Методика синтеза математических МО делей рядов макроэкономических показателей на основе алгоритмов сингулярного разложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

4. Улучшается интегрирование, уточняется сетка дискретизации, увеличиваются точности решения вспомогательных задач.

5. Продолжается процесс оптимизации с уточненной дискретизацией задачи до срабатывания локальных критериев остановки.

6. Производится малое возмущение управления u{t) = u(t) + 8 u(t).

7. Продолжается процесс оптимизации с возмущенного управления до срабатывания локальных критериев остановки.

8. Продолжается процесс оптимизации с использованием поисковых методов оптимизации.

9. Вычисляются <Pq (х(Г,), и А(ры,Agh - максимальные нарушения ограничений на новом управлении.

10. Если | (pQ - <pú I /(1 +1 <p" j) < eA, либо IA (ph - Acp11 /(1 + |д (pN |) < sA , либо IAgN - AgT j /(1 + |Ag'v |) < SA, то производится переход на шаг 4.

11. Записывается текущее u(t) как приближенно оптимальное решение ЗОУ.

Алгоритм завершен.

Заключение. Можно утверждать, что верификация компонентов ЗОУ - один из важнейших вспомогательных методов создания надежных вычислительных технологий оптимизации динамических систем. Рассмотренные алгоритмы были включены в состав функционального наполнения нескольких программных средств (пакет прикладных программ МАПР, комплекс программ OPTCON-I, вычислительный сервер OPTCON-I!, комплекс программ OPTCON-III) и успешно использованы при решении прикладных задач из областей динамики полета, космонавигации, электроэнергетики, робототехники, экономики, экологии и других.

Библиографический список

1. Советский энциклопедический словарь под ред, А,М.Прохорова. - М„ 1981.

2. Математическая энциклопедия, - М,: Советская энциклопедия, 1977. - Т. 1.

3. Турчак ЛМ„ Плотников П.8. Основы численных методов. - М.: Физматлит, 2002. - 304 с.

4. Хайрер Э., Нерсен С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. - М.: Мир, 1990. - 512 с.

5. Горнов А.Ю., Диваков А.О. Комплекс программ OPTCON для решения задач оптимального управления, Руководство пользователя. - Иркутск, ИрВЦ СО РАН, 1990. - С. 1-36.

6. Форсайт Дж„ Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычисление. - М.: Мир, 1980. - 279 с.

7. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я, Методы решения некорректных задач. - М,; Наука, 1979, - 288 с.

А.Н.Дойников, В.С.Кедрин, М.К.Сальникова

Методика синтеза математических моделей рядов макроэкономических показателей на основе алгоритмов сингулярного разложения

Моделирование движения макроэкономических показателей является важнейшей задачей в экономике. Конечной целью этих задач является синтез адекватной модели прогноза динамического состояния макроэкономической системы, характеризующейся нестационарными процессами (выборками движения макроэкономических показателей). В этой связи важное значение приобретают методы анализа процессов в структурно неустойчивых системах. Выбор методов анализа временных рядов экономических показателей и порядок выделения отдельных составляющих ряда сами по себе тесно связаны с динамикой экономической системы. Во-первых, необходимо адаптировать параметры используемых методов к временным интервалам, соответствующим собственным (внутренним) динамическим свойствам. Во-вторых, следует использовать методы, обладающие, при прочих равных условиях, наименьшей инерционностью, с тем, чтобы не пропустить «смену тенденций» изменения показателя, В-третьих, на взгляд авторов, это должны быть непараметрические методы — наименее зависимые от субъективных оценок.

Оставаясь в рамках классических методов, достаточно сложно, а порой и невозможно дать обоснованный прогноз, в силу того, что характерными особенностями движения макроэкономических систем являются интенсивные и в общем случае кратные изменения макроэкономических показателей, определяемые непостоянством составляющих

движения рынка: а именно переменным составом участников, непредвиденными политическими и экономическими событиями.

