Реперы 1-го и 2-го порядков на главном расслоении Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76

Н. А. Рязанов

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград [email protected]

Реперы 1-го и 2-го порядков на главном расслоении

Продолжается исследование касательного и соприкасающегося расслоений к главному расслоению, начатое в [5] и опирающееся на структурные уравнения и деривационные формулы. Получены выражения слоевых форм в натуральном корепере, базисных векторов 2-го порядка в натуральном репере, структурных констант через слоевые координаты.

Ключевые слова: базисные и слоевые координаты, структурные уравнения и деривационные формулы, главное расслоение, натуральный репер и корепер.

1. Задание базисных форм расслоения. Рассмотрим расслоение 0г (Мп) с базой — п -мерным многообразием Мп , и типовым слоем — г -мерным многообразием 0г. Будем рассматривать п -мерную координатную окрестность, в которой

текущая точка определяется системой координат х1 (1,у,к... = 1,...,п). Введем [3] вполне интегрируемую систему п линейно независимых линейных дифференциальных форм со1, первыми интегралами которой являются координаты х':

о1 = х)с1х}. (1)

© Рязанов Н. А., 2015

Аналогичным образом можно ввести вполне интегрируемую систему т линейно независимых линейных дифференциальных форм соа, зависящих от базисных координат х' и слоевых координат хг (а,р,у,... — п +1,... п + г):

соа — харйхр + хайх'. (2)

В общем случае хр, ха — независимые переменные. Пусть хар = хср(х', хг), х" — ха (х}, хг, х]к). Требование линейной независимости форм сС и са задается следующими условиями:

ф о, аег

ф о.

В силу последних условий системы (1) и (2) разрешимы относительно дифференциалов координат йх] и соответ-

ственно:

йх1 — х/ С

_ ~р а 1 а 1

— х а С х а х 1 С

(3)

Здесь

— обратные матрицы к матрицами

соответственно, т. е.

хк хк = 8], хк = 81, хрхг = 8р, %р х у = 8а. (4)

2. Задание векторов репера 1-го порядка. Зададим невертикальные ei и вертикальные еа векторы репера е — {е', еа } касательного пространства ТОг (Мп), двойственные к формам (1) и (2):

е' — х' 8+ ха 8

1 ~ ' 1 ' а а ~ а р

— хр8,

(5)

а

х

р

х

и

а

х

р

где д, = у У дх]

дд - др=1^

х" = —х/х^хар . Выражения опера-

торов частного дифференцирования д и дк по векторам ре-

пера еимеют вид

-г _ а _ 1 1 а ~у

ду = еаху , дк = хке1 — хкху х1 е".

(6)

3. Запись репера и корепера в матричном виде. Выражения (5) векторов репера е = {в', еа} в натуральном репере {д', да } в матричном виде записываются как

(в' в") = ( др)\

л' а У

Формы корепера о = {о',оа}относительно натурального

корепера {^х1, ёха} выражаются по формулам (1) и (2). В матричном виде имеем

г-- ^ С х\ о У dxJ >

о

vе у

ха ха V ху хР у

ч dxp У

Справедливо

С хк

о

V

хр хр

Vх' а у

ху 0

ха ха,

v у у у

^ С хк

V

хр хр Vх' а у

Ъ 0

ха ха

V ' у У

= Е.

4. Условия сопряженности. Для базисных о1 и слоевых оа форм, а также невертикальных е1 и вертикальных еа векторов справедливы следующие условия сопряженности:

с'(ву) = 8', с(еа) = 0, са(е,) = 0, са(ер) =8ар.

Действительно,

со' е) — х'кйхкх81 + Щ8Г)= х'кх!(}хк{д1) + х'кхкйхк(8к) =

8 8кг —0

— хкх 1]81 — х1х 1— 88 ■

с (еа) — х'йх1 {хар8р)— х1 х"йх 1 (8р)— 0,

81 — 0

оа(е1) — (хрйхр + хрйх] )(х/81 + х/8^

— харх\<ХхкX) + хах,кХхк (хк) + хрХ1скк (хк) 8Р—0 8 к — о 8Р

+ хр х/ Хх1X ) — хрХ'Р + хр х/ — 0,

8{

соа (ер) — (хрйхк + х^йх1 )(хр8£)— х^Щ — хрхкр — 8ар.

