CC BY
30
РУГУЛЯРНАЯ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ АТ-ГРУППА НАД ГРУППОЙ КЛЕЙНА *
Ю.Ю. Денисова, А.В. Рожков
Изучаются свойства АТ-групп над последовательностью элементарных абелевых групп, в частности, строение их костабилиза-торов, рост периодов элементов, отмечается связь АТ-групп с линейными кодами.
Ключевые слова: АТ-группа, костабилизатор, рост периодов.
1. Введение
В данной работе рассматривается регулярная АТ-группа [1] над четверной группой Клейна, Группа Клейна является простейшим примером нециклической абелевой группы. Регулярные АТ-группы над примарными абелевыми группами использовались в [2] при построении групп с медленным ростом периодов. Их применение позволило решить этот старый и трудный вопрос. Особенностью изученной в данной работе группы (7 является то, что она имеет два продольных порождающих, направляющие пути которых не являются почти равными. Это первый подобный пример, изложенный в публикации. Периодичность этой группы доказывается без использования идеи спрямления направляющих путей. Более того, спрямленная группа оказывается непериодической. Это доказывает, что периодичность спрямленной группы не является необходимым условием периодичности вне класса АТ-групп над циклическими группами.
Нами вычисляются коетабилизаторы 2-группы б? и оценивается рост периодов ее элементов. Кроме этого, рассматриваются другие примеры регулярных АТ-групп над последовательностью элементарных абелевых 2-групп, доказывается их периодичность, устанавливается, что рост их периодов линеен, указывается связь подобных АТ-групп с линейными кодами,
В статье используются обозначения из [3].
* Поддержано грантом РФФИ р2001Урал №01-01-96404 и Минобразования №Е 00-1.0-150.
2. Периодическая регулярная АТ-группа над группой Клейна
Рассмотрим группу Клейна Ж2 ф и введем следующие обозначения для ее элементов
О = (0,0), о = (1,0), Ъ = (0,1), с =(1,1).
Каждый из этих элементов при действии на группе Клейна сдвигами задает подстановки:
0аЬс\,^/0аЬс\ _ / 0 а Ъ с
оОсбу’ \ 5 с 0 а ]’С усбоО
Корневые автоморфизмы, задаваемые этими подстановками, будем обозначать теми же символами — а, Ь, с. Рассмотрим дерево Т над последовательностью групп
^2 © ■■■
Ребра дерева Т пометим символами 0, а, Ь, с. Очевидно, все поддеревья построенного дерева естественным образом изоморфны исходному дереву. Как обычно, естественный изоморфизм исходного дерева и поддерева, начинающегося в вершине длины п, обозначим символом Ы;"!. Условимся при п = 1, символ п опускать. Два продольных порождающих £, § зададим рекуррентной формулой
£ = (£, Ь, 1,1) о § = (1,а, 1,§) о 1с1.
Очевидны следующие соотношения между введенными порождающими:
а2 =Ъ2 = с2 = = g2 = 1, аЬ = с, Ьс = а, ас = Ь, (1)
Основной объект нашего изучения группа
С = gr(a,Ъ,f,g).
В дальнейшем нам потребуются следующие соотношения:
(Та)2 = а] = £ • а£а = (Т. Ь, 1,1) • (Ь, Г 1, 1) о Ы = (йэ, Ь£, 1,1) о Ы:
(2)
(Л>)2 = ^, Ь] = (Т. Ь. 1. 1) о ы -(1,1, £, Ь) о = (Т. Ь,£,Ь) о Ы: (3)
(Г с)2 = ^, с] = (Т. Ь, Ь, ^ о ы. (4)
(Е'а)2 = [§,а] = (1, а, 1, §) о 1(1 -(а, 1, 1)оЫ = (а, а, §)оЫ. (5)
(Е'Ь)2 = [§,Ь] = (1, а, 1, §) о 1(1 -(1, 1 • а) о Ы = (1. а§. 1.§а) о 1(1; (6)
(ес)2 = [§, с] = (§, а, а, §) о 1(1. (7)
(Далее индексы Ы в записи формул мы будем для краткости опускать.)
Из полученных формул следуют изоморфизмы
ёг(а, {) 2* кг(Ь. §) ^ £>8, кг(Ь. {) 2* кг(а. §) ^ />,.
где 1)„ — группа диэдра порядка 2п.
В процессе вычислений нам часто придется иметь дело с сопряжениями продольных порождающих при помощи корневых:
£ = (Т. Ь, 1,1), 8 = (1 • а. 1-§): (8)
Р = (Ь, Г 1,1), Е'а = (а, 1,§, 1); (9)
{ь = (1. 1Л\Ь). 8ь = (1,8,1,а); (10)
Г’ = (1,1,Ь, £), Е'с = (§• 1 • а. 1 )• (11)
Изучим подробнее 6 подгрупп группы С. Выбор этих подгрупп связан с тем, что группа (! порождается двумя парами инволюций, причем инволюции в каждой паре перестановочны. Более того, как мы сейчас установим, любые три инволюции порождают конечную подгруппу.
