О базисных и слоевых формах главного расслоения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76

Н. А. Рязанов

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград ryazanov-92@mail.ru

О базисных и слоевых формах главного расслоения

Продолжается исследование главного расслоения, начатое в [2; 3]. Исходя из структурных уравнений Лаптева, построены структурные уравнения произвольного главного расслоения внутренним образом, т. е. найдены координатные выражения для его базисных и слоевых форм.

Ключевые слова: главное расслоение, структурные уравнения и деривационные формулы, базисные и слоевые координаты, базисные и слоевые формы.

1. Структурные уравнения и формы главного расслоения. Рассмотрим структурные уравнения Лаптева (п + г) -

мерного многообразия Мп+Г

Сю1 = ю' лю' (1,3,К,... = 1,..., п + г). (1)

Продолжая (1), найдем структурные уравнения

Са] = а>К люК + юК л со^. Координатные выражения структурных форм имеют вид

с/ = х'Сх', а1' = хКССхК + х'жаК, (2)

причем х1К' = 8', а координаты х^К симметричны по нижним индексам.

Исходя из структурных уравнений Лаптева (1) и выражений форм (2), построим внутренним образом структурные

© Рязанов Н. А., 2016 132

уравнения произвольного главного расслоения, т. е. найдем выражения для его базисных и слоевых форм. Структурные уравнения главного расслоения Ог (Мп) имеют вид

Со' = о1 л оо\

Соа = СаО л о7 + о' ло" ,

(3)

/-< а-

где С рг — структурные константы, удовлетворяющие условию антисимметрии по нижним индексам и тождествам Яко-би. Индексы I, J,К,... разбиты на серии ', 1, к,... = 1,..., п;

а, /, 7,... = п +1,..., п + г . Матрица координат ^ ) на рассло-

ении Ог (Мп) имеет вид

0

а а

V х1 х/ у

[5], тогда координатные

выражения для базисных оО и слоевых оа форм расслоения Ог (Мп ) принимают вид

а' = х)сХ], оа = хаёХ + х/ёх3. (4)

Матрицы координат (х' ), (х/ ) являются невырожденными. Из невырожденности матрицы () и равенства нулю координат х'а следует условие х"х/ + х/х3 = 0.

Из (22) следует, что выражения на формы

I ( ' ' а а л

<х>:] = |о;, оа , О' , о/ } имеют, соответственно, вид

О. = х'.Схк + х'О, о' = 0,

1 к " }к ' а '

оа = хаёх1 + х/

' 1 ' Р

+ ха о + х/о33,

(5)

а а 7 а ' , а 7

Юр = х7 ах/ + хро + хрго' ,

причем х}к = хк} , х1 = х' , х/ = х/ , х/у = ху/ .

Запишем структурные уравнения (32) в виде

Соа = о л о" +о/ ло",

х

<= СЮ. (6)

где

'"р -

Формы Ю распишем подробно с учетом разложения слоевых форм (42):

Ю = Сарг( х{сх + хгдСх8).

С другой стороны, используя (22), формы Ю можно записать в виде

Ю = х^скр+хрю+хрс.

Приравнивая полученные выражения для форм Ю)" и выражая дифференциалы Сх" , имеем

Сх8 = —х 8 {{СРг ~ хРг) х8 _ хР]х1 ) Сх (7)

— хв {Сре — хре)гсСхГ.

Из последнего равенства видно, что хср = х8 (х', х^).

В выражениях (53) форм ю" координаты х" считаются независимыми переменными на произвольном главном расслоении. Функции х" = х8(х}, хг,х]к), рассмотренные в [3],

фактически выделяют некоторое сечение. Исходя из выражения (53) и условия

хСх/ + хрсСхР = —Сх ^^ х/ + Схр , выражения для дифференциалов Сх" имеют вид

Сх^ = — хк Юр — Хр хк Схр + хк х^Ю + хк х^р^р.

Используем последнюю формулу при дифференцировании форм (42), то есть в выражении Соа = ёх" л Сх1 + Сх" л Сх/, тогда получим

1 а а ~е 5 / 7 .

