CC BY
9
2. Султанов А. Я. Инфинитезимальные аффинные преобразования в расслоениях Вейля первого порядка со связностью горизонтального лифта // Движения в обобщенных пространствах : сб. Пенза, 1999. С. 142—149.
3. Султанов А. Я. Продолжение римановых метрик из базы в расслоение струй второго порядка дифференцируемых отображений : матер. Междунар. геометрической школы-семинара памяти Н. В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 24 сентября — 4 октября 1996 г. Ростов н/Д, 1996. С. 26.
4. Осьминина Н. А. О некоторых лифтах касательного расслоения второго порядка со связностью полного лифта // Движения в обобщенных пространствах : сб. Пенза, 1999. С. 107—120.
N. Osminina, A. Sultanov
Horizontal lifts of functions from a manifold to its tangent bundle of the second order and their applications
It is shown that the imposing of a linear connection on the base M of the second order the tangent bundle T2(M) allows to build on T2(M) an atlas of Whitney sum T(M) © T(M) of two copies of the first order tangent bundle T(M). Using this atlas simplifies many calculations.
УДК 514.76
К. В. Полякова
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград polyakova_@mail.ru
О задании аффинной связности 2-го порядка векторнозначными формами 1-го, 2-го и 3-го порядков
Для задания аффинной связности 2-го порядка рассматриваются следующие векторнозначные формы: каноническая форма 1-го порядка расслоения реперов 2-го порядка на мно-
© Полякова К. В., 2016 108
гообразии хт; каноническая форма 2-го порядка расслоения реперов 1-го порядка на многообразии хт; каноническая форма 3-го порядка многообразия хт.
Ключевые слова: аффинная связность 2-го порядка, векторно-значные формы различных порядков, касательное и кокасательное пространства высших порядков.
Пусть LnXm — расслоение реперов порядка n (n = 0, 1, 2, ...) над m-мерным многообразием Xm. При n = 0 имеем LXm = Xm . Дифференциал точки An g LnXm является канонической формой (1-го порядка) многообразия LnXm, т. е.
n n n
dAn =a,ei + aJe]i + ... + . e J1"j ,
n J i J1 ■■■ Jn i
n n n
связывающей касательное TLnXm = span(ei, e J,..., e J1.Jn) и кокасательное T *LnXm = span (a1, a1,..., a1. jn) пространства к многообразию Ln X m в точке An .
Целесообразно рассматривать не только канонические формы 1-го, но и более высокого порядка, определяемые повторными (обычными) дифференциалами от канонической формы 1-го порядка. Ограничимся случаями n = 0,1, 2 .
Аффинную связность 2-го порядка можно задавать и изучать с использованием канонических форм dpAq порядка p
(p = 1, 2, 3) многообразий LqXm (q = 2, 1, 0), причем p+q = 3.
Тогда формы связности, как и сами канонические формы d p Aq , будут векторнозначными формами пространств
nfp (LqXm ) = Tp* LqXm ® TpLqXm .
Подробнее: dA2 — каноническая форма порядка 1 многообразия Ь2Хт, т. е. dA2 e^i(L2Xn ) = T*L2Xm ® TL2Xm ; d2Ax — каноническая форма порядка 2 многообразия LXm = ЦХт, т. е.
d 2 A1 е Of2 (LXm ) = T 2* LXm ® T 2 LXm ; d3 A0 — каноническая форма порядка 3 многообразия
Xm = L0Xm , т. е. d3 Ao е S^,(Xn ) = T3*Xm ® T3Xm .
