CC BY
47
УДК 389.2
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ГРУППЫ МЕР ЧАСТОТЫ И ВРЕМЕНИ ПРИ ИХ ВЗАИМНЫХ СЛИЧЕНИЯХ
ЕВДОКИМЕНКО Ю.И., НАРЕЖНИЙА.П.
Рассмотрена система, состоящая из группы мер частоты и времени и средств парных сличений. Показано, что данная система является ненаблюдаемой. С целью определения стохастических характеристик рассматриваемой системы разработан алгоритм её идентификации на основе дополнительных априорных данных.
Поверка мер частоты и времени преследует решение следующей задачи: обеспечение единства измерений единиц времени и частоты путем сличения поверяемых мер с образцовыми мерами. Рекомендуется в качестве образцовых использовать меры, у которых точность хранения и воспроизведения единиц времени и частоты более чем в три раза превышает аналогичные характеристики поверяемых мер [1,2].
Использование для нужд метрологии эталонных сигналов частоты и времени (ЭСЧВ), передаваемых различными радиотехническими системами служб времени и частоты, позволяет решить лишь одну задачу: сведение действительного значения частоты поверяемых мер к номинальному и, соответственно, устранение систематической составляющей погрешности воспроизведения единиц частоты. Использование же ЭСЧВ с целью определения характеристик случайных составляющих погрешностей воспроизведения единиц частоты и времени поверяемых мер обычными для метрологии методами сличения не представляется возможным, поскольку флуктуации частоты ЭСЧВ обычно превышают или в лучшем случае сравнимы с флуктуациями частоты мер.
В работе предлагается способ устранения указанного недостатка и определяются ограничения данного способа с целью обеспечить необходимую точность определения статистических характеристик поверяемых мер.
В основу данного способа положено одновременное сличение группы мер (ГМ) с принимаемым ЭСЧВ. Данному процессу сличения ставится в соответствие стохастическая модель, которая впоследствии идентифицируется с реальным процессом путем численной обработки векторной последовательности результатов сличения [3].
Из статистической теории радиотехники известно, что любая стационарная радиотехническая система, в том числе и исследуемая в дискретном времени с определенной степенью точности может быть представлена в виде линейного векторного уравнения состояния
X(k) = Ф(k, k -1)- X(k -l) + £ k . (1)
Под первыми n-1 составляющими вектора X(k) размерностью n подразумевается среднее значение случайных составляющих воспроизведения частоты
поверяемыми мерами между двумя соседними (tk и tk -і) моментами измерений, а под n-й составляющей вектора X( k) подразумевается аналогичная характеристика принимаемого ЭСЧВ. £ k — вектор аддитивных шумов, привносимых в систему (шумы элементов схемы мер и шумы на трассе прохождения ЭСЧВ), имеет нормальное распределение с нулевым средним и неотрицательно определенной ковариационной матрицей ^ . Матрица £ определена математическим ожиданием Е{£і£k} = £ - Sik, норма ||£|| < да, Vk, а S ik — дельта функция Кронекера. Переходная
матрица Ф(k, k - і) размерностью (n х n) представляет собой коэффициенты при линейных членах разложения исходного нелинейного уравнения состояния в ряд Тейлора и по сути своей определяет степень взаимного влияния элементов системы друг на друга. Получаемая в процессе сличений векторная последовательность результатов измерений связана с текущим значением вектора состояния X( k) системы посредством соотношения
y(k) = H-X(k) + nk , (2)
где nk — шумы средств сличений (компараторов). На основании многочисленных экспериментальных дан-
ных можно полагать, что вектор nk имеет нормальное распределение с нулевым средним и неотрицательную ковариационную матрицу R, определенную математическим ожиданием е{пpkT} = R •Sik
и нормой ||r|| < да , vk. Передаточная матрица H
размерностью (m х n) для процесса парных сличений группы мер с ЭСЧВ такова, что матрица наблюдаемости [4] является вырожденной, т.е. процесс парных сличений в общем является ненаблюдаемым, а соответствующая стохастическая модель при отсутствии дополнительных априорных данных не может быть идентифицируемой.
В этом случае непосредственно может быть идентифицированным лишь разностный процесс Z(k), образованный из исходного процесса X(k) посредством соотношения Z(k) = Н • X(k).