5. Структурные уравнения и выражение слоевых форм в натуральном репере. Продифференцируем внешним образом базисные формы (1): йС — йх1 л йх]. В силу (31) можно записать

йС — йхк л х* С. (7)

Дифференцируя также соотношение (41) внешним образом, получим

йх1кхк + х1кйхк — 0, (8)

откуда следует, что йхк' хх к — - х'йхк. Учитывая это соотношение в (7), выражение для дифференциалов форм можем записать иначе

йС — йх'кхк л С — -х'кйхк л С.

Поменяем местами сомножители внешнего произведения

dC =С л х^к, (9)

то есть структурные уравнения для форм со1 имеют вид

dо1 = со1 лСу, (10)

где

1 1 к 'к о1 = х^ху- + хука ,

причем координаты х1к симметричны по нижним индексам. Выражения для дифференциалов dxJ■ и сК) примут вид

dxгj = —х1. о, — х,к хО, ^х^ = х- оС + х1кх\ок. (11) Продифференцируем внешним образом слоевые формы (2):

dюа = (х"^1 + харгйхг) л dxР +

+ (х^х1 + xfpdxp) л dxl + х"dxJ■ л dxl;

где

а _ я а а _ а а _ а а _ а ад _ а хР- = дгxp, хРу = дYXP, х1г = дгх1 , х1Р = дРх1 , х1г = дг х1 .

Учитывая выражения дифференциалов dx7 и dxг, dxl д по

формулам (3) и (110, преобразуем дифференциалы слоевых форм

dюа = х"ехрх8<оР ло7 + о л [хС1пхк1х\о'п +

+о (ха хдхР + ха х7хР + хах1х1 + ха х1 хР + (12)

1-Ш КлР1л[г л$]+ Ру [г ля] + лул[г Л1 Р[Л]^ У1^/

+хадхп хкх1) + 2а>Е(ха хРхд — ха хРх7)]

^л1плк[^ [Р1 ] £ ,' л[7Р]лелг

Обозначим [1, с. 296]

С"7 = Х8£Х\РХ8], (13)

С

а _ а1 к ~1 п . / а ~ 1 ~ Р \ а ~к ~ Р

— х1пх1х1Ск +С (хР1х[А] + хРкх[1х.1 ]

+хах1х1 - ха х1 хр + хрхп хкх1) + (14)

ТЛуЛ^Л.] ЛрЛ[.Л']^- Л1пЛк[.Л^Л'

+2^^ХрХ1 - х"кр]хРхк) + х"С (хр]к] — 0).

Учитывая введенные обозначения (13) и (14), структурные уравнения для форм соа имеют вид

йС — СаСР лС+С л с". (15)

Получили структурные уравнения (10, 15) главного расслоения параллелизуемых многообразий (ср.: [6, с. 37; 7, с. 422]).

Выражение для форм С будет выглядеть следующим образом (ср.: [2, с. 192; 4, с. 23]):

а г>ак } г>а 1 . 0а р

где

пак _ а. к - 1 па_ а ~. -р а -к-р , а~. - 1 _ — Л у Л.Л' , - Лр.Л['Л1 ] Т ЛркЛ[^1 ] Т Лк,Л['Л1 ]

-ха х5 хр + хахп хкх1 + ха — Яа — 2ха хех1 - 2ха х£хк

.р [ 1 '] 1 п к[^^'] ^ ЛУ , 2 'р [£}] р ' р ' '

а

причем координаты х1к симметричны по нижним индексам.

6. Задание базисных векторов 2-го порядка в натуральном репере. Найдем дифференциалы невертикальных векторов ei, используя разложение (51):

йе1 — й(х/81 + х'к8к) — с£с/81 + х/й(81) + йх[8г + х[й(8у).

Учитывая выражения дифференциалов йхх ' и векторов 81, 8а по формулам (82) и (6), преобразуем дифференциалы невертикальных векторов йе1:

^г -о\е, -о?еа=о} (х11хд¡1 + хх8д¡8+ ХРх] д% +

+ х8ХР д 2ра - ^Х(дхР)еа - х8х(дХ^" - хр еа -

а х5 хр ая к хп 1 к \ .

