Проблема определения структуры многомерных моделей в пространстве состояний Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

ПРОБЛЕМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТРУКТУРЫ МНОГОМЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

ГРИЦЮК В.И.

Исследуется проблема определения структуры модели в пространстве состояний для многомерного стационарного стохастического процесса. Рассматриваются условия для выбора базиса, при котором число оцениваемых параметров минимально. Приводится метод оценки структуры, основанный на выборе наиболее независимых компонент.

Важная и широко изучаемая проблема в теории идентификации линейных систем — определение структуры представления в пространстве состояния типа

xt = Fxt_j + Ket ; yt = Hxt . (1)

Здесь y t — стационарный чисто случайный стохастический векторный процесс размерности р; et — гауссовский вектор белого шума той же размерности, что и yt; xt — состояние размерности n . В многомерных системах проблема оценивания структуры состоит не только в определении размерности xt — вектора состояния (как в случае систем с одним входом и одним выходом), но и в определении специальной структуры (или параметризации) для F, K и H матриц так, чтобы они могли быть единственно определены в процедуре параметрического оценивания. Нет универсальной структуры, которая может быть использована для всех многомерных линейных систем одного и того же порядка. Другая трудность та, что данная система может быть единственно параметризована более, чем одной структурой. Поэтому проблема оценивания структуры заключается в определении вначале набора допустимых для данного y t процесса структур и последующего выбора наилучшей структуры в этом наборе, т. е. структуры, в которой проблема оценивания будет хорошо обусловленной.

Идентификация структуры представления пространства состояния (1) состоит из 1) определения размерности n вектора состояния и 2) размещения в матрице F оцениваемых параметров. Фактически определение структуры модели для процесса yt руководствуется вводом в матрицу F наборов 1 или 0 и поэтому не оцениваемым. Разрешение этих вводов — важная часть определения структуры, так как уменьшает число неизвестных параметров и обеспечивает хорошую обусловленность проблемы оценивания. Этот аспект составляет главное отличие идентификации многомерных процессов. Рассмотрим представление импульсной реакции для

yt = ЕHjet-j . (2)

j=0

Тогда Hj = HFjK и так как обновление — процесс

белого шума с нулевым средним, yt+k|t можно представить как

yt+k|t = ZHjet+k-j , (3).

Np -мерный вектор предсказания

YtN

yt|t

y t+l|t

y t+N-l|t

Используя (3), можно представить

et

YtN = h

N, да

-t-1

(4)

где H n,o, — полуопределенная матрица Ганкеля, определяемая как

HM-1

HN+M-2 _

Ввиду предположения, что y t — процесс конечного порядка n, ранг матрицы Hn,m меньше или равен n при любом N и M . Следовательно, для достаточно большого N можем выбрать n независимых строк в Hn,o, и соответственно n независимых компонент в векторе предсказания YtN , которые будут образовывать базис для пространства, охваченного всеми компонентами YtN . Пусть xt — вектор, сформированный этими независимыми компонентами YtN.

Определим h — структурный вектор представления пространства состояния, содержащий индексы строк Hn,«) (компоненты вектора предсказания), которые могут быть выбраны в базис. Введем несколько ограничительных условий для выбора базиса. Во-

первых, ввиду формы матрицы Ганкеля, если j -я

компонента yt+i|t, y t+^t есть в модели присутствующих компонент вектора предсказания YtN , тогда выполняется y|+|ф для k ^ i. Во-вторых, так как yt — процесс полного ранга, ясно, что первые p

компоненты вектора предсказания YtN — независимы. Налагаются два условия на выбор базиса: 1) если і є h, то i - p є h ; 2) i є h для i = 1,2,—p .Если выбираются условия 1) и 2), то соответствующий структурный вектор h называется хорошим. Если состояние xt формируется выбором n компонент YtN ,

H

N,M

Ho Hi

Hi H2

H

N-l

42

РИ, 1999, № 4

полученного из хорошего структурного вектора h, тогда соответствующие F,K,H структуры называются допустимыми. Ясно, что оптимальным выбором будет параметризация, которая ведет к наиболее точным оценкам параметров. Можно определить, что строки матрицы f могут быть двух типов: 1) (0 — 0 1 0 — 0) и 2) (X X X), т. е. полностью параметризованы. Так как F выражает линейную зависимость в векторе предсказания [1,2], можно видеть,

что в F есть n - ni строк типа 1), где щ — число строк первой блочной строки H (ni < p), которые выб-

раны в базис. Строки н также типа 1) или 2), и в н есть ni строк типа 1). Поэтому в F пщ оцениваемых параметров и в H - (р - щ)п . Общее число параметров в H и F - np независимо от величины щ . Однако ni влияет на величину неизвестных параметров в K .

