Скобка Ли касательных векторов и тождества Бьянки в главном расслоении Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76

Н. А. Рязанов

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград

Скобка Ли касательных векторов и тождества Бьянки в главном расслоении

Рассмотрено главное расслоение. Построены адаптированные пфаффовы производные векторов репера касательного пространства к расслоению в произвольной точке расслоения. Найдено выражение скобки Ли произвольных векторов из касательного пространства. Получены тождества Бьянки на компоненты объекта кривизны в произвольном главном расслоении, включающие компоненты объекта кручения аффинной связности. Описаны действия горизонтальных форм кривизны и вертикальных форм связности на вертикальных, невертикальных и горизонтальных векторах.

Ключевые слова: вертикальные и горизонтальные векторы, пфаффовы производные, скобка Ли, фундаментально-групповая связность, горизонтальные и вертикальные формы, тождества Бьянки.

Структурные уравнения расслоения Ог (Мп), базой которого является п -мерное гладкое многообразие Мп, а типовым слоем г -членная группа Ли Ог, имеют вид

БС = а] ла), (1)

Баа = Сарга ла7 + аг л со? . (2)

Здесь Б — внешний дифференциал, Саау — структурные

а7

константы, удовлетворяющие условиям: С^ = ~С^а (анти-

© Рязанов Н. А., 2014

симметрия по нижним индексам); СаауС§Е + Сар5С^ + С%Су5 = 0 (тождества Якоби). Индексы принимают следующие значения:

I, j,... = 1, г; а, а,.. = п +1, п + г.

Выражение для дифференциала точки А е Ог (Мп) запишем в виде [2]

ёА = ю1е1 + юаеа. (3)

Совокупность векторов первого порядка е = {е1, еа } образует репер касательного пространства Тп+г = ирап(е {, еа) к расслоению Ог (Мп) в точке А. Векторы еа являются касательными к слою и называются вертикальными. Двойственным к реперу е служит корепер ю = {С ,юа}:

С (е:) = Sj, С (еа) = 0, са(ег) = 0, са(еа) = 5ар .

Дифференцируя внешним образом выражение (3) и разрешая результат по лемме Картана, получим

-ю{е]-саеа = ю>ег] +юаelа, (4)

ёеа = Сеа +са(СГаае7 + еаа). (5)

Для совокупности векторов второго порядка е = {е у, е1а, еа, еаа} , называемых пфаффовыми производными

векторов е = {е 1, еа }, справедливы условия симметрии

еу = еА , е1а = еа , еаа = еаа . (6)

Перепишем уравнения (5) в виде ёеа =Сеа + юа еаа, где

векторы еаа = С„аег + еаа названы адаптированными пфаффовыми производными.

Дифференцируя структурные уравнения (1), (2) и разрешая результат по обобщенной лемме Картана, находим структур-

ные уравнения для форм со/, соар , а>" :

тл г к г , к г тл а У а , г а

Оа/ = а / лак + а л со ^, Оа р = со'р лау + со л со^,

тл а / а , В а , / а

Оаг =а- ла / + лт^+с л а/ .

(7)

Дифференцируя внешним образом выражения (4) и (5) с учетом уравнений (7), получим сравнения по модулю форм

з к а к а

¿ег/ - а гек/ а I а/ +а / 1к + а/ е,а ,

¿егр -а/е/Р + а е аВ + СВУС eга, & В -

Теорема 1. Совокупность векторов второго порядка е = {ег/, еа,еы, еар }, принадлежащих касательному пространству Т2Gr (Мп), удовлетворяет сравнениям (8). Инвариантными подпространствами 2-го порядка пространства Т2Ог (Мп) являются следующие: Н1 = {ег,еа,е//,ега,есй},

Н2 = {eа,elа,еар}, Н3 = {еа^}.

Теорема 2. Альтернации пфаффовых производных е являются скобками Ли векторов е [2].

Доказательство. Базисные и слоевые пфаффовы производные е' будем считать производными по направлению невертикальных векторов и вертикальных векторов еа , т. е.

ег/ = д е/ ег, еаг = д e¡eа, ега = д еаег, еаВ = д ереа ■

Используя эти обозначения, с учетом условий симметрии (6) получим

[ег , е/ ] = д ег е / ~д е/ег = е/г ~ ег/ = ^

аг а

К , ег ] = деа ег - дег еа = ега - еа = 0 , [еа, ер\ = д еаер - д ереа = е Ш ~ е аР - е [Ра] = 2СРае г ■

Для построенных скобок

[е,,е} ] = 0, [еа,с] = [еа,ер] = е[Ра] = 2СгРаеу

справедливы тождества Якоби в следующих возможных случаях:

[[ег , е] ], ^ ] + [[е к , ег ], е] ] + [[е/ , ], ег ] = 0 , [[еа , ег ], е] ] + [[е] , еа ], ег ] + [[ег, в] ], еа ] = 0 , [[eа, ep], ег ] + [[ег, eа], ер] + [[ер , ег ], еа] = ^ [[eа, ep], еГ ] + [[er, е а ], ер] + [[eр, er], е а ] = 0.

Рассматривая йЛ как линейное преобразование касательного пространства Тп+г, с помощью деривационной формулы (3) получим равенства: йЛ(ег) = ег, йЛ(еа) = еа .