Лемма 1. Пусть
Са = кИа. £, §). Сь = gr(Ъ, £, §). Сс = кг(с. £, §),
(// = кг(а.ЬЛ'). С,, = кг(а.Ь.§). С/,, = цг(а. Ь^). -
подгруппы группы С, тогда все они имеют конечный порядок.
Доказательство, а) Очевидно, что подгруппы Са,Сь,Сс имеют в фактор-группе по стабилизатору в1;(1) индекс 2 и Са П в1;(1) = §г(£,ё,Р,ёа), С6ГШ(1) = §г(£,ё,£ь,ёь), (;,.ПМ(1) = к1-(£.ё.Г.ёс). В силу формул (8), (9) первое из перечисленных пересечений является подгруппой прямого произведения б?/ X б?/ X §г(§) х §г(§). Аналогично, в силу (8),(10) и (8),(11) второе и третье пересечения являются подгруппами прямых произведений
§гф х Сд х §г(£) х вд, и §г(^) х §г(а,Ь) х §г(а,Ь) х §г(£, §),
соответственно,
б) Таким образом, для доказательства конечности подгрупп Са,Сь,Сс осталось доказать конечность подгрупп 0^,0д. В каждой из них пересечение со стабилизатором м (1) имеет индекс 4, Для первой подгруппы это пересечение совпадает с подгруппой §г(£, £а, £ь, £с) и в силу левых частей формул (8), (9),(10),(11) является подгруппой степени §г ад4 и, значит, конечно. Аналогичные рассуждения доказывают и конечность подгруппы Сд.
с) Подгруппа С^д требует отдельного рассмотрения. Так как % = (*■, с, 1,§), то пересечение С$д П в1;(1) имеет в индекс 4, совпадает с подгруппой §г(£§, ^)а, (^ё)ь, (%)с) и является подгруппой в группе С с, которая конечна в силу пунктов а) и б), □
Лемма 2. Пусть рС — период группы С, тогда имеют место равенства
1^/1 = 1^1 = 28, рС1=рСд = 23,
\Са\ = \Оь\ = 21\ р(;, = рСд = 2'.
|Сс|=25, \Gfgl = 29, рСс = 22, р(Чд = 2;\
Доказательство, а) При рассмотрении подгруппы уточним рассуждения пункта б) предыдущего доказательства, А именно, мы можем записать,
ёг(£, Р, Р, Р) ^ ёг(£, Р) х ёг(Р, Р) = ёг(£, Р) х ёг(£, Р)ь.
Так как §г(Ь, ^ = £>4, то г?(Ь, £) = 1 <*=>- г (£. Ь) = 1, Таким образом, подгруппа б?/ является полупрямым произведением (£>4 х £>4)г(Ж2 ф Ж2), а значит, имеет порядок 82 • 4 = 28 и период, соответственно, 8, Для подгруппы Сд рассуждения аналогичны,
б) Подгруппа X = §г(£, §, Р, §а) группы Са (см,
пункт а) предыдущего доказательства) содержит элементы ((£а)2,1,1,1), (1, (£а)2,1,1) порядка 4, Пусть £ = {(£а)2}°9^ нормальное замыкание элемента (Та)2 в подгруппе Несложно
проверить, что оно изоморфно прямой сумме двух групп Ъ±. Рассмотрим фактор-группу группы X по подгруппе Ь = (£, £, £, £) о 1<1, Очевидно, Х/Ь = §г(£, Р)/Ь ф §г(§,§а)/Ь = Ъ\. Таким образом, группа X является расширением группы ф Ъ^)2 при помощи Ъ\. Следовательно, |б?а| = I2'2 • 24 • 2 = 213, а ее период равен 2 • 2 • 4 = 24,
в) Группа Сс является расширением при помощи Ж2 группы изоморфной Ъ\. Отсюда мы легко получаем, что период равен 4, а порядок - 2 • 24 = 25.
г) Утверждение О подгруппе (! {'д следует из свойств подгруппы Сс и вида, элементов, сопряженных с произведением
% = (£ с. 1.§). %а = (еЛ\§. 1).
%ь = П-Е'Л.е). = (§. 1.еЛ).
□
Пусть V = у(&, Ь, с, £, §) — слово от порождающих группы С. Так как все порождающие инволюции, то любое такое слово имеет вил
V = Г| г2...г„. VI е {а, Ь, с, £, §}, и при этом VI Ф ^+1,1 <%<п.
Пусть д{у) = п — обычная длина слова V. Продольной длиной д^) слова V назовем число вхождений символов £, § в слово V. Очевидно,
в(у) +
в(у) + 1
1 < д{и) < 2д(у) + 1,
где [ж] — целая часть числа х. Причем левое равенство возможно только в случае, когда продольные порождающие входят только парами у^1+1 = н Г|. г„ 0 {а, Ь,с}, Правое же имеет место когда вхождения продольных порождающих изолированы друг от друга и VI, уп Е {а, Ь,с}, Таким образом, имеет место оценка | < < 2,
Теперь мы готовы доказать периодичность группы С.