Проведенный анализ показал, что при моделировании движения макроэкономического показателя целесообразно разделять процесс на отдельные составляющие. Предложенный в данной работе метод, реализующий разложение временного ряда на простейшие составляющие, основан на сингулярном разложении матрицы развертки (СРМР). Если ввести понятие «структура ряда», определяющее количественный и качественный набор простейших составляющих движения, то метод СРМР позволяет исследовать структуры временных рядов и совмещает в себе достоинства многих других методов, в частности анализа Фурье и регрессионного анализа. Суть метода заключается в преобразовании одномерного ряда макроэкономического показателя в матрицу развертки с помощью однопараметрической сдвиговой процедуры и сингулярного разложения этой матрицы. Из полученного набора главных сингулярных .чисел матрицы развертки по условию значимости (по убыванию модуля) выбираются те, по каждой из которых может быть восстановлена одна из простейших составляющих исходного ряда.

Рассмотрим особенности предложенного метода. Пусть дан исходный ряд $ = (Ю, П, .... ,Ж-1), состоящий из К значений и характеризующий движение макроэкономического показателя, На первом этапе, исходя из внутренних свойств системы, подбирается длина окна М, 1<М<К и составляется матрица развертки А, содержащая N = К - М + 1 векторов развертки, имеющих заданную размерность М. То есть матрица имеет вид:

А = Ы,М =

а,

а,

а2 а,

\ам-\

а

лм ам

а

ЛЧ1

(1)

/V/ ••• "К J

На втором этапе производится сингулярное разложение матрицы А размером М х ^ ние в виде:

то есть её представле-

А

V х^хУ (

я,

а

21

\ау,\

а

1Л' а2Ы

агх

а

■ш у

ии

Ы2\ Щ\

\им 1

12

22

32

М2

23

'•33

1МЪ

\м

пм

1ЪМ

1мм у

VI/,

о

о

О

( т V II 1Л'

V7" ■ \ .'VI NN )

(2)

где и — ортогональная матрица размером МхМ , V — ортогональная матрица размером NхN, \Л/ — матрица размером М на главной диагонали которой находятся неотрицательные числа, расположенные в порядке убывания, а все внедиагональные элементы равны нулю.

С учетом свойств матрицы У/, большей частью состоящей из нулей, для получения матрицы А требуется не М столбцов матрицы и, а лишь первые гтп(М,М) столбцов (в примере выше — три столбца), аналогично, лишь первые гш(М,М) строк матрицы VI влияют на результат произведения, Эти столбцы и строки называются левыми и правыми сингулярными векторами.

В основе преобразования по соотношению 2 лежат известные методы сингулярного разложения. Одним из первых алгоритмов, осуществляющих сингулярное разложение, был алгоритм Якоби, приводящий прямоугольную матрицу к диагональному виду при помощи последовательности элементарных вращений [2]. Этот метод разложения позволяет определять все сингулярные значения матрицы, включая малые, с высокой точностью, однако низкое быстродействие его работы привело к тому, что он уступил место семейству алгоритмов, основанных на С^-итерации.

В основе наиболее популярных современных алгоритмов сингулярного разложения лежит приведение матрицы к двухдиагональной форме на основании стандартной быстродействующей процедуры с помощью ортогонального преобразования и последующая её диагонализация ОР-алгоритмом, при которм матрица А представляется в виде:

А = (3)

где О - ортогональная квадратная матрица, I? - верхнетреугольная или верхнетрапецоидальная матрица (в зависимости от размера матрицы А).

Разные алгоритмы обычно отличаются тем, как они осуществляют итерации 01?-алгоритма. Первоначально широкое распространение получило семейство алгоритмов, основанных на алгоритме Голуба-Кахана-Рейнча ("0о1иЬ КаНап

Ре)П5сЬ а1доп!Ит") [3]. Достоинствами этого метода являются его простота и компактность реализации, однако в некоторых сложных случаях его сходимость и точность оставляют желать лучшего.