Со = х5 х/ху-о ло +

' / а а 1 а В, а ~1 ~/ 5 . а ~7~/ 5\ + о л (о' - х'1 юJ - х/о + х/^^^ + xруxl'xgю ),

х 8ха

где =—, х/ 7 =—/. Учитывая симметрию функций х",

8х 8х

получим

ёоа = С/ о/ ло7 + о' лта +

/7 ' (8)

' / а а ~I~5 , а ~5\ /

+° л (-х/ + х5,1х,х/ + х5,7х1х//)о ,

где (см.: [3; 4])

С"7 = . (9)

Выражения (8) принимают вид (32), если выполняется условие

ха=х;^х/+x^р1xxуxр. (10)

Выражая из соотношения (9) проальтернированные произ-

а

водные х5 е, получим

х" = С" х/х7 (11)

Будем считать, что производные функций х" = х"(х', х7) удовлетворяют условиям (11).

Утверждение 1. Формы оа (42) удовлетворяют структурным уравнениям (32), если формы о" имеют вид (53), причем функции х[а выражаются по формуле (10).

2. Деривационные формулы. Векторы репера е = [ег,еа}

касательного пространства ТОг (Мп), двойственные к корепе-

ру а = [а1 ,аа}, в натуральном репере [дг-, да} имеют следующий вид [3]:

еа = ei = Щ + х«да. (12)

Продифференцируем векторы (12):

ёеа=¿хадР+а (дд

ёе. = йх'д . + х(д .) + ёх7д + хЫ(д ).

г г 1 . 7 . \ 7/

(13)

Учитывая в уравнениях (13) выражения дифференциалов обратных матриц

ёх/ = ак + х.к х/ак,

ё~г = ~а аI — ~а Xj сёх/ — ~а х^ а^ — ~а х ^ ^а^, имеем уравнения (см., напр.: [1; 2])

ёеа = еаа + (еар + Срв)^

ёе. — е}®1 — еа®а = еца] + ега®а,

где пфаффовы (неголономные) производные векторов е1, еа имеют вид (ср.: [3])

еа = ^^ д р ] + ^рг — ( х в ,рх ах ^ + хв, ]хах1)ее,

е = хах7д2 — хв ху х7 е

ар а р 67 Ху,7Х(аХ р)С в' к к I -л 2 ~к ~ а -л 2

е1 = хуек + ^х1д Ы + х*х1 д ка +

+ хрх1.др, + хахрд2р — хае ,

г 1 р1 г 1 ар г] а

е. = х]хрд 2р + х7хрдр— хрер.

га г а ]р г а 7р га р

(14)

В силу леммы Картана для векторов 2-го порядка должны выполняться условия симметрии ву = в', еаа = еа, еа/ = е /а.

Векторы вц, еа/ симметричны в силу равенства смешанных

производных и симметрии функций х11к, х", х" . Если сравнить (141) с (144), то при выполнении условий (11) действительно получаем еаа = еа.

Утверждение 2. Координатные выражения (141, 144) векторов еа, еоА, полученные при дифференцировании касательных векторов (12), равны, если функции х[а выражаются по формуле (10).

3. Структурные константы. Сравним координатное выражение (54) для форм о" с их бескоординатным выражением

(6). Выразим все формы через дифференциалы базисных и слоевых координат:

- х/ (х"5Сх5 + х^'Сх') + х/7 (хг8Сх5 + х(Сх1) +

+ х х' Сх = с а (х5<Сх ' + х7 Сх1).

Выпишем слагаемые при дифференциалах Сх5 :

хрх(у,8 = (х% - С%)х3, откуда приходим к формуле

х"7 = ха[х[Ахг) . (15)

Сравнивая подобные слагаемые при дифференциалах Сх' , получаем выражения

= (х% - С/г)х' + х%, которые тождественно выполняются при условиях (11), (15).

Утверждение 3. Координатное (54) и бескоординатное (6) выражения для форм о" совпадают, если функции х/у имеют вид (15).