Теорема 1. Группа С = §г(а, Ь, £, §) является финитно аппроксимируемой 2-группой.
Доказательство. Финитная аппроксимируемость следует из локальной конечности дерева, на котором действует группа С.
а) Пусть у — слово из порождающих группы С. Доказательство проведем индукцией по продольной длине о(г). База индукции слова продольной длины 1 следует из формул (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), Пусть периодичность всех слов продольной длины меньше и доказана п д(у) = п. Перепишем слово V в виде
V = »'| • е = ги ■ е, /г( е *е{1.а.Ь, с}}, е е {1,а,Ь, с}.
Так как порядок элемента при сопряжении не меняется, то, не теряя общности, можем считать, что из\ £ Возникают 4 случая, в
зависимости от значения элемента е,
б) Пусть е = 1, Так как только одна координата продольного порождающего является продольным порождающим, то продольная длина не уменьшится лишь в том случае, когда у всех слогов вида, ух, у е {£, §}, х е {1, а, Ь, с} продольные координаты окажутся принадлежащими одному и тому же поддереву. В случае из\ = $ это будет поддерево с начальной вершиной (0), Здесь /г( е {£.§с}•. г =
1.2...и. В случае, когда и'х = §. получим включение и', е {Р‘.§}■ =
{£, §с } с. / = 1, 2,..., п. Так как подгруппа цг(Г §с) = Ъ2 Ф Ж2. то слово
V в обоих случаях задает элемент порядка 2.
в) Пусть е Ф 1. Тогда слово г задает элемент, не принадлежащий стабилизатору м (1). и мы должны рассмотреть квадрат элемента г:
V2 = (т0, и)а, ть, тс) • (гуе(0), гуе(в), гуе(б), гуе(с)) = (ги0 • гие(0),..., тс ■ те(с)),
где е(о) означает действие подстановки е на символ о. Поскольку и}\ = I или §. то уменьшение слоговой длины не произойдет лишь
в том случае, когда ( при из\ = ^ все продольные координаты будут принадлежать элементам и ицо) или (при из\ = §) элементам и\. и
«>е(с)■
г) Пусть е = а, »’| = Г В этом случае • гуе(0) = »'о • п снижение слоговой длины не произойдет лишь, когда и', Е {£, Р. §ь. §с }•. г =
1...2. Если из 1 = получаем п\. ■ те^ = ч\. ■ и тогда »’( е
{§. §а. Гь. Г'} = {Г Р. §ь. В обоих вариантах для периодичности элемента, задаваемого словом V, достаточно доказать, что подгруппа §г(£, Р, §ь, §с) конечна, А поскольку она является (в силу равенств (8),,,,,(11)) подгруппой прямого произведения Сь х Сь х ёг(а) х ёг(а), то в силу леммы 1 она конечна,
д) Пусть е = Ь ъ и'а = $. Тогда требует рассмотрения ситуация, когда иц Е {£,£ь,§а,§с}, г = 1,... , п. Для ги 1 = это означает включение и', Е |Р.Р.§.§Ь} = {£, £ь, §а, §с}а, г = 1 п. Теперь достаточно
установить конечность подгруппы
ёг(£,£ь,ёа, 8С) < Са х ёг(Ь) х Са х ёг(Ь).
Она опять же следует из леммы 1,
е) В случае е = с оба варианта для элемента из\ дают одну и ту
же подгруппу ёг(Т. §.Р.§С) = 7/Л. □
3. Костабилизаторы и рост периодов
Спрямлением продольного автоморфизма с? с направляющим путем 7 вдоль пути г] в АТ-группе (7 называется последовательное сопряжение продольного автоморфизма с!*1*2'" при помощи элементов гп Е С, таких что гп Е 8%[„_1]), (т„)4 = г]п,пЕ N.
После спрямления продольного порождающего § группы С, рассмотренной выше, вдоль пути (0,0,,,,) мы получаем продольный порождающий = (§'. 1. а. 1) о 'н1. Произведение задает следующий продольный порождающий Ь = (Ь, Ь, а,1) о 1<1. Легко проверить, что уже произведения 1га. 1хЬ являются элементами бесконечного порядка, Естественная попытка усилить этот результат до утверждения, что группа Н = ёг(а, Ь, 1х) является группой почти без кручения, не приводит к успеху, т.к. в нее вложена любая конечная 2-группа. Устанавливается это довольно сложно и нам в дальнейшем не потребуется.
Теорема 2. Пусть К = {[Т,а], [§,Ь]} . Тогда для коммутанта группы, (7 и подгруппы К гшеют место следующие соотношения:
(7/ С' = Ж2 © 2^2 © ^2 © ^2;
0>К> 7з(ё), {(Л)2,(ёа )2}^к-
<7' = {(£а)2, (Л>)2, (§а)2, ^Ь)2}6,
а = ёг((£а)2, (Л>)2, (!с)2, (ща)2, (щЬ)2, (щс)2, ^а)2, Ь)2, ^с)2),
более того, коммутант не является, нормальным замыканием никаких трех из ком,м,ута,торов ^а)2, {Щ2, ^а)2, ^Ъ)2.
