming yillab avval, so'nggi neolit davrida yashagan odamlar tomonidan ham bajarilgani ma'lum. Shunday toshdan yo'nilgan platon jismlari namunalari Shotlandiya hududidan topilgan bo'lib, arxeologlar tomonidan aynan so'nggi neolit davriga tegishli ekani tasdiqlangan. Nemis astronomi Iogann Kepler (1571-1630) esa sayyoralarning Quyosh atrofida aylanish harakati yo'nalishlarini tushuntirish uchun bir-birining ustiga kiydirilgan platon jismlaridan iborat manzarani tasavvur qilishga uringan. Garchi, Keplerning farazlari xato bo'lib chiqqan bo'lsa ham, Koinot hodisalarining geometrik jihatlarini o'rganishga bo'lgan ilk urinishlardan biri bo'lgan edi.
Qurilish va Ta 'lim ilmiy jurnali
https://jurnal.qurilishtalim.uz
SAONAT CHIZMACHILIGI
Qadimgi yunon olimi Platon (miloddan avvalgi 427-347)tomonidan tasvirlangan vaqtdan beri ko'pyoqliliklarga bo'lgan qiziqish yo'qolmadi [2].
Muntazam va yarim muntazam ko'pyoqliklami o'rganish hamda ularni arxitektura va boshqa sohalarda qo'llanilishi ijobiy natijalarga olib kelishini asoslash.
Maqolani tayyorlashda ilmiy adabiyotlarni o'rganish, tahlil etish, kuzatish, fikrlami taqqoslash metodlaridan foydalanildi.
Ko'pyoqliklar fazoviy shakllardan biri hisoblanadi. Tekisliklar bilan chegaralangan jism ko'pyoq deb ataladi.
Agar ko'pyoning hamma qirralari, yoqlari, ikki yoqli yoki ko'p yoqli burchaklari o'zaro teng bo'lsa, bunday ko'pyoqlar muntazam ko'pyoqlar deyiladi.
Qadim zamonlardan beri muntazam ko'pyoqlar olimlar, quruvchilar, me'morlar va boshqalarning e'tiborini o'ziga jalb qilib kelgan. Ularni bu ko'pyoqlarning go'zalligi, mukammalligi, uyg'unligi hayratga solib kelgan. Pifagor va uning shogirdlari bu ko'pyoqlarni ilohiy deb hisoblashgan va uni mohiyati haqida falsafiy asarlarida bayon etgan. Ya'ni dunyo, muntazam ko'pyoqlar borliqning asosiy tamoyillari, ya'ni: olov - tetraedrdir (uning yoqlari to'rtta muntazam uchburchaklar iborat; yer - olti burchakli (kub, uning yoqlari oltita kvadratdan iborat); havo - oktaedrdir (uning yoqlari sakkizta muntazam uchburchaklar); suv - ikosahedrdir (uning yoqlari yigirma muntazam uchburchaklar); borliq qadimgi odamlarning fikriga ko'ra, dodekaedr shakliga ega edi (uning yoqlari o'n ikkita muntazam beshburchaklar) (1-rasm).
Ko'pyoqlilarning nomlari ham qadimgi yunonchadan kelib chiqqan. Yunon tilidan tarjima qilinganda: "Tetra" - to'rtta; "Geksa" - oltita; "Okto" - sakkiz; "Ikosi" - yigirma; "Dodeca" - o'n ikki; "Edra" - yoq. Muntazam ko'pyoqlarning xususiyatlarini qadimgi yunon olimi Platon batafsil tavsiflangan. Muntazam ko'pyoqlarni Platon qattiq jismlari deb ham ataladi.
d
e
1- rasm. Muntazam ko'pyoqlar. a) tetraedr; b) kub; c) oktoedr; ikosoedr; e) dodokaedr
Qurilish va Ta 'lim ilmiy jurnali
3-jild, 1-son
https://jurnal.qurilishtalim.uz
Evklidning mashhur so'nggi XIII kitobi "Boshlanish" muntazam ko'pyoqlarga bag'ishlangan. Iogannes Kepler (1571—1630) "Olam siri" asarida 1596 yilda muntazam ko'pyoq printsipnilardan foydalanib, quyosh sayyoralari tizimlari orbitalarining shakli va o'lchamlari ishlab chiqardi [3].
Quyosh tizimining geometriyasi, Keplerga ko'ra, quyidagicha: «Yer (yerning orbitasini anglatadi) barcha orbitalar o'lchovidir. Yer atrofida dodekaedrni tasvirlagan. Dodecaedr atrofida tasvirlangan shar Mars sferasidir.
Evklidning so'ngi Arximed (miloddan avvalgi 287-222 yillar) tomonidan beshta muntazam ko'pyoq o'rganilgan. Bunga oltinchi muntazam ko'pyoqni qurish mumkin emasligiga ishonch hosil qilingandan keyin, Arximed, nomlari turlicha ko'pburchaklardan, lekin muntazam hisoblangan ko'pyoqlar qurish bilan shug'ullandi.
