Рекуррентный алгоритм идентификации модели, основанный на ортогональном разложении Текст научной статьи по специальности «Математика»

где Av(t)

Ao + Z

p=1

Ap • cos|

(t pt)+ Bp • sin(cD pt)

суммавсехпериодическихсоставляюшихпроцесса; U( t) — случайный остаток. Для идентификации системы необходимо определить амплитуды Ao, Ap , Bp регулярных составляющих, имеющих частоты ю p; фазовые углы

_ =

Р p - arct§ . регулярных составляющих; а также мате-

Ap

матическое ожидание, СКО, спектральную плотность

шума U( t). Такая задача относится к известному классу задач выявления скрытых периодичностей [3].

После выявления и исключения скрытых периодичностей можно провести аппроксимацию спект-

ральной плотности мощности процесса V функцией (2) по методу наименьших квадратов в частотной области и получить оценки а , ст .

Таким образом, предложенный в настоящей работе алгоритм позволяет повысить точность определения характеристик случайных составляющих разности фаз или частот мер времени и частоты при их

взаимных сличениях посредством использования марковских моделей поведения случайных процессов.

Литература: 1. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний / Под ред. В.В.Мигулина М.: Наука,1978. 392 с. 2. Мирский Г.Я. Характеристики стохастической взаимосвязи и их измерения.М.:Энергоиздат, 1982. 320 с. 3. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ: Справочное пособие. К.: Наук. думка, 1986. 584 с. 4. Рутман Ж. Характеристики нестабильности фазы и частоты сигналов высокостабильных генераторов: Итоги развития за пятнадцать лет. ТИИЭР, 1978. Т.66, №9. 5. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга первая. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Сов. радио, 1974, 552 с. 6. Yevdokimenko Yu.I, Shmaly Yu.S. A Thermodynamic Resonance in Piezoelectric Crystal Plates of Thickness-Shear Vibrations/ Proceeding of 1993 IEEE international Frequency Control Symposium. 47th iFCS. 1993. Р. 193.

Поступила в редколлегию 20.09.98 Рецензент: д-р техн. наук Клейман А.С.

Евдокименко Юрий Иванович, канд. физ.-мат. наук; старший научный согрудрудник, начальник отдела НМЦ ВЭ. Адрес: Украина, 310172, Харьков, ул. Ерицевца, 44А, кв. 54, тел. 14-52-70.

Нарежний Алексей Павлович, младший научный сотрудник НМЦ ВЭ. Адрес: Украина, 310087, Харьков, ул. Тобольская, 49, кв. 12.

УДК 519.6

РЕКУРРЕНТНЫЙ АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИИ МОДЕЛИ, ОСНОВАННЫЙ НА ОРТОГОНАЛЬНОМ РАЗЛОЖЕНИИ

ГРИЦЮК В. И.

Исследуется рекуррентный метод идентификации модели по данным пассивного эксперимента. Определение оптимального числа членов производится с использованием численно устойчивого алгоритма орто-гонализации.

Характерный рост размерности решаемых задач выдвигает проблему упрощения математического описания систем. Применение идентификации модели системы в реальном времени необходимо для ее адаптации к изменяющимся условиям функционирования, а сведение исходной задачи к задаче меньшей размерности приводит к сокращению объёма вычислений и увеличению численной устойчивости алгоритмов.

Оценки коэффициентов в описании явлений находятся по данным пассивного эксперимента, когда переменные сильно коррелированы.

Исследуем многомерный случай, являющийся обобщением рассмотренного в [1].

Пусть рассматриваемая модельная структура задается соотношением

0 (x, в )= X(x)P , (1)

где 0(x, в) — достаточно гладкая p-мерная вектор-функция; X(x) — матрица размера pxm, элементами которой служат функции hkr (x), определенные на

интересующей нас области X; в — неизвестный вектор параметров размера m.

Оптимальная оценочная функция может быть представлена

Y(1 )(xi) = X(xi)P(1 )G(

(2)

1 ^

где l — оптимальное число членов модели. Число

столбцов матрицы P(l) равно количеству чисел в

(q1Y)2 > (q2Y)2 > ... > (qrY)2, (3)

для которых выполняется

ст-2(qiY)2 > 1. (4)

Здесь YT = ((Y(x1))T,...,(Y(xn))T) размера n p x1;

r — ранг матрицы X размера n p xm; X

X(xi)

X(xn)

qT и pj — столбцы матрицы QT и P — левые и

правые сингулярные векторы матрицы X; ст2 Ip —

матрица ковариаций случайных ошибок.