1. Координатное представление репера и корепера 1-го порядка. Деривационная формула 0-го порядка на расслоении касательных линейных реперов LXm = L Xm имеет вид
(1,... = Щ) [3]
1
dAj = aei + aje1i (Aj е LXm, e = e ). (1)
Совокупность e =^, ej} образует репер касательного пространства TLXm = span(ei, ej) к расслоению LXm в точке A1, dimTL(Xm) = m + m2. Этот репер является двойственным к кореперу с = С, aj |. Касательное пространство TLXm содержит вертикальное пространство V = span(ej ), касательное к слою в точке A1 . Касательные пространства слоев расслоения каноническим образом отождествляются с алгеброй Ли [7, с. 318]. Можно допустить, что вертикальные векторные поля являются фундаментальными векторными полями структурной группы расслоения [6, с. 172]. Формы инвариантного корепера [2] с = С, aj | и векторы репера e =^, ekj } в натуральном корепере {dх', dxj } и репере i di = —-, дj = -д-
1 - J -I вы-
дх dxj I
ражаются по формулам
f Л
a
к =
a,
V J J
V dxl ^
к s
X js Xj V Js l
к
~5PXj j
dxpa
V q J
( ek
\
xt 0
q s <?q к
— X X — о X
si p J p J
2. Векторнозначные формы и их дифференцирования.
Из деривационной формулы (1) видим, что dAl можно рассматривать как векторнозначную 1-форму со значениями в пространстве TLXm, т. е. тангенциальнозначную 1-форму. Обозначим множество всех тангенциальнозначных 1-форм через О = О (TLXm) . В общем случае = nq (TpLXm) — множество всех форм степени q (q-форм) со значениями в касательном пространстве TpLXm порядка p. В частности,
= О1 (R) = T*LXm — множество всех скалярных дифференциальных 1-форм; О0 = О (TLXm) — пространство всех тангенциальнозначных 0-форм (касательных векторов), т. е. О = TLXm. Также будем рассматривать множество
= О r (TpLXm ) векторнозначных форм порядка r со значениями в касательном пространстве TpLXm порядка p. Считаем,
что nqp =nqpn, О =ОР r, кроме того, О/7 = П^ = О = О.
Значок тензорного умножения в (1) опускаем [5, с. 290], считая e ® a = ea = ae .
Действуя формой dAl на векторы et , e,, u = u'ei + uJe
i j e .
J 1 -
получим dA1 (e,) = e,, dA1 (ef) = ef, dA1 (u) = u , т. е. она соответствует тождественному преобразованию касательного пространства TLX m [1, c. 118]. Форма (1) является канонической
0
X
формой 1-го порядка многообразия ЬХт . Аналогично, действуя формой йЛ1 = coгei + со^в] на ковекторы т е Т *ЬХт , получим йЛ1{т) = ю, т. е. она соответствует тождественному преобразованию кокасательного пространства Т * ЬХ т , т. е. йЛх = гй * . Считаем при этом, что е{ю) = ю{е). Итак, можно
Т ЬЬХ т
отметить двойственный характер действия векторнозначных форм: они действуют как в пространстве векторов, так и в пространстве ковекторов.
Предложение 1. Для векторнозначной 1-формы О = те е еО,1 = О1{ТЬХт), принимающей значения в пространстве ТЬХт, справедливо
О = ею : и е ТЬХт ^ О{и) = в ■ а>{ы) е ТЬХт, О = те : ве Т * ЬХ т ^ О{в) = ю е{в) = юв{е) е Т * ЬХт.
Следующие обозначения учитывают возможность двойственного характера действия формы сое:
ОР =О{ТГ* ЬХт,ТРЬХт ) = ТГ* ЬХт ® ТРЬХт ,
где Тг* ЬХ т = {ТгЬХт )* — множество дифференциальных форм порядка г, не совпадающее с пространством Т *ГЬХт = {Т * ЬХ т)г = л гТЬХт форм степени г, т. е.
{Т * ЬХт ) Г * {ТГЬХт )* .