Platon jismlarini - muntazam ko'pyoq, bu - yoqlari muntazam ko'pburchaklardan tashkil topgan, ya'ni, tomonlari va burchaklari teng kattalikda bo'lgan uch o'lchamli geometrik obyektdir. Platon jismining har bir cho'qqisidan bir xil sondagi qirralar chiqib keladi. Platon jismlari ichida eng taniqlisi va soddasi bu - kub bo'lib, uning hamma 6 ta yog'i bir xil o'lchamdagi kvadratlardan tashkil topgan bo'ladi [4].
Muntazam ko'pyoqlar soni beshta:
1. tetraedr - to'rta teng tomonli uchburchakdan yasaladi ;
2. oktoedr - sakkizta teng tomonli uchburchakdan yasaladi;
3. ikosaedr - yigirmata teng tomonli uchburchakdan yasaladi;
4. kub - oltita kvadratdan yasaladi;
5. dodekaedr - o'n ikkita teng muntazam beshburchakdan yasaladi.
Bu ko'pyoqlarning hammasini atrofida sharlar chizish mumkin. Hozirgi vaqtda ko'pyoqlarning 75 ta turi ma'lum, ulardan eng katta qismini yulduz shaklidagi ko'pyoqliklar va 9 tasi kvazi ko'pyoqliklar hisoblanadi. M. Venninger o'z kitobida ko'pyoqlar haqida batafsil ma'lumotlar bergan [5].
Yarim muntazam qavariq ko'pyoqliklar turli shakldagi muntazam qavariq ko'pburchakli yoqlarga ega bo'lib, muntazam qavariq ko'pyoqliklarning uchlarini kesish orqali hal qilinadi. Bunday ko'pyoqliklar 18 xil bo'lib, ular Arximed jismlari deb yuritiladi.
Ko'pyoqliklar texnikada turlicha ko'rinishdagi mashina detallari, ko'pyoqlik linzalar yasashda hamda arxitektura va qurilish ishlarida keng ishlatiladi. Ko'pyoqliklardan yana «Geodezik» gumbazlar yasashda, keng oraliqli binolarni ustunsiz yopishda keng foydalaniladi.
Yarim muntazam ko'pburchaklarni Arximed (miloddan avvalgi 287—212) kashf etgan. Ulardan faqat o'n uchtasi bor. Buyuk olim sharafiga ular Arximed jismlari deb ataladi[6]. Beshta Platon qattiq jismning uchlarini kesish orqali beshta Arximed qattiq jismini olish mumkin, Platon qattiq jismlarning yoqlari boshqa shakldagi muntazam ko'pburchaklarga aylanadi. Arximed jismlari quyidagicha shakllangan: kesilgan tetraedr, kesilgan oktaedr, kesilgan kub, kesilgan dodekaedr va kesilgan ikosaedr. Bu ko'pburchaklar qavariq, ko'pburchak burchaklari teng, yoqlari esa ikki turdagi muntazam ko'pburchaklardir. Ikkita Arximed jismlari - kubooktaedr va ikosododekadr - ikkita Platon jismining kesishishi orqali hosil qilingan. Bu ko'pburchak jufti kesilsa, rombokubooktaedr va romboikosidodekaedr hosil bo'ladi. Jismlarni o'zgarishi natijasida qolgan Arximed jismlari hosil bo'ladi [7,8].
Qadim zamonlardan beri muntazam ko'pburchaklar qurishda va mashhur san'at asarlarini yaratishda oltin nisbatdan foydalanilganligi ma'lum bo'lgan. Barcha qirralari teng bo'lgan n-burchakli prizmalar yarim muntazam ko'pyoqlardir va asoslardan birini ikkinchisiga nisbatan aylantirish orqali teng qirrali prizmalar hosil qilingan prizmalar antiprizma deyiladi (2-rasm).
Qurilish va Ta 'lim ilmiy jurnali 3-jild, 1-son https://jurnal.qurilishtalim.uz
74
Bu ikki qator yarim ko'pyoqlardan tashqari yana 13 ta yarim muntazam ko'pyoqlar ham bor, ularni birinchi marta Arximed tomonidan kashf etilgan va tasvirlangan.
Olimning "Ko'pyoq" asari bizgacha yetib kelgan, unda barcha 13 ko'pyoqlarning chizmalarini batafsil tavsiflangan va Arximed jismlari nomi bilan atalgan.
nJ@
a) b)
2-rasm. a) yarim muntazam prizma; b) antiprizma
3 - rasm. Arximed jismlari. a) kesilgan tetraedr; b) kesilgan kub; c) kesilgan oktaedr; d) kesilgan ikosahedr; e)kesilgan dodekaedr
Arximed jismlari teng burchakli yarim muntazam ko'pyoqlar deb ham ataladi, chunki ular teng ko'p yoqli burchaklarga ega. Muntazan prizmalar har qanday shahar me'morchiligida eng keng tarqalgan ko'pyoqdir. Shahar va qishloqlarda turli shakldagi (silindrsimon, kub shaklidagi, shar shaklidagi va boshqa) bino va inshootlarni uchratish mumkin.
