Анализ стохастических характеристик группы мер частоты и времени при их взаимных сличениях Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

СИСТЕМЫ И ^

ПРОЦЕССЫ

УПРАВЛЕНИЯ

УДК 389.2

АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ГРУППЫ МЕР ЧАСТОТЫ И ВРЕМЕНИ ПРИ ИХ ВЗАИМНЫХ СЛИЧЕНИЯХ

ЕВДОКИМЕНКО Ю.И., НАРЕЖНИЙА.П.

Показывается, что групповая мера частоты образует многочастотную автоколебательную систему, что приводит к окраске собственных фазовых шумов мер регулярными периодическими составляющими. Выявление и исключение данных периодичностей позволяет определять фазовые шумы мер как марковские.

Анализ характеристик мер частоты и времени обычно проводится в частотной или временной областях. В качестве характеристики нестабильности частоты в частотной области используется спектральная плотность мощности частотных или фазовых флуктуаций как функция частоты анализа Фурье. Во временной области для этого обычно используются корреляционная и структурная функции.

Измерение нестабильности частоты ВМЧВ (высокоточных мер частоты и времени) проводят путем парных сличений исследуемой меры с мерой более высокой точности, при этом полученные стохастические характеристики (математическое ожидание, дисперсия) приписываются исследуемой мере. При отсутствии эталона определение данных характеристик становится проблематичным. Одним из способов определения стохастических характеристик мер времени и частоты одного уровня точности является обработка результатов взаимных сличений мер в группе. Групповая мера по сути своей представляет многочастотную автоколебательную систему, а из теории колебаний таких систем следует, что ее характеристики далеко не всегда есть совокупность собственных характеристик мер, входящих в ее состав [1].

При определении характеристик нестабильности частоты рубидевых стандартов СЧВ-74 с помощью частотного компаратора Ч7-3 9 на выходе измерителя формируется код, соответствующий среднему за время измерения значению разности моментов ноль-

пересечений фаз ф( t) сигналов на выходе сличаемых

мер. При времени измерения т и = 1 с, темпе выборки

Т = т и и интервале наблюдения © = 2 суток была получена выборка, состоящая из результатов осреднения разности фаз Афi = (Аф(ti,ti +ти^ при

i = 0... N -1, где N -1 = ©Т . Из полученного слу-

чайного процесса Афі в целях устранения линейного дрейфа фазы сформирован случайный процесс

— Аф nx j+1 Аф nx j

yj =-

n-T

где n = const, j = 0.. Ent

N-1

n

. Процесс yj связан с

исходным процессом Аф(t) = ф 1 (t) - ф 2 (t) линейным преобразованием, поэтому можно записать:

S(F^

S(F) y

іаді2'

(1)

і 12

Здесь H(jF)l — квадрат модуля комплексного коэффициента передачи; S( F)^ — спектральная плот-

ность мощности случайного процесса Аф(t); S( F) y — спектральная плотность мощности случайного про-

цесса yj .

Квадрат модуля комплексного коэффициента передачи равен:

ґ

Mrf = 1

2 2 п n

sin21 2nn

Ft и

sinl 2п

Ft,.

2

Ft и

2

2

2

Функциональное поведение данного коэффициента представлено нарис. 1.

■МО'4

3x10-4

|Н|2

МО'4

о

МО'11 МО'10 МО'9 МО'8 МО'7 МО'6

F/F0

Рис.1. Квадрат модуля комплексного коэффициента передачи Для преобразования характеристик мер в частотную область анализа Фурье воспользуемся известным соотношением между корреляционной функцией случайного стационарного процесса и его спектральной плотностью мощности [2]:

44

РИ, 1998, № 3

+<»

S(F)- = 4 • J K-(t)- cos(2 nFx)dx .

