О действии структурной группы главного расслоения в его касательном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

В. С. Малаховский

Список литературы

1. Боро В., Цагир Д., Рольфс Ю. и др. Живые числа. М., 1985.

2. Малаховский В. С. Числа знакомые и незнакомые. Калининград, 2004.

3. Малаховский В. С. Удивительные свойства некоторых подмножеств простых чисел и их особая роль во множестве натуральных чисел // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2016. Вып. 47. С. 89—97.

V. Malakhovsky Wonderful properties of two first prime numbers

By using prime numbers 2 and 3 it is shown that subsets of prime numbers p where mt < p < Mi, 5 < mi < 11; 103 < Mi < 337, decomposes upon pairs of subsets producing new prime numbers.

Key words: prime number, subset, subclass.

УДК 514.76

К. В. Полякова

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград [email protected]

О действии структурной группы главного расслоения в его касательном пространстве

Показано, что применение дифференцирования по групповым параметрам к векторам приводит к уравнениям инфинитезимального действия группы, а в случае классического тензора — к тензорному закону Лаптева при фиксации точки базы.

© Полякова К. В., 2017

Рассмотрены два способа проверки правоинвари-антности подпространств касательного пространства к главному расслоению, которые заключаются в нахождении инфинитезимальных смещений образов базисных векторов этих подпространств при отображении, индуцированном правыми сдвигами структурной группы этого расслоения. Первый способ основан на использовании координатных представлений базисных касательных векторов и их дифференцирований по групповым параметрам, второй способ использует дифференциальные уравнения на базисные векторы.

Ключевые слова: главное расслоение, структурная группа расслоения, действие структурной группы в касательном пространстве к расслоению, дифференциалы правых сдвигов, тензор Лаптева.

§ 1. О касательном отображении Т^ на произвольном главном расслоении

В слоях главного расслоения ОХт над многообразием Хт группа Ли О действует правыми сдвигами , то есть й (А) =

= й (а К) = (а Xpabp), А = (а Ъа) е ОХт , а е Хт, Ьа — репер

слоя в точке А, g = (е О . Здесь и далее индексы принимают значения: г, 7,... = 1,...,т; а, /,... = т +1,..., т + г .

При фиксации точки (х1) базы Хт (то есть при

гае/ г В

сС = х^йх1 = 0) слоевые координаты х становятся параметрами структурной группы О [5, с. 161], а слоевые формы

а а 1 г , а 1 В г^лт-

со = хг ах + х/йх расслоения ОХт становятся инвариант-

-1 —а а * В „ ^

ными базисными формами со = х/йх этой структурной

—а а

группы, то есть со = о

. . При этом о 3 = С 37о 7 , где

оО=0 а а7

г^а а е 5

Ср = x5 е x [Рх 7] — структурные константы, причем

^ а

дхР

а а, ' 7\ а й а р са / п

хр= Хр( х , х ), хр=—7, X рХу=5у (см., например: [3,

дх

с. 296; 10; 12, с. 107]). В разложениях слоевых форм

< = хаЩ + хаЖВ + хаю3 + хрС ,

I 3 I р I у 1р

юР = хадхР + хР< + хР <

р 7 р р р7

аа

справедлива симметрия хрр = хР, поэтому будем полагать несимметричную по индексам 1, Р правую часть разложения хр= (х°ау+ х;зх5)х7 равной нулю (ср. [11]). Условие х7,ух- + х 5х{ = 0 выделяет сечение расслоения ОХт, продолжениями слоевых форм которого являются

< = Как<хк3 + Щ< + Кррюр [11]. В работе [4, с. 192] в качестве слоевых форм главного расслоения берутся формы

а г, а 3 г, а р

< = Ку ю + КрЮ .

Вычисляя внешний дифференциал форм са и учитывая Б(<хр) = 0 , получим уравнения структурной группы О

= 2Сар7юр а С7 . (1)

Известно, что структурные уравнения главного расслоения позволяют указать сравнительно простые условия, которые при связной структурной группе расслоения могут заменить условие правоинвариантности в определении связности на этом расслоении, практически весьма трудно проверяемое [6, с. 43]. Действительно, для связности с формами

' ОС ОС г~<ОС 1 тл

ю = ю — Ц ю такими условиями согласно теореме Картана — Лаптева являются сравнения АЦа +< = 0 (mod <).

Рассмотрим два способа проверки правоинвариантности подпространств (распределений) касательного пространства ТОХт = ърап(еа, ) к главному расслоению ОХт, которые заключаются в нахождении инфинитезимальных смещений векторов этих подпространств, подвергшихся действию группы в пространстве ТОХт . Это действие обозначим Т^ — продолжение действия ^ структурной группы главного расслоения в его касательное пространство.