Уравнение состояния (1) преобразуется к виду Z(k) = Y-Z(k - l)+Zk , (3)
где z k =н-£ k;
; ^ — переходная
матрица размерностью (n - і) х (n - і) процесса Z( k). Элементы матрицы ^ представляют собой линейную комбинацию элементов переходной матрицы ф
исходного процесса X(k). Для процесса, описываемого уравнением (3), ковариационная матрица Q и переходная матрица ^ определяются выражениями:
РИ, 1997, № 1
37
Q = (Py -R)-Wy-(Py - R)-1 • WyT , (4)
Щ = Wy -(Py -r)-1 , (5)
где Py = E{y(k)y(k)Tj ; Wy = E{y(k)y(k - 1)T} .
Для идентификации модели исходного процесса (1) необходима дополнительная априорная информация о его поведении. Так, если положить, что
ковариационная матрица £ аддитивных шумов § k является диагональной, т.е. отсутствует взаимная корреляция составляющих вектора шума § k, 70 элементы матрицы £ могут быть однозначно выражены через элементы ковариационной матрицы Q .
Из сравнения уравнения (1) и (3) следует
Н-Ф = Т-Н . (6)
Поскольку ранг матрицы наблюдаемости равен n -1, то для определения n2 элементов матрицы ф
имеется лишь n х( n - 1) уравнений. Поэтому элементы матрицы ф могут быть выражены через элементы матрицы щ с точностью до константы, т.е.
Ф = Ф0 + Ь(т) , где Ф0 — общее решение однородного уравнения Н • Ф = 0 , представляющее собой матрицу, состоящую из n неизвестных констант; Ь(т) — частное решение неоднородного уравнения (6). Следует отметить, что количество неизвестных констант соответствует количеству недостающих уравнений для полноты уравнения (6). Поэтому для однозначного определения ф необходимо иметь n дополнительных априорных условий. С этой целью учтем тот факт, что строка матрицы ф , соответствующая состоянию ЭСЧВ, является нулевой за исключением диагонального элемента, поскольку поверяемые меры не могут оказывать влияние на стохастические характеристики ЭСЧВ. Кроме того, поскольку частота принимаемого эталонного сигнала отличается от частоты мер (обычно 5 МГц) и не попадает в полосу пропускания усилительных каскадов поверяемых средств, можно утверждать об отсутствии корреляции между поведением частот мер с одной стороны и поведением эталонного сигнала частоты — с другой стороны. Это позволяет приравнять нулю все элементы столбца матрицы ф с индексом, соответствующим индексу ЭСЧВ в системе, за исключением диагонального элемента. Таким образом, мы имеем 2*(n-1) дополнительных уравнений, позволяющих определить все неизвестные константы
матрицы Ф 0 и тем самым полностью определить матрицу ф.
Оценки ф и £ на конечной выборке могут отличаться от своих истинных значений. Поскольку конечным результатом поверки является оценка дисперсий шумов изолированных мер, т.е. величины
Di = в{[фii-Xii(k) + §i(k)] J , то критерием достоверности идентификации системы может выступать
условие (Di - Di)у/Di < є , где
D i = е{[Ф ii • ф ii (k) + § i (k)]2= ] • e{ X 2 (k)} + £ ii.
На сходимость результатов идентификации системы существенное влияние оказывают следующие параметры: диапазон значений элементов матрицы Ф; отношение шумов эталонного сигнала к шумам компаратора при сличении эталонного сигнала и поверяемой меры (р ); отношение шумов поверяемых мер к шумам компараторов при их взаимных сличениях (х ); соотношение шумов поверяемых мер к шумам эталонного сигнала (к).
С целью определения возможности получить достоверные оценки метрологических характеристик мер по приведенному алгоритму было проведено численное моделирование процесса внутренних и внешних сличений [2]. В качестве ЭСЧВ использовались модели телевизионных сигналов и сигналов, передаваемых спутниковыми радионавигационными системами (СРНС) ГЛОНАСС и NAVSTAR. Характеристики мер в модели соответствовали рубидиевым стандартам частоты и времени (СЧВ). На основании экспериментальных результатов [5] можно утверждать, что допущения в алгоритме удовлетворяют реальным условиям процесса внутренних и внешних с личений.
На рис. 1 приведены результаты численного моделирования рассматриваемой системы при значениях параметров к и р , соответсвующих характе-
Рис. 1. Погрешность оценки дисперсии частоты ГМ и ЭСЧВ при р = 1, х = 10, к = 1
ристикам эталонного сигнала, излучаемого глобальной спутниковой навигационной системой.