Доказательство, а) Рассмотрим фактор-группу (7 = (7/ в1;(2). Так как она порождается элементами а, Ь, f = (1,6,1,1), д = (1, а, 1,1), то очевидным образом изоморфна сплетению (Ъ2 Ф Ж2)г(Ж2 Ф Ъ2). Из описания структуры коммутанта в сплетении [5, с, 72] получаем, что фактор-группа по коммутанту является элементарной абелевой ранга 4, Тем самым первое утверждение доказано,
б) Образами коммутаторов (Га)2, (Л>)2, ^а)2, (§Ь)2 в фактор-группе (7/ в1;(2) будут, соответственно, элементы (Ь, Ь, 1,1), (о, 1, о, 1), (1, Ь, 1, Ь), (а, а, 1,1). В частности, образы элементов (Л>)2, (§а)2 не принадлежат образу подгруппы К. Очевидные вычисления показывают, что сопряжения указанных четырех элементов при помощи корневых элементов а, Ь, с порождают подгруппу, изоморфную Ъ\. С другой стороны, любые три из них, вместе со своими сопряженными, порождают подгруппы, изоморфные Ъ\. Кроме того, подгруппа К изоморфна Ж2, а образ третьего члена нижнего центрального ряда изоморфен Ъ\.
в) Утверждение о порождающих коммутанта обусловливается применением алгоритма Райдемайстера - Шрайера ко множеству представителей смежных классов по коммутанту
{1, а, Ь, с, {, §, а{, ag, а£§, Ь£, Ьg, Ьfg, с£, cg, с£§}
и порождающему множеству {а, Ь, £, §}, □
Лемма 3. Подгруппа К содержит третий член 7з((7) = [[(7, (7], (7] нижнего центрального ряда группы (7.
Доказательство, а) Пусть N = (К х К х К х К) о к1 — подгруппа стабилизатора м (1). Такая подгруппа существует и принадлежит пересечению К П 7з(Сг), т.к.
[Г.8а] = (№ а], 1,1,1), ЬС.Р“] = ([в, Ь], 1,1,1),
[Г,В‘] = [Г,в]* = [[Г,а]-^в]* = [[Г,а],в]*, [В=,/“] = [Вь,^ = [[В,Ь],/].
Поэтому мы можем рассмотреть фактор-группу К/Н. Так как
(Та)2 = (Л>,Ь£, 1, 1 )оЫ. (§Ь)2 = (1.а§. 1.§а)о'н1. и [Ь£,а§]с'н1 е /\’о'к1.
то образы элементов (£а)2, (§Ь)2 в фактор-группе К/Н перестановочны, Более того, как следует из теоремы 2, никакая неединичная степень элементов Л>, §а не принадлежит подгруппе К. Следовательно, поскольку |£Ъ| = |§а| =4, имеем изоморфизм К/Н = Ъ\.
б) Теперь изучим фактор-группу в1;(1)/]У, Так как аГ = Га. §Ь = Ь§ (по модулю подгруппы К), то множества
и {8,8а,8ь,8с} поэлементно перестановочны. Пусть г?(£, Р,..., §с) е в1;(1), В слове V выберем самое левое вхождение символа вида, Г* и переместим его в начало слова V. Это можно сделать, так как левее его только символы вида, §*. После этого аналогично поступаем с самым левым оставшимся символом вида, р и ц результате слово г примет вид //(Т. Р....) • »■(§. §а....). Таким образом, фактор-группа в1;(1)/]У — это произведение образов подгрупп ёг(£,Р,£Ь,Р) и §г(§,§а,§ь,§с). Из формул (8) — (11) получаем
§г(£,£а,£ь,£с) = ёг(£,Р) х §г(£ь, Р) = ёг(£, £“) х §г(£,Р)ь,
К1'(Е.Г‘.ЕЬ.ЕС) = ёг(§, §ь) х §г(§,§ь)а.
Так как ёг(Ь, ^ = ёг(а. %) = /)(. то и цг(Г Р) = ёг(§. §ь) = 1)и и
коммутаторы (Л>)2, (§а)2 не принадлежат подгруппе К (см. теорему 2), следовательно, м (1)/Л’ = П\.
в) Сопоставляя результаты пунктов а) и б), мы получаем, что
вЬ(1)/К ^ ф(1)/#)/(#/#) ^ (£>4/^4)4 = й4.
Если теперь рассмотреть фактор-группу СУ К, то она будет полупрямым произведением подгрупп (1)/К и ёг(а, Ь) и это полупрямое произведение будет иметь ступень нильпотентности, равной 2. В самом
деле, образы коммутаторов (fa)2, (gb)2 будут равны 1, а образы коммутаторов (fb)2,(g а)2 будут принадлежать центру группы G/К (см, (3),(5)), Таким образом, К > 73(G), □
Теорема 3. Для, любой вершины и дерева Т для, костпабилизатпора группы G выполняется, равенство cost(и)(и) = К о id(|„|).