В данной работе было реализовано два усовершенствованных алгоритма сингулярного разложения. Первый алгоритм, характеризуется более высокой точностью и улучшенной сходимостью, за счет исключения этапов разбиения матрицы на элементарные составляющие. Второй алгоритм, в англоязычной литературе называющийся "сМс1е-апс1-сопяиег", разбивает задачу сингулярного разложения большой двухдиагональной матрицы на несколько задач меньшего размера, к которым применяется обычный С№-алгоритм [4]. Этот алгоритм характеризуется более высокой скоростью работы для больших матриц, чем обычный СЮ-алгоритм. В частности, сингулярное разложение квадратной матрицы алгоритмом "сГмс1е-апс1-сог^иег" при N = 100 в 2-4 раза быстрее, чем разложение обычным алгоритмом (включая время, требуемое на приведение матрицы к двухдиагональной форме), а при N = 1000 в 6-7 раз быстрее,

Для квадратных и близких к ним по форме матриц описанные выше алгоритмы работают достаточно хорошо. В случае, если входная матрица прямоугольная и имеет сильно вытянутую форму, то вместо приведения её к бидиаго-нальной форме можно использовать Ю или СШ разложение (в зависимости от того, какая из сторон матрицы больше), чтобы представить её в виде произведения прямоугольной ортогональной матрицы О и квадратной (верхне- или нижнетреугольной) матрицы, после чего бидиагонализировать квадратную матрицу заметно меньшего размера, чем исходная матрица. При этом Ю-разложением прямоугольной матрицы А называется представление матрицы в виде:

А = ЦЭ, (4)

где I — нижнетреугольная (или нижнетрапецоидальная) матрица, О — ортогональная квадратная матрица. В зависимости от соотношения числа строк и столбцов возможно увеличение скорости в 2-6 раз по сравнению с вариантом, в котором бидиагонализации подвергается исходная прямоугольная матрица,

Возвращаясь к результатам сингулярного разложения исходной матрицы развертки по соотношению 2 имеем матрицу левых сингулярных векторов и размерности МхЬ [Ь = тш\М9М)), транспонированную матрицу правых сингулярных векторов V] размерности I х N и матрицу сингулярных чисел V*/ размерности Ь х Ь ,

Определим связь каждого сингулярного числа с определенной составляющей движения макроэкономического показателя. Для того, чтобы определить сзязь первого сингулярного числа с соответствующей ему составляющей, нужно найти обратную матрицу развертки по формуле:

А0 ~[/ ■ Ш ■V7

МхИ Л/х/, п\1х\ К

—

II

11

^2! ' ''

\ Ли/Л

0

X

)

(V,', - й)- И

\иМ 1

Далее необходимо провести операцию усреднения по второстепенным диагоналям обратной матрицу развертки А° и получить ряд Р1, характеризующий составляющую процесса.

Связь ¡-ого сингулярного числа с ¡-ой составляющей определяется по соотношению:

г = иМх1 «Ж. , • Угыы -> К ]

Заметим, что обратные рассуждения по использованию выделенных составляющих для восстановления исходной матрицы А приводят к выводу об аддитивности выделенных составляющих,

В качестве примера рассмотрим применение полученных соотношений для анализа и разложения временного ряда макроэкономических показателей. На рис. 1 изображено изменение макроэкономического показателя, характеризующего отношения курса валют за определенный период,

На рис. 2 представлены первые девять компонент разложения исходного ряда (по убыванию модуля). Из представ-ленного графика видно, что первая тройка компонент характеризует трендовую составляющую ряда. Вторая тройка характеризует циклическую составляющую ряда. Последняя тройка компонент в большой степени отражает описание случайной составляющей. При этом нельзя говорить о том, что полученные компоненты идеально показывают отдельные составляющие динамического движения. Так тренд не окончательно разделился с высокочастотными составляющими ряда. Анализ показывает, что произошло незначительное перемешивание тренда с некоторой гармонической компонентой ряда. Гармонические составляющие имеют меняющуюся амплитуду,

На следующем этапе разделения исходного временного ряда необходимо проводить рекурсивную процедуру анализа получившихся компонент, до тех пор, пока не будут получены элементарные составляющие процесса. При этом возможна комбинация представленного метода и других методов разложения, которые могут оказаться более эффективными на позднем этапе анализа, к примеру, методы, основанные на дискретном преобразовании Фурье для гармонической составляющей.

Рис. 1. Макроэкономический показатель курса валют

/ ч ! / 11 \ -

......................; ; ....................' ' ..... '--------

...........х^г.........21).............з

А; А ЛI \ ! А 1\ \ А

.......... 4 5 .......*.............6

/Н \ п дП А *

Ч/Нд/п \/У1йЛ1 МШи\ .....7 ^ 8:: ??........