- х$рх(гх д)еа - хп1 х $ х(,х|к|д )е а - хуек )+

+ °аС(хг]х88д 1 + х,7хСд7р - х£1 хСх/е£ - х£7ХСХг7ее). Здесь и далее введем обозначения следующего типа:

Я 2

Я2 = Х8 = д Х8

д 18 = Ях1 ЯХ" , х,Р=Ярх1 .

Таким образом, можем записать выражения для дифференциалов невертикальных векторов следующим образом [5]:

^ - е*ог - еао8'= егд° + есс®8 ;

е„ = ЯI + хкх"Я2а + хРх'Я2р1 + х-хРё1" --ха х5хРе - хах5 х1 е - ха х7 хРе - (16)

Р$ (д 1) а 1$ (д 1) а лУи^г^а

а ~$ ~Р а$ к ~п 1 к

-х$Рх(гх1 )еа - хп1 х$х(гх\к\д)еа - хуек,

ес = ххСЯ2р + хух^Р - (х£8 + х'^^. (17) Из формул (16) видно, что векторы еу симметричны. Найдем дифференциалы вертикальных векторов еа, используя разложение (52):

deа = d (хРдр) = ¿хрдр + xppd (Яр). Распишем производные более подробно:

deа = х^х'Яр + хУх7Яр + хР(Я2ргdxг + яух7).

Учитывая выражения дифференциалов dxг, dx7 и векторов да по формулам (3) и (6!), найдем дифференциалы вертикальных векторов:

dea — Я ^а*!02® + ~а~!д2рТ — XSp~i'~ies —

- xs *а*ч )+®Р(*аЦд2зу - saife)-

Таким образом, можем записать выражения для дифференциалов вертикальных векторов следующим образом [5]:

dea — ea+ (ea® + CS®ee)a® ,

где

e — XpXJ я2 + x®xrd2 - (Xe X8Xp + Xe X8XJJe

cai ~ xaxivpj ^ xaxivPr \xS/3xaxi ^ x8jxaxi /10)

_ ~8 ~r я2 e ~v ~r

eap — XaXp°8r — XvrX(aX8)ee-

Из выражений (17) и (18i) следует, что eia — eai. Из (182) видно, что векторы eap симметричны.

Список литературы

1. Катанаев М. О. Геометрические методы в математической физике. М., 2011.

2. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. М., 2003.

3. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семин. ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 139—189.

4. Лумисте Ю. Г. Связности в расслоенных пространствах с однородными слоями. Тарту, 1977.

5. Рязанов Н. А. Скобка Ли касательных векторов и тождества Бьянки в главном расслоении // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 2014. Вып. 45. С. 113—120.

6. Шевченко Ю. И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий : учебное пособие. Калининград, 1998.

7. Lumiste J. G. Connections in associated fibre bundles // Czechoslovak Math Journal. 1981. Vol. 31, № 23. P. 421—432.

N. Ryazanov

The frames of the 1st and 2nd order on a principal bundle

We proceed the studying tangent and osculating bundles over arbitrary principal bundle on a manifold by means of covariant method [5] and based on structure equations and derivation formulas. Expressions of fiber forms in the natural coframe, basis vectors of the 2nd order in the natural frame, structure constants in terms of fiber coordinates are obtained.

УДК 514.764.2

С. Е. Степанов, И. И. Цыганок

Финансовый университет при Правительстве РФ, Москва s. [email protected]

Об эллиптичности одного дифференциального оператора

Пусть й*, — базис пространства естественных (относительно изометрических диффеоморфизмов) дифференциальных операторов первого порядка, действующих на пространстве 0.г (М) внешних дифференциальных г-форм (1 < г < п -1) на римановом многообразии (М, g) и имеющих значение в пространстве однородных тензоров над (М, g). Доказано, что для оператора Б*, формально сопряженного к Б, дифференциальный оператор второго порядка В*В:Пг (М) ^

^ С (М) является эллиптическим.

Ключевые слова: компактное риманово многообразие, эллиптический дифференциальный оператор второго порядка.

© Степанов С. Е., Цыганок И. И., 2015