Замечание 1. При выполнении (9, 10, 15) соотношения (7) принимают вид

Сх"а = х/ 'Сх + х/ 7(Сх7.

Найдем выражения для дифференциалов выражений (9):

СС/г = (х8[£'Сх1 + хЗ[£УсСхУ )[75] + xS,E(сСХ[Рху] + х/^/]). (16)

С использованием формулы (54) выражения для дифференциалов Сх[ примут вид

Сх[ = о;х[ - харха° - хаа7. (17)

Учитывая формулу (17) в уравнениях (16), а также группируя подобные слагаемые при базисных и слоевых формах, получим

где

Р7 = СР7Е<° + СР7о :

Са = ха х^хмх5- х5 -хУ(са хМ + са хМ) ^/78 ~ х5,МУ 8 х[/х7] хМ,У $7 0 /д*-? />

са = ха х1 х8 х5 + ха хухмх5 -

~ х5[£;х' х[/7]^ х5,МУ ' [/7]

- (хм, 1 х*' 1 + хм,*/Х1 )(с37'х1М + Ср5хх7^).

Замечание 2. Уравнения на структурные константы можно привести к следующему виду [6, с. 29]:

ССа - со - С/о = С/о + С/о, (18)

где

Са = ха хухмх5

/78 ~ х5,МУхЕх[/ 7] •

В формуле (18) тензор для оператора А непосредственно не образуется.

Если СаруЕ = 0, Ср^ = 0, то dCpr = 0, следовательно, Сру —

а

проальтернированные производные второго порядка xs EV и xs E, получим

Формулы (19) получаются также непосредственно при дифференцировании функций (11).

Утверждение 4. Если проальтернированные производные

xps E] функций xP = xp(xl, xr) имеют вид (11), то dСpr= 0, т. е. Ср7= const.

1. Полякова К. В., Шевченко Ю. И. Способ Лаптева — Лумисте задания связности и горизонтальные векторы // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 2012. Вып. 43. С. 114—121.

2. Рязанов Н.А. Скобка Ли касательных векторов и тождества Бьянки в главном расслоении // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 2014. Вып. 45. С. 113—120.

3. Рязанов Н. А. Реперы 1-го и 2-го порядка на главном расслоении // Там же. 2015. Вып. 46. С. 129—136.

4. Катанаев М. О. Геометрические методы в математической физике. М., 2011.

5. Шапуков Б. Н. Линейные связности векторного расслоения // Тр. геом. семин. Казань, 1975. Т. 8. С. 118—131.

6. Шевченко Ю. И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий : учеб. пособие. Калининград, 1998.

константы. Выражая из соотношений С(рге= 0 и Ср^ = 0

CP (хр х7 + х7 хр) CP (xр x7 + x7 xр)

K--p7\XE,iXS ^ XS,iXe >■

(19)

Список литературы

N. Ryazanov On basic and fiber forms of principal bundle

The research principal bundle developed in [2, 3] are continued. Based on the structure Laptev equations, structure equations of arbitrary principal bundle are built internally, i.e. coordinate expression for its basic and fiber forms are found.

УДК 514.76

Л. В. Степанова1, Г. А. Банару2

1Смоленский филиал МИИТ, 2Смоленский государственный университет lide@yandex.ru1; mihail.banaru@yahoo.com2

О почти контактной метрической структуре на вполне омбилической гиперповерхности келерова многообразия

Доказано, что квазисасакиева структура на вполне омбилической гиперповерхности келерова многообразия размерности не ниже шести является сасакиевой.

Ключевые слова: почти контактная метрическая структура, ква-зисасакиева структура, сасакиева структура, вполне омбилическая гиперповерхность, келерово многообразие.

1. Давно известно, что на вполне геодезической гиперповерхности келерова многообразия индуцируется косимплекти-ческая структура. Кто именно это установил первым — сказать трудно. Из построений выдающегося американского геометра Д. Блэра [1] этот факт следует также непосредственно,

© Степанова Л. В., Банару Г. А., 2016 140