Предложение 2. Для векторнозначной формы О = ю'ег + т']-е!, внешнего дифференциала О и обычного дифференциала й справедливо
О: О е О = О {ТЬ{Хт )) ^ От е О2 {йТЬ{Хт )) с О22,
й : О е О = О {ТЬ{Хт)) ^ йю е О 2 {йТЬ{Хт)) с О/2,
где
Ва = в^Ба -а лёв. + в- Ва\ -а, лёв- , ёа = в,й?аг + агёв,- + в] ёак + акёв] .
' ' ' У У '
Внешний дифференциал Ба дифференциальной 1-формы представляет собой дифференциальную 2-форму, т. е. форму степени 2; обычный дифференциал дифференциальной формы ёа — это форма порядка 2 [9].
3. Деривационные формулы 1-го и 2-го порядков. Дифференцируя форму (1) внешним образом и разрешая по лемме Картана, т. е. действуя по схеме
^ лемма 2 2
А = А (ТЬХт) —^ П2 (йТ1Хт) Кртана > А = А (Т2 ЬХт Ь получим деривационные формулы 1-го порядка [3]
- в1ак}1 = ва + аI, = е]ка + е^, (2)
где ёу = ву , ек = в-к, в, = в , + 5-в}, ^ = в-к -51в\ — адаптированные пфаффовы производные векторов репера в. Для векторов 2-го порядка в'= \г ,, в,, в к, в ¡к } из пространства
Т2ЬХ т справедливы условия симметрии:
в, = в*, вк = вк, вк = 4. (3)
Утверждение 1. Касательное пространство 2-го порядка Т2Ь( Хт) содержит подпространства А = sparl(eJjk ),
В = зрст(в/, 4,вк).
Действительно, деривационные формулы 2-го порядка, записанные в виде сравнений по модулю форм а1, а/, имеют вид [3]
1 к I к I к I к г\
ёвк - вИ ак} - вкач - вк]а1, - вкаи} = 0 ,
= 0, - в^а1к + ¿ак = 0.
Утверждение 2. Касательное пространство 2-го порядка T2L(Xm) содержит подпространства A = sparse.');
В = span{eJik, e]l), D = span(e/, ej, e ).
Действительно, сравнения на векторы e' имеют вид
dei/- e>'kj - ekjK - e[rnkUj = 0 , dejk - = 0,
de k - e'krns,. + e'.mU- - eUсо'.. - Ske'as,. = 0, d£]! = 0 .
ij sj j ' ji i s 'J ik
Теорема 1. Для линейного отображения
de : TLXm ^ T2LXm
из касательного пространства 1-го порядка в касательное пространство 2-го порядка имеем e = de(e) = дee:
ej= de< (ej) = д ee,, ej = de, (ej ) = j;
eik = eik = dei (ek) = дekei , ejk = ek = dei (ek) = д i ei .
k ek
n л t - • k - k ~k k -k' лИл
Векторы e = дee = {e,j , ej , eji = ej, = ejl, ej = ej } :
_ л ' / s k k \ • k _ Л k q / op k ok p ok p \
eiJ = eiJ + ek (X'iXsJ - X'iJ ) , eiJ = eiJ + ep \°J Xqi - °q XJi - °i Xqj ) ;
e — eJ eJ — eJ ^ik ~ vik> vik ~ ik
назовем производными векторами. Они удовлетворяют срав-
7- • k ' -' k 1 - k • 'k s -r-% нениям de. = ea cokj. + ekj ali , de. = esj. oli . Видим, что производные векторы 2-го порядка образуют самостоятельные подпространства без векторов 1-го порядка.