Первый способ основан на использовании координатных представлений базисных (вертикальных, невертикальных и горизонтальных) векторов и их дифференцирований по групповым параметрам. Зафиксируем базисные координаты, тогда слоевые координаты расслоения становятся параметрами его структурной группы [5, с. 161], а дифференциал й на расслоении становится дифференциалом й в слое. Дифференциал й соответствует произвольным инфинитезимальным смещениям касательных к расслоению векторов, а дифференциал й отвечает за инфинитезимальные смещения этих векторов, подвергшихся действию Т^ группы; й = й|о,=0 й . Вычислим _ *

дифференциал й вертикальных векторов ва = х 3ад/ :

йеа = йх /да = °еа = Саг°Геа . (2)

Для невертикальных векторов в! координатное представ* * _

ление вг = х 1д ^ + х . д а при отображении й переходит в эквивалентное ему инвариантное дифференциальное представ-

ление

йв1 =01в} + ОС в а . (3)

Учитывая выражения (2, 3), можно найти образ при отображении d для любого касательного вектора. В частности, для трансверсальных (горизонтальных) векторов ~ = et + Г"еа получим [7]

det = cjej + (Аг"+с" к, (4)

( аг" = dr + Г?Ш"- Г Ш).

Если А Г" + Ш" = 0, то d~ = C~J.

it i i J

Понятие инвариантности векторов и подпространств в аппарате, основанном на применении векторнозначных форм, определим следующим образом.

Определение 1. Подпространство L = span(ua) называется инвариантным относительно отображения f если образ векторов ua представляет собой векторнозначную 1-форму со значениями в подпространстве L, то есть f (ea ) е i21 (L) .

В работе [12, с. 29, 31, 105] показано, что дифференцирование параметрических уравнений группы по ее параметрам

a" приводит к эквивалентным дифференциальным уравнениям 8y = ^pYPa(a), то есть при бесконечно малом преобразо-

8aa

вании группы координаты y = f1 (x, a) получают приращения dy =%lj3 (y)a3, где а33 = Wa (a)da" — базисные инвариантные формы группы G. Уравнения dy' =£р (y)с3 называют уравнениями инфинитезимального действия группы [14].

Отображение d отвечает за инфинитезимальное смещение векторов при бесконечно малом преобразовании группы. Из выражений (2—4) следует, что вертикальное и ему трансвер-сальное распределения инвариантны при отображении d . Сравнения АГ" + а" = 0 (mod а) являются условиями право-инвариантности векторов ei .

Утверждение 1. Дифференциал й касательных векторов при фиксации точки (х ) базы и в предположении, что дифференциалы от частных дифференцирований др, 8у равны нулю, представляет инфинитезимальные смещения векторов

йе/

ТЯге, которые будем обозначать йЯге = й(ТЛ^е), то есть йЯе = йе.

Следовательно, для касательных (вертикальных, невертикальных и горизонтальных) векторов имеем

йЯеа = С1гШ7ер, Ше = т{ез + Щеа, йЯ^ = Ш{е] .

Фактически считаем, что если на главном расслоении вертикальное и ему трансверсальное распределения инвариантны при отображении, то это отображение является дифференциалом правого сдвига.

Координатные представления

* ж *

е« = Х а8р , е,- = Х Ji 8у + Х Г8 а переходят в эквивалентные им дифференциальные представления йе а = Щрер, йе{ = Щ/еу + тае а , а параметры группы —

в инвариантные формы группы.

Замечание 1. Дифференциал й, примененный к координатным представлениям касательных векторов, приводит к дифференциальным уравнениям на эти векторы и координатным представлениям векторов 2-го порядка [10].

Второй способ использует дифференциальные уравнения этих векторов. Дифференциал й переводит векторы расслоения ТОХт в векторнозначные 1-формы со значениями в касательном пространстве 2-го порядка Т2ОХт, то есть [8] й: Ц1 = ТОХ ^ Ц = Ц (Т2ОХ ).