Определение оптимального числа членов может осуществляться по мере обработки поступающих данных наблюдения. Предлагается для увеличения точности, устойчивости к матрицам с плохой обусловленностью, увеличения количества оцененных параметров применить сингулярное разложение, позволяющее осуществить идентификацию модели в реальном времени. Цель состоит в том, чтобы путем ортогональных преобразований матрицу ковариаций

P преобразовать в диагональную, при этом опреде-

46

РИ, 1998, № 3

ляются сингулярные числа матрицы P , т. е. ищутся преобразования Г ивенса таким образом, что

GTd1/2UtG2 = Dg, (5)

где для сокращения времени счета используется модифицированный метод Гивенса без квадратных корней [ 2 ]. В этом случае в целях преобразования

произвольной матрицы C = GC1 = Dl 2C2 для элементов с bj ^ 0 используется уравнение

С помощью сингулярного числа ai = X запишем первый столбец матрицы

BTB-а I

di-аі

0

0

(12)

l^-j = im-J-l + djb2m, элементы аi и аl матрицы C2 для j строки вычисляются по формулам:

а i = (bjglm-j-i + djbj,mbj,i)/lm-j, (6)

аі = bj,i - b j,mb N,i .Следовательно,

P = uduT = G2DgGTGlDgGT = G2DgGT. (7)

Сингулярное разложение вычисляется в два этапа. На первом этапе матрица Dl2UT с помощью преобразований Гивенса переводится в нижнюю

T

двухдиагональную матрицу B :

BT = (G2n-3(..G5((G3((GiDT/2uT)G2))G4)..G2n-2. (8)

При преобразованиях с G2i (i = l,..., m -1) не нужно заново вычислять диагональную матрицу. Второй этап процесса состоит в применении специальным образом адаптированного QR алгоритма к

вычислению сингулярного разложения B .

Сингулярные числа рассчитываются из соответствующей нижней угловой 2x2 подматрицы матрицы

" dn-i(l + єП-і) (dndn-i)l/2en

_(dndn-i)l/2en dn(l + e2)

BTB

(9)

с dj -элементами матрицы D и ej -околодиагональными элементами двухдиагональной матрицы B . Её характеристическое уравнение:

[dn-i(i+£,)-x\ [dn(i+є;)-xj-dndn-,e; = 0. (io>

Корнем уравнения (10), ближайшим к dn (l + єП ) , является

x = dn + Vd7en(Vd7en -у/ЧІ/f), (11)

где

f = <

t =

[-1-(l + t2)l/2 j,t > 0,

[-1 + (l + t2)l/2],t ^ 0, dn(l + єП) - dn _! (l + e2-i)

^/dn-ldnen

Верхняя угловая 2x2 подматрица матрицы QT , которая преобразует второй элемент первого столбца

T

матрицы B B - а I к нулю, имеет вид (dl-а1)/а (dld2)l/2e2/ а

(dld2)l/2e2/ а (dl-а 1)/а

(13)

где а2 = (di -аi)2 + did2e2.

Считается, что число циклов, которые необходимо выполнить, чтобы в матрице BT все околодиагональные элементы стали меньше заданной границы точности, от 2m до 5m [3]. Это число зависит, с одной стороны, от величины границы точности, с другой — от способа вычисления сингулярных чисел.

Таким образом, процедура заключается в провер -ке на каждом шаге выполнения неравенств (4). Если они нарушаются до того, как исчерпаны все измерения, то последующие измерения обрабатываются без учета отброшенных параметров.

Разработанный алгоритм является численно устойчивым и позволяет получать более точные оценки.

Литература: 1.Петров Э. Т, Трицюк В. И. Оптимизация модели, основанная на ортогональном разложении // Программное обеспечение технических систем. Сб. на-учн. трудов. К.: ИКАЛ Украины. 1991. С.35-39. 2. Трицюк В. И. Алгоритмы факторизации для оценки ограниченных параметров // Тез. докл. 3-й межд. конф. “Теория и техника передачи, приема и обработки информации.” Харьков. 1997. С. 289. 3. Hotop H. J. Neue stabile und vektorisierbare Kalmanfilter-algorithmen auf der grundlage von orthogonaltransformationen //DFVLR-FB. 1987. Vol. 52. 185 p.

Поступила в редколлегию 28.09.98

Рецензент: д-р техн. наук Шабанов-Кушнаренко С.Ю.

Грицюк Вера Ильинична, канд. техн. наук, докторант ХТУРЭ. Научные интересы: стохастические системы управления. Хобби: музыка, литература. Адрес: Украина, 310726, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-06.

РИ, 1998, № 3

47