Теорема 3. Векторы из совокупности е являются образами векторов репера е при отображениях йе [1]. Доказательство. Для линейных отображений

йе: Тп+Г ^ Т 2Ог (Мп)

из касательного пространства Тп+Г в касательное пространство 2-го порядка к расслоению Ог (Мп) имеем

йег (е] ) = ек®к1(е] ) + еа(°аг (е ] ) + егк ^ (еу ) + ега ^ (е } ) = е г] ■

0 0 хк 0

Остальные случаи доказываются аналогично. Таким образом, векторы из совокупности е являются: 1) пфаффовыми производными векторов репера е; 2) произ-

водными векторов репера e по их направлениям, т. е. г' = 8ег ; 3) образами векторов репера e при отображениях йг, т.е. г' = йг(г).

Рассмотрим произвольный вектор х из касательного пространства Тп+Г. Его разложение по базису имеет вид:

х = х'г{ + хага . Учитывая деривационные уравнения (4) и (5), дифференциал вектора х принимает вид:

йх = Ху' + ХаУ

где

Хг = х1гл + х"г* + Х\г] + Х"га , (9)

Ха = х гга + х^г/За + х аг' + хЗг р.

— базисные и слоевые пфаффовы производные вектора х. Вычислим скобку Ли двух произвольных векторов из касательного пространства по следующему правилу:

[х, у] = йу(х) - йх(у) = = (ур (х) + Уа®а(х))- (ху (у) + Ха^а(у))

Используя обозначения (9), получим:

[х, у] = хг + хага , (10)

где

х' = х!у'] - ху + хау а- х\уа , ха = х'уа- хау' + х Зуаз- х/у 3

(11)

— координаты вектора [х,у] в репере г.

Теорема 4. Скобка Ли двух произвольных векторов из касательного пространства Тп+Г вычисляется по формуле (10),

где координаты х' и ха имеют вид (11), причем сама скобка Ли также принадлежит пространству Тп+Г.

Зададим горизонтальные векторы и вертикальные формы связности следующим образом (ср. [2]):

~ 7-1 а ~ а а . т^ а г

ei = ег - Ггеа , а = а + Гг а .

Структурные уравнения для форм соа фундаментально-групповой связности можем записать следующим образом:

Вта = С%а ал5г+^а, (12)

где Оа = -2ROjа' л а — формы кривизны,

Щ = 2Г'}] - СаруГ^Гr — тензор кривизны.

Продолжая структурные уравнения (12) с учетом их и уравнений (1), получим (aR^ + 2СаrRа Г[ак^ла' а( = 0. Учитывая тензорный характер объекта кривизны R, запишем (Rа + 2С^ а Г 1~)ак л( л ( = 0. С учетом линейной независимости базисных форм имеем Rj ] + 2СаrR[аJ■ Г Г = 0.

Лемма 1. Альтернирование по трем индексам тензора, кососимметричного по двум из них, совпадает с цитированием по этим трем индексам.

Таким образом, получили тождества для компонент тензора кривизны: Rj} + 2СаХп Г Г} = 0.

Рассмотрим структурные уравнения фундаментально-групповой связности:

D( = а1 ла 1 +1 T'k( л(,

1 2 1к

DSo: = C%Sа л~г -1Ща' ла1,

где Tjk = Г'jk - Г'j — кручение аффинной связности Г'к. Продолжая эти уравнения с учетом их же самих, а также учитывая лемму 1, получаем, что справедлива

Теорема 5. В произвольном главном расслоении аналоги вторых тождеств Бьянки имеют вид

+ щ Т} = 0

Утверждение 1. Горизонтальные формы кривизны 0,а, действуя на паре горизонтальных или невертикальных векторов, дают тензор кривизны Я={ Я] }.

Выясним, каким образом горизонтальные формы кривизны действуют на различных векторах:

Оа(г/,гу) = 1 К®' лС(г/,гу) = 0, Оа(~.,~]) = 2Я® л® ,~]) = я/ ,

Оа(гг,г]) = 2Я>к лС (г.,гу) = Я/ ,

аа(гр, ~]) = 1 Яак1 С®к (гр)С )-С )С (г/))= 0.

Утверждение 2. Вертикальные формы связности, действуя на невертикальных векторах, дают компоненты объекта

Га '.

Действительно, Са(гг) = (са + Г]С )(гг) = Г р .

Справедливы условия сопряженности:

Са{гр) = (са+ Г]С )(гр) = 5ар .

Кроме того,

са(~.) = (®а + Г] С )(гг - Ггргр) = Г] - Г] = 0, т. е. горизонтальные векторы аннулируют формы связности.

Список литературы

1. Полякова К. В. Задание аффинной связности с помощью горизонтальных векторов // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 2013. Вып. 44. С. 100—112.

2. Полякова К. В., Шевченко Ю. И. Способ Лаптева-Лумисте задания связности и горизонтальные векторы // Там же. 2012. Вып. 43. С. 114—121.

N. Ryazanov

Lie bracket for tangent vectors and Bianchi identities in principal bundle

The principal bundle is considered. Adapted Pfaffian derivatives of frame vectors of the tangent space to the bundle at arbitrary point are built. Expression for Lie bracket of arbitrary vectors in the tangent space is found. Bianchi Identities for the compositions of the curvature object in an arbitrary principal bundle, including components of a torsion object affine connection are obtained. The acting horizontal curvature forms and vertical connection forms on vertical, non-vertical and horizontal vectors is described.

УДК 514.76

Д. А. Сафонов

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград

Обобщенная аффинная связность и ее вырождение в аффинную связность

На гладком многообразии рассмотрено расслоение линейных реперов. Предложен способ задания обобщенной аффинной связности на этом расслоении. Связность задается полем объекта связности, состоящим из тензора связности и объекта

© Сафонов Д. А., 2014 120