Связность в касательном расслоении расслоения реперов многообразия Текст научной статьи по специальности «Математика»



УДК 514.76

К. В. Полякова

СВЯЗНОСТЬ В КАСАТЕЛЬНОМ РАССЛОЕНИИ РАССЛОЕНИЯ РЕПЕРОВ МНОГООБРАЗИЯ

Рассмотрено касательное расслоение к расслоению линейных реперов гладкого многообразия. Построены скобки касательных векторов

__этого расслоения. Приведено координатное представление векторов не-

106 голономного репера. Построены горизонтальные и вертикальные кри---визны, кручения и ковариантные производные в однородной связности.

This paper focuses on the tangent bundle to the linear frame bundle of a smooth manifold. Brackets of the tangent vectors of this bundle are constructed. A coordinate representation of the non-holonomic frame vectors is produced. Horizontal and vertical curvatures, torsions, and covariant derivatives are constructed in a homogeneous connection.

Ключевые слова: касательное расслоение 2-го порядка, горизонтальные, вертикальные и смешанные кривизны и кручения, горизонтальные и вертикальные ковариантные производные.

Key words: 2nd order tangent bundle, horizontal, vertical and mixed curvatures and torsions, horizontal and vertical covariant derivatives.

Структурные уравнения расслоения L(Xm) касательных линейных реперов на гладком многообразии Xm имеют вид [3]

da' = юj люj, dmj = ®k лrak + ю1 лa)k, (1)

причем aijk] = 0 (mod ю'); i, j, k,... = 1,m. Продолжим уравнения (1):

j i l i i l i 1,1 i da jk = ajk Лю1 ~alk л aj - ajl л ak + ю Л ю jkl .

Выражение для дифференциала точки A расслоения касательных линейных реперов L(Xm) запишем в виде [4]

dA = aiei +aijei. (2)

Совокупность векторов 1-го порядка e = {ei, ek} образует допустимый репер [5] касательного пространства TAL(Xm) = span(ei, ek) к расслоению L(Xm) в точке A, dim TAL(Xm) = m + m2. Этот репер является двойственным к кореперу ю = {ю', aj}: ю'(e;-) = 8j, ю'(e^) = 0, aj(ek) = 0, raj (el) = 8) 8k. Вполне интегрируемая система уравнений ю' = 0 фиксирует точку многообразия Xm и, следовательно, слой расслоения L(Xm ) . Таким образом, касательное пространство TAL(Xm) содержит вертикальное пространство VA = [ej], касательное к слою в точке A.

© Полякова К. В., 2015

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2015. Вып. 4. С. 106—111.

Формы инвариантного корепера га = {га', raj} в натуральном коре-пере {dx', dxj} выражаются по формулам [3]: га' = xjdx1, rai =

= —x kdx'k —x']krak, где ^x j j — матрица, обратная к матрице (xj). Векторы

д д

репера e = {e{, e ,} в натуральном репере {д■ =—-, дk =—-} рассчитыва-

ются по формулам: = x jдi + xk e[, ej = —x'kдk. В матричном виде имеем

(га Л ( x' 0 Л( dxi Л ( *■ Л

, ( ek, )=((1 др)

га

^ j

V 1

\

x' 0.

x ,cx, Sp x

dx

dxP

x' 0

xqxp sqxp j

Для вертикальных векторов также справедливо разложение:

* * * д ¿1 — Хк д к, где Я к

д хк

Из деривационной формулы (2) видим, что dA можно рассматривать как векторнозначную 1-форму со значениями в пространстве ТАЬ( Хт), то есть тангенциальнозначную 1-форму. Обозначим множество всех тангенциальнозначных форм со значениями в пространстве ТА1(Хт) через 01 =Ц (Та1(Хш )). В общем случае, Ор — О, (Тр1Хт) -множество всех ,-форм со значениями в касательном пространстве ТАЬХт р-го порядка.

Случаи р — 0 и , — 0 не исключаются из рассмотрения, в частности, О0 = 01 (Я) — множество всех обычных дифференциальных 1-форм; О0 = О0 (ТАЬ(Хт)) — множество всех тангенциальнозначных 0-форм (касательных векторов), то есть Од — ТАЬХт.

Форма смещения [1, с. 117] dA соответствует тождественному преобразованию [2; 6] касательного пространства ТЛЦХт), то есть для базисных векторов (вертикальных е\ и невертикальных в-) и произвольного касательного вектора и — и1е{ + и-е' имеем dA(e]) — е}, dA(ekl) — вк, dA(u) — и.