Утверждение 3. Касательное пространство 2-го порядка T2L(Xm) содержит следующие подпространства:
D = span(eH, ej), Е = span(e,j, ^, ekj, ei) •
4. Кокасательное пространство 2-го порядка для расслоения реперов LXm 1-го порядка. Дифференцируя каноническую форму (1) обычным образом, получим форму
d2A = (da + aja))ei + (da) — akiaik + aka), )ej +
1 j J J (4)
+ a'aJep + 2aka)ejk +aaei,
которую назовем канонической формой 2-го порядка многообразия LXm, при этом d2 A1 e&j2. Другими словами, второй
обычный дифференциал точки — это векторнозначная форма 2-го порядка со значениями в касательном пространстве 2-го порядка T2 (LXm) = span(e, e'), т. е. элемент пространства
Qf2 = T2 LXm ® T2LXm . Из формы (4) видно, что репер
2
2
= {e, e'} и корепер
1, da j —a jak + a a jk , a a , 2a a j , a^ a j j
2(i i i i 7 i k i k i i i n* k i k i л
a = {da +a a,, da, — a,ak +a a,k, a a ,2a a,, ar a,}
пространства Т2 IXт являются сопряженными. Ненулевые
условия сопряженности для базиса и кобазиса 2-го порядка имеют вид
(а +ака'к )(в}) = 5], (йЦ-ЦЦ + ЦЦ )(вк ) = 5\5), а а )(вк1) = 2(55 +551), (2ака) )(в[р) = 5^,
(ЦЦ ) = 2(55^5? 5? + 5^5? 5?).
Замечание. Каноническая форма 2-го порядка (4) относительно натурального репера и корепера принимает вид
й2А = й2х 8, + й2хк8\ + йх'йх1 8, + йхкйх'к8кк + 2йх'йх]к8 к .
В данном случае {й х , й х], йх'йх], йх']йх1 , Ох'Охщ] } —
натуральный корепер кокасательного пространства 2-го по-
а а А а к
1г! , а гк , а г
рядка Т2*ЬХт, {аг, 8г, аг/, 8%, а:к} — натуральный репер ка-
сательного пространства 2-го порядка Т2ЬХт {ср.: [11]).
5. Горизонтальные векторы 2-го порядка для аффинной связности 2-го порядка. Каноническая форма {1) с использованием форм связности ю1 = {ю С} 1-го порядка
~ г г г-г г к л
ю % =т}- -1 ]кю приводит к горизонтальным векторам 1-го
порядка е1 = {~к}: ~к = укЛ = ек + 1ке! .
Исходя из канонической формы {1) действие группы на касательных векторах 1-го порядка определено по закону
йЯ„ = й - {т йег + ю С йе г)
, , т. е. = й -ю\йе3,
ю =0
г% л г Т, I
Связность 2-го порядка включает формы ю]к = ю]к - Ь]к1ю с кривизной 2-го порядка
1 Г*г — Тг — Т * л- Тг Т^1 л- Тг Т^1
2 С]кЪ = Ь]к[Ь] Ь]к[I1 ] + Ь*к[¡1 ] + Ь]*[I1 |к|']
и кручением 2-го порядка М]м = ] + Г'!^], причем
Щш [4].
Деривационные формулы {2) с использованием форм связ-
], ю]к}
ности 2-го порядка ю 2 = {ю ], югш } приводят к векторам
~ _уу2 __Л к I т-к ~] _уг ] _ ]
е] = V ]ег = е] + еп 1 к] + екЬИ] , е гк = V кег = егк - еа 1 'к , являющимся ковариантными производными касательных векторов 1-го порядка е = {ei, ек/-}. Назовем векторы ~2 = {?], е]к }
горизонтальными векторами 2-го порядка. Их уравнения приведем к виду
/е к^-, 2 I ~ к ~ к к ~ I
Ов]. - V]егк = ек]юг + егк°] + °1ге ]к +
+ек {Д^ - Гю + Гю + Гю + юю), {5)
^кк - аЛкв}1 + кв1 = -в}ка1 + в1ка} + вЦк +
. / I . Г^ р ¡5' А' г-гА' л!р\ 1
+ (вкк1 + 1 5кв]р1 - 1 5кв]1 + 1 рк1вк' )а .