Доказательство. В лемме 3 фактически доказано, что для любой вершины и срезка костабилизатора cost (и) (и) содержит подгруппу К. Остается показать, что имеет место совпадение подгрупп. Используя обозначения предыдущей леммы, рассмотрим фактор-группу st(l)/iV, Как показано в теореме 2 {(fb)2, (ga)2} % К, следовательно, st(l)/iV = Df. Таким образом, равенство координаты в фактор-группе единице равносильно ее принадлежности подгруппе К о id, что и означает совпадение костабилизатора с подгруппой К. □
Ростом периодов элементов группы G, следуя Р.И.Григорчуку, назовем функцию g(n) = max{|g| | д е G,p(g) < п}, где р{д) — длина элемента д в некоторой системе порождающих группы G. Что бы исключить зависимость функции роста от выбора порождающего множества, на множество таких функций вводится отношение эквивалентности Qi ~ 0-2. если найдется такое натуральное число N, что для любого п е N выполняются неравенства Qi(n) < NgzinN), д2(п) < Ngi(nN).
Построить группы со сколь угодно быстрым ростом периодов не составляет труда. Гораздо более интересно и трудно нахождение групп с медленным ростом периодов. Эта задача впервые решена в [2], где построены группы с ростом периодов, не превосходящим функции, обратной (в смысле суперпозиции) к функции о(п) = 2а('п^1\ Некоторое время после выхода статьи [2] казалась правдоподобной гипотеза о том, что АТ-группа, у которой направляющие пути продольных порождающих не являются почти равными, может иметь существенно более медленный рост периодов, чем любая линейная функция. Однако следующая теорема опровергает это предположение. Основной в теореме 4 является нижняя оценка, верхняя, видимо, очень завышена, но она не имеет принципиального значения и поэтому нами не уточняется, Гипотеза состоит в том, что рост периодов этой группы все же не полиномиален.
Теорема 4. Рост периодов группы С удовлетворяет неравенствам п < д(п) < 2",
Доказательство, а) В качестве длины элементов группы б? рассмотрим продольную длину. Тогда, как показано в теореме 1, при возведении элемента в квадрат продольная длина его координат или уменьшается (хотя бы на 1) или элемент принадлежит одной из конечных подгрупп, перечисленных в лемме 2, и его порядок не превосходит числа 21. Отсюда следует верхняя оценка д(п) < 2 • д(п — 1) и, значит, д(п) < 2",
б) Пусть у — слово продольной длины п от порождающих группы С, задающее элемент максимального порядка при данной продольной длине. Рассмотрим подгруппу ёг(Т. Р. §а. §с). Нетрудно видеть (см, (8) — (11)), что она подпрямое произведение б? х ёг(Ь, ^ х ёг(а, §) х 1, Таким образом, существует элемент и\ принадлежащий этой подгруппе и имеющий вид (и, *, *, 1). Оценим его минимальную продольную длину. Если продольная длина элемента V равна п, то как следует из замечания перед теоремой 1, его обычная длина не превосходит 2п, следовательно, продольная длина элемента из тоже не превосходит 2п. Так как порядок элемента из • с не меньше чем 21 г? |, то мы получаем оценку снизу д(2п) > 2д(п), следовательно, д(п) > п. □
4. Спрямление и новые примеры
Спрямлением продольного автоморфизма с! с направляющим путем 7 вдоль пути г] в АТ-группе (! называется последовательное сопряжение продольного автоморфизма с!*1*2'" при помощи элементов 4 е ('■ таких что 4 е 8%[„_1]), (7„)4 = г]п,пЕ N.
Лемма 4. Группа Н = ёг(а, Ь, Ь), где Ь = (Ь, 1, а, Ь) является, регулярной периодической АТ-группой над последовательностью 1^2 © 2^2, ^2 © 2^2, ■■■
Доказательство, а) Единственность, Выбор направляющего пути не влияет на алгебраические свойства группы, так как получающие при разных направляющих путях группы будут сопряжены в группе автоморфизмов дерева. Необходимым условием периодичности группы б? является кручение произведений 1ха. Ыэ, 1хе. Для продольного порождающего вида (Ь, а, *, *), (Ь, *, Ь, *), (Ь, *, *, с) хотя бы одно из перечне-
лепных произведений имеет бесконечный порядок. Таким образом, из 64 возможных вариантов остаются 27, Также бесконечный порядок имеют эти произведения и в случаях (Ь, Ь, а, *), (Ь, с, *, а), (Ь, *, с, Ь) — это исключает еще 9 вариантов. Невозможны также случаи, когда координаты принадлежат подмножествам {1, а},{1,Ь},{1,с}, поскольку группа перестанет быть АТ-группой, Остается 8 претендентов на роль продольного порождающего:
(1х. 1,а, Ь). (11.1, с,а), (И., Ь. 1,а), (11, с, 1,Ь),
(Ь,Ь, с, 1), (Ь, с,а,1), (11. Ь. с.а). (Ь, с,а,Ь),
В последних двух случаях бесконечный порядок будут иметь все три тестовых произведения. Шесть оставшихся вариантов изоморфны друг другу, поскольку представляют собой 6 перестановок на символах а, Ь, с, обозначающих ненулевые элементы группы Ж2 ф й2. б) Периодичность, Очевидно,
ёг(а, Ь) ^ £)4, ёг(Ь, Ь) ^ 1)н. кг(с.11) ^
Ь = (Ь, 1,а,Ь), Ьа = (1, Ь,Ь,а), Ьь = (а,Ь, Ь, 1), Ьс = (Ь,а, 1, Ь),
Доказательство периодичности проведем индукцией по слоговой длине. Базой индукции являются предыдущие замечания.