0

Практическая реализация этой математической операции невозможна, так как действительное время наблюдения процесса всегда конечно, что в частотной области проявляется в виде ограничения полосы анализа частотных составляющих спектра снизу. Чаще всего ищется оценка корреляционной функции K - (t) случайного процесса -j в диапазоне

изменения т и ©2 , по которой определяется оценка

S ( f) - путем выполнения операции дискретного преобразования Фурье [3]. Значения интервалов времени наблюдения и измерения определяют соответственно нижнюю и верхнюю границы полосы анализа спектра S(F)-. Воспользовавшись (1), на основании оценки S( f) - можно получить оценку спектральной плотности мощности фазовых шумов

S(F)a^ . Оценка ее для частотных шумов S( F)Av определяется с помощью следующего соотношения:

S(f)aV = f2 •S(Щф •

На рис. 2 представлена спектральная плотность мощности шума разностной частоты, полученной при сличении 2-х рубидевых стандартов частоты и времени СЧВ-74 в групповой мере, состоящей из четыоех станлаотов (пои п = 100 ).

-200 II I И II II II ММ МІМИ

14 О'12 Ініо-11 140'10 1Х10'9

F/F0

Рис.2. Спектральная плотность мощности разностных частотных шумов Для получения оценок, обладающих меньшей статистической изменчивостью, как правило, производят аппроксимацию первичных оценок в частотной области. Флуктуации частоты и фазы мер частоты обычно аппроксимируются целостепенной функцией распределения их спектральных плотностей мощности [4], которая состоит из набора пяти независимых случайных процессов: фазовых флуктуаций типа “белого шума”, фликкерных фазовых

флуктуаций, частотных флуктуций типа “белого шума”, фликкерных частотных флуктуаций и случайных блужданий частоты. При изменении значений интервалов наблюдения ©, измерения т и , смещения т = Ч -12 и T = n-ти — темпа выборки

Аф(t) оценка корреляционной функции K- (т) также будет претерпевать изменения. Поэтому, выбирая

соответствующие значения © , т и , т и n, можно добиться того, что оценка спектральной плотности

мощности частотных шумов S ( F)Av может быть аппроксимирована функцией вида

S(F)

2

а-ст

тД , 2

F +а

(2)

характерной для диффузионного марковского процесса [5]. Отличие между аппроксимирующей функцией и экспериментально полученной оценкой

(рис.2) заключается в наличии в спектре S ( F)Av

спектральных линий, соответствующих регулярным периодическим колебаниям и приводящих к смещению полученных оценок а , ст . Природа возникновения этих колебаний заключается в следующем. При проведении взаимных сличений образуется многочастотная система. Для многочастотных систем характерным является один из двух режимов [1]: синхронизации; биений. Режим биений частот пары мер частоты, входящих в состав системы, приводит к появлению в общем спектре спектральных линий, приподнятых над уровнем шумов.

Так, на рис. 2 стрелками с литерой А отмечены места расположений средних относительных значений разности частот мер, входящих в состав группы:

E{Avi2 } = -5.8-10 11; б{Ауіз} =-1.5 • 10

E

{Avi4 }

= -2.4 • 10

11

E

{ Av 23 }

= -4.3 -10

-11

E{Av24} = -3.4 • 10 11; E{Av34 }= 0.9 • 10 11,

где E{*} — знак математического ожидания.

Видно, что в этих местах наблюдается повышение уровня спектральной плотности.

Можно утверждать, что количество регулярных составляющих в спектре сигнала, обусловленных

биениями частот мер группы, будет равно M(M -1)/2 ,

где M — количество мер. При этом уровень регулярных составляющих зависит от величины связи между соответствующими мерами, входящими в состав группы.

Кроме того, регулярные составляющие могут возникать из-за усиления шумов генератора в полосе терморезонанса кварцевой пьезопластины (спектральная линия t, отмеченная на рис.2) [6]. Таким образом, можно предположить, что исходный частотный процесс Av(t), наблюдаемый на интервале времени [0, ©], имеет вид

Av(t) = Av(t) д + U(t) ,

РИ, 1998, № 3

45

где Av(t)

Ao + Z

p=1

Ap • cos|

(t pt)+ Bp • sin(cD pt)

суммавсехпериодическихсоставляюшихпроцесса; U( t) — случайный остаток. Для идентификации системы необходимо определить амплитуды Ao, Ap , Bp регулярных составляющих, имеющих частоты ю p; фазовые углы

_ =

Р p - arct§ . регулярных составляющих; а также мате-

Ap

матическое ожидание, СКО, спектральную плотность

шума U( t). Такая задача относится к известному классу задач выявления скрытых периодичностей [3].