Лемма 1 [3]. Ковариантные производные базисных векторов 1-го и 2-го порядка в связностях 1-го и 2-го порядка равны образам горизонтальных векторов при отображениях, определяемых дифференциалами этих векторов:
~ = У )вг = Йвг ^ ~к = ^ = Йв'1 (~к ) , (6)
у )в1 = йвк ), у квк = йвк (~к); (7)
равенства (61, 71) имеют место в естественной связности
2 ■ о . Г2 = [Г]к, 1']к1} [4].
Тогда уравнения (5) принимают вид
г~ к 7л1 ч ~ к ~ к к~ 1,
ЙвЦ - Ц1 ЙвШ (вк ) = вк}аг + вгка] + Ц1г в]к +
+в[(^ - ГЦ + ГЦ + ГЦ + Ц), (8)
т~ г 1 ул а. \ ~ 1 г ~ г 1 ~ г 1
&&- а'йвк (вк) = -вкка1 + в1как + вк1ак +
. / г . г^ р ¡5' г г '' , г1'' Лгр\ 1
+ (вкк1 + Г 5кв]р1 - Г 5кв]1 + Г рк1вк' )а .
6. Действие йна горизонтальных векторах 2-го порядка.
Лемма 2. Определим действие второго дифференциала й2Я правого сдвига на горизонтальных векторах 2-го порядка по закону
Й = Й~к - Й г )| ц ^ й = - Й) )| Ц ^ (9) где й1 = ц>¡йelh, й) = а^ёв'.
При фиксации точки базы левые части {8) выражают действие 2-го дифференциала й2Яг правого сдвига на векторах
е , е]к при выполнении уравнений [8, 10]
Д^ - Гю + гю + гю + юю = 4. {10)
Тогда из {8) с учетом {9) и {10) следует
й2ЯЛ = ]П + + , {11)
й2 Я е\, = - ¿¡..я] + екп¡. + ёг.,ж1 {я = ю\ г ).
г ] ] 1 ¡к ] р к у \ю =0'
Утверждение 4. Горизонтальные векторы 2-го порядка ~2 = {~]-, ~;гк } под действием отображения й2Яг переводятся
в горизонтальные (11), т. е. горизонтальное пространство 2-го порядка инвариантно под действием правых сдвигов.
Касательное пространство 2-го порядка содержит горизонтальное И2 = ИТ2 ЬХт = 'рап^у, е] ) и вертикальное
V2 = УТ2 ЬХт = 'рап{^^1) подпространства 2-го порядка в точке
А еЬХт.
7. Действие й2Яг на векторах 2-го порядка. Установим действие структурной группы в соприкасающемся пространстве, т.е. определим действие й2Яг на векторах 2-го порядка
е = {ег] , е!к , е] , е ] }, е'= {ег] , е!к , еЩг , е & }, е' = {ег] , 4 , е] , 4 }.
Начнем с векторов е = йе{е), поскольку они, как и горизонтальные векторы 2-го порядка ~2 = йе^е1), являются образами при отображениях йе . Затем перейдем к векторам е, часть из которых совпадает с векторами из совокупности е . И, наконец, перейдем к векторам е', на которые наложены условия симметрии {3).
По аналогии с (9) установим действие й2Я. на векторах в = йв(в) в следующей теореме.
Теорема 2. Для векторов 2-го порядка в = {йвi(в), йвк(в)} справедливо
й 2Rg (йвг (в)) = й(йвг (в)) - й1 (в)| Ц=0 = (ййв г - й1 )(в)| Ц=0 ,
й2Rg (йвк (в)) = й(йв] (в)) - й) (в)|Ц=0 = (ййвк - й))(в)|Ц=0. Для отображений йв(в) справедливо
в к = йв1 (в к) = в к + вЦ (в к ), (12)
вкк = йвк (в/) = ek> + вЦк (в/), вк = йвк (вк), вкк = йв\в).