Пусть слово х имеет слоговую длину II. Если X е ^1(1). то все его проекции имеют слоговую длину меньшую п и периодичность очевидна, Если же X = у ■ Б, где 8 е {а, Ь,с}, то неуменынение слоговой длины хотя бы одной из координат может произойти лишь тогда, когда все продольные слоги имеют ВИД 11. 11*. В этом случае элемент X принадлежит одной из диэдральных групп 1)\. 1)н. £>16, перечисленных выше, □
Рассмотрим последовательность групп Ъ\,Ъ\,...,к > 2, Пусть
01, 02, ..., Ой — порождающие элементы группы Ъ\ И О = 01+02 + ,,, + 0й, Как и в первой части работы обозначим подстановки сдвига на эти элементы и соответствующие этим подстановкам корневые автоморфизмы символами аь а2,,,,, а&.
Положим
А {а | , &2....}’ • { 1*1 • 1*2.1/,* }’ •
где продольный порождающий I) имеет направляющий путь 7 =
= (<1;. (I;. ,,,) и ^ = (1, ,,,,1, {;. 1.1, а(. 1, ,,,, 1) О 1(|. ГД6, В СВОЮ ОЧврвДЬ,
символы ^ и а, имеют координаты с номерами щ и о + щ соответственно, % = 1,2,,,,, к.
Рассмотрим регулярную АТ-группу С, порожденную А;-кор-певыми порождающими и А;-продольными, б? = §г(Д Р) и АТ-группу II = ёг(. 1. 1х). где продольный порождающий Ь имеет направляющий путь (0,0,...) и задан рекуррентной формулой Ь = (Ь, 1,..., а*, 1,..., 1, а^, 1,..., 1) о 1с1. Здесь индексы пробегают множество {1,2,..., А:}, а символ а^ находится на координате с номером а + щ.
Теорема 5. Группа С, введенная выше, является, 2-группой для, любого к > 3.
Доказательство, а) Прежде всего отметим, что имеет место изоморфизм §г(А) = gт(F) = Ъ\. Непосредственно проверяется, что (£а;)1 = 1 для любых е {1.2............/>•}•. Отсюда немедленно получается, что (^Ь)8 = 1 для любых г = 1......./>•. Ь е ёг(.1). Кроме того,
имеет место более сильное утверждение.
Подгруппа §г(А \ {а^}, Р) конечна для, любого % = 1, 2,..., к.
В самом деле, в этом случае координаты под действием подгруппы В = §г(А \ {а^}) разбиваются на две орбиты. В одну попадают все координаты, которые помечены векторами (в базисе 01,02,..., о*; ) вида (*,...,*,1,*,...,*), а во вторую — помеченные векторами (*,...,*, О, *,.■■> *) (и 0 и 1 стоят на г-м месте). Проекции элементов ^,Ь е В на под деревья, начальные вершины которых перенумерованы элементами из первой орбиты, содержат все корневые порождающие (кроме а^) и не одной продольной, для другой орбиты соответственно получаем все продольные и одну корневую (как раз а^). Подгруппы, порожденные и первым, и вторым множеством, очевидно конечны. Что и доказывает утверждение.
б) Доказательство периодичности группы (! проведем индукцией по продольной длине. База индукции для продольной длины 1 проверена в пункте а). Пусть слово х имеет продольную длину п и х = уЪ, где Ь е gт(yA),y е в1;(1). Докажем, что элемент х2 = ууъ имеет конечный порядок. Если у = (у0, ■■■, Уь, ■■■; Ус, ■■■; Уа); ТО х2 = = (уоуь, УъУ(ь ■■■5 УсУс+ь, ■■■)■ Конечность порядка элемента х будет до-
казана, если продольная длина всех координат произведения х2 будет
меньше п. Так как в1;(1) = §г(^ | Ь Е §г(А)), то неуменьшенпе слоговой длины произойдет лишь в случае, когда все продольные координаты элементов ^ будут принадлежать одной орбите элемента 6 Е §г(й1, 02, ...,а,к). Так как длины всех этих орбит равны 2 и имеют вил {с, с+6} и с точностью до сопряжения на корневой порождающий можно считать, что слово х начинается с символа I). то это будет иметь место лишь в том случае, когда слово х является произведением слогов вида,
Однако подгруппа, порожденная этими 2к произведениями, продольные проекции имеет только в вершинах с номерами щ и щ+Ь. При этом и все корневые порождающие будут на этих же координатах только в одном единственном случае, когда 6 = а = 01 + 02 + ... + 0^, Таким образом, если Ь Ф а, то в силу утверждения из пункта а) все координатные подгруппы будут конечны, а значит, конечна и подгруппа, которой принадлежит элемент х с неуменыневшейся продольной длиной координат, Следовательно, конечный порядок будет иметь и элемент X.