Дифференцируя форму смещения (2) внешним образом и разрешая по лемме Картана

01 — 01 (ТАЬХт) —и 02(dТА1Хт) > о2 — П1 (ТАЬХт),

получим, что невертикальные е{ и вертикальные ек [4]:

- - е'кга\ — е-га' + е{кга'к, de¡ + екга'к — екгак + еЦга?, (3)

причем для совокупности векторов 2-го порядка е' — {е-, ек, е'л, е'к} из соприкасающегося пространства (касательного пространства 2-го поряд-

107

ка) TAL(Xm) справедливы условия симметрии: ej = e^, ej = ek, efk = eli .

2

Таким образом, построен репер 2-го порядка е = {е, е'} пространства

Т2АЦХт), сИшТАЦХп) = 1 (т2 + т)(т2 + т + 3).

Координатное представление пфаффовых производных е' векторов репера е имеет вид

52 * ш * , 52

eij = xkijek + x i -x-idxkx k x'ixdxk xljxP xijxiÁ xiixSjek + xujek + xuekj,

p

108 ej = -Yjes-YjY s д + д xS eji = д , --eik = ^ xixk x dxs + xi dx¡ dx¡x'kxP, eik = x dxS dxkpxP.

Дифференцируя произвольный вектор u = u'ei + u1-e\ e TAL(Xm):

du = eidui + ej(duj + uk^jk) + újj + (ej + 8\ei)() + uj(e>k + (e{-8[e\ )().

Вектор u инвариантен, если du' = u'( + u'{(, du'j + ukmjk = ujkmk + u. Тогда du = u(' + ujaj, где

u = uje. + ujek + de- + ukeí,

' ' j ji k ji j ki (4)

uj = ufe, + ujek + u (ej + 8'e) + u{ (elj - 8jek),

íi' =дeu, uj =дjtu — базисные и слоевые (вертикальные) пфаффовы

производные вектора u.

При вычислении скобки [u, v] будем использовать соотношение

[u, v] = dv(u)- du(v) = V'( (u) + v'( (u)- ui( (v)- u'((v).

По условиям сопряженности базисов: [u, v] = vtu' + &ju'i - ütv' - Wjv'i. С помощью обозначений (4) приведем скобку к виду

[u, v] = (v'juj - u'jvj + v'kuk - u'jví + vjuj - ujvj)e' +

+ (vjy-u'kv1 + v^l-jl-v'^ + u{v{)ej.

В частности, скобка вертикальных векторов

12 21 12 21 12 [^ v] = (vjv lk-v'jlv \-v\v) + vkvj

вертикальный вектор, и вертикальное распределение инволютивно. Рассмотрим формы

= Кк -Т)ыъ1 -Т)к{(5) и приведем их внешний дифференциал к виду

съ)к = щк - К л - +

л( АТ)Ш-г;; К )л( п-г;? К; ).

Формы (5) задают связность с объектом Г = [Г,и, Г.} в касательном расслоении ТЬ(Хт), база Ь(Хт) которого сама является расслоением. Из (6) следуют уравнения

дг;и - г)Р<г +— = + г)и;®1, д, = г,^ + г^,

гДе, например, дГ)и = йт)и + Г- Г1*®5! - Т)А<й1 - .

Подставляя последние дифференциальные уравнения в уравнения (6), получим структурные уравнения

= ю,. л ю! -ю!. лю' -< л®! + -

,и ,и ' Л , ,1 ! (7)

+1л< + }—ю< лю< +—< л<, -

где -2 Я)ш = Г,т] — горизонтальная кривизна Я , 1 = Г,.[,] — верти-

V ИУ

кальная кривизна Я, = Г.м/ - Г;'ир — смешанная кривизна Я .

Воспользуемся внешним ковариантным дифференциалом в (7), получим Ою, = □ , где Ою,к = ¿ю, +ю' лю^ -ю, лю. -ю. лю, — внешний

л »

ковариантный дифференциал; □ , = -1 Я' л ю5, = Я'^ю', л ю,,

hv

кривизн; Qjk = -2R]jkisml лгоэ + -2Rjkip^s A®q + RjUs®1 люр — формы кривизны.