Согласно теореме 2 для векторов (12) получим
d2Rg (e,) = d2Rg (de, (e.)) = de. -a>\de% (e,)
С=0
d2Rg (ej) = d2Rg (dek (ej)) = dej - (ej)
С=o'
с =0
d2Rg(ejk) = d2Rg (dej (ek)) = dejk - clde'ij (ek)
d 2Rg(e j) = d 2Rg (dej(e)) = deilk - (ek )| C o • Теорема 3. Для векторов e' = je?.,e\k, e'k, } имеем
;2п/Л\ л k л k л1 k л 1 k 1 k d Rg (ej ) = j + e'k^j + + eiklj + ekl1j ,
d2 Rg (ej) = - e^ + e;; + e;l + ej; + se;, (13)
7 2 -г* / \ Л1 i 1 1 s
d Rg(e,k) = -e,kl1 + e1kl, + e,ik + e
g^jk)- ~cjk'4
, / *ik \ *sk i л is k *ik s л ik s g (e 11 ) = -efl ls - e jls + es1 + ejsl ■
При этом вертикальные векторы 2-го порядка переводятся отображением d2Rg в вертикальные• Доказательство• 1) Для векторов e. имеем
d2 Rg (e.) + d2 Rg (eCi (e.)) = = de,j - cCde'kl (ej) + d2Rg (e.)) = de,j + (ej) +
+ekd(ak, (ej)) - - aC(eiap,(ej) - elal,(ej)); d2Rg(e^a(e.)) = dRgeki • С(e.) + ekd(alM(e.)) =
= (e>; - Ce)a'ki(e.) + ekd(a'ki(e.)). (14)
Тогда с учетом (14) и уравнений на векторы получим
;2п/Л\ л k л k л' k л ' k ' k
d Rg (e,j) = J + e,kaj + ekjai, + e,kaij + ekai.
2) Для векторов ekJ. имеем
a = 0
kj
d2Rg (ekJ]) + d2Rg (ecik(e.)) = detj. - aideik (eJ) +
72 г» / i s / i w Л i i Л i i Л i i ЛЯ s ci i s
+ d Rg (esCk (ej )) = - ek]C + ekia] + ei] Ck + ejsCk + SkesC]
3) Для векторов e1ik = e3ik имеем
d2Rg (eJk) = d2Rg (deJ (ek)) = deJk - Cldeij] (ek)
aC=0
a = 0
^i i , ы i , ы i , ы' s = - e]ka! + e!ka] + e]Ck + ejsaik
a=0
4) Для векторов имеем
d2Rg(e и ) = d2Rg (deJ(e)) = dea - aldeti (eik)
aa =0
sk i is k ik s ik s
eji as- e .as + esiaj +e a
a =0
Теорема 4. Учитывая
Й2Rg (вг ) = ЙRg (вг ) = в].*/ + в^ ,
Й2^ (в) ) = ^ (в) ) = вк Л - ^ Л , для векторов 2-го порядка в' = в,, в)к, в), в]1 } имеем
/ \ к к 1 к 1 к к 1 к Й Rg (вк ) = вк]Лг + вгкЛ] + вк]Л1г + вгкЛ1] + вкЛг] + вкЛ1г] ,
У 2 г> / г \ 12 г> / г \ 1 г г 1 г 1 а
Й ^ (в]к ) = Й Rg (в) ) = - вк] + вк1 + в] Л к + в ц^1к ,
7 2 г> / гк \ ¡к г ¡а к гк 5 гк а
Й ^ (в]1 ) = -в]1 - в]1Л' + в'1 + в]'Л1 .
Видно, что при отображении й2Rg образы симметричных векторов (3) равны.
Замечание. Подпространства А, В, А, В, Г, Г , Е замкнуты относительно действия группы.