в) Пусть 6 = о и слово х таково, что по некоторой координате произведения х2 не произошло уменьшения продольной длины. Более того, на этой координате индуцировался элемент г такого же типа, Не теряя общности, можем считать, что элемент г начинается с символов а‘ или £.^+а>+а (обратим внимание, что все сопрягающие корневые элементы попарно различны). Поскольку элементы а, — а). а, — а) — а могут быть получены как произведение не менее двух корневых порождающих (именно здесь используется условие к > 3 !), то в этом случае на второй координате (из этой же орбиты) будет произведение двух продольных порождающих. Следовательно (см, чуть более раннее замечание), элемент г после возведения в квадрат не сможет индуцировать элемент того же типа, что он сам и х. Значит, после двух возведений в квадрат продольная длина координат обязательно уменьшится, □
Теорема 6. Группа Н, введенная выше, является, 2-группой для, любого к > 2. Функция роста, периодов группы Н удовлетворяет пера,-
1
венствам п1о^<-к+1'! < р(п) < п.
Доказательство. Периодичность докажем индукцией по продольной длине. База индукции — периодичность произведений 1хЬ. Ь е ёг(А).
Все эти произведения, очевидно, имеют порядок 4, Теперь рассмотрим произвольный элемент X = у ■ Ь, у е в1;(1), Ь е ёг(А) продольной длины п. С точностью до сопряжения корневым элементом можем считать, что произведение х начинается с символа 1х. Если Ь = 1, то сразу переходим к координатам элемента х, а т.к. их продольная длина меньше п, то периодичность элемента х доказана. Если Ь Ф 1, то рассматриваем элемент х2 = у • уъ = (у0Уь, ■■■)■ Так как сумма продольных длин всех координат у0,,,,, ... элемента у не превосходит
п и продольная длина произведения уауь ненулевая, то именно она может оказаться равной п. Произойдет это лишь в том случае, когда слово х является произведением слогов Ь, Ьь, Однако эти слоги порождают конечную группу, изоморфную 1)\, в случае Ь = а, — а для некоторого г £ {1,2,,,,, А:} или в противном случае. Это доказывает периодичность группы Н.
б) Для оценки роста периодов нам потребуется следующее утверждение.
Подгруппа Ь = gт(B, Ь) конечна для любой подгруппы В < §г(А) и имеет период, делящий число 16.
Так как элементы {а — а,. / = 1.2...../,• }• образуют базис груп-
пы Ъ\, то подгруппа Ь П в1;(1), имеющая в Ь индекс, не превосходящий 2к_1, индуцирует проекции, содержащиеся или в Щ = = §г(о1, ,,,, Ог_1, Щ+1, ,,,, о&, К) для некоторого % е {1,2,,,,, к}, или в §г(А), Номера проекций первого вида, принадлежат орбите элемента 0 (под действием подгруппы В), все остальные - проекции второго вида,. Подгруппы группы §г(у4), очевидно, имеют период 2 и порядок, не превосходящий 2к-1. Следовательно, период подгруппы Ь П в1;(1) равен периоду подгруппы а порядок не превосходит з = \Н^2к 1 • (2*' 1 )2’*
(в предположении, что порядки и периоды всех подгрупп Н{ попарно равны и \Н{\ > 2к_1), Отсюда получаем, что период подгруппы Ь равен удвоенному периоду подгруппы а порядок не превосходит числа 5 • 2к.
Теперь изучим подгруппы И,. Рассуждаем так же как и для подгруппы I.. Проекции, принадлежащие орбите элемента 0 (под действием подгруппы §г(у4.\ {ог}) будут изоморфны подгруппе ёг(Ь, а;) = £>4, а все остальные — подгруппе §г(А \ {о^}) = Йр1. Таким образом, период подгруппы Щ П st (1) равен 4, а порядок не превосходит 82 • (2к^1)2 = 2^+2^'2 , В свою очередь, период подгруппы Щ
равен 8, а ее порядок 2к • 2^к+2^’2к 1. Окончательно для подгруппы Ь получаем период 16 и 1о§2 \Ь\ < к + (2к — 1)2к^1 + (к + 2)22к^2.