Внося формы (5) в структурные уравнения (12), получим: Dro j = Э у, где Droj = droj -®k лю'к -rok л ю;'к — внешний ковариантный дифференци-

h hv h . к l hv . . l

ал, Э) = Э j+ Э j — формы кручения, Э j= -2Tjklrok лго1, Э j = Т^го" лго; — ф°рмы горизонтального и смешанного кручений; Т jkl=

Г)и - rjlk — объект горизонтального кручения, Т = rjkS — объект смешанного кручения. Компоненты объекта кручения Т = {Т , Т jS } удовлетворяют сравнениям Д Т )ы = 2Г)еk|p|^, АТ jki = 0 (mod ю1, rak).

h , hv ,

Для форм кручения Эj = Э j + Э j и кривизны Qjk получены аналоги тождеств Бьянки в бескоординатном индексном представлении

ДЭ) = Qjk л|ГО , AQk +ГО л(rojk лГО'5 -ro'k лГО) -rojl лroks) = rojk лЭ1 -ro'k лЭ) -rojl лЭk,

где имеет вид ДЭ.. = dSj + + л rok - Эk л ro^j.

h . hv . h v to

Значения 2-форм кручения Э j, Э j и кривизны Q jk, Qjk , Qjk на вертикальных и невертикальных векторах выражаются по формулам

Qjk = R'mPro1 лгор — формы горизонтальной, вертикальной и смешанной

Н . Ь . Ню . Ью .

Ь .(еШ, е;) = 0, » ;.(еш, е,) = Т )и ; Ь ¡.(е,, е;) = 0, Ь ;.(ек, е?) = Т ^;

Ь Ь ю ю

(е?, е;) = 0, П'к (е,, е?) = ^ ; ^(е?, е,;) = ^, ^(е,, е?) = 0;

Ью Ню Ню

(е?, е;) = П)ш (е,, е,) = 0, П)ш (е,, е>) = . ■ Внесем формы (5) в (З1) для невертикальных векторов и получим

Ню Ь ю

V е =КУ ,е, +К У[ег,

-1 Ню . ,

110 где V е{ = йе1 - екКц — ковариантный дифференциал невертикальных

к .

Ь , к

векторов в связности Г = {Г1]Ш, г1]к?}; V. е{ = е. + екГШ. — горизонтальные

ковариантные производные в связности Г , V .е, = ек + 8\еш + е\г?к — вертикальные ковариантные производные в связности г .

По аналогии уравнения (32) для вертикальных векторов дают

Vк е. = е.ш , = ек -.1,

то есть базисные и слоевые (вертикальные) пфаффовы производные вертикальных векторов являются горизонтальными и вертикальными ковариантными производными вертикальных векторов в связности г . Для произвольных векторов и = и'е¡ + и.е., ю = ю'е{ + ю'.е. Е ТАЦХт)

имеем выражение [и, ю] = Vuv - Vvu + Т1Ш.и'ю'е1Ш + 7,(икю{ - юки{ )е?, которое

с помощью форм кручения можно записать в виде

Ь Ш , Ню ш

[и, ю] = Vuv - Vюи + Ь к(и, ю)ек + Ь ¡(и, ю)е? или [и, ю] = Vuv - Vюи + Ь(и, ю),

где Ь = Ь.е1 — вертикальнозначная 2-форма кручения. В частности, справедливы равенства

ш , Ь Ь ,

Т .к = [e¡, е. ] + V. е{ - V¡ е. - . - х^ )е[,

Т . = [е, е.] + ^ [е, Л е. -. -8^ -8Шх?)е?, 0 = [е., е\] + ^7'¡е'. -V )е\.

Вертикальные и горизонтальные ковариантные производные вертикального вектора и е ТАЦХт) совпадают с его слоевыми (вертикальными) и базисными пфаффовыми производными, то есть

ю Ь

V' и = и' = д е и, V .и = и. =5 ,и .

' е, I I е.

Список литературы

1. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. М., 1967.

2. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М., 1981. Т. 1.

3. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 139 — 189.

4. Полякова К. В. Аналитический и геометрический способы задания аффинной связности // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2012. Вып. 43. С. 108 — 114.

5. Шапуков Б. Н. Связности на дифференцируемых расслоениях // Итоги науки и техн. Современ. пробл. Геометрии / ВИНИТИ. М., 1983. Т. 15. С. 61—93.

6. Do Carmo M. Differential forms and applications. Berlin, Heidelberg, 1994.

Об авторе

Катерина Валентиновна Полякова — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: [email protected]

About the author

111

Dr Katerina Polyakova, Associate Professor, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E-mail: [email protected]