8. Вертикальные и горизонтальные формы 2-го порядка для аффинной связности 2-го порядка. Вводя в каноническую форму 2-го порядка (4) горизонтальные векторы 3 2 = {~] , ~]к }, получим
12 л 2~г 2~г ] 2~гк ]1 г ]~ к г г^г к 1\~ ]
а А = а в{ + а в + а ]1вгк +а а вг]- + 2(а а, - Г ]1а а )вгк;
2 ~г 1 г ] г г^г ] к а = аа +а а, - Г ,ка а ,
2 ~ г 1 г кг кг ^ к г гтк г^г 1 ¡' тг к 1 а] = Йа] -а]ак +а а]к + 2Г]ка а1 -Г]1 Гк'а а - 1]к1а а ,
2 ~гк к г |-гк 5 г |-тк|-тг 5 р
а] = а1 а] - 2Г1' а а] + Г1' Г]ра Ц .
Формы V являются формами 2-го порядка связности
1-го порядка (ср., напр.: [9, с. 30]).
Утверждение 5. Формы 2~', 2а1 являются формами
2-го порядка аффинной связности 2-го порядка. Если кручение связности равно нулю: Т]к = 0, Н']к1 = 0, то формы связности
аннулируются горизонтальными векторами 2-го порядка, т. е. являются вертикальными.
Действительно,
2~ ) -Г'ч - 2Т1]к, 2~ (еы) = ^Х)к1,
2 ~ е)=о, 2~ )=о.
Для форм 2 имеем
2 ~¡к \ |-гк |-гг 2 ~/к 4 \ о\к с Р г-»'] оЛ (врд ) = Г•\ЧГ1Р] , оЛ (врд ) = % % ГЛ]г ■
тогда
2 ~¡к (~ )еЛ - Гк Г' еЛ - 0 2 ~¡к(~4 )е,к -3[к3ргп е'к - 0
(врд )в'к ~ 1 ЛР]в'к ~ 0 ■ аЛ (врд )ел1 - °д ]]гвЛ ~ 0 >
2 ~ ¡к Л 1
т. е. о I ек — вертикальная вертикальнозначная форма.
Утверждение 6. Каноническая форма 2-го порядка ёА1
2 2 У 2 ^ У представима в виде ё Аг — ~ + ~, где 2 со — 2со,е1 + 2со'в'Л +
+2со^еЦ — вертикальная (аннулируется горизонтальными
векторами 2-го порядка) вертикальнозначная форма связно-
н
сти 2-го порядка; 2 со — (о'о1 )еЛ + 2(оксо' - Г1^око')£( — горизонтальная (аннулируется вертикальными векторами
1-го и 2-го порядков) горизонтальнозначная форма связности
2-го порядка.
9. Координатное представление репера и корепера 1-го порядка на расслоении Ь2Хт реперов 2-го порядка. Деривационная формула 0-го порядка на расслоении касательных линейных реперов 2-го порядка Ь2Хт имеет вид
йА2 - о 'Е, + о ЛЕ/ + о'кЕ/к (Аг е Ь2 Хт, Е - в). (16)
Совокупность векторов 1-го порядка Е - Е,, Ек, ЕЦ* } образует репер касательного пространства
Т12Хт - эрап(Е, ■ Ек ■ Е?)
к расслоению 12Хт в точке А2. Этот репер является двой-
г ] I
ственным к кореперу а , сок, со^ :
Ц (Е]) = 5), а] (Ек) = 55к, аг]к (Е?) = 5).
Внося в (16) формы связности 2-го порядка со2 = {со], со]1к}, получим
ЙА2 - ю)Е] - ю]кЕ] =агЕ1, (17)
где Ег = Ег + Г^Е} + ^цлЕ. — горизонтальные векторы 1-го порядка для связности 2-го порядка.
V 2 Й 2
Форму (17) можно записать в виде ЙА2 = ~ + ~ , где
V 2 г . ., Й 2 г ~
~ 2 ~ г Т7 ] ~ г 77 ]к ~ 2 г Г
а = а .К; + а , а = а Ег — вертикальная и горизонтальная формы 1-го порядка для связности 2-го порядка в расслоении 12Хт. Горизонтальные векторы Е{ аннулируют формы связности 3)к, т. е. 3)к (Е1) = 0 .