Qurilish va Ta 'lim ilmiy Jurnali
https://jurnal.qurilishtalim.uz
k) m) n) v)
4 - rasm. Arximed jismlari. k) kuboktaedr; m) ikosidodekaedr; n) kesilgan kuboktaedr; v) kesilgan ikosidodekaedr
z) p) s) g)
5 - rasm. Arximed jismlari. z) romboktaedr; p) rombikozidodekaedr; s) qiyshiq burunli kub; g) qiyshiq burunli dodekaed
Yuqoridagi ma'lumotlardan kelib chiqadiki, ko'pyoqliklardan arxitekturada va xalq xo'jalgining turli sohalarida foydalanish mumkin. Zamonaviy "hi - tech" uslubidagi bino va inshootlarni loyihalashtirishda Platon va Arximed jismlari shaklidan foydalanish, bino va inshootlarga o'zgacha dizayn va konstruksiyalar taqdim etmoqda.
ADABIYOTLAR
1. Веннинджер М. Модели многогранников. Пер. с анг. М.:«Мир», 1974. 238 с.
2. Короев Ю.И. Начертательная геометрия. М.: КноРус, 2015. 422 с.
3. С.Н. Кривошапко. Многогранники и квазимногогранники в архитектуре гражданских и промышленных сооружений. №4 (90) 2020
4. Korotich A.V. New architectural forms of ruled quasipolyhedrons. Architekton: Izvestiya Vuzov. June
2015. № 50. Pp. 31-46 [ISSN 1990-4126].
5. Wenninger M. Polyhedron Models. Cambridge Univ. Press. 1971. 220p
6. Krivoshapko S.N. and G.L. Gbaguidi Ai'sse. Geometry,static, vibration and buckling analysis and applications to thin elliptic paraboloid shells. The Open Construction and Building Technology Journal. 2016. 10(1). Pp. 576-602 [DOI: 10.2174/1874836801610010576].
7. Савченко В. Полуправильные многогранники // Квант. 1979. № 1. С. 3. 5.
8. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. М.: Изд-во МЦНМО, 2010. 136 с.
9. Щетников А.И. Лука Пачоли и его трактат "О божественной пропорции" // Математическое образование. 2007. № 1 (41). С. 33-44.
Qurilish va Ta 'lim ilmiy jurnali
https://jurnal.qurilishtalim.uz
10. https://scholar.google.com/citations?view op=view citation&hl=ru&user= iYeGiTMAAA
AJ&citation for view=iYeGiTMAAAAJ:7PzlFSSx8tAC
11. https://scholar.google.com/citations?view op=view citation&hl=ru&user= iYeGiTMAAA
AJ&citation for view=iYeGiTMAAAAJ:a0OBvERweLwC
12. https://scholar.google.com/citations?view op=view citation&hl=ru&user= :iYeGiTMAAA
AJ&citation for view=iYeGiTMAAAAJ:4TOpqqG69KYC
13. https://scholar.google.com/citations?view op=view citation&hl=ru&user= iYeGiTMAAA
AJ&citation for view=iYeGiTMAAAAJ:QIV2ME 5wuYC
14. https://scholar.google.com/citations?view op=view citation&hl=ru&user= : iYeGiTMAAA
AJ&citation for view=iYeGiTMAAAAJ:mVmsd5A6BfQC
15. https://scholar.google.com/citations?view op=view citation&hl=ru&user= iYeGiTMAAA
AJ&citation for view=iYeGiTMAAAAJ:eQOLeE2rZwMC
16. https://scholar.google.com/citations?view op=view citation&hl=ru&user= iYeGiTMAAA
AJ&cstart=20&pagesize=80&citation for view=iYeGiTMAAAAJ:hqOjcs7Dif8C
17. https://scholar.google.com/citations?view op=view citation&hl=ru&user= iYeGiTMAAA
AJ&cstart=20&pagesize=80&citation for view=iYeGiTMAAAAJ:roLk4NBRz8UC
18. https://scholar.google.com/citations?view op=view citation&hl=ru&user= iYeGiTMAAA
AJ&cstart=20&pagesize=80&citation for view=iYeGiTMAAAAJ:LkGwnXOMwfcC
19. https://scholar.google.com/citations?view op=view citation&hl=ru&user= IYeGiTMAAA
AJ&cstart=20&pagesize=80&citation for view=iYeGiTMAAAAJ: FxGoFyzp5QC
Qurilish va Ta'lim ilmiyjurnali 3-jild, 1-son https://jurnal.qurilishtalim.uz
77