Рис. 2. Компоненты разложения исходного ряда

трендовые состав- случайная состав-

ляющие " дяющая

периодические составляющие

Рис. 3. Разложение макроэкономической величины на отдельные составляющие и построение на базе их математической модели

Таким образом, результатом применения метода является разложение временного ряда на компоненты, которые могут быть интерпретированы как медленные тренды, циклические составляющие и шум,

Таким образом, предлагаемый метод СРМР позволяет получить отдельные элементарные составляющие, как показано на рис. 3, каждая из которых, характеризует долю процесса изменения макроэкономического показателя, При этом суть моделирования движения полных макроэкономических величин заключается в том, чтобы разбить один сложный объект на множество элементарных объектов, которые на прогнозируемом интервале достаточно легко могут быть описаны математическими моделями. Полученные на основе исходного ряда элементарные составляющие могут быть использованы для точного прогнозирования и, в соответствии с принципом суперпозиции, объединив влияния отдельных составляющих, возможна оценка реакции макроэкономической величины на какое либо воздействие, вызванное политическими или экономическими новостями. В итоге прогнозируемое значение исходного ряда вычисляется как сумма прогнозов отдельных составляющих.

Библиографический список

1. Платонова И, Н, (ред.) Валютный рынок и валютное регулирование, - М.: БЕК, 1996.

2. Eisner J,В, and Tsonis A,A, Singular Spectrum Analysis, A New Tool in Time Series Analysis. New York and London: Plenum Press, 1996.

3. Дж.Форсайт, М.Малькольм, К.Моулер. Машинные методы математических вычислений,/Пер, с англ.-М.:Мир, 1980,

4. Дж,Голуб,1Ч.Ван Лоун, Матричные вычисления,/Пер. с англ -М.: Мир, 1999.

Т.С.Аиванцова, А.КХГорнов

Подход к построению нелокального синтеза оптимального управления

Введение, Задача построения оптимального управления в виде закона с обратной связью (задача синтеза оптимального управления, COY) оказалась значительно сложнее, чем задача построения программного управления и к настоящему моменту, несмотря на усилия многих специалистов, не имеет удовлетворительного решения ([1-5]), Уравнение Беллмана (Гамильтона - Якоби - Беллмана), решение которого удовлетворяет искомым математическим требованиям, в вычислительном отношении в общем случае должно быть признано неразрешимым (см., напр,, [5-7]). Единственным классом задач, для которого, по мнению специалистов, возможно построения СОУ в конструктивном виде, являются линейно-квадратичные задачи (линейная система, квадратичный функционал), но и в этом случае, малоинтересном для практики, решение основной вспомогательной задачи - интегрирование матричного уравнения Риккати может оказаться невозможным в силу его жесткости.

В то же время, прикладная потребность в конструктивных технологиях синтеза оптимального управления увеличивается. Во-первых, увеличивается «социальный заказ» на разработку автономных систем управления в реальном времени со стороны промышленных приложений. Во-вторых, рост вычислительной мощности доступной компьютерной техники, к сожалению, не дает качественно новых возможностей практического применения итеративных алгоритмов оптимизации, в большинстве случаев чрезвычайно затратных по процессорному времени, В-третьих, наличие адекватных систем управления с обратной связью позволило бы значительно уменьшить требования к качеству математических моделей и к их информационной обеспеченности. Наличие этих, и, возможно, многих других объективных факторов позволяют утверждать, что актуальность задачи СОУ в настоящее время значительно возросла. В статье рассматривается подход к созданию методики решения задачи СОУ для нелинейных систем, основанный на задаче параметрической идентификации.

1. Постановка задачи СОУ, Пусть имеется управляемый процесс, описываемый системой обыкновенных дифференциальных уравнений х = /(x(t),u, рЛ), определенный на интервале Т ~[t0,/J. Здесь t - независимая переменная (время), x(t)~ п-вектор фазовых координат, u~ г-вектор управляющих функций, р- скалярный параметр модели, принимающий значение из интервала [p¡,pK]. Вектор-функция f(x(t),u,p,t) размерности п предполагается непрерывно-дифференцируемой по всем аргументам, кроме t , Начальный фазовый вектор x(tQ)-x°(p) задан как функция параметра р,