Если xt выбрано так, что соответствует условиям 1)

и 2), то H = [l 0] , K

K

и число оцениваемых

2

параметров 2np - р , где n — размерность состояния

модели (1). Если xt выбрана так, что соответствует только условию 1), то число параметров 2np - щр, где ni х p . Если xt выбрано без соответствия условиям 1) и 2), число параметров, которые должны быть оценены в F , может быть больше, чем 2np - nip . Определим концепцию сложности [3]. Фактически — это мера взаимодействия между компонентами случайного вектора. Чем большее взаимодействие, тем большая сложность:

i n

C = -т Z lQg(n^ i), (5)

2i=i

где X i — собственные значения ковариационной матрицы случайного вектора (при условии, что ковариационная матрица нормализована так, что её след равняется 1). Если известна ковариационная матрица

Ry вектора YtN и известен порядок процесса n, можно вычислить сложность различных подвекторов порядка n вектора YtN , так как соответствующая n х n ковариационная матрица - подматрица Ry . Идея, предложенная в[3], позволяет выбрать подвектор YtN , который имеет наименьшую сложность среди всех подвекторов размерности n, соответствующих условиям 1) и 2). Компоненты, полученные этим путем, называются “наиболее независимые компоненты” YtN . Если параметры F матрицы оцениваются методом наименьших квадратов, то ковариационная матрица ошибок оценок параметров связана с обращением подматрицы Ry, выбранной процедурой в [3] . Поэтому возможно использовать матрицу Ry для выбора компонент базиса, хотя она прямо не достижима. Можно минимизировать некоторую скалярную меру обращения различных подматриц

R у, чтобы различить между соответствующими подвекторами YtN . Предложим следующую процедуру.

1) Вычислить оценки предсказателей У t+k|t для первой подгонки модели авторегрессии высокого порядка.

2) Вычислить матрицу ковариаций модели R -у из оценок предсказателей.

3) Вычислить UDUT разложение согласно методу [4] верхней левой p х p подматрицы Ry, а затем её обращение.

4) Для порядка n, равного p +1, выбрать все (p +1) х (p +1) подматрицы Ry , которые содержат p х p верхнюю левую подматрицу и удовлетворяют условию 1). Вычислить обращение этих подматриц, для чего определить сингулярные значения матриц согласно методу [4]. Для этой цели представим матрицу

D1/2Ut D“i/2U_ib 0 Р

(6)

умножение на которую её же транспонированной дает

OTO =

UDU

T

T

b

bT а

где b - вектор; р = (а- bT(UDUT) 1b)1/2 ; U -нижняя треугольная матрица с единицами на диагонали.

5) Выбрать подматрицу, для которой след обращенной минимальный.

6) Повторить последние два шага со всеми (n +1) х (n +1) подматрицами, которые содержат выбранную n х n подматрицу, а добавочная строка и колонка их выбраны так, что соответствуют условию 1).

7) Выбрать порядок, который минимизирует критерий типа AIC.

Предложенный метод определения оптимальной структуры позволяет выбрать структуру с наиболее независимыми компонентами в векторе состояния из набора допустимых для данного процесса структур.

Литература: 1. Rissanen J. Basis of invariants and canonical forms for linear dynamical systems // Automatica, 1974, Vol. 10. P. 32-41. 2. Gevers M, Werts V. On the problem of structure selection for the identification of stationary stochastic processes // Proc. IFAC Symp. Identification Parameter Est., Washington, 1982. P.112-123. 3. Ljung L, Rissanen J. On canonical forms, parameter identifiability and the concept of complexity// Proc. IFAC Symp. Identification, Tbilisi, 1976. Vol. 3. P.84-90. 4. Грицюк В. И. Рекуррентный алгоритм идентификации модели, основанный на ортогональном разложении // Радиоэлектроника и информатика, 1998. № 3. С. 46-48.

Поступила в редколлегию 14.12.99

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Авраменко В.Г.

Грицюк Вера Ильинична, канд. техн. наук, докторант ХТУРЭ. Научные интересы: стохастические системы управления. Хобби: литература, музыка. Адрес: Украина, 61726, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-06.

РИ, 1999, № 4

43