10. Горизонтальные векторы и горизонтальные формы 3-го порядка для аффинной связности 2-го порядка. Каноническая форма Й3А0 порядка 3 получается повторным дифференцированием канонической формы йА1 = а 'ег (А е Хт ,
0
8 = в) и позволяет построить формы связности 3-го порядка. Для контравариантного задания аффинной связности Г2 = {Г]к, 1]к1} второго порядка исходя из уравнений [8]
ЛВ) = а к 8 к + а к8)к построим векторы
8... = 8.., + 8,.Г+ 8.,Г+ 8.1' (8.е Т3Х ), (18)
г]к г.к 1] гк г1 1 у к ^ )к т' ' 4 '
дифференцирование которых дает
Л8ук - а)8к1 + 8 (Л1к + Г> ) + Г¡ц? - Гц? + ). (19)
Согласно уравнениям (19, 10) векторы (18) являются инвариантными векторами. Векторы Sjk назовем горизонтальными векторами 3-го порядка для аффинной связности 2-го порядка. Таким образом, если исходить из касательных векторов 2-го порядка к многообразию Xm , то условие инвариантности горизонтальных подпространств H = span(sijk ) для связности
2-го порядка относительно действия группы не нужно.
Замечание 1. Альтернирование векторов (18) дает
t~i[jk] = jr\i\k] + iZilTjk + 2"SlSijk , где Sjk = Njk -rlJjk — тензор.
Замечание 2. Аффинные связности n-го порядка можно задавать и изучать с использованием канонических форм dpAq порядкаp (p = 1, ..., n + 1) расслоений линейных реперов порядка q (q = n, ..., 0), причем p+q = n + 1.
Список литературы
1. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М., 1981. Т. 1.
2. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 139—189.
3. Полякова К. В. Задание аффинной связности с помощью горизонтальных векторов // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 2013. Вып. 44. C. 100—112.
4. Полякова К. В. Специальные аффинные связности 1-го и 2-го порядков // Там же, 2015. Вып. 46. C. 114—128.
5. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия : учеб. пособие для вузов. М., 1988.
6. Рахула М. О. Инфинитезимальная связность в расслоении // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1977. Т. 8. С. 163—182.
7. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М., 1970.
8. Шевченко Ю. И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1998.
9. Emery M. An Invitation to Second-Order Stochastic Differential Geometry. Strasburg, 2005.
10. Kolar I., Michor P. W., Slovak J. Natural operations in differential geometry // Springer-Ferlag. Berlin, 1993.
11. Stelmastchuk S.N. Vertical martingales, stochastic calculus and harmonic sections // Communications on Stochastic Analysis. 2013. Vol. 7, № 4. P. 535—549.
K. Polyakova
Vector-valued forms of the 1st, 2nd and 3rd orders for affine connection of the 2nd order
We consider the representation of the 2nd order affine connection using vector-valued forms of various orders: the 1st order canonical form of
the 2nd order frame bundle on a manifold Xm; the 2nd order canonical form of the 1st order frame bundle on a manifold Xm; the 3rd order canonical form of a manifold Xm .
УДК 514.75
Ю. И. Попов
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград yurij.popoff2015@yandex.ru
Нормализация базисного подрасслоения сильно сопряженного Н-распределения
Рассматривается построение нормализаций базисного подрасслоения (Л-подрасслоение) специального класса ^Н-распределения) регулярных трехсоставных распределений (Н-рас-пределений) проективного пространства. Во всей работе используются обозначения и терминология работ [1; 2].
Ключевые слова: распределение, расслоение, нормализация, квазинормаль, нормаль.
© Попов Ю. И., 2016