0 т 1 IV т /

Рассмотрим отображение 8 = й - (тйе1 +т айеа), действующее из расслоения ТЬХт во множество Ц (ТОХт) век-

торнозначных 1-форм со значениями в касательном пространстве ТОХт . Найдем результат отображения 8 на касательных векторах из ТОХт и его проекцию на слой, то есть при фиксации точки базы получим

8(в. )| о=0 = е^ + еа*?, 8Ю| О1=0 = СРаг°в а ■ (5)

Поскольку фиксируем точку (то есть со = 0), то фактически достаточно задать отображение 8 = й — юайеа. Отображение 8

слоении ТОХт , то есть

йЯ =8 1 = й —

g с=0

Получили, что

' = й

I осуществляет действие структурной группы в рас-

с =0

йЯ8 =8

с=0

то есть йЯг = й — с 3 йе а

= й\

с=0, й(д)=0 '

Утверждение 2. Отображение 8 , 0 касательных векторов е определяет инфинитезимальные смещения векторов

йеГ

ТЯге, которые будем обозначать йЯ&е = йТЯ&е, то есть йЯ8 =8

§ 2. О касательном отображении Т^ на расслоении линейных реперов

В случае расслоения ЬХт линейных реперов на многооб-

*

разии Хт слоевые формы юс = хjйxгk + хСкс при фиксации точки (х1) (то есть при со1 = 0) базы Хт являются инвариант-

с =0

ными формами а) линейной группы Ь = ОЬ(т), то есть

С) = га) . Дифференцируя внешним образом инвариантные

3 3 =0

формы С) = —х к)йх'к = х'кйхку (хк)Хгк = дд) и учитывая

*

В(йх)) = 0 , В(йх)) = 0 , получим уравнения Маурера — Кар-

тана ВС' = л Ск линейной группы Ь = ОЬ(ш) . Эти уравнения можно записать с помощью структурных констант

вас = 1 с%ак л с. (6)

Структурные константы С ^ = д) одо1 — д) о1 дЧ удовлетворяют условию кососимметричности по двум последним вертикальным парам индексов = - Ср и не меняются при циклической перестановке вертикальных пар индексов

г г * о

С'Х = С% = срк . Используется также обозначение С))1(рл

I' Л ч)

(см., например: [4, с. 96]).

Структурные (ковариантные) уравнения группы Ь эквивалентны контравариантным уравнениям [е', е\] = — С'креЧр. Тензор ) в [13] называется объектом вертикальной неголоном-

ности. Этот объект хотя и тензор, однако, в нуль его обратить нельзя. Таким объектом может быть, например, кручение групповой связности в расслоении, ассоциированном с пространством центрированных т-мерных плоскостей в «-мерном проективном пространстве [2].

Рассмотрим оба способа проверки правоинвариантности распределений касательного пространства ТЬХт = $рап(е), ек)

к главному расслоению ЬХт .

В первом способе вертикальные векторы можно представить в двух видах

к ' к л '

ej =-xk8J или ej = x J 8 к

( \

8 к=-8-

8 xJ,

Вычислим дифференциал векторов е1С при фиксации точки

(х1) базы и в предположении, что дифференциалы от частных

*

дифференцирований дс , д к равны нулю. Обозначим

й = йс=0, й(д)=0, й(д)=0 .

Для разложения ej = - xJ 8к получим d (ej)

J' к

Ш=0

= -ekK-

для равносильного разложения ej = xk, 8 J получим

I ' = eCJj .

а1 =0 1 к

d (eJ )|.

Будем полагать

dej = eJcC - eC = С'С , (7)

что согласуется с аналогичными построениями (2) для вертикальных векторов на произвольном главном расслоении. Вертикальное распределение V = span (ej) инвариантно при

отображении d .

Координатное представление невертикальных векторов

*

ei = x j 8j + x, e3k приводит к выражению для их инфинитези-мальных смещений

de, = eC + ejCC . (8)

Учитывая выражения (7, 8), для трансверсальных (горизонтальных) векторов ек = ek + г^е. получим

!ек = ще, +(лг\к +ш]к)е,, (9)

где АГ = dr)k + г]к®\ - г;кШ) - rflalk . Горизонтальное распределение span ) инвариантно при отображении d , то есть d ~к = Wfij, если лг'к + Ш]к = 0, тогда лг]к + а)* = 0 (mod а ).

Отображение d отвечает за инфинитезимальное смещение вектора при бесконечно малом преобразовании группы; из выражений (7—9) следует, что вертикальное и ему трансвер-сальное распределения инвариантны при отображении d .

Применяя утверждение 1 соответственно в предположении, что дифференциалы от частных дифференцирований дк, *

д 'к, дj равны нулю, для касательных (вертикальных, невертикальных и горизонтальных) векторов имеем

dRgej = C), dRe = е) + еЩ) , dRget = Ще,. (10)

Замечание 2. Дифференциал d, примененный к координатным представлениям касательных векторов, приводит к дифференциальным уравнениям на эти векторы и координатным представлениям векторов 2-го порядка [8].