Из рисунка видно, что при дисперсии шумов ЭСЧВ, сравнимой с дисперсией шумов поверяемых мер (к = 1), стохастические характеристики мер могут быть достаточно точно определены в широких пределах вариации элементов Фц . Как показал анализ, рост дисперсии шумов эталонного сигнала приводит к уменьшению диапазона вариации элементов Фii,
38
РИ, 1997, № 1
при котором возможно получение оценок стохастических характеристик мер с заданной точностью. Для ЭСЧВ, передаваемых каналами телевидения, характерно превышение шумов эталонного сигнала по сравнению с шумами мер. На рис. 2 приведены результаты численного моделирования сличения рассматриваемой системы с ЭСЧВ, передаваемыми в составе телевизионного сигнала. Видно, что диапазон
Рис.2. Погрешность оценки дисперсии частоты ГМ и ЭСЧВ при р = 100 , х = 10, К = 0.1
вариации Ф^ при заданном є существенно меньше, чем в ситуации, приведенной на рис. 1.
Таким образом, зная параметры ц , х , К, по результатам идентификации системы можно определить погрешность оценок дисперсии шумов каждой меры на основании разработанного алгоритма. Следует отметить, что для реальных мер частоты и
времени элементы |Фц| << 1, поэтому данный алгоритм определения стохастических характеристик поверяемых мер будет работоспособным для зашумленных ЭСЧВ.
Литература: 1. МИ 1832-88. ГСИ. Сличение групп средств поверки одинакового уровня точности. Основные правила. 2 В.И.Белоцерковский, Б.М.Беляев. Методы взаимных сличений средств измерений // Измерительная техника.— 1992.- № 2.— С. 7-9. 3. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем.— М.: Радио и связь.— 1991.— 608 с. 4. П. Эйкхофф Основы идентификации систем управления.— М.: Мир.— 1975. — 680 с. 5. Кварцевые и квантовые меры частоты/ Под ред. Макаренко Б.И.// М.: МО СССР.- 1989. - 536 с.
Поступила в редколлегию 12.12.97 Евдокименко Юрий Иванович, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, начальник отдела НМЦ ВЭ. Адрес: 310172, Украина, Харьков, ул. Грицевца, 44А, кв. 54, тел. 145-270, 724-197.
Нарежний Алексей Павлович, младший научный сотрудник НМЦ ВЭ; Адрес: 310087, Украина, Харьков, ул. Тобольская, 49, кв. 12, тел. 724-197.
УДК 658.512.011.56:681.3
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ПРОЕКТИРОВАНИЮ ПРИВОДОВ С ВЫСОКОЙ СТАБИЛЬНОСТЬЮ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ
КУЛИШОВА Н.Е.
Предложен набор унифицированных математических моделей приводов с двигателями разных типов. Модели составлены с учетом механических процессов, которые вызывают колебания угловой скорости вращения привода. Предложен алгоритм поиска оптимального варианта конструкции привода, обеспечивающего заданную стабильность скорости вращения.
Развивающиеся прикладные исследования требуют создания силовых приводов постоянного и переменного тока с широкими возможностями регулирования скорости и повышенными требованиями к стабильности скорости вращения в течение длительного промежутка времени. В то же время растет потребность в различных регистрирующих приборах, информационных, сканирующих, угломерных системах. Для их создания необходимы приводы с особо высокой равномерностью вращения. В таких системах осуществляется развертывающее преобразование по углу поворота вала, поэтому погрешность, вызванная неравномерностью вращения, является преобладающей. Повышению стабильности
скорости вращения привода посвящено множество исследований. Большинство из них проведено в одном направлении: стабилизация скорости вращения привода за счет многокритериальной оптимизации конструкции двигателя, как вращающего элемента. В соответствии с этой задачей разрабатывались модели микродвигателей той или иной степени сложности, отражающие взаимосвязь основных электромагнитных характеристик и крутящего момента.
Наиболее часто для моделирования двигателей используются уравнения Парка-Горева в частных производных [1]. Результатами моделирования в этом случае являются зависимости от времени токов, напряжений и магнитных потоков, а также геометрические параметры двигателя. Решение уравнений зачастую требует значительных вычислительных мощностей, что ограничивает применимость таких моделей.
Для определения электромагнитных параметров двигателя разработаны также модели, использующие положения теории графов [2].
Альтернативой такому подходу в проектировании приводов является исследование привода как совокупности ряда конструктивных элементов, оказывающих комплексное воздействие на формирование эксплуатационных характеристик привода. Так, при изучении механических процессов используются методы электрических аналогий, а также методы пространства состояний [3]. Однако недостатком таких моделей является их жесткая направленность на конкретный вид привода, что не позволяет про-
РИ, 1997, № 1
39