в) Оценим рост снизу. Пусть д(у) = п и порядок |т;| максимален для данной продольной длины. Построим слово из Е N = = цг(1х. 1ха; а. I = 1, 2,,,,, к) такое, что из = (V, *,,,,,*), Обратим внимание, что проекция группы N на поддерево Т(0) совпадает с Но\й. В то же время, так как неединичные координаты у элемента 1х помечены символами {0, а ■, + о,] = 1, 2,,,,, к}
{О, аI + а,] = 1, 2,,,,, к} + {0, аI + о,= 1, 2,,,,, к} =
{О, a,j + о, щ + a,jJ ] = 1,2,,,,, А;},
а последнее множество при к > 2 не совпадает со всей группой §г(А), Следовательно, любой элемент группы N имеет хотя бы одну единичную координату. Пусть она помечена символом Ь. Тогда произведение из • Ь имеет порядок 2 • |г? |. Оценим д(т). Так как элемент у можно брать с точностью до сопряжения, то можем считать, что он содержит в качестве сомножителей ровно п корневых элементов. Так как каждый корневой элемент является произведением не более к корневых порождающих, то д{из) < п ■ (к + 1). Таким образом, для функции роста периодов имеем оценку р(п(к + 1) > 2р(п), откуда следует, что
1
р(п) > п‘°82('= + 1) ,
г) Более сложно получается оценка сверху. Пусть х = у ■ Ь, у £ в1;(1),Ь Е gr(A). Рассмотрим элемент х2. Пусть вс — число вхождений слога Ьс в слово у. Самая большая продольная длина проекции элемента х2 получится в том случае, когда Ь = а; • а для некоторого г Е {1,2,,,,, к}, поскольку в этом случае обе координаты (и 0, и Ь) неединичные. Не теряя общности, можем считать, что самую большую продольную длину имеет проекция х' = уоуь элемента х2 на поддерево Т(о). Тогда продольные порождающие индуцируются только слогами Ь, Ьь; корневые порождающие а; индуцируются ими же; а корневые порождающие а) — слогами 1ха^ а. 1хь а^ а. у ф I. При этом, у этих последних слогов, одна из координат 0,6 равна 1, Таким образом, продольная длина слова х' не превосходит «о + 8ь, а общее количество порождающих а 1 а^. входящих в запись слова х', не превосходит
суммы
к
^ ~](^а+а,' “Ь ^а+а^+ь) —
5=1
Теперь оценим сверху длины координат элемента (х')2 (предполагаем, что х' 0 ^1(1) п .г' = // • с. где элемент с = а; + а, для некоторого г е {1,2,к}. ) Сопрягая элемент х' некоторым корневым элементом, можем опять считать, что самая большая продольная длина у элемента х" = у'0у'с. Как мы выяснили выше слово х' является произведением не более 2п порождающих группы Н, причем среди них не больше п корневых и не больше п продольных:
х! = ЕХЕ2...Е1 • ь • £1+1...£1 • 11 • £1+1... = 11Ь|11Ь2....
где Ь1 = £х£2-£ь Ь2 =£1 £2-еи ...
Поскольку продольные порождающие в элементе х" будут индуцироваться только слогами 1х. Ьь, то остается оценить их число. Прежде всего, что бы получить слог, индуцирующий на интересующих нас координатах (имеются в виду 0, Ь) неединичный элемент, мы должны использовать как минимум 2 корневых порождающих, поскольку элементы а] — а. а| — а различаются ровно на два корневых порождающих, Таким образом, п корневых порождающих в слове х' фактически будут использоваться как минимум парами, а таких пар не более п/2. Однако слоги Ьь не могут стоять рядом, они просто сократятся. Значит, между любыми двумя соседними такими слогами должен быть хотя бы один слог вида, 11е. с ф Ь. Следовательно, как минимум половина корневых пар будет израсходована на эти промежуточные слоги. Окончательно получаем, что продольная длина слова х" не превосходит п/4. Поскольку при переходе от ж к х" мы дважды возводили в квадрат, то р{п) < 4 • р(п/4) и, значит, р(п) < п. □
Обратим внимание на одно важное для приложений обстоятельство, которое в данной статье не может быть предметом исследования, Координатами каждого слоя дерева, построенного над последовательностью Ъ\, являются элементы ^-мерного векторного пространства над конечным полем. При задании продольного порождающего 1х группы Н мы выбрали такое множество векторов, которое, с одной стороны, является базисом этого векторного пространства, а с другой
—линейным кодом. При этом расстояние Хэмминга между кодовыми словами оказалось равным 2, Именно расстояние Хэмминга играло главную роль в оценке сверху роста периодов группы Н. То, что оно равно 2, не позволило снизить верхнюю оценку. Таким образом, по любому линейному коду над конечным полем мы можем построить регулярную АТ-группу с одним продольным порождающим. Как свойства этого кода сказываются на алгебраических свойствах порожденной им АТ-группы и можно ли по свойствам
ЛТ группы выяснить свойства кода? Это совершенно новая постановка вопроса, возможно не бесполезная и для теории АТ-групп, и для теории линейных кодов. Во всяком случае, как следует из теоремы 6, диаметр пространства кодов с метрикой Хэмминга и рост периодов АТ-групп тесно связаны.
Список литературы
1. Рожков А.В. О подгруппах некоторых групп алешинского типа // Алгебра и логика. 1986. Т.25, вып. 6. С. 543-571.
2. Рожков А.В. Условия конечности в группах автоморфизмов деревьев
// Алгебра и логика. 1998. Т. 37, вып. 5. С. 568-605.
3. Рожков А.В. Вычисления в группах автоморфизмов деревьев: Учеб. пособие. Челябинск, 2003.
4. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.:
Физ.-мат. лит., 1996.
Челябинский государственный университет, [email protected], www.kb.csu.ru