Для второго способа рассмотрим действие оператора S = d - (a'de. +a'jdej) на касательных векторах из TLXm и

найдем проекции отображений S на слой, то есть при фиксации точки базы получим

5(е. )| . = е Щ + еЩк , S(eJ )| . = е) - екЩ = С^а'.е".

v '' | а' =0 j ' к j'' v ' ' | а' =0 к ' ' к jlq к Р

Для горизонтальных векторов получаем [9]:

Ж (е~к) = д(ёк)|и,=о = ~е^к .

Поскольку фиксируем точку (то есть С = 0), то фактически достаточно задать отображение д = й — а>Сйе\ . Получили справедливость утверждения 2: =д = й . Отображение д

нии ТЬХт, то есть = д\ 1 = й — <х>\йе'

т & С =0 ) '

i осуществляет действие структурной группы в расслое-

Щ =0

Щ =0

§ 3. Классический тензор и тензор Лаптева

Применяя отображение d (то есть дифференциал в слое, а не на расслоении) к классическому тензорному закону, покажем, что тензор Лаптева при фиксации точки базы является классическим тензором. Рассмотрим законы преобразований для тензора F типа (1, 1)

f=fix , fj=rX* q. (11)

Применяя дифференциал d ко второму равенству, получим

df] = fpdx'Jx q + J;xrd X q = -/Щ+fЩ,

то есть приходим к тензорному закону Лаптева

Af] = 0 (Af) = dfj + /Щ - ПЩ), (12)

который на расслоении имеет вид уравнений A f] = f'jkwk или сравнений Af) = 0 (mod Щ), Af) = df) + fk Щ - fka) .

Итак, из преобразований компонент классического тензора

, дХ '

(полагая —- = х, ) можно получить уравнения на тензор в

ду1

смысле Г. Ф. Лаптева при с = 0. Наличие комбинаций /''кС в тензорном законе Лаптева указывает на то, что объект задан в расслоении с базисными формами ск . Пфаффовы производные /д являются комбинациями компонент самого объекта /, его частных производных по базисным переменным х'

с коэффициентами — слоевыми координатами х1 , х!к 1-го и 2-го порядка.

В работе [1, с. 23] применяется интегрирование уравнения (12) для получения тензорного закона (112).

Список литературы

1. Акивис М.А. Многомерная дифференциальная геометрия : учеб. пособие. Калинин, 1977.

2. Белова О. О. Кручение групповой подсвязности в пространстве центрированных плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2012. Вып. 43. С. 15—22.

3. Катанаев М. О. Геометрические методы в математической физике. М., 2011.

4. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. М., 2003.

5. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 139—189.

6. Лумисте Ю. Г. Связности в расслоенных пространствах с однородными слоями. Тарту, 1977.

7. Полякова К. В., Шевченко Ю. И. Способ Лаптева — Лумисте задания связности и горизонтальные векторы // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2012. Вып. 43. С. 114—121.

8. Полякова К. В. Репер 2-го порядка расслоения касательных линейных реперов Ь(Хт) // Геометрия многообразий и ее приложения : матер. науч. конф. с международным участием. Улан-Удэ, 2014. С. 22—26.

9. Полякова К. В. О задании аффинной связности 2-го порядка векторнозначными формами 1-го, 2-го и 3-го порядков // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2016. Вып. 47. С. 108—122.

10. Рязанов Н. А. Реперы 1-го и 2-го порядков на главном расслоении // Там же. 2015. Вып. 46. С. 129—137.

11. Рязанов Н. А. О базисных и слоевых формах главного расслоения // Там же. 2016. Вып. 47. С. 132—140.

12. Столяров А. В. Метод внешних форм Картана и группы Ли: учеб. пособие. Чебоксары, 1997.

13. Iliev B. Z. Connection theory in differentiable fibre bundles: a concise introduction // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. Vol. 2006. Article ID 56397. P. 1—51. DOI 10.1155/ IJMMS/2006/56397.

14. Kolar I., Vitolo R. Absolute contact differentiation on submani-folds of Cartan space // Differential Geometry and its Applications, 2010. Vol. 28, Iss. 1. P. 19—32.

K. Polyakova

On action of structure group of principal fibre bundle in its tangent space

It is shown that application of differentiation in group parameters to vectors leads to the equations of infinitesimal action of the group, and to the classical tensor law it leads to the tensor law of Laptev under fixing a base point.

We consider two ways of check of right invariancy of subspaces of tangent space to the principal fibre bundle, these ways consist in finding of infinitesimal shift of images of basic vectors in the subspaces under the mapping induced by the right action of the structure group of the bundle. The first way is based on using the coordinate representations of basic tangent vectors and their differentiation in group parameters; the second way uses the differential equations on basic vectors.

Key words: principal fibre bundle, structure group, action of structure group in tangent space to fibre bundle, differentials of the right shifts, Laptev tensor.