После выявления и исключения скрытых периодичностей можно провести аппроксимацию спект-

ральной плотности мощности процесса V функцией (2) по методу наименьших квадратов в частотной области и получить оценки а , ст .

Таким образом, предложенный в настоящей работе алгоритм позволяет повысить точность определения характеристик случайных составляющих разности фаз или частот мер времени и частоты при их

взаимных сличениях посредством использования марковских моделей поведения случайных процессов.

Литература: 1. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний / Под ред. В.В.Мигулина М.: Наука,1978. 392 с. 2. Мирский Г.Я. Характеристики стохастической взаимосвязи и их измерения.М.:Энергоиздат, 1982. 320 с. 3. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ: Справочное пособие. К.: Наук. думка, 1986. 584 с. 4. Рутман Ж. Характеристики нестабильности фазы и частоты сигналов высокостабильных генераторов: Итоги развития за пятнадцать лет. ТИИЭР, 1978. Т.66, №9. 5. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга первая. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Сов. радио, 1974, 552 с. 6. Yevdokimenko Yu.I, Shmaly Yu.S. A Thermodynamic Resonance in Piezoelectric Crystal Plates of Thickness-Shear Vibrations/ Proceeding of 1993 IEEE international Frequency Control Symposium. 47th iFCS. 1993. Р. 193.

Поступила в редколлегию 20.09.98 Рецензент: д-р техн. наук Клейман А.С.

Евдокименко Юрий Иванович, канд. физ.-мат. наук; старший научный согрудрудник, начальник отдела НМЦ ВЭ. Адрес: Украина, 310172, Харьков, ул. Ерицевца, 44А, кв. 54, тел. 14-52-70.

Нарежний Алексей Павлович, младший научный сотрудник НМЦ ВЭ. Адрес: Украина, 310087, Харьков, ул. Тобольская, 49, кв. 12.

УДК 519.6

РЕКУРРЕНТНЫЙ АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИИ МОДЕЛИ, ОСНОВАННЫЙ НА ОРТОГОНАЛЬНОМ РАЗЛОЖЕНИИ

ГРИЦЮК В. И.

Исследуется рекуррентный метод идентификации модели по данным пассивного эксперимента. Определение оптимального числа членов производится с использованием численно устойчивого алгоритма орто-гонализации.

Характерный рост размерности решаемых задач выдвигает проблему упрощения математического описания систем. Применение идентификации модели системы в реальном времени необходимо для ее адаптации к изменяющимся условиям функционирования, а сведение исходной задачи к задаче меньшей размерности приводит к сокращению объёма вычислений и увеличению численной устойчивости алгоритмов.

Оценки коэффициентов в описании явлений находятся по данным пассивного эксперимента, когда переменные сильно коррелированы.

Исследуем многомерный случай, являющийся обобщением рассмотренного в [1].

Пусть рассматриваемая модельная структура задается соотношением

0 (x, в )= X(x)P , (1)

где 0(x, в) — достаточно гладкая p-мерная вектор-функция; X(x) — матрица размера pxm, элементами которой служат функции hkr (x), определенные на

интересующей нас области X; в — неизвестный вектор параметров размера m.

Оптимальная оценочная функция может быть представлена

Y(1 )(xi) = X(xi)P(1 )G(

(2)

1 ^

где l — оптимальное число членов модели. Число

столбцов матрицы P(l) равно количеству чисел в

(q1Y)2 > (q2Y)2 > ... > (qrY)2, (3)

для которых выполняется

ст-2(qiY)2 > 1. (4)

Здесь YT = ((Y(x1))T,...,(Y(xn))T) размера n p x1;

r — ранг матрицы X размера n p xm; X

X(xi)

X(xn)

qT и pj — столбцы матрицы QT и P — левые и

правые сингулярные векторы матрицы X; ст2 Ip —

матрица ковариаций случайных ошибок.

Определение оптимального числа членов может осуществляться по мере обработки поступающих данных наблюдения. Предлагается для увеличения точности, устойчивости к матрицам с плохой обусловленностью, увеличения количества оцененных параметров применить сингулярное разложение, позволяющее осуществить идентификацию модели в реальном времени. Цель состоит в том, чтобы путем ортогональных преобразований матрицу ковариаций

P преобразовать в диагональную, при этом опреде-

46

РИ, 1998, № 3